INVERSA FUNKTIONER DEFINITION. (invers funktion) Låt ff vara en funktion av en reell variabel med definitionsmängden DD ff och värdemängden VV ff. Vi säger att funktionen ff är inverterbar om ekvationen ff(xx) = yy, med avseende på xx, har precis en lösning xx DD ff för varje givet yy VV ff. Genom tillordningen xx definieras en funktion från VV ff till DD ff. Denna funktion kallas inversen till ff och betecknas ff Enligt definitionen: ff(xx) = yy ff (yy) = xx dessutom DD ff = VV ff och VV ff = DD ff --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Den inversa funktionen ff erhålles genom att man ur ekvationen yy = ff(xx) löser ut x och sedan ( om det finns exakt en lösning för varje yy VV ff ) låta xx ooooh yy byta plats, varvid man får yy = ff (xx). ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Om vi ritar yy = ff(xx) och yy = ff (xx) i samma koordinatsystem då är graferna symmetriska i linjen yy = xx som vi ser i figuren till höger, där ff(xx) = ee xx ooooh ff (xx) = llll(xx) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- av 7

Anmärkning : Kravet att ekvationen ss = ff(xx) har exakt en lösning för varje ss VV ff innebär att varje linje yy = ss (parallell med x-axeln) skär funktionens graf yy = ff(xx) i precis en punkt. Fig. En inverterbar funktion För varje s VVVV har linjen y=s och kurvan y=f(x) precis en skärningspunkt. Fig 2. Funktionen är INTE inverterbar Det finns s så att linjen y=s och kurvan y=f(x) har 2 skärningspunkter. DEFINITION 2. (injektiv funktion) Vi säger att en funktion y = f (x), är injektiv (one-toone) om följande gäller för x x D( ) x x f x ) f ( ) (*). 2 ( x2, 2 f Anmärkning 2: Kravet x x f x ) f ( ) är ekvivalent med f ( x = x = x. ) f ( x2) 2 ( x2 2 som betyder att ekvationen y = f (x) (med avseende på x) har exakt en lösning för varje y V ( f ). Med andra ord en funktion är inverterbar om och endast om funktionen är injektiv. Anmärkning : För att avgöra om y = f (x), x D( f ) är inverterbar räcker det att kontrollera om högst en lösning till y = f (x) ligger i D(f). Detta eftersom om y V ( f ) då (enligt definitionen av värdemängden) finns det mins ett x D( f ) så att y = f (x). NÅGRA SPECIELLA FALL: 2 av 7

. Om funktionen är växande på ett intervall I så har ekvationen y = f (x) (m.a.p. x) högst en lösning x I. Alltså har vi följande: (Funktionen y = f (x) är växande på ett intervallet I ) ( y = f (x) är inverterbar på ett I ) 2. Samma gäller för avtagande funktioner: (Funktionen y = f (x) är avtagande på ett intervallet I ) ( y = f (x) är inverterbar på ett I ). Om derivatan f ( x) > 0 på ett öppet intervall I så är funktionen växande på I och därmed inverterbar. Anmärkning: Om funktionen är dessutom kontinuerlig i en ändpunkt (eller båda ändpunkterna ) så är funktionen växande (och därmed inverterbar) i intervallet J som vi får om vi utökar I med den ändpunkten (de ändpunkterna). 4. Om derivatan f ( x) < 0på ett öppet intervall I så är funktionen avtagande på I och därmed inverterbar. Exempel. Visa att funktionen 2 y = ( x +) är inverterbar på intervallet (, ). Lösning: Funktionen 2 y = ( x +) har derivatan = 2 ( + ) y x som är positiv om x >. Alltså är funktionen växande ( och därmed inverterbar på det öppna intervallet (, ). Anmärkning: Eftersom funktionen är kontinuerlig i ändpunkten x= kan vi inkludera även denna punkt. Alltså är funktionen växande och därmed inverterbar på det öppna intervallet [, ). 5. Vi har förklarat att en funktion som är växande på ett intervall är inverterbar. Samma gäller om funktionen är avtagande på ett interval. Men det finns inverterbara funktioner som är varken växande eller avtagande. x om 0 x Exempel 2 Funktionen f ( x) = är varken avtagande eller växande i 4 x om< x 2 definitionsintervallet [0,2]. av 7

Trotts detta är den inverterbar eftersom ekvationen y = f (x) med avseende på x har högst en lösning i D( f ). Uppgift. Bestäm inversen till funktionen = xx + 5 ddärr < xx < (ooooh ddärrrrrrrr < yy < ). Lösning: = xx + 5 xx = yy 5 xx = (yy 5)/ ( eeeeeeeeee eeee llössssssssss fförr vvvvvvvvvv yy VV ff ) Vi kan skriva ff (yy) = (yy 5)/ Om vi byter plats på x och y ( som man brukar göra i analysen) får vi yy = (xx 5)/ eller ff (xx) = (xx 5)/ Svar: ff (xx) = (xx 5)/ Uppgift 2. a) Bestäm inversen till funktionen (xx) = + 0ee xx+5. b) Bestäm också DD ff, VV ff, DD ff och VV ff. 4 av 7

Lösning: a) y = + 0ee xx+5 0ee xx+5 = yy ee xx+5 = (yy )/0 xx + 5 = llll[(yy )/0] xx = 5 + llll[(yy )/0] xx = Vi byter plats på x och y och får SSSSSSSS aa) ff (xx) = yy = eeeeeeeeee ff (xx) = 5 + llll[(xx )/0] 5 + llll[(xx )/0] 5 + llll[(xx )/0] b) Funktionen ff(xx) = + 0ee xx+5 är definierad för alla reella tal. Därför DD ff = (, ) och därmed VV ff = DD ff = (, ). Funktionen ff (xx) = 5+llll[(xx )/0] är definierad om xx >. Därför DD ff = (, ) och därmed VV ff = DD ff = (, ) SSSSSSSS bb) DD ff = VV ff = (, ) och VV ff = DD ff = (, ) Uppgift. 5 + llll[(yy )/0] Bestäm största intervall som innehåller punkten x = 5 i vilken funktionen har invers. 2x Lösning: f ( x) =. 2 2 ( x + ) y = f ( x) = x 2 + f ( x) > 0 om x < 0 funktionen är avtagande i det öppna intervallet. Eftersom funktionen är kontinuerlig i intervallets ändpunkt x=0 kan vi inkludera denna punkt också, dvs funktionen är växande i intervallet (,0]. Därmed är funktionen inverterbar i intervallet (,0]. Detta intervall innehåller punkten x = 5. Funktionen är avtagande i intervallet [ 0, ] och därmed inverterbar i detta intervall men punkten x = 5 ligger inte där. Svar: (,0] är det största intervall som innehåller punkten x = 5 i vilken funktionen har invers. 5 av 7

Uppgift 4. Bestäm om följande funktioner är inverterbara. Bestäm inversfunktion om den finns samt motsvarande definitionsmängder och värdemängder. a) ff (xx) = 4xx 2, 2 xx 2 b) ff 2 (xx) = 4xx 2, 0 xx 2 c) ff (xx) = 4xx 2, 2 xx 0 Lösning a) a) Definitionsmängd: DD ff = [ 2,2] Värdemängd: VV ff = [0,6] Vi väljer ett godtyckligt y från funktionens värdemängd och kollar hur många lösningar till ekvationen yy = 4xx 2 ligger i definitionsmängden: yy = 4xx 2 xx 2 = yy/4 xx = ± yy/4 Alltså om 0 < yy 6, har vi två lösningar xx = yy/4 och = + yy/4 som båda ligger i definitionsmängden 2 xx 2 och därför är inte funktionen inverterbar. b) ff 2 (xx) = 4xx 2, 0 xx 2 Definitionsmängd: DD ff = [0,2] Värdemängd: VV ff = [0,6] När vi formellt löser ut x ur ekvationen y = 4xx 2 har vi igen xx = ± yy/4 men endast en lösning xx = + yy/4 ligger i DD ff. Alltså, för varje yy VV ff har vi precis en lösning xx = + yy/4 i definitionsmängden DD ff. därmed är funktionen inverterbar och ff (yy) = yy/4 eller, om vi använder x som oberoende variabel, har vi ff (xx) = xx/4. 6 av 7

Vidare DD ff = VV ff = [0,6] och VV ff = DD ff = [0,2] c) ff 2 (xx) = 4xx 2, 2 xx 0 Definitionsmängd: DD ff = [ 2, 0] Värdemängd: VV ff = [0,6] För varje yy VV ff har vi precis en lösning xx = yy/4 i definitionsmängden DD ff. därmed är funktionen inverterbar och ff (yy) = yy/4 eller, om vi använder x som oberoende variabel, har vi ff (xx) = xx/4, Dessutom DD ff = VV ff = [0,6], VV ff = DD ff = [ 2,0] 7 av 7