Relativitetsteori, introduktion

Transkript

1 Relatiitetsteori, introduktion En a bristerna med den klassiska fysiken är att alla obseratörer antas ha samma tidsuppfattning, oasett sin egen rörelse. Einstein kunde isa att så inte kunde ara fallet. Ytterliggare ett problem med Newtons fysik är att den inte tar hänsyn till att det tar tid för äxelerkan mellan kroppar att ske, d..s. i Newtons ärld så känner a alla kroppar arandra momentant, oasett hur långt ifrån arandra de är. I ardagliga situationer är detta inget stort problem, eftersom hastigheterna är låga (i förhållande till ljushastigheten), astånden är relatit små, oh graitationskraften som i ju ständigt påerkas a är relatit liten. Men om man till exempel tänker på radioaktit sönderfall där partiklar produeras med hastigheter när ljusets, eller ad som händer i graitationsfältet omkring en kompakt stjärna, så kan man föreställa sig att den klassiska fysiken inte är tillräkligt preis för att beskria fysikaliska händelser Relatiitetsteorin råder bot på dessa brister genom att, först oh främst, införa koordinater som inkluderar både rummet (x,y,z) oh tiden (t), s.k. rumtidskoordinater. Vidare indelas relatiitetsteorin i tå olika fall: Speiella Relatiitetsteori (1905) oh llmänna Relatiitetsteorin (1916). Speiella Relatiitetsteorin (SR): gäller för obseratörer som inte aelererar eller påerkas a krafter, sk intertialsystem. llmänna Relatiitetsteorin (R): innefattar äen aelererande system oh system som påerkas a graitationskraften. I denna kurs kommer i att lära oss grunderna a SR, bli bekanta med ad R går ut på samt att lära oss hur dessa erktyg kan hjälpa oss att förstå uniersums historia.

2 Referenssystem Varje gång i gör ett experiment eller en obseration behöer i ett koordinatsystem för att beskria utgången..ex om i mäter hastigheten på en bil så menar i hastigheten i förhållande till ägbanan. Om i kastar upp en sten i luften oh mäter hur högt den kommer så aser i en höjd h ifrån marken, os. Man kan okså tänka sig att själa referenssystemet (koordinatsystemet) rör sig..ex kan i ara intresserade a relatia hastigheten till framförarande bil när i själa sitter i en bil som rör sig. Ett referenssystem som inte aelererar kallas inertialsystem. M.a.o. inertialsystem är antingen stillastående eller rör sig med konstant hastighet. I mekanikkursen har i lärt oss att Newtons lagar gäller i ett inertialsystem. Newtons 1:a lag: En kropp som inte påerkas a krafter rör sig med konstant hastighet, d..s. den kan inte aelerera. I ägens referenssystem står trädet stilla medan bilen rör sig med hastigheten + I bilens referenssystem rör sig trädet med hastigheten

3 Båda referenssystem är inertiala oh obseratörerna ser att trädet inte aelererar, lltså kan ingen (netto-)kraft påerka trädet (enl Newtons I:a) MEN: Om bilen istället aelererar, skulle en obseratör i bilen se att trädet aelererar ifrån henne, trots att inga krafter på erkar trädet (till synes i motsats till Newtons lagar). I ett aelererande referenssystem gäller inte Newtons fysiklagar.

4 Speiella Relatiitetsteorins grundantaganden Einsteins speiella relatiitetsteorin bygger på endast tå postulat (antaganden): 1. Relatiitetsprinipen: alla inertialsystem är likärdiga koordinatsystem, d..s. de uppfattar naturlagarna på preis samma sätt. 8. lla obseratörer mäter samma ljushastighet i akuum, = 310 m/s, oberoende a deras eller ljuskällans hastighet. Medan (1) är konsistent med ad i ant id oss sedan tidigare, kan postulat () tykas strida mot år anliga intuition..ex om i betraktar en anlig situation, säg en boll som faller rakt nedåt från taket i ett rullande tåg

5 lltså: obseratören i ila m.a.p spåret uppfattar bollens hastighet som summan a källans hastighet oh bollens hastighet i förhållande till källan: = + (1.1) boll tåg boll Postulat () säger ju att detta gäller inte gäller för ljus(!): ljusets hastighet i akuum är alltid densamma, ds oberoende a obseratör. Senare ska i okså se att postulat (1) oh () innebär att addition a hastighetsektorer i SR inte ser ut som i ekation (1.1) (s.k. Galileiska transgformationer). Postulat () isades experimentellt redan år 1887 a Mihelson & Morley med ett experiment enligt nedan. Ljuspulser delades upp i tå riktningar, säg inkelrätt oh parallellt med jordens rotationshastighet. Efter reflektion mot speglar möts igen i en detektor som registrerar om ljuset kommer fram samtidigt. Den allmänna uppfattning då ar att ljusågorna fortplantades i en s.k. eter. Beroende på källans rörelse i förhållande till etern skulle man då få olika ankomsttider i detektorn (interferometer). Experimentet isade att det inte ar ngn skillnad på tiden det tog för ljuset att nå detektorn, oberoende a källans rörelserikting.

6 Den ultima fartgränsen: ljushastigheten De tå postulaten oan leder till att inget kan röra sig snabbare än ljushastigheten. Varför? I figuren nedan, en ljuspuls skikas iäg från flygplanet som rör sig med farten i förhållande till en obseratör på marken. ntag att flygplanet kunde röra sig snabbare än ljushastigheten >. Enligt postulat (1) kommer både piloten ombord på planet oh obseratören på marken att uppfatta att ljuspulsen rör sig framför planet, ty det båda obseratörer utgör inertialsystem oh det finns inga krafter som kan få strålen att ända. Obseratören på marken kan mäta planets hastighet oh skulle då finna att det rör sig med >. Men isåfall måste ljuspulsen okså röra sig snabbare än rör sig snabbare än planet. eftersom den ju Men detta är i motsats till postulat (). lltså kan inte planet (eller ngt annat röra sig snabbare än ljuset!

7 Rumtidsdiagram För att idare undersöka konsekenserna a Einsteins postulat ska i anända oss a ett hjälpmedel, rumtidsdiagrammet. Längs den ertikala axeln asätter i tiden, medan den horisontella x-axeln får representera rummets tre dimensioner. En händelse representeras i diagrammet a en punkt i rumtiden. En obseratör eller ett föremål som existerar under ett helt tidsinterall mostaras i diagrammet a en ärldslinje. En ertikal ärldslinje sarar alltså mot ett objekt som är stillastående på någon x-koordinat hela tiden. Om föremålet rör sig så lutar ärldslinjen: ju snabbare desto mera horisontellt. Vi har konstaterat att inget kan röra sig snabbare än ljuset, alltså utgör en ljuspuls gränsen för hur myket en ärldslinje för en signal kan luta. Vilken inkel det sarar mot beror på årt al a tid oh rumsenheter. Enklast blir det om i äljer att mäta tid i sekunder oh sträkor i ljussekunder. En ljussekund är sträkan som ljuset färdas på 1 sekund ( meter). Med detta al, blir lutningen på ärldslinjen för en ljuspuls 45 grader. lla andra ärldslinjer (<) lutar alltså mer i förhållande till x-axeln.

8 Vi inför några definitioner: Ljuslik ärldslinje: 45 graders linje idslik ärldslnje: ännu brantare Rumslik ärldslinje: mera horisontell än ljuslik ärdslinje Exempel på ärldslinjer Nu betraktar i följande situation, En obseratör () skikar iäg tå speglar åt arsitt håll, båda med farten. En stund senare afyrar han tå fotoblixtar en i riktning mot ardera spegel. Ljuspulserna från fotoblixtarna (båda färdas med hastigheten ) når samtidigt fram till speglarna, reflekteras oh återänder till obseratör.

9 Vi ritar nu rumtidsdiagrammet såsom obseratör uppfattar det. Nu tittar i istället på hur en annan obseratör, B, uppfattar situationen. B står på agnen som rullar med spegel 1. Spegel 1 är m.a.o. i ila i förhållande till B. Vi tar oh ritar arje objekt i figuren oan, sett ifrån Bs referenssystem. Enligt B: Obseratör rör sig till höger med hastigheten, spegeln 1 står stilla:

10 Hur rör sig då spegel i förhållande till obseratör B? Man ill gärna tro att den rör sig med hastigheten i förhållande till B, då detta är det anliga sättet att addera hastigheter i klassisk mekanik (sk Gallileiska transformationer). Vi kommer dok att se att denna regel måste modifieras när hastigheterna är extremt höga (nära ). För att komma fram till rörelsen för Spegel börjar i med att rita ljustrålarna från i riktning mot spegel 1 oh. Enligt Einsteins postulat färdas ljuspulsen med hastigheten äen i förhållande till obseratör B. Detta innebär att ljuspulserna bildar 45 graders inklar i förhållande till B (oh spegel 1). Ljuspulserna utgår ifrån samma händelse i s ärldslinje. Likaså träffar de samma händelse i s ärldslinje efter reflektionen. Detta tillsammans med faktumet att ljustrålarna rör sig i 45 graders inklar gör att i kan rita hela händelseförloppet. Världslinjen för spegel måste: börja röra sig ifrån spegel 1 id samma tidpunkt som gå igenom punkten där ljuspulsen änder tillbaka

11 Vi ser att sett ifrån Bs perspekti sker inte pulsreflektionerna samtidigt!, till skillnad från hur uppfattar det hela. Slutsats: samtidighet är ett relatit begrepp(!) ds, obseratörsberoende. t Spegel 1 Spegel x/ t Spegel 1 Spegel δ Samtidigt enl. Samtidigt enl. B δ x/

12 Samtidighet I exemplet med ljusblixtarna såg i att samtidighetsbegreppet är relatit. Detta innebär att olika obseratörer mäter olika tider beroende på deras relatia rörelse. Närmast ska i undersöka denna skillnad i tidsuppfattning. Från figuren oan kan man generalisera sättet att få fram samtidighetsskillnaden mellan obseratörer: samtidighetslinjen lutar lika myket uppåt (nedåt) som ärldslinjen lutar åt höger (änster). Låt oss då försöka att kantifiera detta. Betrakta tå stillastående obseratörer, B 1 oh B på aståndet L från arandra (se figur). En tredje obseratör,, passerar B 1 i ett ögonblik p i riktning mot B med farten. BB1 oh B har samma tidsuppfattning. uppfattar inte att B 1 oh B har samma tid. I själa erket uppfattar att B har let tiden längre än B 1 (se figur). Hur stort är? Från figuren ser i att s/ = Δt L/ (1.) Men eftersom s= Δt, ser i att L/ = = L (1.3)

13 Slutsats: tå obseratörer som rör sig med hastigheten i förhållande till arandra har samtidighetsuppfattningar som skiljer sig med tiden L/ =.

14 Exempel: om man flyger från Stokholm till Göteborg (400 km) med a 1000 km/timmen (~80 m/s), så uppfattar man att Göteborgarnas klokor är L = = sföre dem i Stokholm! (3 10 ) M.a.o. i de flesta ardagliga sammanhang spelar denna skillnad ingen roll.

15 idsdilatation Vi har sett att hur tiden uppfattas beror på obseratörernas relatia rörelse. Närmast ska i kantifiera hur olika obseratörer uppleer hur fort tiden går. För att belysa detta tänker i oss följande tankeexperiment: ntag att i har en sta med längden L försedd med en spegel i ar ände. Mellan speglarna studsar en ljuspuls fram oh tillbaka. I ena änden sitter dessutom en räknare som tikar arje gång den träffas a ljuspulsen. Då det tar ljuspulsen tiden L/ att färdas en stalängd är tiden mellan tå tik = L/. Detta är perioden för en obseratör i ila i förhållande till staen. Nu tänker i oss en annan obseratör (Bertil) som rör sig med hastigheten inkelrätt mot staens längdriktning (åt änster). Han uppfattar då att staen rör sig till höger med hastigheten (se figur). Bertil ser att ljuspulserna studsar fram oh tillbaka mellan speglarna med hastigheten, enl. Einsteins postulat, äen om han själ rör sig. Men dessutom ser han att hela staen rör sig. Enligt honom, är sträkan som ljuspulserna färdas längre än staens längd L eftersom ljuspulsen äen rör sig åt höger. Därmed kommer Bertil att tyka att ljuspulserna tar längre tid på sig att fullborda en hel period,.lltså, enligt honom kommer tiken glesare än för en obseratör i ila (lbert).

16 Sträkan som pulsen tillryggalägger mellan läge (1) oh () i figuren är alltså (Pythagoras sats): = + L (1.4) Med lite algebra får i fram att: L / = (1.5) 1 Men eftersom L/ = ser i att de tå tiderna förhåller sig till arandra såsom: = (1.6) 1 Detta kallas tidsdilatation: En kloka i rörelse tikar långsammare än en likadan kloka i ila. Om tidsinterallet mellan tå tik i klokans ilosystem är 0, så ät motsarande tidsinterall för en obseratör som rör sig med hastigheten i förhållande till klokan:

17 = 0 1 (1.7) Det kan tykas paradoxalt: tå obseratörer i relati rörelse anser att den andras kloka tikar långsammare. Detta är dok kopplat till det faktum att de inte har en gemensam samtidighetsuppfattning. Det iktiga är att båda obseratörerna är lika goda referenssystem oh alltså uppfattar fysiklagarna på exakt samma sätt. I synnerhet gäller kausalitetsprinipen för alla obseratörer: ingen signal kan fortpantas snabbare än ljushastigheten. En direkt följd är att om det finns en kedja a händelser som utlöser arandra så är obseratörerna öerens om den korrekta tidsordningen. (Ingen obseratör kommer att tyka att Bertils födelse föregår sina föräldrars...). Längdkontraktion En annan följd a Einsteins postulat är att olika obseratörer i rörelse kommer att uppfatta längder olika: båda tyker att den andres linjal är för kort, detta kallas för längdkontraktion. För att set hur denna effekt kommer till återänder i exemplet där i tog fram uttryket för samtidighetsuppfattning.

18 BB1 oh B är tå obseratörer i ila på aståndet L ifrån arandra, deras klokor är synkroniserade (isar samma tid samtidigt). En annan obseratör (lbert) rör sig med hastigheten i förhållande till B 1 oh B oh far förbi först B 1 oh sedan B, enligt figuren. BB1 oh B mäter tiden det tar för lbert att tillryggalägga sträkan mellan de tå: B L = (1.8) lberts kloka går enligt dem långsamt oh har endast hunnit tika tiden. Om i anänder oss a tidsdilatationsekationen får i fram hur myket mer tid BB1 oh B uppfattar jämfört med lberts ilosystem: Men ad är det som lbert tyker då? B = 1 Jo, han uppfattar det naturligtis som att hans uppmätta tid sara mot tiden som det tar för B 1 oh B att fara förbi honom, giet deras inbördes astånd: (1.9) L = (1.10) Men slutsatsen bör då ara att de inte uppfattar astånden lika, ds L LB, istället får i genom att sätta in (1.8) oh (1.10) i ekation (1.9) att: L = L 1 Vilket då leder till uttryket för längdkontraktion: (1.11) L = L 1 (1.1)

19 Slutsats: lbert tyker att aståndet mellan B 1 oh B är kortare än aståndet L de själa mäter. Följaktigen: En linjal som rör sig i sin egen längdriktning är kortare än samma linjal i ila. Om längden i dess eget ilosystem är L 0, så är längden för en förbipasserande obseratör med hastighet/en : L' = L0 1 Obserera dok att detta gäller endast för längder parallella med hastighetsriktningen, oh påerkar inte längder inkelräta mot färdriktningen!

20 ddition a hastigheter Vi har nu konstaterat att Einsteins postulat leder till en att i inte alltid kan följa år intuition när det gäller hur obseratörer uppfattar rum-tiden. Det är därför inte förånande att i inte kan anta att s.k galilleiska transformationer som i anände oss a i ek. (1.1) gäller inom relatiitetsteorin. Inom den klassiska mekaniken adderar i hastigheter med anlig ektoraddition: = + 3 1, (1.13) Där t.ex 3 skulle kunna ara den resulterande hastigheten som t.ex. en boll har gentemot en obseratör i ila om den skikas med hastigheten 1 relatit ett tåg som i sin tur färdas med hastigheten. tt detta inte kan hålla inom ramen för Einsteins postulat inser i direkt om i byter ut bollen mot en ljuspuls. Då et i att alla obseratörer uppfattar ljuspulsens hastighet lika, oasett källans hastighet. Låt oss först påminna oss om de 3 regler som i härlett utifrån Einsteins postulat: 1. Relati samtidighet: En obseratör som rör sig med hastigheten i förhållande till tå synkroniserade klokor på aståndet L från arandra i deras eget ilosystem, uppfattar att den bakre klokan isar en tid = L/ mer än den främre.. idsdilatation:en kloka i rörelse tikar mer sällan än en likadan kloka i ila. Om tidsinterallet mellan tå tik i klokans ilosystem är 0, så är motsarande tidsinterall för en förbipasserande obseratör med hastigheten : 0 = =γ 0 1 I sista ledet införde i definitionen på Lorentz gammafaktorn: γ = 1 1 (1.14)

21 3. Längdkontraktion: en linjal som rör sig i sin egen längdriktining är kortare än samma linjal i ila. Om dess ilolängd är, så är dess längd för en förbipasserande obseratör med hastigheten : L 0 L0 L = L0 1 = γ För att förstå hur i ska resonera äljer i följande exempel. Vi tänker oss en kapplöpning mellan tå obseratörer oh B. Banans ilolängd är L 0. B Enligt banans egen kloka får oh B tiderna: 0, 0 när de går i mål. oh B tyker dok inte att banans klokor id start oh mål är synkroniserade. (lbert) anser att den bakre klokan, ds klokan id målet ligger tiden L 0 före klokan id starten (regel 1), alltså tyker han att tiden som måltalan B tikat fram när B korsar mållinjen är kortare, nämligen 0 L0 (se figur nedan). Den tid som mäter på sin egen kloka (när B går i mål) är längre enligt tidsdilatationsregeln (regel ): B B 0 L0 = (1.15) 1 Detta är alltså tiden som det tar för B att springa igenom banan, enligt obseratör.

22 L 0 / t B Samtidghetslinje för start δ δ 0 B mål L 0 / x/ Vad är aståndet mellan oh B när B går i mål? Enligt regel 3 uppfattar s banans längd till: L = L0 1 När B går öer mållinjen har hunnit sträkan öer mållinjen är aståndet mellan oh B: (1.17) B. Eftersom B har preis gått B B B = = 0 1 L L L (1.18) V ad är då relatia hastigheten mellan oh B? mäter Bs relatia hastighet till sig själ genom att dela sträkskillnaden mellan oh B med tiden som gått: B L0 1 B L = = B L B (1.19) Multipliera täljare oh nämnare med rotutryket:

23 B L0 1 = L B 0 0 B Diidera täljare oh nämnare med 0 B L 0 1 B 0 = 1 L B 0 0 (1.0) Nu ser i emellertid att hastigheten mellan banan oh B är B L = (1.1) 0 B 0 Vilket insatt i ekation (1.0) ger: B B B B = = 1 B 1 B (1.) Vilket kan slutligen förenklas till: B B = (1.3) 1 B Detta är alltså relatia hastigheten mellan oh B då de rör sig åt samma håll i förhållande till en stillastående obseratör med hastigheterna oh B. B Vi ser alltså att den Galileiska förutsägelsen, B = B, inte håller för stora hastigheter, ds när farten är jämförbar med ljusets hastighet,. Å andra sidan för låga hastigheter återfår i det bekanta uttryket. B Vad händer om de rör sig i motsatta riktningar? Generellt gäller det att additionen a hastigheter ( = ) + = (1.4)

24 Skillnaden mot (1.3) är att i nu betraktar en summa a hastigheter istället för exemplet där i faktiskt ar ute efter en hastighetsskillnad mellan obseratörerna (lbert) oh B(ertil). Låt oss nu testa om uttryket oan är konsistent med Einsteins postulat om att alla obseratörer mäter samma ljushastighet, oberoende a sin egen eller ljuskällans rörelse. Låt oss säga att Bertil rör sig med hastigheten B relatit (lbert) oh skikar ut en ljuspuls längs med sin egen rörelse. Vad mäter då lbert för hastigheten på ljuspulsen? Enligt (1.4) får i: Vi får det föräntade saret! B + 1 B + = = = (1.5) 1 B + B + 1 Exempel: tå raketer oh B flyger från ar sitt håll mot jorden med farten = 0.9i förhållande till jorden. Hur stor är Bs hastighet i förhållande till B? Sar: i anänder oss a uttryket i ekation (1.4) oh finner: B = = Vi ser att saret är alltså inte större än!

25 Dopplereffekten Vi är alla bekanta med Dopplereffekten som uppstår när t.ex en ambulans kör mot eller ifrån oss. I det senare fallet hör i att frekensen är lägre än sirenen i ila. Samma fenomen uppstår med ljusågor. Figuren nedan isar ärldslinjen för en obseratör B som rör sig med hastigheten i förhållande till en (i ila). B skikar ut ljuspulser (antiparallellt med sin egen färdriktning, bakåt) med jämna mellanrum. idsinterallet mellan pulserna i Bs ilosystem är 0. P.g.a. tidsdilatation (regel ) sarar denna tid mot = γ 0 i (lberts) referenssystem. Vi antar att första pulsen skikas när B far förbi. Nästa puls skikas när B befinner sig på aståndet d = = γ 0 från (enl. (lberts) referenssystem, se figur.) Den sammanlagda tiden mellan ankomsten a första oh andra pulsen blir således: γ 0 = γ0 + = γ0 1 + (1.6) Om i sätter in definitionen på gammafaktorn: 1 1 γ = = Får i slutligen fram uttryket för perioden som mottagaren uppfattar: (1.7) = (1.8) Eller uttrykt i hur frekensen f = 1 uppfattas a en obseratör i ila när signalen skikas från en källa som rör sig ifrån honom med hastigheten + : f γ ifrån 0 f = = f0 (1.9)

26 Vi ser omedelbart att frekensen blir lägre, i enlighet med ad i föräntar oss från åra erfarenheter med t.ex. en ambulans. Om källan istället rör sig mot obseratören så byter man teken på i ekation (1.9). t B 45 γ 0 γ 0 / 0 x/ Notera att det äen uppstår en iss Dopplereffekt om signalen är inkelrät mot källans rörelseriktning. Varför då? Jo, det är fortfarande så att tidsdilatationen uppfattas a obseratör. Då blir den uppmätta frekensen: f f0 = = f0 1 Detta förekommer inte i klassisk fysik! γ (1.30) Exempel: en astronaut rör sig med 0.5 relatit jorden oh har en puls på 60 slag/minut, signalerna skikas till jorden. Vilken frekens mäter man på jorden om raketen rör sig a) ifrån jorden b) mot jorden ) inkelrät mot jorden? Sar: a) Från ekation (1.9) ser i att

27 f ifrån = f0 = 60 ~ 35slag/minut b) Vi byter teken på : 1+ mot f = f0 = 60 ~ 104slag/minut ) Gammafaktorn är γ = = = f0 60 ger f = = ~ 5 slag/min γ ilket insatt i ekation (1.30) Vi kommer ibland att prata om Dopplerskiftet i termer a åglängder. Eftersom λ = = inser i att från ek. (1.6) att: f λ = = γ 1+ λ0 0 (1.31) Den relatia åglängdsskillnaden blir då Δλ λ λ0 λ 1 γ 1 = = = + 1 (1.3) λ λ λ 0 0 För, blir gammafaktorn nära ett ( γ 1) oh i får Δλ (1.33) λ Vi återkommer till detta resultat senare i kursen! Pythagoras sats i rumtiden Låt oss ta en närmare titt på figuren i föregående sidan: Hypotenusan i rumtiden ges inte a den anliga Pythagoras stas i ett rumsdiagram, istället gäller det att rumtidssträkan ges a: 0 Δ s =Δt Δ x Vi kollar!

28 ( γ ) γ 0 0 = γ 0 1 = 0 1 γ

29 Rörelsemängd oh Energi å a fysikens iktigaste lagar gäller bearandet a energi oh rörelsemängd. Klassiskt, ges rörelselmängden a produkten a massan oh hastigheten: p = m (1.34) D..s., px = m py = m pz = m Utidgningen till en relatiistisk kinematik ges a: x y z (1.35) p = γ m (1.36) Förändringen ser till att bearas, äen när den galileiska hastighetsadditionen är bruten, d..s. p 3 = p 1+ p, trots att Vi ser att för låga hastigheter γ 1 oh i får automatiskt den Newtonska formeln. p Från oh med nu förenklar i noteringarna till att bara handla om rörelse i en 1 dimension (d..s. i skippar y oh z axlarna!). I Newtons mekanik hade i lärt oss att: d d dp F ma m m dt dt dt = = = ( ) = (1.37) Kinetiska energin som tillförs ett objekt som flyttas sträkan F ges a formeln för arbetet: ds med kraften b b b b dp dp K = Fds = ds = dt = dp dt dt (1.38) a a a a Integranden kan skrias som: Därför blir kinetiska energin: dp = d( p) pd (1.39) = [ b b ] a (1.40) a K p pd

30 Om i nu sätter in uttryket för den relatiistiska rörelsemängden från (1.36) oh förenklar uttryket genom att älja punkten a så att objektet är i ila där, a ( ) = 0, oh sedan har hastigheten id punkt b får i: K mudu 0 u m = 1 1 (1.41) Integralen i HL har lösningen: mudu = m u m (1.4) Vilket ger oss: ( ) m K = + m 1 m 1 m 1 + = m 1 m = m 1 (1.43) Slutligen ser i då att kinetiska energin ges a: K = γ m m (1.44) Einsteins förklaring för detta är att E0 = m (1.45) är iloenergin a en kropp med massan m, kinetiska energin är därför skillnaden mellan totala energin E oh iloenergin, d..s.: E 0 E = γ m (1.46)

31 Einstein påpekar alltså att det finns en energi assoierad med en massa. I Kosmologi kommer i således att behandla alla sorters energi på samma sätt, d..s. både energin assoierad med massan a stjärnor, gas, partiklar mm oh t.ex. strålning. Det finns ytterliggare en relation som för relatiistisk energi som i bör känna till. Ekation (1.46) kan skrias om som: E = γ m γ m + γ m 4 = γ m 1 + p 4 = m + p 4 (1.47) Den totala relatiistiska energin inkluderar både iloenergi oh kinetisk energi oh kan beskrias med formeln 4 E = m + p (1.48) Ett speialfall gäller då för elektromagnetiskstrålning som ju utgörs a (till synes) masslösa fotoner. Fotonernas energi ges då a deras rörelsemängd x ljushastigheten. Från kantmekaniken et i okså att fotonernas energi ges a deras sängningsfrekens f gånger Planks konstant, h : Es = p= hf (1.49) Frekensen oh åglängden är dessutom relaterade enligt λ f =. Exempel: På CERN bygger man just nu LHC-aeleratorn som ska få protoner 1 9 med 8 10 ev att kollidera med arandra. Protonens massa är 10 ev. Beräkna a) Gamma faktorn, b) Protonernas Kinetiska energi ) Hastighet i förhållande till laboratoriessystemet. Sar: 1 E 810 a) γ = = = m 10 9 b) E = E m = ( ) 10 = 7999 GeV kin

32 γ = ) = 1 γ ; 1 = 1 = 0, Exempel: solen strålar Watt oh äger konstant, ad är solens listid? Sar: solens iloenergi är ( ) E = = 6 P J = sekunder ~ år kg. Om strålningen ore E = =. Lislängden ges a Vad är det som är fundament annorlunda mellan Einsteins synsätt oh Newtons klassiska fysik? Vi har sett att i Einsteins ärldsbild kan man inte koppla loss de 3 rumsdimensionerna från tiden den fjärde dimensionen. Matematiskt betyder detta att i ill byta ut ektorerna i ekation (1.13) mot fyrektorer, d..s. ektorer med 4 dimensioner: x,y,z oh t, där produkten a oh t är ald så att alla fyra koordinater har samma dimensioner, d..s. längd.

33 llmänna Relatiitetsteorin Utidgningen a relatiitetsteorin till att okså inkludera aelererande system oh system som påerkas a graitationskraften kallade Einstein för llmänna Relatiitetsteorin (R). Från SR lärde i oss att alla inertiala referenssytem är likärdiga. Som anligt utgik Einstein från enkla tankeexperiment oh postulat som leder fram till oäntade resultat. Ekialensprinipen ntag att i befinner oss ombord på en fönsterlös rymdraket, långt bort från alla graitationskällor (planeter, stjärnor, et). änk nu att raketen aelererar uppåt med konstant aeleration a = g (jordens tyngdaeleration id ytan) Fråga: är det ngn skillnad mellan aelererande raketen oh att stå stilla id jordens yta? Sar: i gör ett experiment för att kolla! ntag att i släpper en boll inne i raketen. Eftersom raketens gol aelererar uppåt, skulle bollen träffa golet efter exakt lika lång tid som om experimentet uppfördes på jordens yta (i bortser ifrån luftfriktion!) Detta tankeexperiment säger oss att det inte är ngn skillnad på dessa tå situationer beror på att Newtons tyngdlag inte gör någon skillnad på trög massa oh graitationell massa, d..s. det är samma m som ingår i Newtons andra lag F = ma i oh tyngdkraften F = mg g, d..s. m= mi = mg. Ekialensprinipen: Ingenting skiljer likformig aeleration från likformigt tyngdkraftfält Det är ingalunda själklart att den massa som gör motstånd för aeleration är samma kantitet som tyngdkraften beror på. Einsteins ide med R ar att tolka denna relation.

34 illbaks till raketen... säg att raketen säar på en fix höjd öer jordytan. Plötsligt, stoppas motorerna oh raketen faller fritt mot marken. Enligt ekialensprinipen kommer allting inne i raketen att aelerera med preis samma aeleration ( a = g), d..s. ingenting i inne i raketen rör sig i förhållande till någonting annat inne i raketen! lltså är situationen helt identisk med hur det är UN graitationskraft! änk, t.ex. på de iktlösa astronauter i fritt fall i en bana runt jorden. Starka ekialensprinipen (SEP): experiment som görs i fritt fall ger resultat som är kompatibla med Speiella Relatiitetsteorin. Konsekens 1). Graitationell rödförskjutning. Betrakta raketen oanför jordytan igen. Vid tiden t=0 låter man denna falla fritt från ila (=0) En ljusstråle med åglängden λe skikas från raketens gol mot taket samtidigt som raketen börjar falla fritt. Vi söker åglängden a strålen när den kommer fram till taket λ f, såsom den uppfattas a en obseratör i jordens referenssystem ( i ila).

35 Enligt SEP: Ljusets hastighet i fallande raketen är Obseratören inne i raketen uppfattar att λe = λ f När strålen träffar taket, har denna färdats tiden t = h. Obseratören i ila (relatit jorden) ser att raketen rör sig nedåt gh med hastigheten = gt = (<<), när strålen når raketens tak. lltså, ser denna att åglängden på signalerna från raketen är Δλ gh Dopplerskiftade med (se ekation (1.33)) = (obs, i λ anände oss a approximationen för ). Rent fysikt, är situationen identisk med om man skikar upp en stråle ifrån botten a Kaknästornet, upp till dess topp (se figur). Raketen har faktiskt ingenting med saken att göra! Strålen måste i båda fallen klättra upp för potentialgropen. Δ = gδh Eftersom tiden är proportionell mot åglängden ( λ = = ; se figuren oan) ser f man att klokan går långsammare i källaren: t 0 < t f (!). Detta bekräftades experimentellt på 60-talet a Pound & Rebke med ett.6 meter högt torn: Δ gδh =, ilket sarar mot , eller a 1 sekund på 100 miljarder år!!!

36 Generellt: klokan tikar långsammare ju större graitationsfält: fritt 0 0 = = GM rs 1 1 r r Där r S kallas Shwarzshildradien. Sarta hål är ett extremfall: deras radie uppfyller r rs LJUSE KN INE KOMM U PÅ ÄNDLIG ID! Konsekens ) aböjning a ljuset änk igen på raketen i fritt fall. En stråle skikas horisontellt inne i raketen. En obseratör på jorden ser raketen falla oh därmed hamnar strålen i bortre plattan längre ner än id starten! Böjda banan som ljuset följer kallas för en geodet. I R tolkas detta resultat som en följd a rum-tidens krökning.

37 Exempel: GPS (Global Positioning System) GPS systemet bygger på att man kombinerar klokor id olika satelliter kring jorden. Klokorna från satelliterna kombineras för att bestämma positionen på jordytan. Vi gör en förenkling: under (korta) tiden som det tar för signalen att ta sig från satelliten till marken behandlar i jorden som stillastående oh därmed inertialobseratör. Dessa klokor påerkas a tå relatiistiska effekter: 1) idsdilatation (SR) : I ΔI 1 1 = γ 0 = 1 0 1

38 GMm m GM = = ( R+ h) R + h R+ h ntag att GPS satelliter har omloppsbana på 1 timmar: Insättning oan ger: π ( R + h) = πgm = 3.9 km/s oh R + h=.7 10 km, ds a 4. R Δ I 10 Vi får då att ill detta bör man dessutom ta hänsyn till Dopplereffekten som ju beror på riktningen mellan satellitens rörelseriktning oh signalen: Δ ˆ I r = γ rˆ γ + = os ( α) Vidare måste man ta hänsyn till skillnaden i samtidighet: L π ( R + h) Δ = ( ) 6 sek ) Graitationell rödförskjutning (R): Δ Δφ GM 1 1 GM 1 1 GM = 10 = = R+ h R 4.r r r 0 10 Graitationella effekten är ärre än tidsdilatationen! lla effekter måste korrigeras för!

39 Rum-tidens krökning För att förstå mera om krökning betraktar i en tå-dimensionell analogi: Platt rum-tid/euklidisk geometri: summan a inklarna i en triangel är 180 grader, kortaste sträkan mellan tå punkter är en rät linje. änk nu stället att i ritar en triangel på ett klot, se figuren nedan. Detta sara mot en positi krökning, d..s. summan a inklarna i triangeln är större än 180 grader. Det finns äen negati krökning, där summan a inklarna i triangeln är mindre än 180 grader. Ett exempel på detta är en sadelyta (se figuren nedan)

40 ståndsmätning i krökt rum (ÖVERKURS) Låt oss undersöka astånden som mäts i en yta med positi krökning. Vi betraktar -dimensionella exemplet: en sfär med radie a. Säg att i börjar på nordpolen oh förflyttar oss inkeln θ längs en meridian ( dφ = 0 ), se figuren nedan. Sträkan s som i förflyttar är: Om man differenierar finner man: s a θ a arsin r = = a ds r = dr r 1 a (1.50) (1.51) Låt oss nu säga att i fortsätter år andring genom att hålla en kurs sådan att r är fixt, men rör oss i φ led. Då blir nästa sträka ds = r dφ (1.5) φ Preis som i Euklidisk geometri, ges totala sträkan a summan a kadraterna på de ortogonala koordinaterna (jfr Pythagoras sats):

41 ds dr = + r dφ r 1 a (1.53) Krökningen på en yta definieras matematiskt som: 3 π s K = lim s 0 3 π s Där = π r. Med hjälp a figuren ser i att för sfären gäller; 3 s= a θ s s = πa sinθ πa r = a sinθ a 6a (1.54) Där uttryket i parentesen är ayloruteklingen a en sinusfunktion. Insättning i ekation (1.54) ger således: s πs πs a K lim 1 s 0 3 = (1.55) π s a Om i sätter in detta resulat för K i ek.(1.53) samtidigt som i inför dimensionslösa ariabler: r r = ; k = Ka (1.56) a Kommer i fram till uttryket för att mäta astånd för godtyklig krökning. Detta kallas för metriken oh skris: dr ds a r d 1 kr = + φ (1.57) Generaliseringen till 4 dimensioner (3 rumsliga + tiden) kallas Robertson- Walker metriken: dr ds = dt a () t + r dω 1, (1.58) kr dω = dφ + sin φdθ. Där k = 0 platt geometri k > 0 positi krökning k < 0 negati krökning En a de stora målen inom kosmologin är att mäta uniersums geometri. Vi återkommer till detta i nästa asnitt!