Matematikens historia

Transkript

1 Matematikens historia Joel Eliasson Dowland, John ( ) What if I never speed

2

3 Renässansen ( ) Det råder lite olika bud om vilken tid denna epok omfattar. Detta beror på att man ser på den olika beroende på ur vilken synvinkel man ser på renässansen. Det som var viktigt ur en vetenskaplig synvinkel var att lärda män inte arbetade åt kyrkan i samma utsträckning som tidigare eftersom kyrkan fick mindre makt. Det medförde att vetenskapen utvecklades och detta ledde till en ny världsuppfattning. Förutom detta hade det blivit möjligt att trycka böcker (ca 1440) vilket innebar att det blev lättare att sprida kunskap. Inom matematiken utvecklades algebran mycket, dels i takt med att handel och ekonomi utvecklades i Europa. Den algebra som spreds i Europa kom ursprungligen från Islam. Dessutom ledde noggranna trigonometriska uträkningar inom astronomin till att även matematiken utvecklades.

4 Renässansen ( ) De tecken vi känner igen som + och - introducerades i Tyskland på 1400-talet men kom i bruk i Europa först hundra år senare under talet. Ett annat välkänt tecken =, likhetstecknet infördes först år 1557 av en man vid namn Recorde, Robert. Standardformen för att lösa andragradsekvationer introduceras. Den var presenterad i ord men var ekvivalent med hur den ser ut idag. Han som anses vara först med detta var en man vid namn Stifel, Michael. Under denna tid blir det också möjligt att lösa tredje och fjärdegradsekvationer.

5 Cardano, Gerolamo ( ) Cardano var en italiensk matematiker. Han publicerade en lösning av tredjegradsekvationer med reella koefficienter vilka kan skrivas på formeln Cardanos formel för att lösa denna typ av ekvation ser ut på följande sätt Den kallas Cardanos formel trots att det var något en annan matematiker vid namn Tartaglia kommit fram till och som Cardano kommit över i form av en dikt.

6 Cardano, Gerolamo ( ) Fjärdegradsekvationer lyckades han inte hitta någon generell lösning på men det gjorde däremot hans elev Lodovico Ferrari vilket gjorde att även lösning för fjärdegradsekvationer ingick i en formelsamling Cardano gav ut Metoden att lösa fjärdegradsekvationer gick ut på att skriva om denna för att få en tredjegradsekvation som gick att lösa enligt Cardanos formel.

7 Napier, John ( ) Napier var en skotsk matematiker och anses vara logaritmernas uppfinnare. Han gav mot slutet av sitt liv ut en förteckning över detta men beskrivningen för hans förteckning publicerades först 2 år efter hans död av Napiers son. Det började med att han studerade den geometriska följden och den aritmetiska följden Han upptäckte att dessa hade ett samband. Som vi känner till så ger en multiplikation mellan två tal och i den geometriska följden talet. På samma sätt genererar en division en subtraktion.

8 Napier, John ( ) Detta var väldigt användbart framförallt inom trigonometri som blivit allt besvärligare att räkna på. Han krånglade till det en aning och använde sig av en bas som var ungefär 1/e. Napiers tabeller skrevs sedan om med basen 10 av en man vid namn Briggs, Henry. Napier anses även vara den som introducerade det moderna sättet att notera decimaler. I den förteckning han gav ut beskrev han t.ex. att är samma sak som Detta medförde att det här sättet att se på decimaler spreds i Europa och blev det generella sättet att hantera decimaler. Detta trots att decimaler introducerades i Europa 400 år tidigare (Hindu- Arabiska decimalsystemet).

9 Kepler, Johannes ( ) Kepler var en tysk matematiker och astronom. Han kom genom mätningar fram att planeters banor inte cirkulerade i en cirkel som man tidigare trott utan planetbanorna var i form av en ellips. Han satte upp tre stycken lagar för detta Lag 1 Planeter rör sig i en ellips med solen i den ena brännpunkten

10 Kepler, Johannes ( ) Kepler var en tysk matematiker och astronom. Han kom genom mätningar fram att planeters banor inte cirkulerade i en cirkel som man tidigare trott utan planetbanorna var i form av en ellips. Han satte upp tre stycken lagar för detta Lag 2 Tiden det tar för planeten att röra sig från Q till P är den samma som tiden mellan en rörelse från R till T då arean SPQ är lika med arean SRT R T S P Q

11 Kepler, Johannes ( ) Kepler var en tysk matematiker och astronom. Han kom genom mätningar fram att planeters banor inte cirkulerade i en cirkel som man tidigare trott utan planetbanorna var i form av en ellips. Han satte upp tre stycken lagar för detta Lag 3 Ifall vi tar planetens omloppstid i kvadrat ( ) och dividerar med medelavståndet mellan planeten och solen i kubik ( )ger det oss en konstant (k )som är lika för alla planeter.

12 Det kartesiska koordinatsystemet Detta mycket användbara system har fått sitt namn från matematikern Descartes (Cartesius på latin) och skapade nya möjligheter att lösa problem. Descartes, Rene

13 Descartes, Rene ( ) Descartes var en fransk filosof och matematiker som bland annat blivit känd för uttrycket Jag tänker, alltså finns jag. Descartes normalmetod Descartes visar att en linje på en punkt i en kurva är en tangent om det går att bestämma en normal till linjen i den punkten.

14 Descartes, Rene ( ) För att bestämma normalen för denna tangent så räknas en såkallad subnormal ut vilket i bilden utgörs av MP. Han tänker sig därefter en cirkel som endast har en punkt C gemensam med kurvan och har sin medelpunkt i punkten P. Därefter ställer han upp en ekvation för denna cirkel

15 Descartes, Rene ( ) Genom att sedan sätta in funktionen y=f(x) i cirkelns ekvation kan sedan den gemensamma punkten tas fram genom att utnyttja att lösningen måste ha en dubbelrot eftersom cirkeln och kurvan endast möts i en punkt C. Subnormalen (MP) får vi sedan genom beräkningen w-x

16 Descartes, Rene ( ) Då vi räknat ut subnormalen kan vi jämföra de likformiga trianglarna MCP och MFC och kan dra slutsatsen att Detta gör att vi kan bestämma punkten F och därigenom även konstruera tangenten.

17 Fermat, Pierre ( ) Fermat var också från Frankrike och arbetade som jurist men spenderade mycket av sin tid åt att räkna matematik. Han studerade främst talteori och analys. Han har varit betydande i sannolikhetslära. Han har också gjort sig känd för sin lilla och stora sats vilka han inte skapade några bevis för. Dessa har dock bevisats av andra. Fermats lilla sats

18 Fermat, Pierre ( ) Fermat var också från Frankrike och arbetade som jurist men spenderade mycket av sin tid åt att räkna matematik. Han studerade främst talteori och analys. Han har varit betydande i sannolikhetslära. Han har också gjort sig känd för sin lilla och stora sats vilka han inte skapade några bevis för. Dessa har dock bevisats av andra. Fermats stora sats bortsett från då x,y eller z =0 Denna sats bevisades över 350 år senare (1995) av en brittisk matematiker vid namn Andrew Wiles.

19 Fermat, Pierre ( ) Förutom den lilla och den stora satsen presenterade han även två andra satser utan bevis. Varje primtal av formen 4n+1 kan på ett entydigt sätt skrivas som en summa av två heltalskvadranter. Detta bevisades senare av en matematiker vid namn Euler. Den andra satsen innebar att varje tal av formen skulle vara ett primtal. Detta visade sig vara felaktigt. Euler visade att talet var möjligt att dela med 641 och därför inte kunde vara ett primtal.

20 Fermat, Pierre ( ) Beräkning av arean under kurvan Intervallet [0,a] delas i oändligt många delintervall där E är ett positivt tal < 1 (dock mycket nära 1) vilket mynnar ut i formeln

21 Desargues, Girard ( ) Desargues var en fransk arkitekt och militäringenjör från Lyon. Han anses vara grundare till den projektiva geometrin vilket inte var något som var speciellt aktuellt för den här tiden men kom att bli betydande på 1800-talet. Desargues sats Om två trianglar ABC och A B C är så belägna att sammanbindningslinjerna mellan motsvarande hörn skär varandra i en punkt P, så ligger skärningspunkterna mellan motsvarande sidor på en rät linje L

22 Pascal, Blaise ( ) Pascal är ytterligare en fransk matematiker som liksom Fermat varit betydande för sannolikhetslära. Pascal konstruerade bland annat en räknemaskin som klarade addition och subtraktion, detta var han dock inte först med. Redan som sextonåring skrev han en sats som enbart den skulle ha gjort honom berömd.

23 Pascal, Blaise ( ) Pascals sats I en sexhörning, som är inskriven i en konisk sektion, skär motstående sidors förlängningar varandra i tre punkter, som ligger i en rät linje

24 Pascal, Blaise ( ) Pascals triangel (aritmetisk triangel)

25 Pascal, Blaise ( )

26 Newton, Isac ( ) Newton var en engelsk fysiker och skapare av den allmänna beskrivningen av tyngdlagen. Newtons gravitationslag G = Den universala gravitationskonstanten (6,6743 ± 0,0007) N m_/kg_ m = kroppens massa r = avstånd mellan kropparnas centrum

27 Newton, Isac ( ) Newton var en engelsk fysiker och skapare av den allmänna beskrivningen av tyngdlagen. Newtons fluxioner Något som varierar med tiden kallade Newton för fluent och hastigheten för den rörelsen kallade han för fluxion. Fluxionerna betecknas respektive

28 Newton, Isac ( ) Newton var en engelsk fysiker och skapare av den allmänna beskrivningen av tyngdlagen. Newtons fluxioner Förhållandet = tangentens riktningskoefficient.

29 Newton, Isac ( ) Här följer ett exempel på hur Newton använde sig utav detta. Han betraktar ett oändligt litet tidsintervall vilket kan beräknas som respektive Sedan använder han sig av detta i kurvans funktion. Vi antar att vi har

30 Leibniz, Gottfried Wilhelm ( ) Lebniz var aktiv i tyskland inom många områden. Han hade förutom matematiska kunskaper även kunskaper inom juridik, teologi, fysik, historia, geologi, logik och filosofi. Han konstruerade en räkneapparat som kunde utföra alla fyra räknesätten. Utan att känna till Newtons teorier gjorde han liknande beräkningar. Han skaffade en del kontakter i England när han presenterade sin räknemaskin för Royal Society (den engelska vetenskapsakademin). Genom dessa kontakter kom han i kontakt med Newton och de började brevväxla matematiska resultat.

31 Leibniz, Gottfried Wilhelm ( ) Leibniz differentialer Vi tänker oss att vi har sambandet Sedan tänker vi oss kurvan som sammansatt av oändligt små linjer. Dessa linjer mosvaras av mycket tätt liggande punkter. Differentialen dx motsvaras av differensen mellan två på varandra följande värden. På samma sätt får vi dy. Riktningskoefficienten får vi sedan genom

32 Källor Cajori, F (1991) History of mathematics Chelsea, Shelsea publishing company, ISBN Cooke, R (1997) The history of mathematics New York, John Wiley & Sons, ISBN Katz, V (1998) A history of mathematics Addison-Wesley educational publishers, Inc, ISBN Lund, J (2002) Från tangent till derivata Skebobruk, Almqvist&Wiksell tryckeri, ISBN Sjöberg, B (1996) Från Euklides till Hilbert Åbo, Åboakademins tryckeri, ISBN Internetkällor