Matematik Förskola Modul: Förskolans matematik Del 10: Mäta. Mäta

Transkript

1 Matematik Förskola Modul: Förskolans matematik Del 10: Mäta Mäta Ola Helenius, NCM, Maria L. Johansson, Luleå tekniska universitet, Troels Lange, Malmö universitet, Tamsin Meaney, Malmö universitet, Eva Riesbeck, Malmö universitet och Anna Wernberg, Malmö universitet I texten Kvantifiera i del 9 förklarade vi idéerna bakom den matematiska aktiviteten mäta utifrån ett exempel om jämförelse av två kärl med guldsand. Vi beskrev två sätt att göra jämförelser. Antingen kan man hälla den ena sandmängden i en tillräckligt stor burk, markera hur högt på burken sanden går och därefter göra detsamma med den andra och sedan jämföra de två markeringarna. Eller kan man använda en skopa för att skeda upp sanden och samtidigt komma ihåg antalet skedar och sen jämföra antalet skedar för de två sandvolymerna. Vidare beskrev vi hur man kan koppla ihop idéerna i dessa två tillvägagångssätt till idén om tallinjen som både inbegriper idén om att mäta genom att jämföra markeringar på samma standardform och idén om att mäta genom att räkna antalet av någon lämplig enhet som är innehållet i det man vill jämföra. Alltså är mäta och räkna ofta två sidor av samma mynt: man mäter genom att räkna (enheter) och man räknar genom att mäta (antal). Här vill vi gå djupare in på grundidéerna i aktiviteten mäta. I texten Matematiska aktiviteter (del 1) använder vi ett exempel med ett staket byggt av stolpar för att förklara vad som menas med en matematisk aktivitet. Stolparna kunde göras lika långa genom att lägga dem bredvid varandra och kapa dem. En stolpe från staketet blev sparad för att man skulle kunna göra nya stolpar med samma längd, till exempel för att ersätta trasiga stolpar eller bygga ett annat liknande staket. Den sparade stolpen objektifierade idén om längd; den blev ett mått på längd. I denna tänkta berättelse finns flera av grundidéerna i aktiviteten mäta. För det första ingår alltid att någon egenskap urskiljs. Till föreställningen om staketet hör att det ska byggas av stolpar som huggs av träd som växer på någon plats. Ett träd kan upplevas på många sätt. Det kan vara vackert, växa på en helig plats, ge bra skugga och så vidare. Utifrån alla de sinnesintryck och föreställningar som finns i förhållande till trädet, ska de egenskaper som ingår i föreställningen om en stolpe urskiljas. Det som främst kan sägas om stolpkandidaterna är att de ska ha följande egenskaper: vara så pass långa och tjocka att det kan bli till ett staket som till exempel kan hålla får instängda. När en egenskap har urskilts är den andra grundidén i aktiviteten mäta, att denna egenskap kvantifieras. I exemplet med staketet innebär det att avgöra hur långa stolparna ska vara. Kanske bedömer man att det räcker om staketet har samma höjd som djuren. Om man härtill lägger det djup som stolparna ska grävas ner i för att stå tillräckligt stabilt, fås en föreställning om hur långa stolparna måste vara. Det vill säga hur mycket av egenskapen längd de ska ha. Exemplet här illustrerar också att idén om längd kan ta sig olika 1 (13)

2 sinnesintryck. Vid en direkt anblick har ett får, ett hål och en stolpe inte mycket gemensamt, men om vi tar på oss längdglasögonen upptäcker vi något gemensamt. Höjden på ett får, djupet på ett hål och längden på en stolpe delar på samma egenskap, nämligen längd. Resonemanget ovan visar att svar på frågan hur mycket, alltid innebär någon form av jämförelse. Stolpen är längre än fåret är högt, och även längre än hålet är djupt. Längden av stolpen är lika med den sammanlagda längden (höjden) av fåret och längden (djupet) av hålet. 1 Jämförelse kan ske direkt, som när man lägger en stolpe med rätt längd bredvid en stolpkandidat, men jämförelse kan även vara indirekt. När man vill mäta den första stolpen tar man kanske en annan stolpe och markerar höjden på ett får och djupet på hålet och överför därefter markeringarna till en stolpe som skall användas i staketet. Man jämför inte stolpen direkt med fåret och hålet, utan gör det indirekt via den andra stolpen. Vi ser också här jämförandets struktur som vi även diskuterade i del 9 utifrån Davydovs kursplan. Två längder kan sättas samman till ny längd: hålets djup (A) tillsammans med fårets höjd (B) är stolpens längd (C). A+B=C Ett annat sätt att se på detta är att stolpen är så mycket längre än fåret är högt och att det motsvarar hålets djup. Med andra ord, tar man bort fårets höjd från stolpens längd blir hålets djup kvar. C-B=A En längd kan alltså delas upp i delar och helhet och längder kan adderas och subtraheras utan att längderna representeras av tal. Bild 1. Mäta deg med en "enhetskanelbulle" I berättelsen om staketet kan man också se den tredje grundidén i aktiviteten mäta, nämligen enhet. Den sparade stolpen blir ett mått på längd, något man kan mäta andra föremåls längd med, en måttstock. En annan stolpe kan vara längre eller kortare än 1 Språket är lite förvirrande här eftersom det är vanligt av prata om längden på något vertikalt som höjd om det inte är under markytan där det då kallas djup, medan horisontella föremål tillskrivas längd. I alla fall pratar vi om utsträckning i en dimension och det gemensamma begreppet är längd. 2 (13)

3 måttstocks-stolpen. Staketets längd kan mätas med måttstolpen och sägas vara lika långt som ett antal måttstolpar. Det illustrerar den ena av två aspekter av mätning med en måttstock. Man kan mäta något långt med en kort måttstock och räkna hur många måttstockar det går på den långa längden. Den andra aspekten kan illustreras med att man kan jämföra fårets korta höjd med den längre måttstockstolpen och registrera höjden genom att markera positionen på måttstocken. I Bild 1 ser man hur en rulle deg mäts upp med en portion deg som enhet. Man kan säga att rullen är sju portioner lång. Aktiviteten mäta enligt Bishop När Bishop (1988) skriver om mätning lyfter han fram samma fenomen som i avsnittet ovan, urskilja, jämföra och enhet, men pekar också på det kulturella sammanhang som mätningsaktiviteter utvecklats i. En klass av exempel är längdmått som utvecklats med den mänskliga kroppen som utgångspunkt. Mätning behandlar jämförelse, ordning och kvantifiering av egenskaper som är av värde och betydelse. Alla kulturer erkänner betydelsen av vissa saker men alla kulturer värdesätter dock inte samma saker i samma utsträckning. Det är typiskt den omedelbara närmiljön som tillhandahåller både de egenskaper som ska mätas och de enheter som de ska mäts med. Till exempel var den mänskliga kroppen säkert den första mätanordning som utnyttjades av alla kulturer (s. 34) I alla kulturer finns ett behov för att språkligt kunna jämföra och ordna egenskaper. Behovet att mäta uppstår om man önskar jämföra fenomen, det vill säga om man vill tänka om dem utifrån föreställningar som mer än eller mindre än. En sten kan kännas tung. En annan kan kännas tyngre och bland flera stenar kan man peka ut den tyngsta. När en egenskap har pekats ut, följer språkligt ett adjektiv (tung) och dess jämförelsesformer (tyngre, tyngst). Språket utvecklas så att det kan hantera situationer som känns viktiga. När man vill jämföra fler än två eller tre föremål uppkommer idén om ordning. Språket utvecklas då med talorden för ordning, ordningstalen första, andra, tredje och så vidare. Man kan då till exempel prata om den tredje tyngsta stenen. När en kvalitet ökar i betydelse, objektifieras den språkligt i skapelsen av ett substantiv från ett adjektiv, till exempel kan adjektiven tung, tyngre, tyngst objektifieras till tyngd eller vikt. Egenskapen har nu blivit ett ting. Man kan då prata om stenens tyngd. Dessutom har tyngd (vikt) urskilts som en egenskap som är gemensam för alla föremål. En lika fundamental egenskap som ordning är mellanhet. Om vi har två stenar som är olika tunga kan man alltid tänka sig en sten som ligger mellan de två andra i vikt. Om vi har två olika långa pinnar så kan man tänka sig en mellanlång, och kanske tillverka en sådan genom att bryta av lite av den längre pinnen. 3 (13)

4 Läroplanen I läroplanen för förskolan, Lpfö 98, står att: Förskolan ska sträva efter att varje barn utvecklar sin förståelse för rum, form, läge och riktning och grundläggande egenskaper hos mängder, antal, ordning och talbegrepp samt för mätning, tid och förändring, utvecklar sin förmåga att använda matematik för att undersöka, reflektera över och pröva olika lösningar av egna och andras problemställningar, utvecklar sin förmåga att urskilja, uttrycka, undersöka och använda matematiska begrepp och samband mellan begrepp, utvecklar sin matematiska förmåga att föra och följa resonemang. (Skolverket, 2016, s. 9-10) Det första målet avser ett innehåll och de tre sista avser förmågor. Mätning anges till exempel som ett specifikt innehåll som barnen alltså ska ges möjlighet att möta i förskolans undervisning. De tre målen som anger förmågor hänger samman med det första målet. Barn i förskolan ska undersöka, reflektera över och prova olika lösningar av egna och andras problemställningar för att utveckla sin förmåga att föra och följa resonemang, urskilja, undersöka och använda matematiska begrepp avseende mätning, tid och förändring. I bakgrundsdokument till förskolans läroplan (Utbildningsdepartementet, 2010) uttrycks Bishops sex matematiska aktiviteter som ett sätt att närma sig läroplanens mål (s. 11). Där specificeras mäta på följande sätt: Mäta Urskilja och undersöka olika typer av egenskaper hos föremål och fenomen, t.ex. storlek, temperatur, längd, bredd, höjd, vikt, volym, hållfasthet och balans. Jämföra, ordna, bestämma och uppskatta egenskaper samt se likheter och skillnader. Skapa representationer av egenskaper och jämförelser med konkret material, teckningar, bilder, ord och andra uttrycksformer. (Utbildningsdepartementet, 2010, s. 11) Mätningen, så som den beskrivs här, tar alltså sin utgångspunkt i samma slags resonemang om mätning som vi beskrivit ovan och i del 9. Egenskaper urskiljs, jämförs och representeras. Nedan kommer vi att ge exempel på barn som är engagerade i olika aspekter av den matematiska aktiviteten mäta under rubrikerna utforska, begreppsliggöra och symbolisera Utforska Barn engagerar sig i den matematiska aktiviteten mäta när de i sin lek urskiljer och undersöker olika typer av egenskaper hos föremål och fenomen såsom storlek, temperatur, längd, vikt och volym. De jämför ofta saker, till exempel hur stort eller litet något är i 4 (13)

5 jämförelse med något annat. I många fall använder de sin kropp vid mätning. Följande episod är ett exempel: Bild 2. Leka med däck Barnen leker ute på gården och börjar undersöka däcken som ligger där. Tillsammans vill de bygga ett högt torn med däcken och frågar förskolläraren om hur de ska göra. Förskolläraren låter barnen tänka själva och Marie börjar lyfta ett däck och säger att det är tungt. Ett annat barn kommer och hjälper henne att lyfta upp det. Bild 3. Stapla dem högre När det blir för högt för barnen att nå upp ber de förskolläraren om hjälp. Barnen börjar räkna däcken och jämföra sin egen längd med tornets längd och kommer fram till att de nästan är lika långa. När barnen engagerar sig i att förverkliga föreställningen om ett högt torn byggt av däck, konfronteras de med däckens tyngd. De övervinner detta hinder genom att hjälpas åt att lyfta, vilket dock inte är tillräckligt när tornet blir högt. Barnen upptäcker att det inte enbart är däckets tyngd som avgör om det går att lyfta, utan också hur högt man ska lyfta det. Höjden på tornet uttrycks både genom en jämförelse med barnens egen höjd och genom att räkna antalet däck. Barnens egen höjd uttrycks också genom en jämförelse med bildäcken. 5 (13)

6 Att uttrycka mått på objekt med hjälp av sin egen kropp är naturligt eftersom kroppen är det som barnen alltid bär med sig. Utforskande gör det också möjligt att undersöka andra komplexa idéer, till exempel att mäta en krökt kurva som i Bild 4. Bild 4. Längden av omkretsen Här har barnen placerat leksaksfordon efter varandra utan mellanrum i en rockring. De kan då prata om hur stor ringen var, det vill säga längden av omkretsen i antalet fordon. I ett senare skede kan förskolläraren utmana barnens teorier-i-handling om huruvida fordonen behöver ha samma längd för att kunna ge en mer noggrann beskrivning av längden. Då skulle situationen handla om vilken precision som behövs i mätningen, till exempel en konstant enhet. Bild 5. Hoppar på sängen I filmen Hoppar på sängen i del 6 (Bild 5) kan vi se hur pojken har gjort en bedömning av avståndet till sängens kant och anpassar sin lek utifrån den bedömningen. På den första bilden är han på väg att ramla av sängen, på nästa bild har han återigen ramlat men tittar nu efter var kanten på sängen är och flyttar sig sedan bort från kanten. Man kan säga att han 6 (13)

7 gör en jämförelse med sin egen kropp och använder den som verktyg för att se hur nära kanten han kan vara utan att ramla av sängen. Vi kan alltså se att han har början till begrepp-i-handling för begreppet mäta. Begreppsliggöra I exemplet ovan, där barnen byggde ett torn med däcken, utforskade barnen de tre huvudidéerna om mätning som Wright, Drake, Gibbs och Hughes (2007) beskriver: egenskap, enhet och skala (skala betyder i detta sammanhang en skala på ett mätinstrument, till exempel en linjal). Även om dessa barn arbetade med begreppet höjd (eller längd), är begreppen gemensamma för de andra matematiska storheterna såsom volym, massa, area och tid. Barn behöver över tid utveckla färdigheter i att mäta, till exempel att använda linjal, men än mer behöver de en gedigen förståelse för de begrepp som ligger bakom dessa färdigheter. Utifrån en sådan förståelse kommer barnen att se sambanden mellan de olika processerna i mätning oavsett vad som mäts. Egenskap Den första idén inom mätning, egenskap, innebär att barnet kan urskilja en lämplig egenskap så att en jämförelse kan göras. I Lembrérs (2013 ) studie i en svensk förskola, beskriver hon hur barns diskussion om att ha semester ledde dem till att rita en karta. I samtalet nedan verkade det som om barnen använde ordet plats till att betyda område men det var inte klart för förskolläraren vid starten. Förskollärare: Stefan: Förskollärare: Stefan: Eva: Varför har du tagit fram papper? Vi måste få plats. Få plats? Vad menar du? Plats för båtar, flygplan, bilar, flygplats, vägar, man kan åka med buss. Arne har fått bussar (Stefan tittar på Eva, hon nickar). Jag ritar hamn, mina båtar står bakom varandra och jag har fem båtar. Jag måste rita av alla fem för att få plats. Även om barnen inte använde ordet område, är det tydligt att de ville rita ett område på papperet som var tillräckligt stort för de olika leksaksfordonen. De tänkte sig jämföra varje fordon med ett område på papperet. Yngre barn använder ofta ordet storlek för att benämna höjd eller volym på samma sätt som plats används i stället för område. Det är viktigt att förskolläraren känner igen vilken egenskap som urskiljs och fokuseras för att kunna hjälpa barnen att utveckla sitt matematiska språk. Det går inte alltid att göra en direkt jämförelse av två objekt som i exemplet ovan där varje båt direkt jämförs med den plats den behöver. Om man vill veta om det finns mer sand i det ena kärlet än i det andra som i texten Kvantifiera i del 9 eller om den ena väggen i rummet är längre än den andra, så kan man inte göra en direkt jämförelse. I stället kan man göra en indirekt jämförelse. I exemplet med sanden kan man använda en burk och markera 7 (13)

8 hur högt sanden från varje kärl når. I exemplet med väggarna kan man markera på ett rep hur lång den ena väggen är och därefter jämföra repets längd med den andra väggen. Att på så sätt använda sig av ett tredje objekt för att jämföra två objekt med varandra kallas ett transitivt resonemang. 2 Det innebär att jämförelsen görs med ett oberoende objekt, ett referensobjekt, för att avgöra vilken som är störst av de två objekten (Kamii, 2006). Barn som inte kan jämföra två objekt indirekt, har ännu inte utvecklat en förståelse för transitiva resonemang. Bild 6. Jämföra temperaturer I filmen Feber (Bild 6) använder barnen sina händer för att försöka avgöra vem som har den varmaste pannan. Som förskolläraren i filmen påpekar är det kanske inte ett särskilt tillförlitligt sätt att göra en jämförelse, men ändå ges barn som utforskar denna och liknande situationer över tid möjlighet att bli medvetna om idén om transitiva resonemang. Enhet Referensobjektet som används i ett transitivt resonemang är en måttenhet. Till exempel kan fordonen ses som en måttenhet, när barnen använde dem för att mäta cirkelns omkrets. I fallet där något långt mäts med något kort, behöver barn förstå att man måste använda samma måttenhet, och de ska placeras utan luckor för att få en användbar jämförelse. Samma sak gäller när man mäter area och tid, och även om man mäter volym fastän det kan vara svårare att rent visuellt se varför. Dessutom behöver barn få uppleva att måttenheter kan delas in i grupper av enheter som både kan sammanfogas och åtskiljas för att bestämma en viss storlek eller en viss mängd. Kanske en krokodil är lika lång som tre Lego-fyra och en Lego-två. 2 Ordet transitiv betyder i detta sammanhang överförande vilket hänvisar att jämförelsen av repet med den ena väggen förs över till jämförelsen av repet med den andra väggen. Om ena väggen har samma längd som repet och repet är längre än den andra väggen, då är också den första väggen längre än den andra väggen. 8 (13)

9 I Bild 3 står ett litet barn bredvid stapeln av däck för att kunna avgöra sin höjd. Däck har samma tjocklek och det finns inga luckor mellan dem, vilket gör att barnet kan beskriva sin höjd i ett antal däck. Barn behöver många erfarenheter med olika slags enheter. Exakthet i mätningen är inte så väsentlig i detta skede, utan det viktiga är att urskilja hur enheter kan sättas ihop och tas isär och att förstå hur skillnaderna ser ut, smakar eller känns när olika mängder av en enhet används. Skala I texten Kvantifiera i del 9 beskrev vi hur man kan koppla ihop två sätt att mäta mängden sand. I det ena sättet gjordes markeringar i en enhetsburk och i det andra räknades antal skopor. Dessa två sätt kan kopplas ihop genom att göra markeringar på burken motsvarande antalet skopor. Vi kan tänka oss resultatet som en tallinje på enhetsburken vilken skulle göra det möjligt att mäta med skopan som enhet utan att använda en skopa för att mäta med. Istället kan vi läsa av mängden av sand på enhetsburken. Det är en sådan mäta-tallinje som i detta sammanhang betecknas som en skala. Sådana skalor har standardiserats i olika mätinstrument såsom linjal, litermått, våg, termometer, klocka och så vidare. Till exempel en linjal, ger en representation av standardenheten centimeter, eftersom den är ett indirekt sätt att lägga ner längdenheter ända-mot-ända. Upprepningen och underuppdelningen av enheterna finns redan på linjalen till förmån för dess användare (McDonough & Sullivan, 2011, s. 29; vår översättning). På liknande sätt kan man se ett litermått som ett sätt att lägga ner deciliter ända-mot-ända. Det är lättare för barn att se och förstå nollpunkter när det gäller mätning av höjder. I situationen med däcken är nollpunkten marken både för stapeln av däck och för barnet. Det är från marken som båda höjderna mäts. Emellertid kan det uppstå osäkerhet om nollpunkter när barn mäter med ett mätinstrument som till exempel en linjal. I Bild 7 syns ett exempel på hur ett barn inte anpassar noll på linjalen med kanten på papperet. Detta tyder på att barnets teorier-i-handling kring nollpunkten fortfarande behöver utmanas. Bild 7. Mätning med en linjal 9 (13)

10 I nästa situation, också från Lembrérs (2013) studie, visar ett barn en bra förståelse för ändpunkterna för varje enhet när hon beskriver hur hon gjorde tillräckligt med utrymme i hamnen för sina båtar. Hon identifierar tydligt var varje enhet börjar och slutar och hur änden av en enhet också måste ses som början av nästa enhet. Eva har tidigare ritat av sina fem båtar som hon hade ställt på en rad. Förskollärare: Eva: Förskollärare: Eva: Förskollärare: Eva: Förskollärare: Får du plats med dina båtar? Ja, jag vet hur stor hamnen ska var nu. Hur vet du det? Mina båtar står på rad (hon pekar) jag har ritat av två linjer nu, ser du (hon tar bort sina båtar och pekar på två linjer). Ok, en linje framför den första båten och en linje bakom den femte båten. (tar fram en båt och ställer den bakom först linjen), min båt står bakom linjen, inte framför. Ja det stämmer, båten är bakom linjen, och linjen är framför båten. Klockan är i en viss mening en skala för att mäta tid. Barns tidiga uppfattningar av tid handlar inte främst om att de ska lära sig klockan utan snarare om en förståelse av begreppet tid. Barn markerar händelser som födelsedagar en slutpunkt för tid. Igår var jag fyra år gammal, men i dag är jag fem år gammal. Däremot är kunskapen om hur lång tid ett år är mycket svårare att få eftersom de inte har upplevt särskilt många. Barn kan relatera sin förståelse av en vecka till att de varje lördag får godis. Denna förståelse kan de använda till att prata om hur många veckor det är till en viss händelse, till exempel sin födelsedag. Barn behöver möta utmanande situationer i förskolan som samtidigt relaterar till deras värld. Följande dialog utspelar sig mellan Vilma 3,5 år och hennes förskollärare: Vilma: Förskolläraren: Vilma: Förskolläraren: Vilma: Idag hämtar morfar. Då ska vi äta pannkakor. Det blir väl gott? Mm, imorgon kommer min mamma hem. Hur vet du det? Imorgon hämtar farmor. Vilma har ingen klar uppfattning om veckodagar men binder upp sin förståelse av tid utifrån vad som händer. Hon relaterar veckodagarna till händelser som sker den aktuella veckodagen. Hon vet att det är måndag eftersom pappa hämtar, tisdag för morfar hämtar och så vidare. Ett år senare ser man hur hon har utvecklat sin förståelse för tid eftersom hon vid en liknande dialog blir ledsen. Hon har utvecklat en förståelse för hur lång tid det 10 (13)

11 tar tills mamma kommer hem. I förskolan kan man utmana barns teorier-i-handling genom sagor där man kan ställa frågor såsom vad händer sedan, vad hände innan och hur vet de det (Hoodless, 2002). Symbolisera och representera Barns föreställningar och tankar om mätning kan representeras med bilder som vi har gjort ovan i denna text, men de kan också komma ifrån barns teckningar. I texten Förklara i del 3 hänvisade vi till Amy MacDonalds forskning (MacDonald, 2013; MacDonald & Lowrie, 2011) där hon lät barn rita en linjal och sedan förklara vad de hade ritat. Nedan finns exempel på urtavlor som visar hur olika idéer om tid utvecklas av barn. I den första bilden finns det bara några krumelurer i den cirkulära formen vilka antyder siffror. På den andra urtavlan finns siffror, men endast upp till 7, vilka är klämt ihop på ena sidan. Bilderna berättar något om barnens kunskaper om hur en klocka kan användas för att säga hur mycket klockan är. Det verkar som om progressionen i att rita urtavlor är ganska typisk. Emellertid kan man få en djupare förståelse för bilderna genom att fråga barnen om vad de har ritat på sina urtavlor och varför. Ofta vet barn mer än vad de kan representera i sina teckningar. Sammanfattning När barn börjar använda enheter för att mäta saker med, då använder de också sina idéer om antal. Emellertid är utforska, begreppsliggöra och representera mätning mer än att bara 11 (13)

12 räkna. Det finns många möjligheter i förskolan att utmana barnens idéer. Följande är ett exempel från en förskollärare: Vid det första tillfället mätte ett av barnen sin längd med hjälp av pennor. Därefter började barnen tillverka ett eget måttband för att kunna mäta de andra barnen. Efter ett tag blev detta för jobbigt. De kom då på idén att ta pärlburkar till hjälp för att mäta de övriga barnen. Dessa räckte dock inte till så ett av barnen sprang iväg och hämtade klossar. Ett problem som sedan uppstod för barnen var att de insåg att pojken som var sju och en halv penna lång faktiskt var längst. Två av de andra pojkarna som var lika långa, 30 burkar och klossar långa, var kortare än pojken som blev mätt med hjälp av pennor. Och flickan som var kortast blev tjugoåtta burkar och klossar lång. Hur kunde det komma sig? Barns upplevelser utanför förskolan kan ge rika möjligheter att utveckla situationer på förskolan. I Lembrérs studie (2013 ) var det barns erfarenheter av att resa på semester med sina familjer som gjorde att de bestämde sig för att rita en karta. Vid konstruktionen av kartan arbetade de tillsammans med förskolläraren för att lösa många av de problem som dök upp, till exempel att göra en bro som skulle ta bilar i båda riktningarna och som samtidigt var tillräckligt hög för att gå över tåget. I denna situation från barnens vardag uppstod många möjligheter för förskolläraren att utmana barnens teorier-i-handling. Referenser Bishop, A. J. (1988). Mathematical enculturation: A cultural perspective on mathematics education. Dordrecht: Kluwer. Hoodless, P. A. (2002). An investigation into children's developing awareness of time and chronology in story. Journal of Curriculum Studies, 34(2), Kamii, C. (2006). Measurement of length: How can we teach it better? Teaching Children Mathematics, 13(3), Tillgänglig från: Lembrér, D. (2013). Young children's use of measument concepts. In Proceedinngs from the Eighth Congress of European Research in Mathematics Education (CERME 8), 6-10 February 2013, Antalya, Turkey. MacDonald, A. (2013). Young children's ideas about measurement: What does a kindergarten student consider 'measuring' to be. Australian Primary Mathematics Classroom, 18(1), 3-7. MacDonald, A., & Lowrie, T. J. (2011). Developing measurement concepts within context: Children's representations of length. Mathematics Education Research Journal, 23(1), McDonough, A., & Sullivan, P. (2011). Learning to measure length in the first three years of school. Australasian Journal of Early Childhood, 36(3), Skolverket (2016). Läroplan för förskolan Lpfö 98. ([Ny rev. utg.]) Stockholm: Skolverket (13)

13 Utbildningsdepartementet (2010). Förskola i utveckling - bakgrund till ändringar i förskolans läroplan. Stockholm: Regeringskansliet. Wright, V., Drake, M., Gibbs, D., & Hughes, P. (2007). Book 9: Teaching number through measurement, geometry, algebra and statistics. Numeracy Professional Development Projects 2007 (Draft). Wellington, New Zealand: Ministry of Education (13)