Biologi: en utmaning för Numerisk Analys

Transkript

1 Biologi: en utmaning för Numerisk Analys Stefan Engblom Beräkningsvetenskap Informationsteknologi Uppsala Universitet Docentföreläsning, Uppsala, 6:e Mars, 2013 (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

2 Idag Mål: Utveckla och belysa begrepp från Beräkningsvetenskap I, II och III ställd inför problem från Biologisk modellering. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

3 Innehåll Motivation Numerisk analys......biologisk realitet 1. Stokastiska formuleringar 2. Systemenergi Avslutning (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

4 Motivation Numerisk analys... Numerisk analys En komprimerad abstrakt sammanfattning! Mätbara data y, fysik f (ofta en differentialoperator), okänt tillstånd x. Matematiskt problem f (x) = y, lösning x = f 1 (y). Det matematiska problemet är stabilt om f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) F y 1 y 2. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

5 Motivation Numerisk analys... Numerisk analys En komprimerad abstrakt sammanfattning! Mätbara data y, fysik f (ofta en differentialoperator), okänt tillstånd x. Matematiskt problem f (x) = y, lösning x = f 1 (y). Det matematiska problemet är stabilt om f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) F y 1 y 2. Numeriskt problem g h ( x) = y, lösning x = x(h) = g 1 h (y). Diskretiseringsparameter h (0, 1). Det numeriska problemet är stabilt om (y 1) g 1 (y 2) G y 1 y 2. g 1 h h (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

6 Motivation Numerisk analys... Numerisk analys Lax ekvivalens En numerisk metod är konsistent om x : lim h 0 (f g h )(x) = 0. En numerisk metod är konvergent om y : lim h 0 (g 1 h f 1 )(y) = 0. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

7 Motivation Numerisk analys... Numerisk analys Lax ekvivalens En numerisk metod är konsistent om x : lim h 0 (f g h )(x) = 0. En numerisk metod är konvergent om y : lim h 0 (g 1 h f 1 )(y) = 0. En stabil och konsistent numerisk metod är konvergent. Bevis. Definiera ȳ := g h (x). Felet = x x = g 1 1 (y) g (ȳ) (stabilt) h h G y ȳ = G f (x) g h (x) 0, h 0. (konsistent) (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

8 Motivation...Biologisk realitet Biologisk realitet Film #1 : numerisk lösning av vågekvationen (K. Mattsson, M. Almquist). Film #2 : neutrofiler i en mus (G. Christoffersson, M. Phillipson). (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

9 Motivation...Biologisk realitet Biologisk realitet Film #1 : numerisk lösning av vågekvationen (K. Mattsson, M. Almquist). Film #2 : neutrofiler i en mus (G. Christoffersson, M. Phillipson). Mätbara data y? Fysik f? Tillstånd x? Stabilitet? Konsistens? Konvergens? (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

10 1. Stokastiska formuleringar Brownsk rörelse Exempel: Partikel i en vätska (Einstein). (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

11 1. Stokastiska formuleringar Brownsk rörelse Exempel: Partikel i en vätska (Einstein). En stokastisk modell är enklare men beror i gengäld på slumpen. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

12 1. Stokastiska formuleringar Stokastisk modellering av biokemi Exempel: Bimolekylär reaktion + Z. -Vad är sannolikheten P(1st och 1st reagerar i tidsintervallet [0, t])? V (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

13 1. Stokastiska formuleringar Stokastisk modellering av biokemi Exempel: Bimolekylär reaktion + Z. -Vad är sannolikheten P(1st och 1st reagerar i tidsintervallet [0, t])? P n ( antal -molekyler ) P n V (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

14 1. Stokastiska formuleringar Stokastisk modellering av biokemi Exempel: Bimolekylär reaktion + Z. -Vad är sannolikheten P(1st och 1st reagerar i tidsintervallet [0, t])? P n ( antal -molekyler ) V P n P 1/V P t (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

15 1. Stokastiska formuleringar Stokastisk modellering av biokemi Exempel: Bimolekylär reaktion + Z. -Vad är sannolikheten P(1st och 1st reagerar i tidsintervallet [0, t])? P n ( antal -molekyler ) V P n P 1/V P t = P( + Z i tidsintervallet [0, t]) = konst n n t/v. Beskriver en tidskontinuerlig Markovkedja. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

16 1. Stokastiska formuleringar Stokastisk konvergens Deterministisk konvergens x h x 0 då h 0. Stokastisk konvergens: Stark E h 2 0 då h 0 Svag E ϕ( h ) ϕ( ) 0 då h 0, ϕ snäll testfunktion (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

17 1. Stokastiska formuleringar Stokastisk konvergens Deterministisk konvergens x h x 0 då h 0. Stokastisk konvergens: Stark E h 2 0 då h 0 Svag E ϕ( h ) ϕ( ) 0 då h 0, ϕ snäll testfunktion -För många fysiska tillämpningar är svag konvergens tillräcklig: observerbarhet (...) (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

18 1. Stokastiska formuleringar Svag konvergens Oscillationer i bakteriemembran (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

19 1. Stokastiska formuleringar Svag konvergens Oscillationer i bakteriemembran 1 Average concentration of MinD m 0.8 # molecules location (µ m) x MinD m polar oscillations Left Right time (s) (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

20 1. Stokastiska formuleringar Stark konvergens Bistabilt problem i två variabler time x time x 10 6 (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

21 2. Systemenergi Systemenergi, modellering Exempel: Två oblandbara vätskor (olja/vatten) i en volym V. Fasfältsvariabel φ(x) som är ±1 i respektive vätska, diffust gränsskikt där φ = 0. Ansats på fri energi: F φ = V f (φ) + ε2 4 ( φ)2 dv, f (φ) = (1 φ) 2 (1 + φ) 2, en potential med två stabila minima φ = ±1. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

22 2. Systemenergi Systemenergi, Cahn-Hilliard Recept : tag variationsderivatan av F φ med avseende på φ, δf φ δφ = f (φ) ε 2 φ =: µ φ (kemisk potential). En lämplig PDE för φ är nu φ t = µ φ (Cahn-Hilliards ekvation). Film #3 : bubblor (M. Do-Quang). (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

23 2. Systemenergi Systemenergi, Cahn-Hilliard Recept : tag variationsderivatan av F φ med avseende på φ, δf φ δφ = f (φ) ε 2 φ =: µ φ (kemisk potential). En lämplig PDE för φ är nu φ t = µ φ (Cahn-Hilliards ekvation). Film #3 : bubblor (M. Do-Quang). Modelleringen består i att göra en energiansats! -Numerisk konvergens? (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

24 2. Systemenergi Monte Carlo modellering: Cellular Potts (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

25 2. Systemenergi Monte Carlo modellering: Cellular Potts Systemenergi (Hamiltonian), H = J(σ i, σ j )+ grannlådor i,j λ[v (σ i ) V ref ] 2, lådor i där J är en randkoefficient, och (λ, V ref ) anger volymvillkor. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

26 2. Systemenergi Cellular Potts -Ramverket är flexibelt och relativt enkelt att utöka. -Det finns en klassisk stokastisk algoritm Metropolis som simulerar diskreta energisystem med rätt statistik. Konvergens i svag mening när antalet drag. Film #4 : delta-notch signalering mellan celler (M. Söderling). (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

27 Avslutning Avslutning Ganska vanligt att Biologiska problem har en vag definition på vad som menas med fel Modellproblem inom Numerisk analys har en väldigt detaljerad uppfattning på vad som menas med fel (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

28 Avslutning Avslutning Ganska vanligt att Biologiska problem har en vag definition på vad som menas med fel Modellproblem inom Numerisk analys har en väldigt detaljerad uppfattning på vad som menas med fel Grundbegrepp från Numerisk analys är fortfarande relevanta (konvergens, stabilitet) (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17

29 Avslutning Avslutning Ganska vanligt att Biologiska problem har en vag definition på vad som menas med fel Modellproblem inom Numerisk analys har en väldigt detaljerad uppfattning på vad som menas med fel Grundbegrepp från Numerisk analys är fortfarande relevanta (konvergens, stabilitet) Det går inte att bortse från modelleringssteget; modellen kan sällan betraktas som färdig (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar / 17