Digitalteknik. Talsystem Grindlogik Koder Booles algebra Tillämpningar Karnaughdiagram. A.Lövdahl

Transkript

1 Digitalteknik Talsystem Grindlogik Koder ooles algebra Tillämpningar Karnaughdiagram.Lövdahl

2 TLSYSTEM Talsystem är en angivelse på en viss position. De vanligaste talsystemen i sammanhang med digitalteknik och programmering av PLC system är: - binära talsystemet - decimala talsystemet - oktala talsystemet - hexadecimala talsystemet Här beskrivs kort de olika talsystemens karaktär. llmänt om talsystem lla talsystem bygger på olika vikter och dess symbol samt en bas. Ex. decimala talet 85. Viktat Ex. decimala talet 1274,05 Vikterna (x): 1(3), 2(2), 7(1), 4(0) 0(-1), 5(-2) Vikten närmast till vänster om decimalkommat har vikten 0, de som följer åt vänster ökar med 1. På andra sidan kommat har vikten 1 och minskar sedan med 1. I vissa sammanhang anges LSD (Least Significant Digit) och MSD (Most Significant Digit). Ex. decimala talet 254 LSD=4 (vikten 0) MSD=2 (vikten 2) Är det fråga om ett binärt tal används LS resp. MS (=bit). Ibland anger man vilken bas talet har. Ex inärt tal (basen 2) bas vikt = Decimalt tal (basen 10).Lövdahl

3 inära talsystemet nvänder sig enbart av ettor (1) och nollor (0). Dess bas är 2. Ex = 11 (decimalt) Talet ovan har 4 bitar. Om alla bitar är 1 (1111), blir det decimala talet 15. Ett 4 bitars binärt tal kan alltså anta värden från 0-15 (16 nivåer) decimalt. Ex 1100, ,5 + 0,25 = 12,75 (decimalt) Oktala talsystemet nvänder sig av siffrorna 0,1,2,3,4,5,6 och 7. Dess bas är 8. Ex = 84 (decimalt) Ex = 64 (decimalt).lövdahl

4 Decimala talsystemet nvänder sig av siffrorna 0,1,2,3,4,5,6,7,8 och 9. Dess bas är 10. Ex = 568 (decimalt) Ex. 25, ,8 + 0,03 = 25,83 (decimalt) Hexadecimala talsystemet nvänder sig av siffrorna 0,1,2,3,4,5,6,7,8 och 9 samt bokstäverna,,c,d,e och F. okstävernas motsvarighet: =10 =11 C=12 D=13 E=14 F=15 Dess bas är 16. Ex. 4E = (decimalt).lövdahl

5 Sammanställning talsystem inärt Oktalt Decimalt Hexadecimalt C D E F C CF.Lövdahl

6 Matematik binära tal ddition = = = = =11 Ex Subtraktion = = = = 1 Ex Lövdahl

7 Förenklad subtraktion Ex (tidigare) :a talet :a talet 101 Förläng till 6 bitar ilda ettkomplement till 2:a talet blir 0 0 blir Ettkomplement falskkomplement ddera en 1 till ettkomplementet Tvåkomplement sannkomplement ddera 1: talet med tvåkompl anger att svaret är positivt. Om det blir en 0:a är svaret negativt. Svar 101 Sammanfattning Ettkomplement ddera en Tvåkomplement :a talet anger positivt svar 101 Svar.Lövdahl

8 Multiplikation 0 0 = = = = 1 Ex Ex Division Ex / Lövdahl

9 Omvandling av tal Från decimalt till binärt Ex Division Kvot Rest 23 / / / / / Från decimalt till oktalt Ex Division Kvot Rest 169 / / / Från decimalt till hexadecimalt Ex Division Kvot Rest / / / / D 3 F 16.Lövdahl

10 Från decimalt till binärt Ex. 14,75 10 Division Kvot Rest 14 / / / / , Multiplik råkdel Heltal 0,75 2 0,5 1 0,5 2 0,0 1 Från hexadecimalt till decimalt Ex. 176F = 5999 (decimalt) Från binärt till decimalt Ex = 155 (decimalt).lövdahl

11 KODER I många olika sammanhang används olika former av koder för binära tal. Man grupperar binära tal i grupper som vid bl a. överföring gör det till ett bättre system. I PLC system används denna metod för t ex. överföring till olika buffertminne. Man kan på så vis enklare överföra tal t ex. ett 16-bitars register med hjälp av en hexadecimal kod etc. Olika typer av koder: - CD-kod - ECESS-3-kod kod / IKEN-kod - 2 av 5-kod - SCII-kod - GRY-kod CD-kod CD = inary Coded Decimal. Kallas även 8421-kod. Ett decimalt tal görs om i 4-bitarsgrupper för varje siffra. Ex. 16 CD kod inärt Ex CD kod inärt Tabell från decimal till CD-kod. Decimalt CD-kod Lövdahl

12 ECESS-3-kod Koden som avser att öka med 3. Denna kod är ej en positionskod., (ej viktad). Ex. Decimala talet Öka med = 1011 ECESS SCII-kod nvänds framförallt i datorer. Tabellen nedan visar en vanlig (engelsk) SCII-kod (7 bitar) P p 1! 1 Q a q 2 2 R b r 3 # 3 C S c s 4 $ 4 D T d t 5 % 5 E U e u 6 6 F V f v 7 7 G W g w 8 ( 8 H h x 9 ) 9 I Y i y * : J Z j z + ; K [ k { C, < L \ l l D - = M ] m } E. > N ^ n ~ F /? O _ o Ex. G Kolumn 4 Rad 7.Lövdahl

13 GRY-kod Denna kodning används t ex. vid avläsning av en vinkel i t ex. vinkelgivare. 1 etta inärkodad 4 bitar GRY-kodad 4 bitar MS=Närmast centrum LS=I periferiet Fördelen med GRY-kod är att endast en bit i taget ändrar värde. Detta ökar säkerheten vid avläsning. Omvandling från GRY-kod till decimalt tal. Vikterna för GRY-kod: Ex = (decimalt) Ex = (decimalt) Varannan vikt som ej ger 0 byter tecken till minus. Från decimalt till GRY-kod Ex. 4 decimalt. 7-3 ger decimalt ger 1010.Lövdahl

14 Tabell för binärkod resp. GRY-kod. Vinkel inär GRY Komprimering av data Man komprimerar ofta digitala signaler för att öka snabbhet och prestanda. Nedan ges ett exempel på en metod att komprimera data. Ex. Följande binära tal komprimeras m a p antalet nollor i följd Varje 3-bit representerar alltså antalet nollor i en följd..lövdahl

15 GRINDR I digitaltekniken anväds olika typer av grindar. En grind har en speciellfunktion som då dess villkor är uppfyllt öppnar. Olika typer av grindar: - ND - OR - NOT - NND - NOR - E OR - E NOR Olika utförande finns. Den vanligaste är IC:n här med 14 ben. V CC 14 8 Uppifrån 74HCT03N 74HCT03N QUD, 2-input NND med öppen kollektor. 1 7 GND Matningsspänningen är olika för olika typer. IC:n ovan har matningsspänningen 4,5-5,5VDC. Nivåer på etta (1) och nolla (0). Logisk etta har i denna kretsen en spänning på 2,4-5,5 VDC Logisk nolla har i denna kretsen en spänning på 0-0,7 VDC VDC Lövdahl

16 ND (OCH) Logiskt uttryck Sanningstabell = Symbol IEC-standard merikansk Utgången blir aktiv (1) om båda ingångarna ( och ) är aktiva (1). Grinden utför en logisk multiplikation och ger således en logisk produkt. OR (ELLER) Logiskt uttryck Sanningstabell = Symbol IEC-standard merikansk Utgången blir aktiv (1) om någon av ingångarna ( eller ) är aktiva (1). Grinden utför en logisk addition och ger således en logisk summa..lövdahl

17 NOT (ICKE) Logiskt uttryck Sanningstabell = Symbol 1 IEC-standard merikansk Utgången blir aktiv (1) om ingången () är inaktiv (0) och vise versa. Grinden utför en invertering av signalen. NND (INTE OCH) Logiskt uttryck Sanningstabell = Symbol IEC-standard merikansk Utgången blir inaktiv (0) om båda ingångarna ( och ) är aktiva (1). Grinden utför en logisk multiplikation och inverterar utsignalen..lövdahl

18 NOR (INTE ELLER) Logiskt uttryck Sanningstabell = Symbol IEC-standard merikansk Utgången blir aktiv (1) om båda ingångarna ( och ) är inaktiva (0). Grinden utför en logisk addition och inverterar utsignalen. -OR (ELUSIVT-ELLER) Logiskt uttryck Sanningstabell = Symbol =1 IEC-standard merikansk Utgången blir aktiv (1) om endast en ingång ( eller ) är aktiva (1)..Lövdahl

19 -NOR (ELUSIVT INTE ELLER) Logiskt uttryck Sanningstabell = Symbol =1 IEC-standard merikansk Utgången blir aktiv (1) om båda ingångarna ( och ) är aktiva (1) eller inaktiva (0)..Lövdahl

20 ND (OCH) GRIND I RELITETEN Nedan visas en typisk ND-krets uppbyggnad +5VDC R Om båda ingångarna är höga, alltså +5VDC leder de 2 dioderna ej ström. Potentialen på utgången blir +5VDC. 0VDC Lysdiod ansluten till utgången R R +5VDC Lysdioden kommer att leda (avge ljus) då någon av de 2 ingångarna är låga (0VDC). Om båda ingångarna är höga (+5VDC) kommer lysdioden att vara släckt. 0VDC I detta fallet måste man tänka inverterat för att den skall fungera som en ren ND-krets..Lövdahl

21 OR (ELLER) GRIND I RELITETEN Nedan visas en typisk OR-krets uppbyggnad R +5VDC Om någon av ingångarna är hög, alltså +5VDC kommer en ström att gå genom R till 0VDC (jord). Potentialen på utgången blir +5VDC. 0VDC Lysdiod ansluten till utgången +5VDC R R Lysdioden kommer att leda (avge ljus) då båda ingångarna är låga (0VDC). Om båda eller någon av ingångarna är hög (+5VDC) kommer lysdioden att vara släckt. 0VDC I detta fallet måste man tänka inverterat för att den skall fungera som en ren OR-krets..Lövdahl

22 TILLÄMPNINGR Vi skall i detta avsnitt exemplifiera några enkla tillämpningar. Vi kommer att använda IECstandard tillsvidare. ELF-katalogen använder merikans standard. KRETS TILL SNNINGSTELL Vi har en given koppling och skall konstruera en sanningstabell. = Sanningstabell (4 tillstånd 2 2 ) Den logiska ekvationen är: =. Här är det fråga om en OCH-krets (ND). =( )+C C Sanningstabell (8 tillstånd, 2 3 ) C Den logiska ekvationen är: =( )+C. Här har OCH-kretsens utgång kopplats till en ELLER-krets. På den andra ingången på ELLER-kretsen finns signalen C. Man kan i ord tolka kretsen så här: är aktiv om och är höga. är också aktiv om enbart C är hög. Med en mening: och eller C..Lövdahl

23 1 C C =( C)+( ) Sanningstabell C Den logiska ekvationen är: =( C)+( ). Vi kan tolka kretsen som: För att skall bli hög måste och vara höga eller C hög och låg. Ekvivalent reläschema. + - C SNNINGSTELL TILL KRETS Vi skall nu gå från en sanningstabell till en färdig krets. C Vi studerar utgången. Vilken logisk ekvation representerar denna funktion? Man kan efter en del träning lösa ut ekvationen direkt i en sådan här enkel tabell. Vi skall nu tillämpa ooles algebra. Logisk ekvation: C+ C+ C vi förenklar ( C+ C)+ C vi förenklar C+ C Lösning: = C+ C.Lövdahl

24 Logikkrets 1 C 1 Pröva att konstruera ett ekvivalent reläschema för exemplet ovan. C Vi studerar utgången. Vilken logisk ekvation representerar denna funktion? Denna ekvation kanske är lite besvärligare. Vi tillämpar ooles algebra. Logisk ekvation: C+ C+ C + C ( C+ C)+( C+ C) ((C+C))+((C+C)) ( 1)+( 1) + Lösning: = + = + Vi ser nu att C inte används i den förenklade ekvationen, den är alltså onödig. Ekvationen representerar en känd grindtyp, nämligen -OR. Man klarar ekvationen med en 2-ingångars -OR grind. Jämför denna enkla krets med den ursprungliga ekvationen. Pröva att konstruera ett ekvivalent reläschema för ekvationen. Logikkrets =1.Lövdahl

25 LGR OCH MODELLER (ooles 1 lgebra) Det finns givna lagar för olika funktioner. För OR och ND grindar gäller följande. xiom OR ND = = = = = =1 1 0 = 0 1 = 0 INV 0 = 1 1 = 0 Innehållet i tabellen ovan har en finess. Om man tar första ekvationen i OR kolumnen och inverterar 1:orna och skiljetecken får man den ekvation som står till höger i ND kolumnen. Pröva med de andra. Detta kan man ha nytta av vid förenklingar och utnyttjande av tillgängliga kretsar. Man kan alltså använda en OR-grind som en ND-grind (ev. med en inverterare). Logiska lagar för en variabel L1 L2 L3 L4 + = + = = = L5 L6 L7 L8 L9 = = 0 1 = 0 = 0 = Kommentarer Lag 2: Ger en 1:a oavsett om är låg eller hög. Lag 3: Ger en 1:a oavsett om är låg eller hög eftersom vi har en konstant 1:a. Lag 6: Ger en 0:a oavsett om är låg eller hög. Lag 8: Ger en 0:a oavsett om är låg eller hög eftersom vi har en konstant 0:a. Nu jämför vi de 2 tabellerna med några exempel för att se om lagarna är korrekta. L1. + = Stoppa in axiom för OR rad = 0 L = Stoppa in axiom för OR rad = 1 L6. = 0 Stoppa in axiom för ND rad = 0 1 George ooles, Eng Lövdahl

26 Logiska lagar för flera variabler Som tidigare kompletterar vänsterkolumnen med högerkolumnen genom att byta skiljetecken (+ och +). L10a +Y=Y+ L10b Y=Y L11a +(Y+Z)=(+Y)+Z L11b (Y Z)=( Y) Z L12a (Y+Z)=( Y)+( Z) L12b +(Y Z)=(+Y) (+Z) L13a +( Y)= L13b (+Y)= L14a Y+ Z= Y+ Z+Y Z L14b (+Y) (+Z)=(+Y) (+Z) (Y+Z) L15a +Y =+Y L15b + Y=+Y De Morgans teorem L16a n = n L16b ( n )= n Exempel: L13a. L15b L16b Y Y +( Y) Y Y + Y +Y Y Z Y Z Y Z Y Z +Y+Z Lövdahl

27 FÖRENKLING V KRETSR Vi har en given krets. Vi skall se om den går att förenkla med hjälp av ooles algebra och de lagar vi har i tabellerna. Exempel: 1 C 1 Logisk ekvation: = (+ C)+ Ekvivalent reläschema: C L15a +Y =+Y representerar C representerar Y +C =+C och C insatt i L15a. = (+ C)+ Ursprungliga ekvationen. = (+C)+ Ersättning L15b + Y=+Y representerar (+C) representerar Y + (+C)=+(+C) och (+C) insatt i L15b. = (+C)+ =+( C) Tidigare förenklade ekvation. Förenklad fullt ut..lövdahl

28 Förenklat reläschema: C Exempel: C 1 1 Logisk ekvation: =( C)+( C)+( C) =( C+C)+ C =(C+)+ C L12a L15b C 1 1 Förenklad krets SMMNFTTNING Vi kan alltså använda traditionell ooles algebra och de olika lagarna i tabellerna för att förenkla givna kretsar. En kombination av dessa 2 sätt är ofta att rekommendera vid mer komplicerade kretsar..lövdahl

29 FÖRENKLING Den senaste kretsen går att förenkla ytterligare. Vi skall se hur man går till väga. Logisk ekvation: =( C)+( C)+( C) Ursprung L14a Y+ Z= Y+ Z+Y Z ( = Y=C Z=C ) Y + Z = Y + Z + Y Z =( C )+( C)+( C) = C+ C+ C C+ C = C+ C+(C+C) = C+ C+ = C( +)+ L15b + Y=+Y (= Y=) C(+)+ = C + Förenklad krets: 1 C Ekvivalent reläschema: C.Lövdahl

30 KONVERTIEL LOGIK I detta avsnitt skall vi visa hur man kan göra om ett allmänt grindnät till antingen att enbart använda NND-grindar eller enbart NOR-grindar. Det kan vara mycket praktiskt då endast en typ av logikkrets fordras vilket leder till mindre besvär med lagerhållning. LLMÄN TEORI ENLIGT de MORGN de Morgan 1 2 = = 1 2 Ex. Ex NND-grindars tillämpning (de Morgan) NOT OR ND = = = =+ = = NOR-grindars tillämpning (de Morgan) NOT ND OR > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 =+= =+= =+=+.Lövdahl

31 Med ovanstående tabeller ser vi att man kan övergå från en logik till en annan. Vi skall nu ta 2 exempel på detta. FRÅN LLMÄNT GRIND-NÄT TILL ENRT NND-GRINDR Lagar Utgångar från ND-grindar inverteras. Ingångar på OR-grindar inverteras. På samma ledning krävs 2 inverteringar. Ex. C 1 Tillämpa lagarna ovan C 1 Tillämpa tabellerna ovan. C Kretsen består nu enbart av NND-grindar. Det går förmodligen att förenkla denna krets. Det får du göra på egen hand enligt tidigare kunskaper..lövdahl

32 FRÅN LLMÄNT GRIND-NÄT TILL ENRT NOR-GRINDR Lagar Utgångar från OR-grindar inverteras. Ingångar på ND-grindar inverteras. På samma ledning krävs 2 inverteringar. Ex. C 1 Tillämpa lagarna ovan C 1 Tillämpa tabellerna ovan. C Kretsen består nu enbart av NOR-grindar. Det går förmodligen att förenkla denna krets. ntalet grindar ökade när vi gick över till NOR-grindar..Lövdahl

33 Sammanfattning Vid övergång från allmänt grind-nät till enbart NND-grindar eller enbart NOR-grindar tillämpas följande: Grind närmast utgång () llmänt nät ND OR Välj grindtyp NOR NND Från allmänt grind-nät till enbart NND-grindar Lagar Utgångar från ND-grindar inverteras. Ingångar på OR-grindar inverteras. På samma ledning krävs 2 inverteringar. Från allmänt grind-nät till enbart NOR-grindar Lagar Utgångar från OR-grindar inverteras. Ingångar på ND-grindar inverteras. På samma ledning krävs 2 inverteringar..lövdahl

34 KRNUGH-DIGRM Karnaugh-diagrammet är en grafisk metod att förenkla logiska ekvationer eller uttryck Diagram med 2 variabler. C Diagram med 3 variabler. Som man kan se övergår inte variablerna i den ordning vi är vana vid. nledningen är att i Karnaugh-diagram får endast en variabel ändra värde (0 1, 1 0) varpå man får detta utseénde. KRNUGH-DIGRM / SNNINGSTELL Ex. =C+C+C Sanningstabell C 0 1 C Lövdahl

35 TILLÄMPNINGR Från en given logisk ekvation t ex. hämtad från en sanningstabell kan man göra förenklingen snabbt och säkert med hjälp av Karnaugh-diagram. Ex. =CD+CD Om vi tillämpar ooles algebra får vi: ryt ut +=1 C(D+D) C(1) Resultat C D påverkar inte uttrycket. Vi skall nu göra samma sak men med Karnaugh-diagram. Uttryckets ursprung: CD+CD Markera ut i Karnaugh-diagrammet var respektive sträng finns med en 1:a. CD CD CD Efter lite studerande i Karnaugh-diagrammet ser man att D inte påverkar funktionen för det logiska uttrycket. Enligt Karnaugh-diagram gäller följande: Om en variabel ändrar värde ( 1 0, 0 1 ) vid 2 intilliggande rutor, påverkar denna inte uttrycket, varvid man kan bortse från den. I Karnaugh-diagrammet ser vi att D går från 0 1 och då kan vi ta bort D ur uttrycket enligt: =CD+CD =C Resultat Pröva själv med de logiska uttrycken: 1. =CD+CD 2. =CD+CD Gör först förenklingen med hjälp av ooles algebra och sedan med Karnaugh-diagrammet. Kontrollera att de 2 metoderna ger samma svar..lövdahl

36 Vi ska nu se hur vi använder Karnaugh-diagrammet vid 3 intilliggande rutor. Ex. ooles algebra =CD+CD+CD C(D+D)+CD C(D(+))+CD C(D(1))+CD CD+CD C(D+D) C(D(+)) C(D(+)) C(D+D) CD+CD Resultat Vi får 2 termer. Vi skall nu göra samma sak men med Karnaugh-diagram. Vi sätter ut 1:or i de rutor de 3 termerna avser. CD+CD+CD CD CD+CD+CD Vi ser i Karnaugh-diagrammet att mellan de 2 första rutorna går från 0 1. Vi stryker denna variabel i de 2 första termerna. CD+CD+CD Nästa steg alltså mellan ruta 2 och 3 går från 0 termerna. 1. Vi stryker denna variabel i de 2 sista CD+CD+CD Kvar får vi: CD+CD+CD Eftersom CD ingår i alla 3 termer kan vi stryka den 2:a termen. CD+CD Resultat eller C(D+D).Lövdahl

37 Nu ska vi se hur vi använder Karnaugh-diagrammet med 4 intilliggande rutor. Ex. ooles algebra =CD+CD+CD+CD (CD+CD)+(CD+CD) (D(C+C))+(D(C+C)) (D)+(D) D+D D(+) D Resultat 1 term Vi skall nu göra samma sak men med Karnaugh-diagram. Vi sätter ut 1:or i de rutor de 4 termerna avser. =CD+CD+CD+CD CD nalys av de 4 rutorna i Karnaugh-diagrammet ger följande: Variabel : Variabel : Variabel C: Variabel D: Ändrar värde. Påverkar ej. Är 1:ställd hela tiden. Ändrar värde. Påverkar ej. Är 1:ställd hela tiden. Variablerna och C kan uteslutas då de ändrar värde och påverkar då inte resultatet. Kvar får vi variabel och D vilket ger ett förenklat uttryck: =D Resultat Vi gör samma sak men på tidigare sätt. Vi arbetar i grupper om 2: =CD+CD+CD+CD 1 2 CD+CD+CD+CD 1:C ändrar värde=stryks. 2:C ändrar värde=stryks. D + D ändrar värde=stryks. D Resultat..Lövdahl

38 Nu ska vi se hur vi använder Karnaugh-diagrammet med 6 intilliggande rutor. Ex. ooles algebra =CD+CD+CD+CD+CD+CD C(D+D+D+D+D+D) C((D+D)+(D+D)(D+D)) C(++) C=((+)+) C(+) Lag 15a. +Y=+Y C(+) C+C Resultat Nu prövar vi med att läsa direkt ur Karnaugh-diagrammet. Vi sätter ut 1:or i de rutor de 6 termerna avser. =CD+CD+CD+CD+CD+CD CD nalys av de 6 rutorna i Karnaugh-diagrammet i grupper om 4: 4 översta rutorna. 4 nedersta rutorna. Variabel : Ändrar värde. Påverkar ej. Variabel : Är 1:ställd hela tiden. Variabel : Är 1:ställd hela tiden. Variabel : Ändrar värde. Påverkar ej. Variabel C: Är 0:ställd hela tiden. Variabel C: Är 0:ställd hela tiden. Variabel D: Ändrar värde. Påverkar ej. Variabel D: Ändrar värde. Påverkar ej. C + C Vi gör samma sak med på tidigare sätt. Vi arbetar i grupper om 2: =CD+CD+CD+CD+CD+CD C C C C C C C stryks då den återfinns i de 2 övriga. C+C.Lövdahl

39 HMMINGVSTÅND Hammingavstånd är en benämning på det avstånd där en variabel ändrar status (0 1,1 0). Se 2 exempel nedan. CD Ett Karnaugh-diagram bygger på en sluten cykel både horisontellt och vertikalt. Detta innebär att hammingavstånd även är mellan 2 yttre rutor både horisontellt och vertikalt. Se 2 exempel nedan. CD Karnaugh-diagram sett som en sluten cykel. De yttre rutorna möter då varandra. EEMPEL PÅ INTILLIGGNDE RUTOR. CD CD CD CD Lövdahl

40 INTE INTILLIGGNDE RUTOR Karnaugh-diagrammet är ett utmärkt verktyg även då man har uttryck som gör att rutorna inte ligger intill varandra. rbetsgången blir att finna lämpliga kombinationer av intilliggande rutor och sedan tillämpa de metoder vi tidigare visat. Ex. Vi har enligt t ex. en sanningstabell fått följande uttryck. =CD+ CD+ CD+ CD+CD+ CD+ CD+ CD örja med att markera ut 1:or i Karnaugh-diagram för de olika termerna. Välj lämpliga grupperingar. Vi väljer att gruppera de 4 1:orna på första raden till en 4-grupp. De övriga 1:orna gör vi till en 6-grupp. Sedan kombinerar vi de 2 rutor som ingår i 4-gruppen och 6-gruppen. CD =CD+ CD+ CD+ CD+CD+ CD+ CD+ CD 4-grupp C+C 6-grupp C+C+C Dessa 2 termer kombineras C+C C+C+C C C C Eftersom C redan finns i de 2 andra termerna stryks denna. Kvar blir uttrycket: =+C+C Pröva exemplet ovan med ooles algebra..lövdahl