Reglerteknik AK. Tentamen 6 Mars 2012 kl 14 19

Transkript

1 Institutionen för REGLERTEKNIK Reglerteknik AK Tentamen 6 Mars 202 kl 4 9 Poängberäkning och betygsättning Lösningar och svar till alla uppgifter skall vara klart motiverade. Tentamen omfattar totalt 25 poäng. Poängberäkningen finns markerad vid varje uppgift. Betyg3: lägst2poäng 4: lägst7poäng 5: lägst22poäng Tillåtna hjälpmedel Matematiska tabeller(tefyma eller motsvarande), formelsamling i reglerteknik samt icke förprogrammerade räknare. Tentamensresultat Resultatet anslås senast fredagen den 6:e mars på institutionens anslagstavla på första våningen i Maskinhuset samt på institutionens hemsida.

2 G u + y + G 2 Figur Blockschema för systemet i uppgift. Lösningar till tentamen i Reglerteknik AK. Tvåsystem,G ochg 2 ärsammankoppladeenligtfigur. a. Bestäm överföringsfunktionen från u till y. ( p) b. Bestäm systemets poler och nollställen om delsystemen är givna av G (s)= s+4, G 2(s)= 2 s+5. (p) c. Bestäm och skissa systemets stegsvar ( p) Solution a. Överföringsfunktionen från u till y ges av G yu =G +G 2 +G G 2. () b. Med de givna systemen erhålls G yu = s s (s+4)(s+5) = 3 s+4. (2) Systemet saknar alltså nollställen och har en pol i-4. c. Dåinsignalenärettsteg,U(s)= s,gessystemetsutsignalav Inverstransformering ger Y(s)= 3 s+4 s. Systemets stegsvar kan ses i figur 2. L (Y(s))= 3 4 ( e 4t ) (3) 2

3 Step Response Amplitude Time (seconds) Figur2 Stegsvarförsystemetiuppgift. 2. Ett systems dynamik ges av följande olinjära differentialekvation z+ż4 z 2 z= u däruärinsignalenochutsignalengesavy=z 2 +u 2. a. Införtillståndenx =zochx 2 =żochskrivsystemetpåtillståndsform. (0.5 p) b. Beräkna de stationära punkterna. ( p) c. Linjäriserasystemetkringdenstationärapunktsomsvararmotu=9. (.5 p) Solution a. Införande av tillstånden ger följande tillståndsform ẋ =x 2 (=f (x,u)) ẋ 2 = x4 2 x 2 +x + u (=f 2 (x,u)) y=x 2 +u2 (= (x,u)) (4) b. Fråndenförstaekvationeni(4)erhållsx 0 2 =0.Insättningavx 2=0iden andra tillståndsekvationen följande villkor för stationäritet 0=x + u. (5) Destationärapunkternagesav(x 0,x0 2,u0 )=( t,0,t),t 0.Istationäritetgesutsignalensåledesavy 0 =t+t 2. 3

4 c. u=9gerdenstationärapunkten(x 0,x0 2,u0,y 0 )=( 3,0,9,90).Departiella derivatorna är f f f =0, =, x x 2 u =0, Inför nya variabler f 2 =2 x4 2 x x 3 +, x =2x, f 2 = 4 x3 2 x 2 x 2, x 2 =0, f 2 u = 2 u u =2u, Det linjäriserade systemet ges av x=x x 0 u=u u 0 y=y y 0. [ ] ] 0 0 x= x+[ u 0 6 y=[ 6 0] x+8 u (6) (7) 3. Bodediagrammetförettöppetsystemärgivetifigur3. a. Beräkna fas- och amplitudmarginal för detta system. ( p) b. Skissa Nyquistkurvan för systemet. Markera speciellt fas- och amplitudmarginalsamtpunktensvarandemot ω=0.5rad/s. (p) c. Är amplitud- och fasmarginalen bra stabilitetsmått för det här systemet? Motivera ditt svar. ( p) Solution a. Skärfrekvensen ω c kanavläsastill0.3rad/sochfasförskjutningenviddennafrekvenstillungefär 0.Fasmarginalen ϕ m ärdärför70. Frekvensen ω 0 därfasförskjutningenär 80 kanavläsastillungefär rad/s, och vid denna frekvens är förstärkningen ungefär 0.5. AmplitudmarginalenA m blirdärförungefär6.7. (Exakta värden är ω c = 0.3 rad/s, ϕ m = 7.3, ω 0 =.00 rad/s och A m =6.49) b. Nyquistdiagrammet för systemet är ritat i figur 4. c. Nej, både amplitudmarginalen och fasmarginalen antyder att stabilitetsmarginalerna är goda. Dessa stabilitetsmått fångar dock inte att Nyquistkurvan går nära den kritiska punkten-. Om man t.ex. förstärker systemet medenfaktor2kommerfasmarginalenattförsämrastill2. 4

5 G 0 (iω) arg G 0 (iω) (grader) Frekvens (rad/s) Figur 3 Bodediagram för det öppna systemet i uppgift Im G 0 (iω) Re G (iω) 0 Figur 4 Nyquistdiagram för det öppna systemet i uppgift 3. 5

6 Nyquist Diagram 0.5 Imaginary Axis Real Axis Figur 5 Nyquistdiagram för systemet i uppgift Nyquistkurvanförenprocesskansesifigur5.Avgörmedhjälpavfiguren omvartochettavföljandepåståendeärsant,falsktelleromduintehar tillräckligt med information om systemet. Systemet antas vara minimalt, dvs. inga pol-nollställesförkortningar har gjorts. Samtliga svar måste vara motiverade. Varje rätt svar ger 0.5 p. (3 p) a. Om systemet återkopplas med en P-regulator med förstärkningen K = 2 så blir det slutna systemet instabilt. b. Fasmarginalenvidenkelåterkopplingärmindreän60. c. Systemets dödtidsmarginal vid enkel återkoppling är större än 0. s. d. Processens statiska förstärkning är 2. e. Processen innehåller en integrator. f. Processen är ett andra ordningens system. Solution a. Sant.AmplitudmarginalenkanutläsasiNyquistdiagrammettillA m.2. EnP-regulatormedK=2>A m skullesåledesgöradetslutnasystemet instabilt. b. Sant.Fasmarginalenkanavläsasifigurentill φ m 30 <60. c. Ej tillräcklig information. För att beräkna systemets dödtidsmarginal måste vi ha tillgång till systemets skärfrekvens vilken är okänd. 6

7 d. Sant. Systemets statiska förstärkning kan avläsas vid Nyquistkurvans början,dvs.vid ω=0till2. e. Falskt. Hade systemet haft en integrator skulle fasen för låga frekvenser vara 90. f. Ej tillräcklig information. Tidsfördröjningen gör det omöjligt att utifrån endast Nyquistkurvan avgöra systemets ordning. 5. Enindustrirobot,sefigur6,beståravenkedjaavlänkarochledersomdrivs med motorer. Målet är att styra dessa leder så att robotens verktyg utför en önskad rörelse. Vanligtvis har en robot 6 stycken leder, och dessa styrs var för sig. Sambandet mellan pålagt moment från motorn till robotledens position är olinjärt, men det är möjligt att linjärisera modellen genom att använda s.k. computed torque control, där man kompenserar för alla olinjära effekter, och kvar blir en linjär överföringsfunktion, nämligen G(s)= s 2 Blockschematförreglersystemetsesifigur5,därutsignalenfrån P 2 är ledenshastighetochutsignalenfrånp ärledensposition. P = s, P 2= s a. Vad är detta för typ av regulatorstruktur? ( p) b. Vidrobotreglering ärnormalt C 2 enpi-regulatoroch C enp-regulator. DesignaC 2 såattdeninrereglerkretsenspolerplacerasmedensnabbhet ω=0rad/s,ochenrelativdämpning ζ =0.8. (2p) c. FörklarahurmanbördesignadenyttrereglerkretsenförattmanskakunnaapproximeradeninrekretsenmedenförstärkningK.HurskaKväljas? Varför är man intresserad av att göra en sådan approximation? ( p) Solution Figur 6 En ABB IRB40 i institutionens robotlab, här utrustad med en kraftsensor och ett gripdon. 7

8 + C + C 2 P 2 P - - Figur 7 Blockschema för reglersystemet i uppgift 5. a. Detta är ett exempel på kaskadreglering. b. Den inre reglerkretsen har överföringsfunktionen G inre (s)= P 2C 2 +P 2 C 2. EftersomC 2 skavaraenpi-regulatorskadenhaöverföringsfunktionen ( C 2 (s)=k + ) =K +T is. T i s T i s Det slutna systemets överföringsfunktion ges då av G inre (s)= P 2C 2 +P 2 C 2 = K T i (+T i s) s 2 +Ks+ K T i. Den givna polspecifikationen innebär att nämnarpolynomet ska ha följande utseende s 2 +2ζ ωs+ ω 2 =s 2 +6s+00. Jämförelse av koefficienter ger då att följande ekvationssystem måste lösas föratterhållakocht i { 6 = K 00 = K T i LösningengesavK=6ochT i =0.6.C 2 skaalltsåvara ( C 2 (s)=6 + ). 0.6s c. Om man vill kunna approximera den inre kretsen med en förstärkning när den yttre kretsen designas måste den inre vara betydligt snabbare än den yttre. Förstärkningen K ska väljas som den inre kretsens statiska förstärkning. Anledningen till att man vill göra den här approximationen är att det förenklar designen av den yttre kretsen. 6. Dynamiken i en kemisk process kan approximeras väl med överföringsfunktionen G p (s)= s(s/2+) e 0.5s. Att enkelt återkoppla processen ger i detta fall inte tillfredställande prestanda. Ditt uppdrag är därför att designa en kompenseringslänk så att det kompenserade systemet blir dubbelt så snabbt som det okompenserade systemet.samtidigtfårfasmarginalenminskamedhögst6. (3p) 8

9 Solution För att göra systemet snabbare använder vi en fasavancerande länk G K (s)=k K N s+b s+bn Vi börjar med att ta reda på processens skärfrekvens. G p (iω c ) = iω c (iω c /2+) = 2= ω2 c+i2ω c = 4= ω 4 c +4ω2 c x2 +4x 4=0 x=0.828 ω c =0.9rad/s (8) (9) Enligt specifikationen skall snabbheten dubbleras dvs. Argumentetvidskärfrekvensen,G p (iω c ),gesav ω c=2ω c. (0) arg(g(iω c ))= 90 arctan( ω c 2 ) 0.5ω 80 c π = 40.5 () Fasmarginalenärsåledes ϕ m = =39.5.Argumentetvidden nya skärfrekvensen är arg(g(iω c))= 90 arctan( ω c 2 ) 0.5ω 80 c π = (2) Fasmarginalenviddennyaskärfrekvensenär ϕ m= = 4.4. Kompenseringlänkenmåstesåledesgeettfasbidragpåminst ϕ =37.9 förattuppfyllaspecifikationen.avläsningitabellgern =5.Faskurvanstoppliggervidfrekvensen ω=b N.Såledesär b= (3) Detåterstårattbestämma K K såatt ω c verkligenblirdetkompenserade systemets skärfrekvens. Vid faskurvans topp har kompenseringslänken förstärkningenk K N K K 5 G(iω c ) = K K = K K = Kompenseringslänken ges av =.0. (4) G K (s)=5.5 s+0.8 s (5) Det okompenserade och det kompenserade systemen återfinns i figur Ett fjäder-massa-dämpar-system enligt figur 9 kan beskrivas av följande differentialekvation: mẍ+cẋ+kx=f därxärmassansposition, färenexternkraft,cärsystemetsdämpningskonstant och k är fjäderkonstanten. Mätsignalen är massans position. 9

10 Bode Diagram Gm =.4 (at 2.67 rad/s), Pm = 37. deg (at.83 rad/s) Magnitude (abs) Phase (deg) Frequency (rad/s) Figur 8 Okompenserat och kompenserat system. a. Införtillståndenx =x,x 2 =ẋochskrivsystemetpåtillståndsform. ẋ=ax+bu y=cx+du (p) b. Bestämsystemetspolerdåc=0,k=ochm=.Ärsystemetasympotiskt stabilt, stabilt eller instabilt? Hur kan man inse detta genom att endast betrakta figur 9 med de givna parametrarna? ( p) c. Designaentillståndsåterkopplingu= Lx+l r rfördetgivnasystemet så att det slutna systemet får en statisk förstärkning samt att polerna hamnari 2. (2p) d. Iverklighetenkanmanintemäta ẋ,vilketbetyderattmanendastkan återkopplaetttillstånd,x dvs.u= l x +l r r.modifierablockschemati figur0ienlighetmeddetta.vilkensortsregulatorliknardetnu? (p) e. Visaattdetintegårattplacerasystemetspoleri 2meddennatypav regulator. (p) Solution a. Införandetavtillståndenx =x,x 2 =ẋmedu=fgertillståndsformen: [ ] [ ][ ] [ ] ẋ 0 x 0 = + u ẋ 2 k m c m [ ] [ ] x y= 0 x 2 x 2 m 0

11 Figur 9 Ett fjäder-massa-dämpar system i uppgift 7. r l r Σ u G p y L x Figur 0 Blockschema för tillståndsåterkoppling i uppgift 7. b. SystemetsöverföringsfunktionberäknasenligtG(s)=C(sI A) B,med c=0,k=ochm=. G(s)= s 2 + Systemet är stabilt, men ej asymptotiskt stabilt, eftersom polerna ligger i s=±i.dettakaninseseftersomdämpningskonstantenc=0,innebäratt systemet inte har någon dämpning och därmed kommer att oscillera utan att oscillationerna avklingar. c. Det slutna systemets karaktäristiska ekvation ges av ([ ] [ s 0 det(si A+BL)=det 0 s =s 2 +l 2 s++l. ] [ l l 2 ]) Jämförpolynometovanmed(s+2) 2,därl =3ochl 2 =4erhålls.l r bestäms genomattsättag(dv0)=,vilketger l r = C( A+BL) B =4 d. Överföringsfunktionen från referens till utsignal kommer att ges av G= G pl r +G p l. (6)

12 r l r Σ u G p y x l Figur Modifierat blockschema i 7 d. Det modifierade systemet är ekvivalent med en P-regulator med börvärdesviktningdvs,u= K(βr y)somgerenöverförningsfunktionfördet slutna systemet G= K βg p +G p K. e. Det slutna systemets karaktäristiska ekvation ges av(6) s 2 ++l (7) Vidjämförelsemed(s+2) 2 =s 2 +4s+4insesattlösningsaknas. 2