Rörelsemängd och energi

Transkript

1 Föreläsning 3: Rörelsemängd och energi Naturlagarna skall gälla i alla interial system. Bl.a. gäller att: Energi och rörelsemängd bevaras i all växelverkan mu p = Relativistisk rörelsemängd: 1 ( u c ) = γmu Där u är partikelns hastighetsvektor. Med u = βc fås p = mβγc d p Om vi utnyttjar att Newtons andra lag kan skrivas F = fås relativistiskt: dt d p d F = = ( γmu) Ur vilket vi kan beräkna accelerationen då F u: dt dt d mu 3/ u du F = = m( 1 u c ) u + ( 1 u c ) dt u c c dt 3/ ( 1 u c ) 1 ( ) du F a = = Extremfall: u = 0 ger a =F/m (Newton), u =c ger a = 0. dt m 3/ du ( ) = m( 1 u c ) dt 5A147, modern fysik, VT007, KTH

2 Relativistisk energi Om vi betraktar tillskott till kinetisk energi som utfört arbete för att accelerera från 0 till u kan dp vi integrera F dx, dvs dx från x 1 där u = 0 till x där u = u, mha substitution dx = udt dt och att (du/dt ) udt= udu E kin = m udu u 0 mc = 3/ [ 1 ( u c )] 1 ( u c ) Einstein: viloenergi E = mc Total relativistisk energi: E = γ mc = Ekin + mc mc Mha p = mβγc och lite räkning E = p c + m c 4 E kin = 1 mc ( ) u c mc För foton med massan 0: E = pc 5A147, modern fysik, VT007, KTH

3 Relativistisk energi (forts) Invarianta massan M ändras inte under Lorentz-transformationen (karakteriserar en partikel i form av vilomassa) M = E c p c I bevarad energi ingår summan av kinetisk energi och massenergi. Exempel: π + (partikel som består av upp-kvark och anti-ner-kvark) i vila sönderfaller: π + μ + + ν μ I labbet har μ + kinetiska energi mätts till 4,3 MeV, dess vilomassa är 105,66 MeV/c. Neutrinon kan betraktas som masslös. μ + : rörelsemängd ges ur p c = E m c 4 där E =E kin + mc = 4, ,66 MeV = 109,96 MeV ger p 30,37 MeV/c. ν μ : massan = 0. Rörelsemängden bevaras och då π + var i vila, dvs p=0 måste neutrinen ha p 30,37 MeV/c motsatt riktat μ + rörelsemängd. E ν =pc = 30,37 MeV. Invarianta massan: M = 1/c (( E) ( pc) ) ½ = 1/c ((109,96+30,37) 0) ½ 140 MeV/c ( ur tabell: 139,6 MeV/c ) 5A147, modern fysik, VT007, KTH

4 Rumstiden (ingår kursivt) Inför fyrdimensionell rumstid: (x, y, z, ct ) (Minkowski rummet) Betrakta två händelser E 1 och E med koordinater (x 1,t 1 ) och (x,t ) enligt figur. Inför begreppet rumstidsintervall som ( s) = (c t ) -( x) = (c(t -t 1 )) (x -x 1 ) Pss har vi i S systemet: ( s ) = (c t ) -( x ) = (c(t -t 1)) (x -x 1) men x =γ( x vt ) och t = γ(t - vx/c ) Efter insättning och omstuvning fås ( s ) = (c t ) -( x ) = ( s) För att en händelse skall kunna orsaka en annan måste: ( s) > 0 ( timelike ) s är invariant under Lorentz-transformationen Med ( s) = 0 gäller att c t = x ( lightlike ) 5A147, modern fysik, VT007, KTH

5 Rumstiden (forts) För att en händelse skall kunna orsaka en annan måste: ( s) > 0 ( timelike ) Med ( s) = 0 gäller att c t = x ( lightlike ) 5A147, modern fysik, VT007, KTH

6 För den intresserade (överkurs): Mha fyrvektorer kan nu Lorentztransformastionen skrivas på matrisform: För rörelsemängd och energi fås: 5A147, modern fysik, VT007, KTH

7 Allmänna relativitetsteorin mgm g Gravitation (från Newtonsk mekanik): Fg = G massa attraherande egenskap i gravitation r Samtidigt har vi massa som tröghetsegenskap mot förändring av hastighet: F = mi a G är vald så att m g och m i är lika. Einstein (1916) i allmänna relativitetsteorin. Samma naturlagar gäller för alla observatörer i vilket referenssystem som helst vare sig det är accelererande eller ej. I närheten av varje punkt är gravitationsfältet ekvivalent med ett accelererande referenssystem utan gravitationsfält. Gravitationen krökning av rumstiden. (a) och (d), gravitation (b) och (c), kraft, ingen gravitation (a) = (b) (c) = (d) 5A147, modern fysik, VT007, KTH

8 Gravitationens påverkan på ljus Ur E =mc och E = hf får vi att ljus har en effektiv tröghetsmassa m eff =hf/c (även om fotonen är masslös, dvs vilomassa=0) Ljus bör därför böjas av kring mobjekt med hög massa, t.ex. solen. Detta har observerats! Även gravitationella linser i form av utslocknade stjärnor i halon kring galaxer har observerats (MACHO = MAssive Compact Halo Object) (men inte i den omfattning att mängden av massa i halon kan förklaras. Kanske är WIMP =Weakly Interacting Massive Particle Förklaringen. Se sista föreläsningen) 5A147, modern fysik, VT007, KTH

9 Gravitationens påverkan på ljus (forts) Studera ljus från massiv stjärna. Vid ytan är ljusets frekvens f. Vad är frekvensen f på mycket stort avstånd? Använd energibetraktelse. Potentiella energin pga gravitationen på stjärnans yta vid radie R s (om =0 vid ) = -GMm/R s men m =hf /c. hf 0 = hf GM hf R s c f GM f 1 Rs c = Exempel: Stjärna med solens massa = 1, kg och jordens radie = 6, m Om GM /R s c > 1: Inget ljus kan slippa ut. Svart hål f f f GM = = = f f R = sc ( 6,67 10 Nm /kg )( 1,99 10 kg) 6 8 ( 6,37 10 m)( 3,00 10 / s ),31 10 Gör t.ex. att ljus med våglängd 300 nm skiftas till till 300,07 nm. Gravitationellt rödskift 31 5A147, modern fysik, VT007, KTH

10 Gravitationsvågor Allmänna relativitetsteorin tillåter en vågliknande till gravitationsfältet på motsvarande sätt som elektromagnetismen. Partikelekvivalent: gravitonen, masslös Problem: mycket svagare än elektromagnetisk växelverkan. Extremt svår att detektera. Indirekt bevis från pulsarer. Katastrofisk händelse t.ex. supernova skulle kunna ge detekterbar signal på jorden. Princip för detektion: stång expanderas i viss riktning och komprimeras i vinkelräta riktningen pga gravitationsvåg. Mätes med interferometer. VIRGO utanför Pisa 5A147, modern fysik, VT007, KTH

11 Virgo 5A147, modern fysik, VT007, KTH