Hur påverkar rymden och tiden varandra vid relativ rörelse?

Transkript

1 Hur påerkar rymden oh tiden arandra id relati rörelse? Einsteins tolkningar ar nya för sin tid, men de grundade sig delis på tidigare fysikers tankar. Galileo Galilei (564 64) framlade okså på sin tid en relatiitetsprinip. Vi tänker oss en obseratör som är inlåst i en farkost a någon typ, utan att fönster att se ut genom. Enligt Galileo kan obseratören inte agöra om farkosten befinner sig i ila eller i likformig rörelse. Inga fysikaliska experiment kan agöra rörelsetillståndet. Einstein inspirerades delis a denna prinip då han utarbetade sin relatiitetsteori/teorier. I det här asnittet skall i fördjupa resonemanget från föregående asnitt. Vi skall se att tid oh rymd påerkar arandra id relati rörelse. På bilderna ser i nu tå koordinatsystem, som rör sig likformigt i förhållande till arandra, men här kan i erkligen anse rörelsen ara relati. Herr A anser sig ara plaerad i ett inertialt koordinatsystem medan fru B seper förbi. Fru B anser preis tärtom att hon befinner sig i ett inertialt koordinatsystem, medan herr A passerar henne (åt andra hållet). Det är klart att ardera kan befinna sig i rörelse i förhållande till ett tredje koordinatsystem, men deras RELAIVA rörelse antas ara likformig oh ardera anser befinna sig i ett INERIAL koordinatsystem. Vi antar dessutom att rörelsen sker parallellt med respektie koordinatsystems x-axlar. Den klassiska transformationen mellan systemen kan uttrykas som x + t Y y Z z t Här tänker i oss en händelse i herr A:s koordinatsystem. Denna händelse har koordinaterna (X, Y, Z, ), där de tre första anger rumskoordinater eller s.k. spatiala koordinater, medan den fjärde koordinaten t är tidskoordinaten eller den temporala koordinaten. Detta är en

2 transformation som Galileo Galilei skulle ha aepterat. Händelsen har koordinaterna (X, Y, Z, ) i herr A:s koordinatsystem. Inom relatiitetsteorin fungerar inte detta. Vi behöer en transformation som är sådan att en ljussignal har samma hastighet i artdera koordinatsystemet. Det här betyder att om x t, måste äen X gälla. Vi ställer upp en allmän transformation a typen Ax + Bt Y y Z z Ct + Dx eller i förenklad form Ax + Bt Ct + Dx där A, B, C oh D antas ara funktioner a hastigheten. För att hitta en lösning på dessa fyra behöer i fyra olika fysikaliska relationer. Vi börjar med att anta att en kloka befinner sig i x 0 samt att den inte förflyttas inom detta koordinatsystem. Anta idare att klokan tikar fram tidsenheten τ. Herr A ser klokan i rörelse med hastigheten, ilket betyder att han ser klokan ange tiden γτ, där ( ) i antagit Ct + Dx oan får i då: γτ C τ + 0 (eftersom x 0) Detta betyder att C γ. γ /. Eftersom Vidare betyder klokans rörelse i förhållande till herr A att han ser den id koordinaten X i sitt koordinatsystem. Eftersom i ställt upp transformationen X Ax + Bt, får i: 0 + Bt (än en gång gäller x 0) Då är B γ t För att lösa ut A gör i nu det nya antagandet att klokan befinner sig i ila i herr A:s koordinatsystems origo (speiellt alltså id X 0). Fru B ser nu klokan röra sig änsterut med hastigheten. Då gäller x t. Vi substituerar detta i X Ax + Bt oh får 0 A ( t) + ( γ ) t ilket ger A γ Vi sammanfattar så här långt: γx + γt γt + Dx

3 Bara D återstår. Nu gör i de myket iktiga antagandena x t oh X, eftersom ljusets hastighet bör ara densamma i ardera koordinatsystemen ( x/t oh X/). Då kan i diidera: X γx + γt γt + Dt Om i löser ut D (proa!) får i: D γ Nu har i kommit fram till: γx + γt γt + γ x Detta är känt under namnet Lorentz-transformationen. Den inersa transformationen är nu (proa igen!) x γx γ t γ γ X Hendrik Antoon Lorentz (Holland, ) beräknade dessa transformationer år 904, alltså innan Einstein hade lagt fram sin speiella relatiitetsteori. Filosofin bakom Lorentz arbete ar ändå inte desamma som den Einstein publierade. Lorentz antog att det rörde sig om en erklig mekanisk effekt. Han tänkte sig att linjaler krymper oh klokor går långsammare i erkligheten. Einstein tolkade det hela som en skenbar effekt på grund a sårigheter med begreppet samtidighet. Det iktiga är att obserera följande: Både x oh t är beroende a såäl X som. Man kan inte beräkna ett ärde för x bara genom att manipulera med de spatiala koordinaterna. Samma gäller t. Rymd oh tid kopplas alltså ihop om i utgår från relatiitetsteorins kra på samma ärde för i alla inertiala koordinatsystem. Inom denna nya fysik talar man inte om tid oh rymd som separata absoluta begrepp, utan i stället om en fyrdimensionell rymdtid. Lorentz-transformationen kan utnyttjas för att härleda t.ex. längdkontraktionen. Anta att herr A ill mäta längden a ett föremål som ligger parallellt med X-axeln i hans koordinatsystem. Han kan då mäta koordinaterna för föremålets ändpunkter oh se hur långt dessa punkter ligger från arandra. Fru B kan göra samma sak. Hur uppfattar dessa tå längden? 3

4 Herr A anser längden ara L X X. Fru B mäter ändpunkterna koordinater, som i hennes koordinatsystem ligger id x oh x. Hon uppskattar därför längden som l x x. Enligt Lorentztransformationen gäller: x γx γ Då har i: x x γ ( X X ) γx γ ( γx γ ) Vi har alltså fått resultatet l γ L L. Fru B ser alltså ett sammanpressat föremål. Är föremålet erkligen sammanpressat? idigare antyddes att samtidighet spelar en roll i mätsituationen. Vi antar att herr A oh fru B kommer öerens om en mätproedur där man samtidigt mäter föremålets ändkoordinater. Speiellt iktigt är detta gietis om föremålet rör på sig! Hur detta tekniskt utförs spelar ingen roll. Man kan t.ex. fotografera föremålet framför en linjal eller fästa små lasrar id ändpunkterna oh programmera dessa att samtidigt skika ut ljussignaler till en detektor som mäter inklar oh astånd. Sårigheter dyker upp när man försöker sig på att definiera begreppet samtidighet. Vi skall se på ett tankeexperiment. På bilden ser i en tågagn. Vi antar att det är fråga om ett modernt tåg med hög hastighet. Vi låter tåget rör sig 30 km/h eller a 89 m/s. Vi antar idare att tågagnen är 30 m lång. Personen id banallen ser tå blixtar slå ner i agnens ändor preis samtidigt. Hur uppfattar passageraren i agnen situationen. Eftersom ljuset från blixten rör sig med ljusets hastighet 0, kommer passageraren att röra sig mot blixtnedslaget till höger på bilden oh från nedslaget till änster. Då rör han sig okså mot respektie ifrån de tå ljussignaler blixtarna ger uppho till. Vi skall tolka situationen utgående från Lorentztransformationerna. Personen id banallen mäter tiderna oh för nedslagen, men eftersom blixtarna slår ner samtidigt för denna obseratör, är oh tidsdifferensen 0. Hur uppfattas tidsdifferensen inne i agnen? 4

5 ransformationen innebär att γ t + γ x, ilket ger oss: γ t + γ x γt + γ x, där x oh x anger rumskoordinaterna för agnens ändpunkter (ur passagerarens syninkel). Eftersom 0 kan i skria om uttryket: γ t ( t t ) γ ( x x ) 0 γt + γ x γ x γ eller ( t ) ( x x ) l t Vi beräknar ( t t ) 8 ( 3,00 0 m/s), där l är agnens längd.,9 m/s l 30 m 3, ilket är den tid med ilken den högra signalen på bilden hinner före den änstra signalen. Det är fråga om en ytterst kort tid, men det iktigaste här är att signalerna inte kommer fram samtidigt. Begreppet samtidighet beror a relati rörelse. Skulle agnens hastighet öka, skulle detta bli mera märkbart. s 5