3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika

[RMC] 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika Eftersom de minsta beståndsdelarna i ett dielektrikum är molekyler kan man definiera ett molekylärt dipolmoment Nu gäller p m = mol dqr (3.3) dp = m p m (3.4) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.1 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.3 3.1. Dielektrika 3.2. Det elektriska fältet utanför ett dielektrikum Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några fria laddningar alls. Alla elektroner är med andra ord hårt bundna till materialets atomer eller molekyler. Dielektrika reagerar på yttre elektriska fält så att de polariseras, d.v.s. dipoler induceras i materialet. Detta ger upphov till ett elfältsbidrag innanför och utanför dielektriket. Exempel på dielektrika: glas, porslin, keramik, plast, oxider, luft, diverse vätskor och gaser,... Eftersom dielektrika polariseras, så har varje region med volymen ett dipolmoment dp = dqr (3.1) Ett polariserat dielektrikum består av dipoler, så dielektrikets potential är en summa av deras enskilda potentialer Eftersom dp = P får vi dϕ(r) = 1 dp (r r ) r r 3 (3.5) ϕ(r) = 1 P(r ) (r r ) (3.6) V 0 r r 3 Låt oss förenkla integranden genom att göra oss av med (r r )-termer. Vi kan visa att följande gäller: En naturlig volymoberoende storhet är polarisationen P = dp, [P ] = C/m2, (3.2) Vi har nu att 1 r r = r r r r 3 (3.7) som är en funktion av platsen inom dielektriket. P(r ) (r r ) r r 3 = P(r ) 1 r r (3.8) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.2 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.4

Med hjälp av (ff) = f F + F f får vi F f = (ff) f F: P(r ) 1 r r = P r r 1 r r P (3.9) enligt Gauss teorem (divergensteoremet). Det elektriska fältet är ju = 0 (3.16) Insättning i potentialen: ϕ(r) = 1 P V 0 r r 1 Med Gauss teorem kan skrivas da n och vi har ϕ(r) = 1 Vi kan göra följande identifikation: A 0 da n P r r 1 V 0 V 0 P r r P r r (3.10) (3.11) Vi har från tidigare: så vi får nu E = ϕ (3.17) 1 r r = 1 r r = r r r r 3 (3.18) E(r) = 1 da σ P (r r ) + 1 A 0 r r 3 ) ρ P (r r (3.19) V 0 r r 3 σ P = P n (3.12) ρ P = P (3.13) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.5 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.7 där σ P och ρ P är täthet av polarisationsladdningar. 3.3. Det elektriska fältet innanför ett dielektrikum Potentialen är nu ϕ(r) = 1 Totala laddningen i och på ett dielektrikum är r r + 1 da σ P A 0 ρ P V 0 r r (3.14) Q = ρ + V 0 daσ A 0 (3.15) Om vi inte har externa laddningar, utan all laddning kommer från polarisationen, så har vi Q = (0 + ρ P ) + da(0 + σ P ) V 0 A 0 = P + da P V 0 A 0 = da P + da P A 0 A 0 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.6 Vi vill nu ta reda på det makroskopiska elfältet inne i dielektriket, d.v.s. det genomsnittliga fältet i ett litet område (som dock innehåller många dipoler). Vi har redan bestämt fältet utanför dielektriket, och vi kan använda detta då vi bestämmer det interna fältet. Tidigare visades att E = 0, (3.20) d.v.s. att elfältet är irrotationellt. Från detta följde att vägen för fältets kurvintegral mellan punkterna A och B kunde väljas fritt. Låt nu B = A, så att dr E = 0 (3.21) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.8

Med andra ord, de tidigare resultaten för ϕ och E gäller för observationspunkter r både innan- och utanför dielektriket! Vi tillämpar nu detta på kurvan ABCDA i figuren. Kurvan går genom en vakuum- nål placerad i dielektriket i riktningen av fältet. Kurvintegralen ger, då längden av BC och DA blir infinitesimala, att det vid gränsytan gäller att Alltså: re v,t re d,t = 0 (3.22) E v,t = E d,t (3.23) Slutsats: det elektriska fältet inne i ett dielektrikum är lika med fältet i en tunn vakuum- nål i dielektriket. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.9 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.11 Med hjälp av uttrycket för den externa potentialen får vi nu 3.4. Gauss lag för dielektrika ϕ in (r) = 1 da σ P A 0 +A 1 +A 2 +Am r r + 1 ρ P V 0 Vc r r (3.24) där A m är nålens mantelyta och V c nålens volym, A 0 och V 0 hela kropperns area och volym, och A 1 och A 2 ändytorna på nålen (se bilden). Den första integralen är alltså över alla ytor och den senare över hela kroppen utom vakuumnålens volym (där ju laddningen=0). Låt nu ett antal laddade ledare vara nedsänkta i ett dielektrikum. Gauss lag ger Låt nu nålens tjocklek bli infinitesimalt tunn, så att A 1, A 2 går mot 0. Om dielektriket är isotropiskt har vi dessutom att E är parallell med P, vilket gör att σ P = P n = 0 på mantelytan. Detta gör att ytintegralen får samma utseende som i uttrycket för det externa elfältet, ekv. 3.14. I volymintegralen kan vi låta nålen bli infinitesimalt liten, så att V 0 V c V 0. Men nu måste vi försäkra oss om att detta potentialbidrag inte divergerar! Då nålens volym går mot 0: ρ P lim r r r r lim (x x )(y y )(z z )ρ P r r (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) lim s 3 x ρ P 0 (3.25) 2 sx 0 s x 3 om vi omskriver s = r r och har s x s y s z så att s = s 2 x + s2 y + s2 z = s x 3. da E = 1 (Q + Q P ) (3.26) ε 0 A där den totala laddningens delar är Q = q 1 + q 2 + q 3 (3.27) Q P = da P + ( P) (3.28) A 1 +A 2 +A 3 V Dielektrikets volym V exkluderar ledarnas volymer. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.10 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.12

Den senare ekvationen ger Det elektriska fältet kan nu skrivas Q P = da P + ( P) A 1 +A 2 +A 3 V = da P da P A 1 +A 2 +A 3 A+A 1 +A 2 +A 3 = da P (3.29) A E = 1 ε 0 D 1 ε 0 P (3.35) där D fås utifrån den kända externa laddningsfördelningen ρ med hjälp av Gauss lag i differentialform, ekv. (3.34), och dielektrikets polarisation P. Polarisering uppstår p.g.a. av ett yttre elfält, så vi har det allmänna förhållandet Gauss lag blir A da (ε 0 E + P) = Q (3.30) För de flesta material försvinner P då det yttre fältet plockas bort: P = P(E) (3.36) P(0) = 0 (3.37) Storheten ε 0 E + P har fått ett eget namn, elektrisk förskjutning (displacement) eller elektriskt flödestäthet (flux): Enhet: [D] = [P ] = C/m 2. D ε 0 E + P (3.31) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.13 Om dielektriket är isotropiskt, så har P och E samma riktning. Den enklaste lag som uppfyller dessa villkor är P(E) = χ e (E)E (3.38) där χ e kallas elektrisk susceptibilitet. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.15 Gauss lag är nu A da D = Q (3.32) Denna form är en generalisering för situationer med ledare och dielektrika. Elfältet har ersatts med den relevantare storheten elflödestäthet, och som laddning räknas endast den externa laddningen. Terminologi: Q, Q ext : (extern) laddning på ledares ytor, och i eller på dielektrika Q ind : inducerad laddning på ledares ytor Q P : yt- och volymladdning i dielektrika p.g.a. polarisation, polarisationsladdning Som tidigare kan vi skriva och identifiera A da D = V D = V ρ (3.33) D = ρ (3.34) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.14 Flödet kan nu skrivas där ε är det dielektriska materialets permittivitet. D = ε 0 E + P = (ε 0 + χ e (E))E ε(e)e (3.39) I de flesta fall är χ e, ε oberoende av fältstyrkan. Vi har då linjära dielektrika. Man definierar också den relativa permittiviteten ε r via ekvationen Men så att ε ε r ε 0 (3.40) D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ e E (3.41) ε r = ε ε 0 = 1 + χ e ε 0 (3.42) ε r kallas också för dielektricitetskonstanten. Den har värdet > 1 för övriga media än vakuum. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.16

Vi kan nu skriva polarisationen som Då ε r > 1 är E mindre än om laddningen var i vakuum! Polarisationen av materialet minskar alltså elfältets styrka. P = D ε 0 E = (ε ε 0 )E = ε 0 (ε r 1)E (3.43) För tillräckligt stora värden på E bryts de elementära dipolerna upp då elektroner börjar dras ut ur dem. Då detta sker uppstår fri laddning och dielektriket blir ledande. Det värde på E över vilket detta sker kallas dielektricitets-styrka, och kan betecknas E ds. Dielektrikum ε r E ds (V/m) glas 5-10 9 10 6 kvarts 4,3 8 40 10 6 koksalt 6,1 150 10 6 trä 2,5-8,0 - etanol 28,4 - destillerat vatten, 20-0 Celsiusgrader 80,1-87,8 65 70 10 6 luft, normalt tryck 1,00059 3 10 6 teflon, naturgummi 2,1 - zinkoxid 3 - berylliumoxid 6 - bariumtitanat 1200 20 120 10 6 [RMC, http://www.eccosorb.com/sales/dielectric_chart.pdf, Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.17 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.19 http://www.ami.ac.uk/courses/topics/0115_cai/], CRC, http://hypertextbook.com/facts/2008/jeffreywong.shtml; http://www.mt-berlin.com/frames_cryst/descriptions/quartz.htm 3.5. Randvillkor för fältvektorerna och potentialen Exempel : En punktladdning q inne i ett isotropiskt, linjärt dielektrikum med permittiviteten ε. Flödestätheten är D = ε 0 E r + P = ε 0 E r + χe r = εe r = D r (3.44) Gauss lag tillämpad på en sfärisk yta centrerad på laddningen: q = 4πr 2 D (3.45) Gauss lag på pillburken: d.v.s. D = q r (3.46) 4π r 3 där σ är extern laddning. Detta ger D 2,n A D 1,n A = σa (3.48) Elfältet: D 2,n = D 1,n + σ (3.49) E = q 4πε r ε 0 r r 3 (3.47) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.18 Flödestäthetens normalkomponent är alltså diskontinuerlig om det finns extern laddning på gränsytan. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.20

Kurvintegralen ABCDA, med BC och DA infinitesimalt små, ger 3.6. Poisson-ekvationen och dess randvillkor E 2 r E 1 r = 0 (3.50) Vi kom fram till Eftersom r är i tangentens riktning fås D = ρ (3.54) E 2,t = E 1,t (3.51) Under antagande att dielektrika är isotropiska, linjära och homogena (ε ε(r)) har vi Jämför detta med resultatet i ledare att den tangentiella komponenten alltid är 0 - polarisationen möjliggör alltså en avvikelse av denna regel! Om som tidigare E = ϕ så E = ρ ε (3.55) 2 ϕ = ρ ε (3.56) Obs: Enligt föregående ekvation är elfältets tangentiella komponent kontinuerlig. Eftersom E = ϕ måste vi då ha att ϕ är kontinuerlig, annars får vi ju inte utföra deriveringen! ϕ 1 (r rand ) = ϕ 2 (r rand ) (3.52) Detta strider inte emot diskontinuitetsvillkoret för flödestäthetens normal-komponent. Normalkomponenten är ju en annan derivata än den tangentiella komponenten, så den kan nog vara diskontinuerlig. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.21 Poissons ekvation för dielektrika är som tidigare, men ε 0 har ersatts av ε. Laplace-ekvationen 2 ϕ = 0 (3.57) kan användas då man har dielektrika med enskilda punktladdningar, laddade eller neutrala ledare, eller dielektrika med enbart (externa) ytladdningsfördelningar. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.23 Om man bildar en tub av flödeslinjer fås en flödestub som i figuren. Här följer alltså tubens kanter fältet D. Då är D n = 0 vid tubens sidor, då fältet och normalen är vinkelräta mot varandra. Elektrostatiska problem med ledare och (isotropiska, linjära, homogena) dielektrika består därför i lösning av Laplaces ekvation i separata regioner inne i de dielektriska medierna och i tomrummet mellan dessa och ledare och foga samman lösningarna med hjälp av randvillkoren. Exempel : Sfäriskt, oladdat dielektrikum med radien a i ett initialt likformigt fält E 0 i vakuum. Lösningen är från tidigare: Gauss lag för denna är da n 2 D A 2 da n 1 D = Q A 1 (3.53) Detta visar alltså att D har ett direkt samband med externa laddningar. Om ingen extern laddning finns i tuben fås att flödet bevaras: flödet genom A 1 och A 2 är detsamma. När (externa) laddningar är närvarande måste vi ha att flödeslinjer startar eller slutar på dessa, eftersom flödet då inte bevaras. Kraftlinjer, däremot, startar och slutar på extern och polariserad laddning, eftersom F = qe = q(d/ε 0 P). Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.22 ϕ 1 (r, θ) = A 2 r cos θ + B 2 r 2 cos θ, r > a, (3.58) ϕ 2 (r, θ) = C 2 r cos θ + D 2 r 2 cos θ, r < a, (3.59) Ett villkor får vi från det att ϕ 1 = E 0 z = E 0 r cos θ då r. Detta ger A 2 = E 0.. Då ϕ 2 bör vara definierad också i origo måste vi ha D 2 = 0. Tangentiella kompontenerna av elfältet ska vara kontinuerliga: Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.24

Detta ger E 1,t (r = a, θ) = 1 ϕ 1 r θ = E 0 sin θ + B 2 a 3 sin θ (3.60) = E 2,t (r = a, θ) (3.61) = 1 r ϕ 2 θ = C 2 sin θ (3.62) E 0 + B 2 a 3 = C 2 (3.63) Insättning igen ger Slutliga potentialen är alltså C 2 = 3B 2a 3 1 ε r = 3E 0 ε r + 2 (3.72) ϕ 1 (r, θ) = E 0 r cos θ + ε r 1 ε r + 2 E 0a 3 r 2 cos θ, r > a, (3.73) ϕ 2 (r, θ) = 3E 0 r cos θ, r < a, (3.74) ε r + 2 Flödets normalkomponenter är kontinuerliga, efterstom ingen extra laddning finns placerad på dielektriket: D 1,n (r = a, θ) = ε 1 ϕ 1 r = ε 1E 0 cos θ + ε 1 B 2 2a 3 cos θ (3.64) = D 2,n (r = a, θ) (3.65) = ε 2 ϕ 2 r = ε 2C 2 cos θ (3.66) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.25 Elfältet inne i dielektriket? E 2 = ϕ 2 = 3 ε r + 2 E 0ẑ = konstant (3.75) Detta är ett konstant fält, som är parallellt med det yttre initialt likformiga elfältet. Polarisationen är P 2 = ε 0 (ε r 1)E 2 = 3ε 0 ε r 1 ε r + 2 E 0ẑ = konstant (3.76) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.27 Detta ger Summan av de två ekvationer vi nu fått är E 0 + 2B 2 a 3 = ε r C 2 (3.67) Den radiella polarisationen: Polarisations-ytladdningen är P 2,r = ε 0 (ε r 1)E 2,r r = 3ε 0 ε r 1 ε r + 2 E 0 cos θ (3.77) Detta ger 3B 2 a 3 = (1 ε r )C 2 (3.68) Polarisations-volymladdningen är σ P = P 2 r = P 2,r (3.78) C 2 = 3B 2a 3 1 ε r (3.69) ρ P = P 2 = 0 (3.79) Insättning av C 2 i uttrycket 3.63 ger B 2 = (E 0 + C 2 )a 3 = varifrån man kan lösa ut B 2 och får ( E 0 + 3B 2a 3 1 ε r ) a 3 = E 0 a 3 + 3B 2 1 ε r (3.70) B 2 = ε r 1 ε r + 2 E 0a 3 (3.71) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.26 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.28

(a) Flödet D (totala flödet bevaras om inga externa laddningar), (b) elfältet E. ϕ 1 (x, y, z) = 1 ( ) q 4πε 1 r + q r (3.82) Detta är summan av den verkliga laddningens potential och potentialen från bildladdningen i medium 2. Inne i medium 2 finns ingen verklig laddning. Men fältet från q känns av, och för att ha en möjlighet att forma det enligt randvillkoren uppfinner vi en ny bildladdning q, i dielektrikum 1, så att denna har samma position som den ursprungliga laddningen. Vi har nu ϕ 2 (x, y, z) = q 4πε 2 r + q 4πε 2 r q 4πε 2 r (3.83) 1. Kravet att potentialen ska vara kontinuerlig: ϕ 1 (0, y, z) = = ϕ 2 (0, y, z) = ( ) 1 q 4πε 1 d2 + y 2 + z + q 2 d2 + y 2 + z 2 1 q (3.84) 4πε 2 d2 + y 2 + z 2 2. Kravet att flödestäthetens normalkomponent är kontinuerlig då σ = 0: Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.29 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.31 [RMC ed. 3 övning 4-9] 3.7. Bildladdningsmetoden för dielektrika För ledare hade vi tidigare att bildladdningen var inuti eller utanför ledaren, och vi sökte potentialen i den region som inte innehöll bildladdningar. I de situationer att vi har flera dielektrika kommer vi nu att ha bildladdningar inte bara i ett dielektrika utan i flera. ε 1 x ϕ 1 (0, y, z) = 1 ( ) 0 + d q 4π ((0 + d) 2 + y 2 + z 2 ) 0 d 3/2 q ((0 d) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 = ε 2 x ϕ 2 (0, y, z) = 1 Dessa villkor ger 4π q 0 + d (3.85) ((0 + d) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 Exempel : Punktladdning q i platsen ( d, 0, 0) i dielektrikum 1, som fyller regionen x < 0. Dielektrikum 2 fyller halvrummet x > 0. Avstånden från origo till den verkliga laddningen q och bildladdningen q är q + q = ε 1 ε 2 q (3.86) q + q = q (3.87) r = r = (x ( d)) 2 + y 2 + z 2 (3.80) (x d) 2 + y 2 + z 2 (3.81) Subtrahera den senare från den förra. Vi får: q = q 2ε 2 ε 1 + ε 2 (3.88) Potentialen i dielektrikum 1 är Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.30 Insättning i ekv. (3.86) ger Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.32

q = q ε 1 ε 2 ε 1 + ε 2 (3.89) Det molekylära fältet är E m = E ext + E depol + E pol,yta + E (3.90) där E pol,yta är fältet från polarisationsladdningarna på kavitetetens yta, och E är fältet från dipoler innanför kaviteten. Det makroskopiska (genomsnittliga) elfältet i dielektriket är E = E ext + E depol (3.91) Med hjälp av Gauss lag tillämpad på en pillerburk som börjar i dielektriket och slutar i vakuum innan det ledande planet: Detta ger (ε 0 E + P )A ε 0 E ext A = 0 (3.92) ε 0 (E E ext ) = P (3.93) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.33 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.35 3.8. Molekylärt elfält som ger Vi såg tidigare att ett polariserat dielektrikum består av inducerade dipoler. Det fält som polariserar en enskild molekyl kallas molekylärt elfält. Detta är helt enkelt det totala fältet som påverkar molekylen, p.g.a. av andra dipoler och yttre laddningar. Molekylens eget dipolfält ingår inte i detta fält! Men eftersom E depol och P är riktade åt olika håll, så gäller E depol = 1 ε 0 P (3.94) E depol = 1 ε 0 P (3.95) Fältet från kavitetens ytpolarisation, taget i molekylens position: Laddningstätheten: σ P = P r = P cos θ. de pol,yta = 1 da σ P r r 3 (3.96) Betrakta en sfärisk kavitet i ett dielektrikum, som befinner sig mellan två parallella ledande plan, vilka ger upphov till ett elfält E ext. I bilden är detta fält riktat från vänster till höger. I kavitetens mittpunkt finns det en molekyl (inte utritad). Vi vill nu veta det molekylära fältet i denna punkt. Antag att polarisationen är homogen, så att P = 0. Låt det depolariserande fältet från polarisationsladdningarna på de externa ytorna vara E depol. Detta fält går från höger till vänster (mot det yttre elfältet och mot polarisationsvektorn P). Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.34 de pol,yta = P r 2 dφ dθ sin θ cos θ r r 3 (3.97) Polarisationen är parallell med fältet, så enbart bidrag som har från noll avvikande projektion på polarisationens riktningsvektor överlever. Låt polarisationen vara i z-axelns riktning: Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.36

eftersom P r = 1 1 cos θ. de pol,yta P = de pol,yta cos θ = P dθ sin θ cos 2 θ dφ (3.98) ( P = nαe m = nα E + P ) 3ε 0 Eftersom P = χ e E får vi den så kallade Clausius-Mossotti-ekvationen: (3.105) Svaret blir efter integrering över alla rymdvinklar Eftersom detta är i polarisationens riktning, kan vi skriva E pol,yta P = P 3ε 0 (3.99) α = 1 n 3ε 0 χ e 3ε 0 + χ = 3ε 0 n εr 1 ε r + 2 (3.106) Genom att mäta upp n och ε r, som är båda makroskopiska storheter, kan vi alltså ta reda på den molekylära polarisabiliteten! Om vi ännu använder en enkel modell för hur en atom polariseras kan vi dessutom uppskatta atomens radie från α. E pol,yta = P 3ε 0 (3.100) Vi kommer att begränsa oss till fall där E är noll. Detta gäller om (i) det finns många dipoler inne i kaviteten, och de är alla parallella men slumpmässigt placerade, eller om (ii) dipolerna är arrangerade som i en kristall med kubisk symmetri. Vi har nu Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.37 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.39 E m = E + E pol,yta + E = E + P 3ε 0 (3.101) Dielektrikets polarisation är proportionell mot det totala fältet, så då borde vi ha att en molekyls dipolmoment också är proportionellt mot (det molekylära) fältet. Man definierar den molekylära polarisabiliteten α med hjälp av p m = αe m (3.102) Approximera elektronkonfigurationen som en sfärisk, homogen laddningsfördelning. Då ett yttre elfält kopplas på kommer elektronmolnets masscentrum att förskjutas från den positiva kärnan. Beteckna förskjutningen med x. Kraften på kärnan: F k = Ze E m (3.107) Å andra sidan kan vi betrakta den lilla förskjutna sfären med radien x. Laddningen i den ges av förhållandet mellan hela sfärens volym till den lilla sfärens volym gånger hela sfärens laddning: Vi hade ju i början att Detta kan skrivas P = dp (3.103) där R är elektronmolnets (= atomens) radie. Nu ges fältet på denna sfärs yta av Gauss lag: Q e = Ze x3 R 3 (3.108) P = dn dp dn n dp dn = np m (3.104) där N är antalet molekyler i volymen där dp beräknas. n är atomernas nummer-densitet, SI-enheten blir 1/m 3. Kraften är nu också 4πx 2 E C = 1 Q e = 1 Ze x3 (3.109) ε 0 ε 0 R 3 F k = Ze E C (3.110) Vi får nu Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.38 De två krafterna är samma sak så de bör vara lika, och vi får: Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.40

så att ZeE m = ZeE C = Ze Zex (3.111) R 3 förutsatt att man väljer lämpliga ämnen. R blir av storleksordningen 1 Ångström, d.v.s. 0,1 nm eller 10 10 m. som ju är atomers typiska storleksskala. Zex = R 3 E m (3.112) Eftersom p m = Zex (3.113) p m = αe m (3.114) så har vi och p m = R 3 E m = αe m (3.115) α = R 3 (3.116) De värden man får för R med denna modell stämmer relativt bra med experimentella värden, Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.41 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.42