Relativitetsteori, introduktion

Transkript

1 Relativitetsteori, introduktion En av bristerna med den klassiska fysiken är att alla observatörer antas ha samma tidsuppfattning, oavsett sin egen rörelse. Einstein kunde visa att så inte kunde vara fallet. Ytterliggare ett problem med Newtons fysik är att den inte tar hänsyn till att det tar tid för växelverkan mellan kroppar att ske, d.v.s. i Newtons värld så känner av alla kroppar varandra momentant, oavsett hur långt ifrån varandra de är. I vardagliga situationer är detta inget stort problem, eftersom hastigheterna är låga (i förhållande till ljushastigheten), avstånden är relativt små, och gravitationskraften som vi ju ständigt påverkas av är relativt liten. Men om man till exempel tänker på radioaktivt sönderfall där partiklar produceras med hastigheter när ljusets, eller vad som händer i gravitationsfältet omkring en kompakt stjärna, så kan man föreställa sig att den klassiska fysiken inte är tillräckligt precis för att beskriva fysikaliska händelser Relativitetsteorin råder bot på dessa brister genom att, först och främst, införa koordinater som inkluderar både rummet (x,y,z) och tiden (t), s.k. rumtidskoordinater. Vidare indelas relativitetsteorin i två olika fall: Speciella Relativitetsteori (1905) och Allmänna Relativitetsteorin (1916). Speciella Relativitetsteorin (SR): gäller för observatörer som inte accelererar eller påverkas av krafter, sk intertialsystem. Allmänna Relativitetsteorin (AR): innefattar även accelererande system och system som påverkas av gravitationskraften. I denna kurs kommer vi att lära oss grunderna av SR, bli bekanta med vad AR går ut på samt att lära oss hur dessa verktyg kan hjälpa oss att förstå universums historia.

2 Referenssystem Varje gång vi gör ett experiment eller en observation behöver vi ett koordinatsystem för att beskriva utgången. T.ex om vi mäter hastigheten på en bil så menar vi hastigheten i förhållande till vägbanan. Om vi kastar upp en sten i luften och mäter hur högt den kommer så avser vi en höjd h ifrån marken, osv. Man kan också tänka sig att själva referenssystemet (koordinatsystemet) rör sig. T.ex kan vi vara intresserade av relativa hastigheten till framförvarande bil när vi själva sitter i en bil som rör sig. Ett referenssystem som inte accelererar kallas inertialsystem. M.a.o. inertialsystem är antingen stillastående eller rör sig med konstant hastighet. I mekanikkursen har vi lärt oss att Newtons lagar gäller i ett inertialsystem. Newtons 1:a lag: En kropp som inte påverkas av krafter rör sig med konstant hastighet, d.v.s. den kan inte accelerera. I vägens referenssystem står trädet stilla medan bilen rör sig med hastigheten +v I bilens referenssystem rör sig trädet med hastigheten v

3 Båda referenssystem är inertiala och observatörerna ser att trädet inte accelererar, Alltså kan ingen (netto-)kraft påverka trädet (enl Newtons I:a) MEN: Om bilen istället accelererar, skulle en observatör i bilen se att trädet accelererar ifrån henne, trots att inga krafter på verkar trädet (till synes i motsats till Newtons lagar). I ett accelererande referenssystem gäller inte Newtons fysiklagar.

4 Speciella Relativitetsteorins grundantaganden Einsteins speciella relativitetsteorin bygger på endast två postulat (antaganden): 1. Relativitetsprincipen: alla inertialsystem är likvärdiga koordinatsystem, d.v.s. de uppfattar naturlagarna på precis samma sätt Alla observatörer mäter samma ljushastighet i vakuum, c = 310 m/s, oberoende av deras eller ljuskällans hastighet. Medan (1) är konsistent med vad vi vant vid oss sedan tidigare, kan postulat (2) tyckas strida mot vår vanliga intuition. T.ex om vi betraktar en vanlig situation, säg en boll som faller rakt nedåt från taket i ett rullande tåg

5 Alltså: observatören i vila m.a.p spåret uppfattar bollens hastighet som summan av källans hastighet och bollens hastighet i förhållande till källan: v = v + v (1.1) boll tåg boll Postulat (2) säger ju att detta gäller inte gäller för ljus(!): ljusets hastighet i vakuum är alltid densamma, dvs oberoende av observatör. Senare ska vi också se att postulat (1) och (2) innebär att addition av hastighetsvektorer i SR inte ser ut som i ekvation (1.1) (s.k. Galileiska transgformationer). Postulat (2) visades experimentellt redan år 1887 av Michelson & Morley med ett experiment enligt nedan. Ljuspulser delades upp i två riktningar, säg vinkelrätt och parallellt med jordens rotationshastighet. Efter reflektion mot speglar möts igen i en detektor som registrerar om ljuset kommer fram samtidigt. Den allmänna uppfattning då var att ljusvågorna fortplantades i en s.k. eter. Beroende på källans rörelse i förhållande till etern skulle man då få olika ankomsttider i detektorn (interferometer). Experimentet visade att det inte var ngn skillnad på tiden det tog för ljuset att nå detektorn, oberoende av källans rörelserikting.

6 Den ultima fartgränsen: ljushastigheten c De två postulaten ovan leder till att inget kan röra sig snabbare än ljushastigheten c. Varför? I figuren nedan, en ljuspuls skickas iväg från flygplanet som rör sig med farten v i förhållande till en observatör på marken. Antag att flygplanet kunde röra sig snabbare än ljushastigheten v> c. Enligt postulat (1) kommer både piloten ombord på planet och observatören på marken att uppfatta att ljuspulsen rör sig framför planet, ty det båda observatörer utgör inertialsystem och det finns inga krafter som kan få strålen att vända. Observatören på marken kan mäta planets hastighet och skulle då finna att det rör sig med v> c. Men isåfall måste ljuspulsen också röra sig snabbare än rör sig snabbare än planet. c eftersom den ju Men detta är i motsats till postulat (2). Alltså kan inte planet (eller ngt annat röra sig snabbare än ljuset!

7 Rumtidsdiagram För att vidare undersöka konsekvenserna av Einsteins postulat ska vi använda oss av ett hjälpmedel, rumtidsdiagrammet. Längs den vertikala axeln avsätter vi tiden, medan den horisontella x-axeln får representera rummets tre dimensioner. En händelse representeras i diagrammet av en punkt i rumtiden. En observatör eller ett föremål som existerar under ett helt tidsintervall mostvaras i diagrammet av en världslinje. En vertikal världslinje svarar alltså mot ett objekt som är stillastående på någon x-koordinat hela tiden. Om föremålet rör sig så lutar världslinjen: ju snabbare desto mera horisontellt. Vi har konstaterat att inget kan röra sig snabbare än ljuset, alltså utgör en ljuspuls gränsen för hur mycket en världslinje för en signal kan luta. Vilken vinkel det svarar mot beror på vårt val av tid och rumsenheter. Enklast blir det om vi väljer att mäta tid i sekunder och sträckor i ljussekunder. En ljussekund är sträckan som ljuset färdas på 1 sekund ( meter). Med detta val, blir lutningen på världslinjen för en ljuspuls 45 grader. Alla andra världslinjer (v<c) lutar alltså mer i förhållande till x-axeln.

8 Vi inför några definitioner: Ljuslik världslinje: 45 graders linje Tidslik världslnje: ännu brantare Rumslik världslinje: mera horisontell än ljuslik värdslinje Exempel på världslinjer Nu betraktar vi följande situation, En observatör (A) skickar iväg två speglar åt varsitt håll, båda med farten v. En stund senare avfyrar han två fotoblixtar en i riktning mot vardera spegel. Ljuspulserna från fotoblixtarna (båda färdas med hastigheten c ) når samtidigt fram till speglarna, reflekteras och återvänder till observatör A.

9 Vi ritar nu rumtidsdiagrammet såsom observatör A uppfattar det. Nu tittar vi istället på hur en annan observatör, B, uppfattar situationen. B står på vagnen som rullar med spegel 1. Spegel 1 är m.a.o. i vila i förhållande till B. Vi tar och ritar varje objekt i figuren ovan, sett ifrån Bs referenssystem. Enligt B: Observatör A rör sig till höger med hastigheten v, spegeln 1 står stilla:

10 Hur rör sig då spegel 2 i förhållande till observatör B? Man vill gärna tro att den rör sig med hastigheten 2v i förhållande till B, då detta är det vanliga sättet att addera hastigheter i klassisk mekanik (sk Gallileiska transformationer). Vi kommer dock att se att denna regel måste modifieras när hastigheterna är extremt höga (nära c). För att komma fram till rörelsen för Spegel 2 börjar vi med att rita ljustrålarna från A i riktning mot spegel 1 och 2. Enligt Einsteins postulat färdas ljuspulsen med hastigheten c även i förhållande till observatör B. Detta innebär att ljuspulserna bildar 45 graders vinklar i förhållande till B (och spegel 1). Ljuspulserna utgår ifrån samma händelse i As världslinje. Likaså träffar de samma händelse i As världslinje efter reflektionen. Detta tillsammans med faktumet att ljustrålarna rör sig i 45 graders vinklar gör att vi kan rita hela händelseförloppet. Världslinjen för spegel 2 måste: börja röra sig ifrån spegel 1 vid samma tidpunkt som A gå igenom punkten där ljuspulsen vänder tillbaka

11 Vi ser att sett ifrån Bs perspektiv sker inte pulsreflektionerna samtidigt!, till skillnad från hur A uppfattar det hela. Slutsats: samtidighet är ett relativt begrepp(!) dvs, observatörsberoende. t A Spegel 1 Spegel 2 x/c t A Spegel 1 Spegel 2 δ Samtidigt enl. A Samtidigt enl. B δ x/c

12 Samtidighet I exemplet med ljusblixtarna såg vi att samtidighetsbegreppet är relativt. Detta innebär att olika observatörer mäter olika tider beroende på deras relativa rörelse. Närmast ska vi undersöka denna skillnad i tidsuppfattning. Från figuren ovan kan man generalisera sättet att få fram samtidighetsskillnaden mellan observatörer: samtidighetslinjen lutar lika mycket uppåt (nedåt) som världslinjen lutar åt höger (vänster). Låt oss då försöka att kvantifiera detta. Betrakta två stillastående observatörer, B 1 och B 2 på avståndet L från varandra (se figur). En tredje observatör, A, passerar B 1 i ett ögonblick p i riktning mot B 2 med farten v. BB1 och B 2 har samma tidsuppfattning. A uppfattar inte att B 1 och B 2 har samma tid. I själva verket uppfattar A att B 2 har levt tiden T längre än B 1 (se figur). Hur stort är T? Från figuren ser vi att s/ c = Δt T L/ c (1.2) Men eftersom s= v Δt, ser vi att v T v T c L/ c c = = L (1.3) 2

13 Slutsats: två observatörer som rör sig med hastigheten vi förhållande till varandra har samtidighetsuppfattningar 2 som skiljer sig med tiden T vl/ c =.

14 Exempel: om man flyger från Stockholm till Göteborg (400 km) med ca 1000 km/timmen (~280 m/s), så uppfattar man att Göteborgarnas klockor är vl T = = sföre dem i Stockholm! c (3 10 ) M.a.o. i de flesta vardagliga sammanhang spelar denna skillnad ingen roll.