Aritmetikens och algebras utveckling. Vladimir Tkatjev, MaI, LiU, ht2013
|
|
- Siv Sandström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Aritmetikens och algebras utveckling Vladimir Tkatjev, MaI, LiU, ht2013
2 Algebra och aritmetik Aritmetik: målet är själva räknesätt, dess utveckling och numerisk resultat. Ursprungligen ligger nära talteori. En ökänd myt att alla matematiker räknar bäst = = 600 Algebra: målet är algebraiska operationer och samband, inre algebraiska strukturer, bokstavsräkning = = 60 2 = 3600 a 2 b 2 = a b 2 Olika algebraiska strukturer, bl.a. linjär algebra, abstrakt algebra, kommutativ algebra, icke-associative algebra
3 Historisk översikt Islams största utbredning runt 850 e.kr. Särskilda drag och faktorer: Ca 600 e.kr.: decimala talsystem i Indien Ca e.kr.: arabisk matematik Papperstillverkningen Översatte matematiska verk från Indien och Grekland Kulturella centra: Samarkand, Bagdad och Cordoba al-khwarizmi ( ): Algebras uppkomst (al-jabr) Omar Khayyam ( ): kubiska ekvationer och geometrisk algebra Första europeiska universiteten (ca 1100 e.kr.): arabiska och grekiska källor översats till latin Leonardo av Pisa: boken om räknekonsten, Liber abaci (1202) Gutenbergs boktryckarkonsten (1440) Renässansen, ekvationer i Italien (1500-talet) François Viète: symbolisk algebra
4 Siffror Ordet siffra, صفر) as-sifr): ingenting, noll Arabiska och indiska siffror: ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९ Siffrornas evolution enligt J.E. Montuclas Histoire de la Mathematique (1753)
5 Muhammad ibn Musa al-khwarizmi ( ) Profeten Muhammed: söka lära även så långt som Kina! År 750 e.kr. blev Bagdad ny huvudstad i det islamiska riket och man byggde ett nytt Museion, Bayt-al-Hikma (Visdomens Hus) Den förstebibliotekariet blev persisk matematiker al-kwarizmi Han skrev flera matematiska böcker, bl.a. Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (vetenskapen om återförening och opposition). Algebra = al-jabr Trigonometriska tabeller Ordet algoritm kommer från al-khwarizmi
6 Muhammad ibn Musa al-khwarizmi ( ) Retorisk algebra: enbart algoritmens beskrivning, inga symboler Al-jabr: hur man för över termer från en sida av ekvationen till den andra, samt al-musqabalah, att olika termer på motsatta sidor i ekvationen tar ut varandra. al-khwarizmi gav lösning till olika ekvationer av första och andra grad, bl.a. ax = b, ax 2 = bx, ax 2 = c, även ax 2 + bx = c (6 typer totalt). x 2 (kvadraten), x (roten, ting), a (enheten) Exempel: al-jabr (föra över termer): 3x + 2 = x x = x al-musqabalah (förenkling) 3x = x x = x 2 + 2
7 Muhammad ibn Musa al-khwarizmi ( ) Grupparbete (BGJ, s. 281) Och någon frågar och säger: Jag delade tio i två delar, sedan multiplicerade jag en av dem med den andra, och detta blev tjugoett dirham. Och du vet alltså att en av de två delarna är ting, och det andra är tio minus ting. Så multiplicera ting med tio minus ting, och det är tio minus en kvadrat, vilket är lika med tjugoett. Och återställ kvadraten vid de tio tingen och lägg den till de tjugoett. Och det blir alltså tio ting, vilket är lika med tjugoett dirham och en kvadrat. Och subtrahera hälften av rötterna, och det återstår alltså fem, och multiplicera dem med lika mycket, det blir tjugofem. Och subtrahera från detta de tjugoett, vilka hör till kvadraten, och det återstår fyra. Ta kvadratroten av det, och det är två. Så subtrahera detta från hälften av rötterna, vilka är fem, det återstår tre, och detta är en av de två delarna. Och om du önskar, så adderar du roten av de fyra till hälften av rötterna, och det är sju, och den är en av de två delarna. Och detta problem är ett som löses med addition och subtraktion. Lösning: 10 = x + y xy = 25 x = ting y = 10 x x 10 x = 10x x 2 10x x 2 = 21 10x = 21 + x = = = 4 4 = 2 x = 5 2 = 3 y = = 7
8 Omar Khayyam ( ) Persisk matematiker, filosof, astronom, poet Författare till Ruba iyat We are no more than a moving row of magic shadow-shapes that come and go round with sun-illumined lantern held in midnight by the Master of the Show. (Översättning av Edward Fitzgerald) Lösning av kubiska ekvationen med hjälp av geometrisk algebra (d.v.s. grafisk lösning). För att lösa olika typer kubiska ekvationer (totalt 14 stycken) använder Khayyam kägelsnitt (parabler, hyperboler, ellipser).
9 Omar Khayyam ( ) Uppgift. Visa att en lösning x till ekvationen x 3 + cx = d satisfierar även systemet 2 2 x d 2c + y 2 = d 2c x 2 = y c
10 Jamshīd al-kāshī ( ) Persisk matematiker, aritmetikens höjdpunkt Närmevärde för 2π = 6, (alla siffror är korrekta) Miftah al-hisab (Nyckeln till räknekonsten) Multiplikations med uppställning = Multiplicera
11 Matematiken i Västeuropa under medeltiden Den mörka tiden : ca e.kr. Kyrkan blev den institutionen som höll den grekisk-romerska kulturarvet levande På 1200-talet använde kardinal Bonaventura matematik för att bevisa Guds existens: 1) Om världen skulle funnits ett oändligt antal år då världen måste då ha funnits tolv gånger fler månader, vilket också är ett oändligt antal. Men oändligheten kan inte vara tolv gånger större än sig själv, det är en motsägelse. 2) Eftersom materia inte kan uppstå ur tomma intet, så måste det finnas en skapande Gud. Första europeiska universiteten (ca 1100 e.kr.): arabiska och grekiska källor översats till latin Renässansen, boktryckarkonst (ca 1450), första tryckta upplagen av Elementa (1482)
12 Leonardo av Pisa ( ) Även kallad Fibonacci (Bonaccios son), en italiensk köpman gjorde vidsträckta resor kring Medelhavet Liber abaci (1202), boken om räknekonsten, även om ekvationer Den första användning av negativa tal i Europa Decimala talsystemet, arabiska-indiska siffror Fibonaccitalen: a 1 = 1, a 2 = 1, a k+2 = a k + a k+1 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, Fibonaccital i naturen: 2 5 5,8,13 21,34,55
13 Tredjegradsekvationens lösning Luca Pacioli ( ), en italiensk franciskanermunk och matematiker, nära vän till Leonardo da Vinci Hans viktigaste verk är Summa de Arithmetica (1494), uppslagsverk av dåtidens matematik med sporadisk användning av symbolisk algebra Scipione del Ferro ( ), matematikprofessorn i Bologna. Bl.a. den moderna formen av p-q-formel för en andragradsekvation År 1515 har Ferro funnit en algebraisk lösningsmetod (dock aldrig publicerade) och meddelade sedan under tysthetslöfte sitt resultat till en av sina elever, Antonio Maria Fior Formel för lösningen av x 3 + ax = b, a, b positiva reella tal
14 Tredjegradsekvationens lösning Nicocolo Tartaglia ( ), den stammande, lärare i matematik i Verona och Venedig. År 1535 arrangerades en två-timmars duell mellan Fior och Tartaglia om vem som var den skickligaste lösaren av tredjegradsekvationer. Tio dagar innan duellen lyckades Tartaglia finna lösningsmetod för den allmänna tredjegradsekvationen x 3 + ax 2 + bx + c = 0 Under duellen hartartaglia löst alla 30 Fiors ekvationer medan Fior inte hade löst en enda av Tartaglias ekvationer. Orsaken var att Fior inte kunde lösa kubiska ekvationer innehållande andragradstermer. 3 1) Visa att ) Visa att en allmän kubisk ekvation kan skrivas om till x 3 + px + q = 0 = 2
15 Tredjegradsekvationens lösning Tartaglias dikt som ger tredjegradsekvationens lösning: När kuben och tingen tillsammans är lika med något diskret tal. finn två andra tal som skiljer sig åt med detta. Då skall Ni taga som regel att deras produkt alltid är exakt lika med kuben av en tredjedel av tingen. Som en allmän regel är därefter resten av deras subtraherade kubikrötter lika med det väsentliga tinget. I den andra av dessa handlingar, då kuben förblir ensan1, skall Ni notera dessa övriga överensstämmelser: Ni skall genast dela talet i två delar så att det ena gånger det andra tydligt ger exakt kuben av en tredjedel av tingen. Av dessa båda delar skall Ni alltid taga de sammanlagda kubikrötterna, och denna summa kommer att vara Eder tanke. Den tredje av dessa våra beräkningar löses med den andra om Ni ger noga akt, eftersom de till sin natur näst intill överensstämmer. Detta har jag funnit. och det inte med klumpiga steg. år ettusen fem hundra trettiofyra. På starka och gedigna grunder i staden som omges av havet.
16 Tredjegradsekvationens lösning Geronimo Cardano ( ) professor i matematik och medicin, uppfinnare, verksam i Milano och Pavia Cardano lovade Tartaglia att inte offentliggöra den hemliga lösningsmetoden och år 1539 fick metoden i form av en dikt. År 1545 publicerade Cardano lösningen av den allmänna kubiska ekvationer tillsammans med lösningen av fjärdegradsekvationer i Ars Magna trots sitt löfte. Lodoviko Ferrari ( ), en Cardanos elev, löste fjärdegradsekvationen Under lösningens gång uppträdde rötter ur negativa tal, som Cardano dock inte accepterade. Bara reella tal accepterades som lösningar. Rafael Bombelli ( ), L Algebra: inkluderade negativa och komplexa tal i matematik: minus gånger minus blir plus etc
17 del Ferros lösning av x 3 + ax + b = 0 Vi börjar med att söka lösningen som summan x = u + v där u, v skall bestäms senare. Insättning och gruppering ger (u + v) 3 +a u + v + b = 0 u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + v 3 + a u + v + b = 0 u 3 + v 3 + 3uv + a u + v + b = 0 Nu väljer vi de två parametrarna u, v så att medeltermen i föregående formel försvinner: 3uv + a = 0 vilket medföljer att u 3 + v 3 + b = 0 Detta är ekvivalent till systemet u 3 + v 3 = b 3uv = a u 3 + v 3 = b 27u 3 v 3 = a 3 Det senare system kan lösas som andragradsekvation, se exempel på nästa sidan.
18 del Ferros lösning av x 3 + ax + b = 0 Exempel: Lös x 3 3x 2 = 0. Antar att x = u + v, alltså (u + v) 3 3 u + v 2 = 0 u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + v 3 3 u + v 2 = 0 u 3 + v 3 + 3uv 3 u + v 2 = 0 Väljer u och v så att 3uv 3 = 0, dvs uv = 1. Insättningen ger u 3 + v 3 2 = 0 Vi har kommit fram till systemet u 3 + v 3 = 2 uv = 1 u 3 + v 3 = 2 u 3 v 3 = 1 Väljer nya variablerna u 3 = U och v 3 = V vilket ger U + V = 2 U = 2 V och 2 V V = 1 UV = 1 Den andragradsekvationen har lösningar V 1 = V 2 = 1. Så får vi och följaktligen x = 2. u = U 1 3 = 1, v = V 1 3 = 1
19 allmänna algebraiska ekvationer Leonard Euler 1732 gav de fullständiga lösningarna till tredjegradsekvationen och visade att den s k Cardanos formel ger alla tre lösningarna genom att ge en helt ny definition av kubikrot ur komplexa tal Friedrich Gauss var först som bevisat att en allmän algebraisk ekvation har minst en komplex rot En norsk matematiker Niels Henrik Abel ( ) visade att den allmänna femtegradsekvationen inte kunde lösas genom successiva rotutdragningar. En fransk matematiker Évariste Galois ( ) bestämde de nödvändiga och tillräckliga villkoren för att en algebraisk ekvation skall kunna lösas med hjälp av rotutdragningar
20 Referenser T. Hall, Matematikens utveckling, Gleerups, 1970 B.G. Johansson, Matematikens historia, Studentlitteratur, 2004 J. Thompson, Matematiken i historien, Studentlitteratur, 1996 H.L. Resnikoff, R.O. Wells, Mathematics in civilization B. Sjöberg, Från Euklides till Hilbert, Åbo Akademi, 2001 Lars-Åke Lindahl, En inledning till geometri Wikipedia
Tredjegradsekvationens kontrovers: Från Cardanos formel till monstergruppen
Serge Ivanov Tredjegradsekvationens kontrovers: Från Cardanos formel till monstergruppen Vladimir Tkatjev Prolog: Andragradsekvationer Berlinpapyrus (ca 1800 f.kr) ger lösningar av enkla andragradsekvationer
Läs merHistorisk tidslinje & matematisk publikation
Historisk tidslinje & matematisk publikation Niels Chr. Overgaard 2016-11-07 N. Chr. Overgaard Historia 2016-11-07 logoonly 1 / 12 Översikt Vi ska idag behandla tre ämnen: Snabb överblick över matematikens
Läs merOm tredjegradsekvation och en matematikerfejd på talet
Om tredjegradsekvation och en matematikerfejd på 1500- talet Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi diskutera hur man kan lösa tredje- och fjärdegradsekvationer.
Läs merALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN
ALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN MEN FÖRST något om kursens algebradel och den nya läroplanens mål angående algebra. SYFTE Syftet med kursens
Läs merINNEHÅLLSFÖRTECKNING
Majid Gorbani mgy01001@student.mdh.se CT3620 Mälardalens Högskola 13 oktober, 2005 1 SAMMANFATTNING Under 700- och 800-talet nådde den islamiska kulturen sin höjdpunkt efter det arabiska anfallet som täckte
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merNågra historiska ekvationer
Några historiska ekvationer av Seo Nurmi, 01 Inledning Jag sammanfattar här lösningarna till algebraiska andra-, tredje- och fjärdegrads ekvationer. Det här är ganska tidig matematisk historia, för de
Läs merPOLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
Läs merAndragradsekvationer möter elever under sitt första år på gymnasiet.
Christoph Kirfel Komplettera kvadraten och kuben med bilder Elever som för första gången ställs inför att lösa andragradsekvationer kan få hjälp att förstå kvadratkomplettering med hjälp av väl uttänkta
Läs merMatematikens historia
Matematikens historia 1500-1700 Joel Eliasson Dowland, John (1562-1626) What if I never speed Renässansen (1300-1600) Det råder lite olika bud om vilken tid denna epok omfattar. Detta beror på att man
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merAlgebrans utveckling
Algebrans utveckling Simon Josefsson Innehåll 1 Innan algebra 2 2 Egyptisk algebra 3 3 Babylonsk algebra 4 4 Kinesisk algebra 5 5 Grekisk geometri och algebra 5 6 Hindu-Indisk algebra 7 7 Arabisk algebra
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal Mikael Hindgren 17 september 2018 Delbarhet Exempel 1 42 = 6 7 Vi säger: 7 är en faktor i 42 eller 7 delar 42 Vi skriver: 7 42 Definition 1 Om a, b
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merLikhetstecknets innebörd
Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner översatta och bearbetade text bygger på boken: arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann Elever i åk 1 6 fick följande uppgift:
Läs merFibonacci. Miniporträttet
Miniporträttet ANDREJS DUNKELS Fibonacci I serien berömda matematiker har NÄMNAREN denna gång valt Fibonacci. Frågan är hur våra siffror sett ut idag om inte Fibonacci lagt ner så stor möda på att sprida
Läs merANDREAS REJBRAND NV1A Matematik Linjära ekvationssystem
ANDREAS REJBRAND NVA 004-04-05 Matematik http://www.rejbrand.se Linjära ekvationssystem Innehållsförteckning LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM... INNEHÅLLSFÖRTECKNING... DEFINITION OCH LÖSNINGSMETODER... 3 Algebraiska
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merMatematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev
Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev Dagens program Introduktion och kursens översikt Talbegreppets utveckling Den äldsta matematiken - EGYPTEN och BABYLON Obligatorisk kurslitteratur Tord Hall
Läs merLikhetstecknets innebörd
Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner (2012) översatta och bearbetade text bygger på boken: Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking
Läs merUtvidgad aritmetik. AU
Utvidgad aritmetik. AU Delområdet omfattar följande tio diagnoser som är grupperade i tre delar, negativa tal, potenser och närmevärden: AUn1 Negativa tal, taluppfattning AUn Negativa tal, addition och
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9
Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 3. Ekvationer och geometri. Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera
Läs merManipulationer av algebraiska uttryck
Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z) Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)..
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merTema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg
Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras
Läs merÖvning log, algebra, potenser med mera
Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merSJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Femtegradsekvationen av Niklas Fransson 2017 - No 44 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merTALSYSTEM, DELBARHET OCH PRIMTAL
Explorativ övning 3 TALSYSTEM, DELBARHET OCH PRIMTAL Syftet med detta avsnitt är att titta närmare på positionssystemet och på heltalens multiplikativa struktur. De viktigaste begreppen är presentation
Läs merAnalys 2 M0024M, Lp
Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 Lektion 1 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet 4 april 2013 Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 1 / 17 Kursinformation m.m. Examinator: Lennart
Läs merLinnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson
Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan 8.00 11.00 Tentamen består
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merRepetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18
Repetition kapitel,, 5 inför prov Ma NA7 vt8 Prov tisdag 5/6 8.00-0.00 Algebra När man adderar eller subtraherar uttryck, så räknar man ihop ensamma siffror för sig, x-termer för sig, och eventuella x
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs merMatematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer
Matematik Steg: Bas ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i talområdet 0-10 bråk- och decimalform ordningstal upp till 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna
Läs merHela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merLokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning
Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet
Läs merGöra lika i båda leden
Modul: Algebra Del 6: Sociomatematiska normer Göra lika i båda leden Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Lucian Olteanu, Linnéuniversitetet Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-djabr
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs merGaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University
U.U.D.M. Project Report 014:38 Gaussiska heltal Maja Wallén Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Gunnar Berg Juni 014 Department of Mathematics Uppsala University Innehållsförteckning
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs
Läs merLinjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Pelle 2016-01-18 Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser kursfakta hemsida frågelåda Fakta om Linjär
Läs merDenna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används
Läs merFöreläsning 4: Aritmetik, forts. Tal i bråkform Tal i decimalform Sambandet mellan tal i bråkform och decimalform Procentbegreppet och Procenträkning
Föreläsning 4: Aritmetik, forts. Tal i bråkform Tal i decimalform Sambandet mellan tal i bråkform och decimalform Procentbegreppet och Procenträkning Algebra Läroplanen om algebra och algebraiskt tänkande
Läs mersanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är
PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.
Läs merAlgebraskogen. Tema: Taluppfattning och tals användning, algebra och problemlösning
Hagabackens rektorsområde Ramshyttans rektorsområde Algebraskogen. Tema: Taluppfattning och tals användning, algebra och problemlösning Planering för perioden: v. 34-51 Ämne: Matematik År: 1 Lärare: Jessica
Läs merKap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -
År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel
Läs merARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour
Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour ARITMETIK 3 I det här tredje aritmetikavsnittet ska vi diskutera en följd av heltal, som kallas Fibonaccis talföljd. Talen
Läs merAlgoritmer i Treviso-aritmetiken.
Algoritmer i Treviso-aritmetiken. Staffan Rodhe 7 november 2006 1 Larte de labbacho I Västerlandet trycktes de första böckerna i mitten på 1400-talet. Matematiska texter kunde nog anses vara besvärligare
Läs merExtra-bok nummer 2B i matematik
Extra-bok nummer 2B i matematik Anneli Weiland 1 Öka 10 hela tiden -20-10 50 90 150 270 280 Skriv +, -, * eller / så att likheten stämmer 18 3 = 3 7 5 17 = 30 8 8 12 = 0 4 15 15 = 17 0 10 2 = 20 4 12 15
Läs merx 23 + y 160 = 1, 2 23 = ,
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar, inför tentan moment B, på de avsnitt som inte omfattats av lappskrivningarna, Diskret matematik för D2 och F, vt08.. Ett RSA-krypto har n =
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2
Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=
Läs merTALSYSTEMET. Syfte Lgr 11
TALSYSTEMET Syfte Lgr 11 Meningen med att läsa matematik i skolan är att du ska utveckla din förmåga att formulera och lo sa problem med hja lp av matematik samt va rdera valda strategier och metoder,
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merLinjära ekvationer med tillämpningar
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merFörslag den 25 september Matematik
Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk
Läs merKUNSKAP OCH KOMMUNIKATION
KUNSKAP OCH KOMMUNIKATION SIFFERDJÄVULENS PERSPEKTIV JULIUSZ BRZEZINSKI MATEMATISKA VETENSKAPER CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖTEBORGS UNIVERSITET KOMMUNIKATION FORMELL : YRKESROLL, LÄRARROLL, MED- VERKAN
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs mer3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd
I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001 1. Ange kvot och rest vid division av 5BE med 1F där båda talen är angivna i hexadecimal
Läs merDIAMANT. NaTionella DIAgnoser i Matematik. Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9. Anpassat till Lgr 11. Löwing januari 2013
DIAMANT NaTionella DIAgnoser i Matematik Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9 Anpassat till Lgr 11 Diamantmaterialets uppbyggnad 6 Områden 22 Delområden 127 Diagnoser Till varje Område
Läs merRekursion. 1. Inledning. vara en fot bred.
Rekursion. Inledning En trädgårdsmästare skall lägga en gång med cementplattor. Gången skall vara en fot bred. Han har tre slags plattor. En är omönstrad och kvadratisk med sidan en fot, två är rektangulära
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merHär är två korta exempel på situationer då vi tillämpar den distributiva lagen:
Modul: Algebra Del 8: Avslutande reflektion och utvärdering Distributiva lagen Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Distributiva lagen a (b + c) = a b + a c Den distributiva lagen kallas den räknelag
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 1. Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att 31n + 13 är delbart
Läs merJörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 9
PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 9 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 9: 1 1.1 TALMÄNGDER 2 1.2 NEGATIVA TAL 3 FORTS. 1.2 NEGATIVA TAL 4 1.3 POTENSER 5 1.4 RÄKNA MED POTENSER 6 TALUPPFATTNING + RESONERA 7
Läs merHEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT
Matematik HEM KURSER SKRIV UT MA200 - Matematik A 110 poäng inrättad 1994-07 SKOLFS: 1994:9 et för kursen är att ge de matematiska kunskaper som krävs för att ta ställning i vardagliga situationer i privatliv
Läs merFramväxten av den islamiska algebraiska lösningsmetoden för ekvationer, från 800-talet till 1200-talet
U.U.D.M. Project Report 2017:42 Framväxten av den islamiska algebraiska lösningsmetoden för ekvationer, från 800-talet till 1200-talet Bashar Elias Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Anders Öberg
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merLokala mål i matematik
Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal
Läs merÖvningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet
Läs merUppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.
NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merGrupper och RSA-kryptering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merPlanering för kurs A i Matematik
Planering för kurs A i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs A Antal timmar: 90 (80 + 10) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att A-kursen studeras på 90 klocktimmar.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merLokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass
Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merÖvningar i ekvationer
i ekvationer Innehåll A. Addition och subtraktion B. Multiplikation och division C. Blandade räknesätt - prioritet D. Enkla förenklingar E. Parenteser F. Tillämpningar Detta häfte är till dig som läser
Läs mer2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Läs merAlgebra, exponentialekvationer och logaritmer
Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merAndragradspolynom Några vektorrum P 2
Låt beteckna mängden av polynom av grad högst 2. Det betyder att p tillhör om p(x) = ax 2 + bx + c där a, b och c är reella tal. Några exempel: x 2 + 3x 7, 2x 2 3, 5x + π, 0 Man kan addera två polynom
Läs merUppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.
Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.
Läs merLösningar till Algebra och kombinatorik
Lösningar till Algebra och kombinatorik 090520 1. Av a 0 = 0, a 1 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 2 = 1 4 a 1 a 0 + 3 2 = 1 4 1 0 + 32 = 4, a 3 = 1 4 a 2 a 1 + 3 2 = 1 4 4 1 + 32 = 9,
Läs merI addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1
BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term
Läs merOlika sätt att lösa ekvationer
Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Olika sätt att lösa ekvationer Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Lucian Olteanu, Linnéuniversitetet Att lösa ekvationer är en central del av algebran, det
Läs mer(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C
Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B
Läs merÖvningar - Andragradsekvationer
Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.
Läs mer