TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 25 Maj 2011

Transkript

1 TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 5 Maj 11 Tid: Onsdag, 5 maj 11, kl Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Bengt Carlsson, tel Bengt kommer till tentasalen ca kl 16 och besvarar ev frågor. Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet Modellering av dynamiska system, miniräknare, Laplace-tabell, matematisk formelsamling. (Kurskompendiet får innehålla normala instuderingsanteckningar men inte lösningar till räkneuppgifter) Preliminära betygsgränser: 15 <, 4 < 5, 5 5 =maxpoäng. För den sista uppgiften gäller: Du får poäng för det som ger mest: [antalet erhållna bonuspoäng, poäng på uppgiften] OBS: Endast en uppgift per ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Notera försättsbladet som finns på sista sidan LYCKA TILL!

2 Uppgift 1 Överföringsfunktionerna G 1 G 6 beskriver var sitt dynamiskt system. Nedan finns stegsvar för fyra av de sex systemen. Avgör vilken överföringsfunktion som hör till respektive stegsvar. Motivera ditt val. G 1 (s) = G 4 (s) = 4e s s + 6s + 8 ; G (s) = 4.9 s + 14s + 49 ; G 5(s) = 8e s s + 1s + 16 ; G (s) = s 5s + 6 ; G 6(s) = s + 5s + 6 ; s + s + (4p) System A System B System C System D Figure 1: Stegsvar. 1

3 Uppgift Figuren nedan visar ett Bodediagram för ett system 1 1 Bode Diagram Belopp (linjär skala) Faskurva (grader) Frequency (rad/sec) Figure : Bodediagram. (a) Antag att insignalen till systemet är u(t) = sin(.5t) Uppskatta med hjälp av Bodediagrammet vad utsignalen blir efter lång tid. (p) (b) Antag att systemet ges av G 1 (s) = K Ts + 1 Uppskatta från Bodediagrammet värdet på parametrarna K och T. (p) 1 antas stabilt (tillagt 1157

4 Uppgift Överföringsfunktionen mellan insignal och utsignal till ett system ges av: G(s) = Y (s) U(s) = 5 s + 14s + 48 (a) Bestäm polerna till överföringsfunktionen. Är systemet stabilt? (b) Bestäm differentialekvationen som beskriver systemet (c) Skriv systemet på (valfri) tillståndsform (1p) (1p) (p) Uppgift 4 Följande system är givet: ẋ(t) =.4 x(t) + 1. u(t) 5.41 y(t) = [ ] x(t) (a) Bestäm systemets poler. (p) (b) Systemet diskretiseras med Eulers metod dvs derivatan approximeras med x(k + 1) x(k) ẋ(t) T s där T s är samplingstiden (kallas ibland steglängd). Undersök om det tidsdiskreta systemet blir stabilt för T s = 1. (p)

5 Uppgift 5 Parametrarna b A och b B i följande modell ska skattas med minstakvadratmetoden: ŷ(k) = b A u A (k) + b B u B (k) u A (k) och u B (k) är två mätbara insignaler. Vid ett experiment användes följande insignalsekvenser: u A (1) = 1, u A () = 1, u A () = 1, u A (4) = 1, u B (1) = 1, u B () = 1, u B () =, u B (4) =. Utsignalen blev då: y(1) = 1.1, y() =.98, y() = 5.1, y(4) = 1. (a) Uppskatta med hjälp av minstakvadratmetoden värdet på parametrarna b A och b B. (p) (b) Antag att u A (k) k = 1,,, 4 är som ovan. Ange en insignalsekvens för u B (k) k = 1,,, 4 som gör att parametrarna inte kan skattas entydigt med minstakvadratmetoden (p) Uppgift 6 Denna uppgift är istället för inlämningsuppgifterna- se förstasidan för poängberäkning. Ett olinjärt dynamiskt system ges av ẋ 1 = x ẋ = Tx + KT sin(θ x 1 ) där K >, T > och θ är en konstant. a) Visa att det finns oändligt många jämviktspunkter samt att det finns både stabila och instabila jämviktspunkter. (p) b) För de stabila jämviktspunkterna ta fram villkor på K och T som ger ett stabilt fokus. (p) 4

6 Lösningar till tentamen i Dynamiska system Uppgift 1 Överföringsfunktion G 1 kan uteslutas eftersom ingen av stegsvaren har en tidsfördröjning på 1 sekund. Överföringsfunktion G 5 kan uteslutas eftersom ingen av stegsvaren är instabila. Överföringsfunktion G måste tillhöra stegsvar B (tidsfördröjning sekunder). G har statisk förstärkning.5 vilket stegsvar D (och stegsvar B) har. G 4 och G 6 har statisk förstärkning.1, G 4 har reella poler alltså system C och G 6 imaginära poler => osillativt stegsvar => System A. Sammanfattningsvis G System B G System D G 4 System C G 6 System A Uppgift (a) Utsignalen blir (efter lång tid) y(t) = 5G() + 4 G(i.5) sin(.5t + arg(g(i.5))) Från Bodediagrammet får G()=1, G(i.5) 7 och arg(g(i.5)) π/4. Alltså y(t) sin(.5t π/4). (b) Vi har att G(iω) = K 1 + w T och arg(g(iω) = arctan(ωt) Enklast att bestämma K är K = G() = 1, där G() = 1 fås ur Bodediagrammet. För att bestämma T kan vi ta en punkt på beloppskursvan, t ex för ω = 1 vilket ger = G(i1) 4.4. Enkla T räkningar ger T. Ett alternativ är att lösa arctan(ωt) = arg(g(iω) t ex för ω =.5 vilket ger arg(g(iω) = π/4 1

7 Uppgift a) Poler i -6 och -8. Stabilt system. b) c) Välj t ex ÿ(t) + 14ẏ(t) + 48y(t) = 5u(t) ẋ = [ ] [ 1 x + u ] y = [ 1 ] x Uppgift 4 a) Tillståndsbeskrivningen är på diagonalform poler=diagonalelementen dvs -1.5, -.4 och -5. b) Den tidsdiskreta tillståndsmodellen blir x(k + 1) = Fx(k) + Gu(k) y(k) = H d x(k) där F = AT s + I. Se avsnitt Tillståndsbeskrivningen är på diagonalform poler=diagonalelementen dvs -.5, -1.4 och -4. Poler utanför enhetscirkeln, alltså instabilt. Uppgift 5 a) Vi har ϕ(k) = (u A (k) u B (k)) T, vilket ger 1 1 Φ = Minstakvadratskattningen ges av ˆθ = [Φ T Φ] 1 Φ T Y Enkla räkningar ger ˆθ = [ˆb A ˆbB ] T [1 ] T. b) Om insignalerna är linjärt beroende finns ingen minstakvadratlösning. Bevis: Låt u B (k) = ru A (k). Då blir 1 r Φ = 1 r 1 r 1 r och man kan lätt visa att det Φ =. Välj t ex r = 1 dvs u B (k) = u A (k). Uppgift 5 Visas på begäran.