RELATIONER OCH FUNKTIONER

RELATIONER OCH FUNKTIONER 1 ORDNADE LISTOR (n-tipplar) Ordningen i en mängd spelar ingen roll Exempelvis {1,,3}={3,1,}={1,3,} För att beskriva listor med objekt där ordningen är viktigt använder vi rundparenteser (eller ibland hakparenteser) Sådana ordnade listor med n element kallar vi n-tipplar Två n-tipplar är lika om och endast om de har lika element på motsvarande platser Alltså a, a, a ) ( b, b,, b ) om och endast om ( 1 n 1 n a1 b 1, b n a,, a bn Exempelvis öljande ordnade par är olika (1,) (,1) (medan mängderna {1,} och {,1} är lika) Samma gäller ör tripplarna (1,,3) (3,1,) (medan mängderna {1,,3}={3,1,}) PRODUKTMÄNGD Deinition 1 Låt A och B vara två givna mängder Man deinierar deras produktmängd A B genom A B {( a, b) : a A, b B} Element i produktmängen A B består alltså av alla ordnade par vars örsta komponent (koordinat ) är rån A och den andra rån B Observera att A B och B A är i allmänt olika mängder De är lika endast om A=B Anmärkning: Produktmängden A B kallas även den kartesiska (eller cartesiska) produkten av A och B, eter den ranske matematikern René Descartes, (latin: Cartesius) Produktmängen A B kan vi åskådligt göra i en sk kartesiskt diagram ( eller kartesiskt koordinatsystem) där vi ritar horisontellt element rån örsta mängden A och vertikal element rån B Exempelvis, om A ={1,,3} och B={a,b} så är A B ={(1,a), (1,b),(,a),(, b),(3,a),(3, b)} som vi kan åskådligt göra i nedanstående diagram 1 av 3

Mängdprodukten A A betecknas kortare A T ex R R R {( x, : x R, y R}, där R betecknar mängden av alla reella tal, brukar åskådligt göras med hjälp av ett koordinatsystem i xy-planet: y (x, O(0,0) x Exempel 1 Låt A= {1,,3,4} och B = {a,b} Bestäm a) A B och b) B A Svar: a) A B {( 1, a),(1, b),(, a),(, b),(3, a),(3, b),(4, a),(4, b)} b) B A {( a,1),( a,),( a,3),( a,4),( b,1),( b,),( b,3),( b,4)} RELATIONER Begreppet relation är väldigt viktigt inom lera matematiska områden och olika tillämpningar (diskret matematik, kombinatorik, grateori, datologi, programmering, ekonomi, transport, ) En relation är en icke-tom delmängd av en given mängdprodukt Deinition Låt A och B vara två icke-tomma mängder och låt ρ beteckna en godtyckligt, icke-tom delmängd av produktmängden A B Vi säger då att ρ är en binär relation rån mängden A till mängden B Om ( a, b) säger vi att element a står i relationen ρ till elementet b (eller kortare a är relaterad till b) Detta otast skrivs som a b Deinition 3 Mängden A i ovanstående deinition (De ) kallar vi startmängd och mängden B målmängd Relationens deinitionsmängd är D { a A : ( a, b) } Relationens värdemängd är V { b B : ( a, b) } (På liknande sätt deinierar vi nedan deinitionsmängd och värdemängd ör en unktion ) av 3

Anmärkning 1 Man kan välja vilken som helst bokstav ör att beteckna en relation S, T, s, t, osv Väldigt ota väljer man R, r eller ρ (grekisk rho) Anmärkning Istället en binär relation säger man otast bara relation ------------------------------------------------------------------------------------------------------ En relation kan vi ange på två sätt: i) Genom att ange produktmängden (dvs att ange start mängd och målmängd) och ett eller lera villkor ör element som bildar relationen Exempel 1 {( x, R R : x y 4} dvs är mängden av alla talpar vars koordinater är reella tal som uppyller x y 4 (dvs cirkeln med radien och centrum i origo ) ii) Om antalet par som bygger en relation är ändlig kan vi deiniera relationen genom att ange alla par som hör till relationen Exempel 3 Låt A={a,b,c,d} och B={x,y,z} Då är produktmängden A B {( a, x),( a,,( a, z),( b, x),( b,,( b, z),( c, x),( c,,( c, z),( d, x),( d,,( d, z)} Om vi väljer en delmängd till A B t ex {( a,,( a, z),( b, x),( c, z),( d, x)} A B då har vi deinierat en relation rån A till B --------------------------------------------------------------------------------- En relation kan vi illustrera på lera olika sätt Vi kan illustrera en relation med hjälp av en tabell För att tolka korrekt måste man ange om den örsta mängden i relationen ligger horisontellt eller vertikalt i) I nedanstående tabell (matris), som visar relationen ρ, ligger den örsta mängden A horisontellt Därmed visar tecknet * att nedanstående element står i relationen mot det element som står till vänster om * T ex b står i relationen ρ till x {( a,,( a, z),( b, x),( c, z),( d, x)} : z * * y * x * * a b c d ii) I nedanstående igur ramställer vi samma relation genom att ange de örsta koordinaterna vertikalt (till vänster om tabellen) och de andra koordinaterna horisontellt ( ovanpå tabellen) (Denna metod används ibland i grateori och köteori) 3 av 3

{( a,,( a, z),( b, x),( c, z),( d, x)} x y z a * * b * c * d * iii) Vi kan illustrera en relation med hjälp av pilar som visar relaterade element Pilen startar i örsta mängden Relationen {( a,,( a, z),( b, x),( c, z),( d, x)} illustrerar vi med nedanstående igur ----------------------------------------------------------------------------------------- iv) En relation i R R dvs i R, där R betecknar mängden av reella tal deinierar vi genom att ange villkor ör de talpar som hör till relationen Vi illustrerar en sådan relation med en graisk bild, genom att rita punktmängden av de talpar som ligger i relationen Exempel 4 Låt S= {( x, R R : x 3, y } Nedanstående gra (den gröna delen) illustrerar relationen S 4 av 3

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Exempel 5 Låt S= {( x, R R : y x } Då illustreras relationen S med den räta linje i xy-planet vars ekvation är y x Exempel 6 (Denna uppgit kan du lösa eter lektionen om andragradskurvor) Rita öljande mängd i xy-planet A= {(x, R : x +y 9 } Svar: Cirkelskivan med radien r = 3 ochh centrum i origo: D A 3 Exempel 7 (Denna uppgit kan du lösa eter lektionen om andragradskurvor) Rita öljande relation i xy-planet x D= { (x, R : y 1 och y 0 } 4 Svar: (Den blå delen i nedanstående igur) ---------------------------------------------------------------------------------------- Invers relation Låt A B vara en relation rån A till B Inversen till relationen är en relation rån B till A som vi betecknar B A och deinierar som {( y, x) : ( x, y ) } Exempel 8 Låt A={a,b,c,d} och B={1,,3} Låt {(aa,),( a,3), ( b,1),( c,1)} A B 5 av 3

Då är inversen {(, a),(3, a),(1, b),(1, c)} B A Anmärkning: Inversrelation är alltid deinierad (till skillnad rån inversunktion, som vi diskuterar nedan) FUNKTIONER (eller avbildningar) Deinition 4a Låt A och B vara två icke-tomma mängder En icke-tom delmängd av produktmängden A B kallas unktion (eller avbildning) rån A till B om varje x A örekommer i högst ett av paren i Formellt kan vi utrycka deinitionen av en unktion enligt öljande: En relation A B är en unktion om och endast om [( x, och ( x, z) ] y z Om vi jämör deinitioner ör relation och unktion ser vi att en unktion är en relation med egenskapen att örsta koordinat örekommer högst en gång Följande ekvivalenta deinition av begreppet unktion används i matematisk analys: Deinition 4b En unktion (eller avbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B Att är en unktion rån A till B betecknar vi på öljande sätt : A B Om ( x, skriver vi otast y ( x) Vi säger också att x är unktionens oberoende variabel eller argument Bokstaven y i uttrycket y (x) kallas unktionens beroende variabel I detta all kallas y unktionsvärdet ör argumentet x Exempel 9 Låt A={1,,3,4} och B={1, 15, } Bestäm om öljande relationer är unktioner 6 av 3

a) S 1 ={(1, 1), (1,15), (4,)} b) S ={(1, ), (3,15}, (4,)} Lösning: a) Relationen S 1 är inte en unktion etersom örsta koordinaten 1 örekommer två gången (inns i två par (1, 1) och (1,15) ) b) Relationen S är en unktion etersom örsta koordinaterna (dvs element som hör till A={ 1,,3,4} ) örekommer högst en gång Exempel 10 Låt A={a,b,c,d} och B={x,y,z} Bestäm om relationer S 1 och S som deinieras i nedanstående igurer är unktioner Lösning: i) Relationen S 1 är inte en unktion etersom a örekommer två gången som örsta koordinaten ( Från a går två pilar, mot y och mot z Därmed inns a i två par (a, och (a,z) ) ii) Relationen S är en unktion etersom de örsta koordinaterna örekommer högst en gång (Från varje element i A går högst en pil mot B) Exempel 11 Bestäm om relationer S 1 (en ellips) och S (en parabel), som deinieras i nedanstående kartesiska koordinatsystem, är unktioner y S 1 S y a) b) O x O x Lösning: a) Relationen S 1 är inte en unktion 7 av 3

Det inns minst en linje x=a som skär graen i två punkter (se ovanstående igur) Därmed inns a i två par (a, y 1 ) och (a,y ) som hör till relationen S 1 Härav öljer att relationen S 1 inte är en unktion b) Relationen S är en unktion etersom en godtycklig linje x=a skär graen i högst en punkt Med andra ord örekommer de örsta koordinaterna högst en gång Deinitionsmängd och värdemängd Funktionens deinitionsmängd och värdemängd deinieras genom D { x A : det inns ett par ( x, } V { y B : det inns ett par ( x, } Graen G till unktionen är mängden G = {( x, : ( x, } {( x, ( x)) : x D } Anmärkning: I kurser omenvariabelanalys brukar vi åskådligt göra graen till en unktion i xy-planet Mängden A ar unktionens startmängd (eng: initial set ) Mängden B är unktionens målmängd eller kodomän (eng: inal set, target set, codomain,) : A B x y 8 av 3

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Man kan också deiniera deinitionsmängden och värdemängdenn på öljande sätt: Deinitionsmängden (eng: domain) D till unktionen är mängden m av alla originaler dvs mängden av alla x på vilka tillämpas (den gula mängden i graen) Värdemängden (eng: range) ) V är mängden av alla bilder ( x ) som ås då x genomlöper deinitionsmängden, eller mer precis V { ( x) : x D } (den blå mängden i ovanstående gra) Notera skillnaden mellan startmängden A och deinitionsmängen D samt skillnaden mellan målmängden B och värdemängden V Generellt gäller: D Aoch V B Exempel 13 (Ändliga A och B) Bestäm startmängden, målmängden, deinitionsmängdenn och värdemängden ör unktionen : A B, som deinieras i iguren till höger Svar: startmängden =A= { 1,,3,4} målmängden = B { a, b, c, d, e }, deinitionsmängdenn är { 1,,3}, D värdemängden är V { a, c} ====== ========= ========= ========= ========= ========= ========= ======== === I kurserr om envariabelanalyss betraktar vi reella unktioner y= = (x) av en reell variabel, med andra ord, både x och y är reella tall dvs : R R För att deiniera en unktion : R R måste vi ange 1 unktionens deinitionsmängd D och ett uttryck y= (x) ( dvs en regel som till varje x D ordnar exakt ett reellt tal (x) ) Lägg märke till att vi kan beteckna variabler med andra bokstäver: T ex, vi betraktar ( x) 3x 8, unktioner x R och g( t) 3t 8, t R somm två lika Funktionens värdemängd V är mängden av alla ( (x) då x varierar inomm deinitionsmängdenn dvs V { ( x) : x D } D Deinitionsmängden ör unktionen (x ) 9 av 3

i iguren till höger är D (1,8 ] medan värdemängden består av två intervall V ( 1,4) [6,8] I envariabelanalys, som standard, gäller öljande överenskommelse: Om vi inte anger, på explicit sätt, deinitionsmängden ör en unktion : R R menar vi att unktionens deinitionsmängd består av alla reella x ör vilka (x) är ett reellt tal Dvs, vi menar att D ( i ett sådant all) är den största möjliga deinitionsmängden ör (x) Exempel 1 Låt : R R, där ( x) 1 x målmängd och deinitionsmängd Bestäm unktionens startmängd, Lösning: För den här unktionen är startmängden= R, målmängden = R, Etersom 1 x är ett reellt tal om och endast om 1 x 0 x 1 x 1, drar vi slutsats att deinitionsmängden är intervallet [ 1,1] Svar: D = [ 1,1] Anmärkning: Värdemängden till unktionen ( x) 1 x är [0,1] Detta inser vi om vi analyserar värdmängden ( ör x som ligger i deinitionsmängden dvs x 1) Vi har x 1 0 x 1 0 1 x 1 0 1 x 1, som vi, i det här allet, enklast bestämmer genom att rita unktionskurvan Deinition 5 Graen G till en unktion som ges av y (x) är mängden av alla ( x, ( x)) då x varierar inom deinitionsmängden, dvs G= {( x, ( x)) : x D } Om : R R då kan vi å en graisk bild av unktionen genom att i xy-planet rita (grovt skissera) punkterna {( x, ( x)) : x D } Motsvarande kurva i xy-planet kallas unktionskurva För varje x i deinitionsmängden D har vi exakt en punkt på unktionsgraen igur A igur B (x) x1 x1 10 av 3

Kurvan i igur A är en unktionskurva ( ör varje reellt tal x 1 har vi högst en motsvarande punkt på unktionskurva [Om x 1 ligger i deinitionsmängden då har vi exakt en motsvarande punkt på unktionskurvan] Kurvan i igur B (en ellips) är INTE en unktionskurva ( ör minst ett x 1 har vi minst två motsvarande punkter på graen ------------------------------------------------------- Deinition 6 Två unktioner och g, är lika om öljande tre krav är uppyllda: 1 och g har samma startmängd A och samma målmängd B, dvs : A B och g : A B och g har samma deinitionsmängd dvs D Dg 3 ( x) g( x) ör alla x D Anmärkning: I ovanstående deinitionen garanterar och 3 tillsammans att {( x, ( x)) : x D } = {( x, g( x)) : x Dg} Exempel 14 Låt : R R och g : R R där ( x) x, x [1,5 ] och g( x) x, x [0,] är två olika unktioner etersom D [1,5] och D g [0,] dvs D Dg --------------------------------------------------------------------- RESTRIKTION AV EN FUNKTION Deinition 7 Låt och g vara två unktioner med deinitionsmängder A respektive B där B A Om ( x) g( x) ör alla x B säger vi att g är restriktionen av unktionen till B Med andra ord, en restriktion g har samma regel som (dvs ( x) g( x) om x B ) men har en mindre deinitionsmängd ( B A ) T ex Om ( x) x x, med deinitionsmängden D [1, 5], och g( x) x x, med D [, 4] då är g restriktionen av unktionen till [, 4] g Exempel 15: Rita unktionen y x, där x Bestäm unktionens värdemängd Lösning: Funktionens deinitionsmängd är mängden av alla reella tal x sådana att x 11 av 3

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Alltså D Vi ritar den del av parabeln y x, därr x Lägg märke till att punkten (, 4) inte tillhör graen Vi ser att 0 y 4 Därmed är unktionens värdemängd { y R : 0 y 4} V D { x R : x } som vi skriver på kortare sätt Vi skriver på kortare sätt V [0, 4) D [, ) Exempel 16: Låt y x ( där x och y är reella tal) ) Bestäm unktionens deinitionsmängd ( dvs den största möjliga deinitionsmängd) och värdemängd Rita graen tilll unktionen Lösning x är ett reellt tal om och endast om x 0 Funktionen antar alla värden y 0 Svar: [0, ) D V [0, ) 1 av 3

INJEKTION, SURJEKTION, BIJEKTION Allmän terminologi I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en unktion : A B Vi har otast kravet att varje element x i A har precis en bild (x) i B och att varje element i B har precis en original i A Sådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller rån A till B) En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan innas endast om mängderna har samma antal element Om det inns en bijektion mellan två mängder A, B (ändliga eller oändliga) säger vi att de har lika kardinalitet ( kardinaltal) Deinition 8 Låt vara en unktion rån mängden A till B dvs : A B Vi säger att är en bijektiv unktion (eller en bijektion) mellan A och B (eller rån A till B) om öljande gäller: 1 Funktionens deinitionsmängd D är lika med A Ekvationen ( x) y, ör varje y B, har precis en lösning x A Exempel 14 (A och B är mängder med ändligt många element) Bestäm vilka av öljande avbildningar är bijektioner: 13 av 3

iii) A 3 B 3 iv) A 4 4 B 4 3 3 1 b a 3 1 A B c b a Svar i) Nej, element 4 i mängden A 1 har ingen bild ii) Nej, element d i mängden B har ingen original iii) Nej, element b har två original-element och 3 iv) Ja, varje element i A 4 har exakt en bild och varje element i B 4 har exakt en original Deinition 9 1 INJEKTION Funktionen : A B kallas injektiv om ekvationen ( x) y, ör varje y B, har högst en lösning x A ( D v s ingen eller en lösning x A) SURJEKTION Funktionen : A B kallas surjektiv om ekvationen ( x) y ör varje y B, har minst en lösning x A (Med andra ord om värdemängden V =B) 3 BIJEKTION Funktionen : A B kallas bijektiv om öljande gäller a) Funktionens deinitionsmängd D är lika med A b) Funktionen är både injektiv och surjektiv Viktigast ör oss är att undersöka om en unktion är injektiv Som vi ser nedan, en unktion är inverterbar om och endast om den är injektiv Från deinitionen ramgår öljande: 1 En unktion är injektiv om och endast om olika original har olika bilder dvs x1 x ( x1 ) ( x ) Detta är ekvivalent med ( x1 ) ( x ) x1 x Om : R R dvs om är en unktion rån reella tal till reella tal kan vi testa om är en injektion genom att lösa ut x ur ekvationen y (x) Om högst en lösning till y (x) ligger i D då är en injektion Anmärkning: Om : A B är en injektiv unktion då är en bijektion mellan deinitionsmängden D och värdemängden V 14 av 3

T ex, unktionen d c b a A : A B deinierad i nedanstående diagram B 5 4 3 1 är injektion rån A till B men den är bijektion mellan deinitionsmängden D ={a,b,c} och värdemängden V ={1,,3} Exempel 17 Bestäm vilken/vilka av öljande avbildningar är en surjektion, injektion, bijektion Svar: i) 1 är varken injektiv eller surjektiv ii) är injektiv men inte surjektiv iii) 3 är surjektiv men inte injektiv iv) 4, som är deinierad på hela A 4, är både injektiv och surjektiv, och därmed bijektiv Exempel 18 Bestäm om : R R är en injektion då a) y ( x) x, x b) ( x) x, x 0 Lösning: a) D =R= (, ) Vi löser ekvationen y x på x och år x y Vi ser att vi har två lösningar x1 y, x y ör ett y (om y >0) där båda ligger i D =R Funktionen är inte en injektion 15 av 3

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Vi kan dra samma slutsats med hjälp av graen Om vi ritar graen till då ser vi att det inns (minst en ) linje parallell med x-axeln som skär kurvan i minst två t punkter (y har två originaler) som betyder att inte är en injektion x y x 1 y ====== ========= ========= ========= ==== INVERSA FUNKTIONER Deinition 10 (Invers unktion) Låt : A B vara en injektiv unktion med deinitionsmängdenn D och värdemängd den V Låt vidare {( x, : x D } vara unktionens gra Den inversa unktionen 1 : B A, deinieras genom {( y, x) : där ( x, } (Anmärkning: Ovanstående deinition används i analyskurserna I diskret matematik deinierar man inversen endast ör bijektiva unktioner) Enligt deinitionen: ( x) y ( x dessutom D V, och V D Alltså, deinitionsmängden till inversen är samma som värdemängdenn till 1 Värdemängden till inversen är sammaa som deinitionsmängden till 16 av 3

Kommentar 1: Om vi betraktar som en relation då alltid existerar inversrelationen men den behöver inte vara en unktion Antagandet att är en injektion är viktigt Det garanterar att inversrelation är också en unktion Etersom vi antar att är en injektiv unktion då andra komponenten y örekommer högst en gång i graen Därmed den örsta komponent y i graen örekommer högst en gång och därör är relationen också en unktion Om inversunktionen existerar säger vi att är inverterbar Från deinitionen av inversunktionen ramgår öljande: En unktion : A B är inverterbar om och endast om är injektiv Hur bestäms inversen till en injektiv unktion? Vi betraktar två all: Fall 1 Om graen {( x, : x D } till : A B har ändligt många par då bildar vi {( y, x) : där ( x, } helt enkelt genom att byta plats på örsta och andra komponenter Exempel 19 Låt : A B där A={a,b,c,d}, B={1,,3,4,5}och {( a,1),( b,),( c,3)} a) Bestäm inversen till (om är inverterbar) b) Rita graerna till och Lösning: a) Funktionen är inverterbar etersom den andra komponenten i ett par örekommer högst en gång dvs varje element i B har högst ett original (med andra ord är en injektiv unktion) Vi år inversen genom att byta plats på koordinaterna: {(1, a),(, b),(3, c)} b) Graen till kan vi å mad hjälp av graen till, genom att ange pilarna i motsats riktning (Alternativt kan vi rita en ny gra med B till vänster) Graerna till och : 17 av 3

Fall Om graen {( x, : x D } till : A B har ändligt många par då anges unktionen otast med hjälp av ett uttryck och deinitionsmängden dvs på ormen y ( x), x D För att bestämma om är inverterbar, löser vi x ur ekvationen y (x) i) Om vi, ör varje y B, år högst en lösning x g( i deinitionsmängden D då är inverterbar med inversen g ( dvs 1 ( g( ii) Om det inns två (eller lera) lösningar i deinitionsmängden saknar inversen D ör minst ett y B då Exempel 0 Bestäm om : R R är en inverterbar unktion Om svaret är ja bestäm inversen a) y ( x) x 3, x b) ( x) x, x c) ( x) x, x 0 Lösning: a) Vi löser ut x ur ekvationen y x 3 y 3 Vi har y x 3 x y 3 x Vi år högst en lösning (den här gången, exakt en lösning) ör varje unktionen är injektiv och därmed inverterbar 3 Vi har även ått inversen ( ) y 1 y Anmärkning: Man otast betecknar oberoende variabel med x så att man kan skriva 3 ( ) x 1 x y R som betyder att b) Vi löser ut x ur ekvationen y x Vi har y x x y Som vi ser rån lösningen kan vi å två lösningar y ör ett y (om y>0) Båda lösningar ligger då i deinitionsmängden D = (, ) T ex ör y= 9 har vi två x-värden x = 3 och x = 3 och båda ligger i D Därör drar vi slutsatsen att unktionen inte är inverterbar c) ( x) x, x 0 Notera att deinitionsmängden är D = (,0) (och inte hela R som i b-uppgiten) Vi löser ut x ur ekvationen y x Vi har y x x y Etersom x 0 enligt unktionens deinition accepterar vi endast lösningen x y Därmed har vi högst en lösning i D, som betyder att unktionen är inverterbar och har inversen 1 ( y ======================================= 18 av 3

BLANDADE ÖVNINGAR Uppgit 1 Relationen rån A={a,b,c,d} till B={m,n,p} deinieras som {( a, m),( a, n),( b, m),( b, n)} Bestäm relationens i) startmängd ii) målmängd iii) deinitionsmängd iv) värdemängd v) invers Svar: i) Startmängden är A={a,b,c,d} ii) Målmängden är B={m,n,p} iii) Deinitionsmängd är D={a,b} iv) Värdemängden är V={m,n} v) {( m, a),( n, a),( m, b),( n, b)} B A Notera att inversrelation alltid existerar (till skillnad rån inversunktion) Uppgit Vilka av öljande relationer rån A={1,,3,4,5} till B={a,b,c,d} är unktioner? i) 1 {(1, a),(, b),(3, c),(3, d)} ii) {(1, a),(, b),(, c),(3, d)} iii) 3 {(1, a),(1, b),(1, c),(3, d)} iv) {(1, a),(, a),(4, d),(5, d)} Svar: i) Nej, etersom 3 örekommer två gånger (dvs mer än en gång) som den örsta komponenten ii) Nej, etersom örekommer två gånger (dvs mer än en gång) som den örsta komponenten iii) Nej, etersom 1 örekommer tre gånger (dvs mer än en gång) som den örsta komponenten iii) Ja, etersom varje element rån A örekommer högst en gång som den örsta komponenten i relationen Uppgit 3 Funktionen : A B, där A={1,,3,4,5} och B={a,b,c,d} deinieras genom ={(1,a), (,b),(3,b),(4,a)} Bestäm unktionens i) startmängd ii) målmängd iii) deinitionsmängd iv) värdemängd Bestäm också v) (3) vi) (5) Svar: i) Startmängden är A={1,,3,4,5} ii) Målmängden är B={a,b,c,d} iii) Deinitionsmängd är D ={1,,3,4} iv) Värdemängden är V ={a,b} v) (3)=b vi) (5) är inte deinierad Uppgit 4 Låt R beteckna mängden av alla reella tal Funktionen : R R är deinierad som ( x) x, 1 x 3 Bestäm unktionens i) startmängd ii) målmängd iii) deinitionsmängd iv) värdemängd Bestäm också v) (3/) vi) (5) vii) Rita (grov skissera) en graisk bild till unktionen Svar: i) Startmängden är R ii) Målmängden är R iii) Deinitionsmängd är intervallet [1,3]= { x R, 1 x 3} iv) Värdemängden är intervallet [1,9] = { y R, 1 y 9} ( Om x antar alla värden mellan 1 och 3 då (x) antar alla värden mellan 1 och 9) v) (3/)=9/4 vi) (5) är inte deinierad 19 av 3

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic vii) Graen består av den del av parabel y x som ligger ovann D =[1,3], Svar vii: Graen till y ( x ) x, 1 x 3 : Uppgit 5 Bestäm om : A B och g : C D är två lika unktioner där a) A={1,,3}, B={ m,n,p,q}, C={1,,3,4}, D={ m, n,p,q}, ={(1,m), (,p)}, g={(1,m), (,p)},( b) A={ 1,,3}, B= ={ m,n,p,q}, C={1,,3} }, D={ m,n,p}, ={(1,m), (,p)}, g={(1,m), (,p)},( c) A={ {1,,3}, B= ={ m,n,p,q}, C={1,,3}, D={ m,n,p,q}, ={(1,m), (,p)}, g={(1,m), (,p),(3,q)}(, d) A={1,,3}, B={ m,n,p,q}, C={1,,3}, D={ m,n,,p,q}, ={(1,m), (,p)}, g={(1,m), (,p)},( Lösning: Två unktioner : A B och g : C D som är deinierade med deras graer och g är lika om och endast om deras startmängder är lika, A=C, deras målmängder är lika B=D och slutligen deras graer är lika =g a) Funktionerna och g är inte lika etersom A C (olika startmängder) b) Funktionerna och g är inte lika etersom B D (olika målmängder) c) Funktionerna och g är inte lika etersom g (olika graer) d) Funktionerna och g är lika (etersom A C ={1,,,3}, B D ={ m,n,p,q} och g ={(1,m), (,p)} Uppgit 6 Låt R beteckna mängden av alla reella tal Bestäm om o är två lika unktioner där a) (x ) x 3, b) (x ) x 3, c) (x ) x 3, 1 x 5, 1 x 5, 1 x 5, g( x) x 3, g( x) x 3, g( t) t 3, 3 x 4 1 x 5 1 t 5 : R R och g : R R 0 av 3

Lösning: Två unktioner : A B och g : C D som är deinierade med uttryck y ( x) där x D resp y g( x) där x Dg är lika om och endast om deras startmängder är lika, A=C, deras målmängder är lika B=D, deras deinitionsmängder är lika, D Dg och slutligen ( x) g( x) ör x D Svar: a) Nej, etersom D Dg b) Ja c) Ja (I allmänt kan vi beteckna en oberoende variabel med vilken bokstav som helst) Uppgit 7 Bestäm om unktionen : A B där A={5,6,7,8,9} och B ={q,w,e,r,t} år inverterbar då a) {( 5, w),( 6,r),(7,w)} b) {( 5, r),(6, r),(7, r)} c) {( 5, t),(6, r),(7, w) Lösning: En unktionen : A B som är deinierad med sin gra är inverterbar om och endast om den är injektiv dvs om varje element i B har högst en original (med andra ord, om andra komponenten i graen örekommer högst en gång) a) Nej, w har två originaler (dvs w örekommer två gånger som andra komponent i graen ) b) Nej, r har tre originaler c) Ja, element rån B örekommer högst en gång i graen Uppgit 8 Bestäm om unktionen : R R år inverterbar då a) ( x) x 3, 5 x 5, b) ( x) 3x 8, 5 x 5 c) ( x) x 3, 0 x 5 Bestäm inversen i all är inverterbar Lösning: a) Från y x 3 har vi x y 3 För några y har vi två lösningar i D (T ex om y=4 har vi x Funktionen är inte inverterbar b) Från y 3x 8 har vi x ( y 8) / 3 dvs högst en lösning Funktionen är inverterbar med inversen 1 ( ( y 8) / 3 där 7 y 3 (deinitionsmängden till inversen är lika med värdemängden till ) Vi kan, om vi vill, beteckna den oberoende variabeln med x dvs vi an skriva ( x) ( x 8) / 3 där 7 x 3 c) Från y x 3 har vi x y 3 Etersom x>0 i D, har vi högst en lösning x y 3 i deinitionsmängden Därmed är unktionen inverterbar Inversen ges av ( y 3, där 3 y 8 (varör?) Allternativt, om vi betecknar den oberoende variabeln med x, kan vi skriva ( x) x 3, där 3 x 8 1 av 3

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Uppgit 9 Funktionen : R R år deinierad som (xx ) x 3, 3 x 5, a) Bestäm unktionens deinitionsmängd och värdemängd b) Bestäm inversenn samt inversens deinitionsmängd och värdemängdv d Lösning: a) Deinitionsmängden är intervallet D ( 3,5] { x R : 3 x 5} Om x antar alla värden i intervallet 3 x 5 då y ( x) x 3 antar alla värden i intervallet 9 y 13 Alltså är värdemängden V ( 9,13] b) Från y x 3 har vi x ( y 3) / Därmed ges inversen av a ( ( y 3) / där 9 y 13 Notera att och Svar: a) (3,5], ( 9,13] b) D D V V ( ( y 3) / där D V (9,13] (3,5] 3 D (9,13] 9 och V (3 5], Uppgit 10 Funktionen (x) x, x avbildar intervall D= = [, ] på värdemängden V a) Rita graen och bestäm värdemängdenn V b) Är unktionen inverterbar? c) Bestäm om g(xx ) x, med deinitionsmängden D [ 0, ] är inverterbar ( Vi behåller samma ormel men ändrar deinitionsmängden till t D [ 0, ] ) Lösning: a) Graen: av 3

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Värdemängden till är V=[,, 6] b) Vi ser på graen att det inns punkter y ( t ex y=5) sådana att ekvationen ( x) y har två lösningar som båda ligger i D= [ 1, ] Funktionen är INTE inverterbar c) y x x y x y Formellt har vi ått två lösningar men endast en lösning x y ligger i deinitionsmängdenn D [0, ] Funktionen g : Dg V g är inverterbar etersom, ör varje y, har ekvationen g( ( x) y precis en lösning i deinitionsmängdenn [0, ] 1 ( y D (där y y ligger i Vg = [, 6] ) 3 av 3