Institutionen för Mekanik, KTH 2000-09-15 2 Undersökning av inkompressibelt gränsskikt på plan platta 1. Laborationens innehåll Laborationen avser undersökning av gränsskiktsströmningen på en plan platta. Hastighetsprofilen för ett laminärt och ett turbulent gränsskikt uppmätes med hjälp av ett Pitotrör. Ur mätningarna bestämmes deplacementtjockleken ( * ), rörelsemängdsförlusttjockleken (ϑ) samt friktionskoefficienten (c f ). Skillnaden mellan strukturen för laminära och turbulenta gränsskikt observeras med hjälp av en sk varmtrådsanemometer, med vilken den instantana hastigheten kan mätas. Dessutom visualiseras turbulensomslag på ett vattenbord. 2. Grundläggande begrepp Om strömningen antas vara inviskös kommer hastighetsprofilen vid strömning över en plan platta att vara opåverkad av plattan och se ut som i figur 1a. Eftersom gaser och vätskor är viskösa vid normal förhållanden kommer fluidens hastighet vid tan att vara densamma som tans. Hastighetsfördelningen i området närmast tan, det sk gränsskiktet, kommer att ha en form som i figur 1b. Hastigheten är såledels en funktion av, u=u(), där u(0)=0 och u() U då, där U är den sk friströmshastigheten. 2.1 Olika mått på gränsskiktstjockleken Eftersom hastigheten nära plattan har minskat så kommer masstransporten genom det område som upptas av gränsskiktet vara mindre än i det inviskösa fallet. Med deplacementtjocklek avses den sträcka som den fasta tan måste flttas ut i en inviskös strömning för att erhålla samma masstransport som i det viskösa fallet. Masskonservation ger ρ *U = ρ(u -u)d 0 där ρ är densiteten och är gränsskiktstjockleken definerad som den -position vid vilken hastigheten har nått den ostörda friströmshastigheten (i praktiken används den -position vid vilken hastigheten når t e 0.99U ). Vi antar här att friströmshastigheten är så låg att strömningen kan betraktas som inkompressibel, dvs ρ=konst. vilket gör att * kan lösas ut som *= (1 - u U )d 0 För detta fall kan man göra en enkel geometrisk tolkning av deplacementtjockleken enligt figur 2, där de streckade områdena är lika stora. * Figur 2. Geometrisk tolkning av deplacementtjockleken Figur 1. a) Inviskös strömning b) Viskös strömning Rörelsemängdsförlusttjockleken (ϑ) definieras på motsvarande sätt genom att betrakta transporten av rörelsemängd i gränsskiktet:
3 ρ(u -u)u d (ρ ϑu )U = 0 För ρ=konstant (inkompressibel strömning) erhålles ϑ = 0 u U (1 - u U ) d. 2.2 Friktionskarft och friktionskoefficienter Från den uppmätta rörelsemängdsförlusttjockleken kan kraften per breddenhet på plattan beräknas ur rörelsemängdslagen: F b =ρ U 2 ϑ där F är kraften på plattan fram till -värdet för vilket ϑ bestäms (=L) och b är plattans bredd. Den genomsnittliga friktionskoefficienten fram till =L definieras som kvoten mellan kraft per tenhet och dnamiskt trck q=ρ U /2: F Cf = 1 2 ρ U 2 b L Den kan uttrckas med hjälp av ϑ: Cf = 2 ϑ L. Lokalt orsakas kraften av väggskuvspänning, τ w, som är proportionell mot den dnamiska viskositeten µ och hastighetsgradienten vid väggen: τ w = µ ( u ) =0. Kraften på det lilla telementet z blir då F = τ w z. Den lokala friktionskoefficienten cf definieras som som kvoten mellan väggskjuvspänning och dnamiskt trck: cf = F / z τw q = 1 2 ρ U 2. 4 2.3 Laminära och turbulenta gränsskikt Renolds tal brukar baseras på avståndet mellan plattans framkant och mätpositionen =L: ReL = ρ U L µ För tillräckligt lågt ReL är gränsskiktet alltid laminärt, medan det för ökande ReL till slut kommer att bli turbulent. Början och slutet av omslagsområdet mellan helt laminärt och helt turbulent gränsskiktsströmning beror bland annat på plattans tråhet och turbulensnivån i friströmmen. 3. Beskrivning av mätutrustningen Laborationen utförs i institutionens låghastighetsvindtunnel där en plan platta är monterad i mätsträckan. Den maimala hastigheten i mätsträcken är ca 40 m/s, motsvarande ett Machtal på 0.12 << 1, vilket innebär att strömningen kan anses vara inkompressibel. 3.1 Vindtunnel Vindtunneln är avbildad i figur 3. Tunneln har en sluten krets och drivs av en varvtalsreglerad aialfläkt (15 kw tristorstrd DC-motor) i returkanalen. Mätsträckans bredd är 0.40 m och dess höjd 0.50 m. Det finns en trckutjämnnade spalt nedströms mätsträckan, vilket gör att det statiska trcket i mätsträckan är ungefär lika med det omgivande atmosfärstrcket. För att erhålla god strömningskvalité i mätsträckan, dvs låg nivå på hastighetsfluktuationerna och en jämn hastighetsfördelning, används likriktare och nät i den sk stagnationskammaren. Likriktaren riktar upp strömningen parallellt med mätsträckans geometriska centrumlinje, samtidigt som stora virvlar brts sönder. Trckfallet över de efterföljande näten dämpar ut ojämnheter i hastighetsfördelningen, samtidigt som virvlarna i strömningen brts ner till mindre storlek, vilka snabbt dämpas ut av viskösa krafter. Kontraktionen som finns direkt uppströms mätsträckan ger också en kraftig dämpning av den relativa fluktuationsnivån och hastighets-variationerna över mätsträckans tvärsnitt.
5 3.2 Plan platta Plattan är monterad horisontellt i mitten av mätsträckan och parallellt med tunnelns centrumlinje (figur 4). Då det är svårt att montera plattan eakt parallellt med anströmningsriktningen finns möjlighet att justera stagnationspunktens läge på plattans ellipsformade framkant med hjälp av en bakkantsklaff. Klaffens vinkel justeras med hjälp av en mikrometerskruv. Två trckmäthål är placerade smmetriskt på över- respektive undersidan av plattans framkant. Vid parallell anströmning skall stagnationspunkten ligga på framkantens nos och trcket i trckhålen skall vara lika. 3.3 Utrustning för trckmätning Stagnationstrcket (även kallat totaltrck) i gränsskiktet mäts med ett sk stagnations- eller totaltrckrör (Pitotrör), vars mnning är tillplattad för att minska utsträckningen i -led. Sonden är fastsatt på en traverseringsanordning för att kunna förflttas i - och -led. För att bestämma det statiska trcket i gränsskiktet är trckmäthål inlagda i plattans ta. De är belägna vid =0.24 m och =0.69 m, fast något förskjutna i spännviddsled för att inte störas av Pitotrörssonden. Stagnationstrcket och det statiska trcket är anslutna till en elektrisk differens-trckgivare där de påverkar varsin sida av ett membran. Utböjningen av membranet (som är proportionell mot trckskillnaden över membranet) omvandlas till en elektrisk spänning proportionell mot utböjningens storlek med hjälp av en mätförstärkare. Trckgivarsstemet är kalibrerat och utsignalen motsvarar 10 mm H2O/Volt. Nolläget hos sstemet trckgivare/förstärkare kan ändras pga temperaturvariationer och bör kontrolleras med jämna mellanrum genom att trckslangarna mellan trckgivarens ingångar "kortsluts". Trckgivaren är ansluten dels till en digitalvoltmeter, dels till en mätdator. Mätdatorn används för att tidsmedelvärdesbilda signalen från differenstrckgivaren, eftersom denna signal fluktuerar kraftigt, speciellt vid låga trck (dvs mätningar nära väggen). Vid laborationen an vänds även en Betzmanometer. Detta är i princip en U-rörskonstruktion som mäter skillnaden mellan två ansluta trck i mm H2O. Denna tp av manometer används ofta som referens- och kalibreringsmanometer. 6 4. Mätteknik Ett laminärt och ett turbulent gränsskikt ska studeras, och gränsskiktsparametrarna *, ϑ, cf och Cf utvärderas och jämföras. Mätningarna görs på två avstånd (=0.24 m och =0.69 m) från plattans framkant vid en och samma friströmshastighet. För att kunna beräkna aktuella värden på luftens densitet och viskositet mäts temperaturen i mätsträckan. Trcket i laborationslokalen avläses på en barometer. Detta trck är med tillräcklig noggrannhet lika med statiska trcket i mätsträckan (p ). Hastigheten i gränsskiktet mäts med Pitotrör som traverseras i -led m.hj.a. en mikrometerskruv med stigning 1 mm/varv. Det kan även flttas i -led genom att skjuta hela traverseringsanordningen längs en 60 cm lång skena. Det går inte att komma ända intill plattan eftersom trcksonden har en utsträckning i -led. Minsta avståndet är 0.30 mm till rörets centrum. Detta avstånd uppnås genom att sonden skruvas ned så att den ligger an mot plattan vilket kontrolleras visuellt. Detta innebär att första punkten motsvarar =0.30 mm. Det statiska trcket erhålls från ett litet hål i plattans ta. 4.1 Utvärdering av hastighet från uppmätt dnamiskt trck Det dnamiska trcket (q) är skillnaden mellan totaltrcket (eller stagnationstrcket, po) och det statiska trcket (p). Ett antagande inom gränsskiktsteorin (för tor med måttlig krökning) är att det statiska trcket är konstant genom gränsskiktet, dvs i detta fall kan vi anta att det uppmätta statiska trcket vid väggen är detsamma som det statiska trcket i friströmmen. Från Bernoullis ekvation för inkompressibel strömning erhålls följande samband mellan det dnamiska trcket (q) och hastigheten (u) q = po - p = 1 2 ρu2 vilket ger u = 2 p o - p ρ Genom att mäta (po - p) dels genom gränsskiktet och dels i friströmmen kan u U (under antagandet ρ=konst) skrivas:
7 u U = po - p (po - p) Nu kan också samtliga andra sökta storheter bestämmas eftersom de enbart är funktioner av u U. 4.2 Kontroll av friströmshastigheten Det dnamiska trcket i friströmmen, (po - p), erhålles när Pitotröret befinner sig långt ut från plattan. Som en etra kontroll av friströmshastigheten uppmätes också den statiska trckdifferensen mellan stagnationskammare och mätsträcka (pstag - pmätsträcka) m.hj.a. Betzmanometer. I stagnationskammaren är hastigheten nära 0 och det statiska trcket ungefär lika med totaltrcket, pstag po,stag. Om det inte finns några förluster mellan stagnations-kammaren och mätsträckan är po konstant, dvs. po,stag = po,mätsträcka. Man kan då bestämma U ur pstag - pmätsträcka (visa hur!). Kontraktion i vertikalled Kontraktion i horisontalled Stagnationskammare med nät Ledskenor Trckutjämningsspalt Mätsträcka Likriktare Diffusor Golv Övergång rektangulär-cirkulärsektion Aialfläkt med15 kw tristorstrd likströmsmotor Likriktare Övergång cirkulär-rektangulärsektion Figur 3. Låghastighetsvindtunnel 8
Traverseringsanordning Mikrometerskruv U Plan platta 0.45 m 0.24 m Trckmäthål för statiskt trck Bakkantsklaff för reglering av främre stagnationspunktens läge Stagnationstrckrör Två trckmäthål för kontroll av främre stagnationspunktens läge Figur 4. Försöksuppställning för gränsskiktslaboration 9 Institutionen för Mekanik, KTH Laborationsanvisningar - Gränsskikt över plan platta Trckdata som insamlas med LabView under mätningarna utvärderas med hjälp av Matlab, där programmet "BLcalc" beräknar och ϑ. Programmet utför numerisk integrering m.h.a. trapetsregeln. Följande kommer att genomföras av laboranterna: 1. Bestäm friströmshastigheten U enligt avsnitt 4.2, och beräkna Renolds tal baserat på plattans längd fram till mätställena =0.24 m och =0.69 m. Beräkna luftens densitet för den aktuella temperaturen och bestäm viskositeten från tabellvärden. 2. Läs in de uppmätta trckskillnaderna i Matlab där motsvarande hastighetsvärden beräknas. (Börja med det laminära fallet och gör sedan samma sak för det turbulenta fallet.) 3. Uppskatta plattans verkliga position (=o) genom att i Blcalc dra en rät linje som tangerar hastighetskurvan närmast väggen. Beräkna sedan väggskjuvspänningen τ w = µ ( U/ )=0 och den lokala friktionskoefficienten (cf) från utskriften. Jämför med det teoretiska resultatet för ett laminärt gränsskikt över en plan platta, cflaminär = 2. 0.332. ReL -1/2, resp. den den semi-empiriska formeln för ett turbulent gränsskikt, cfturbulent = 0.0576. ReL -1/5. 4. Anteckna deplacementtjockleken ( ), rörelsemängdsförusttjockleken(ϑ) samt formfaktorn (H) och jämför med teoretiska och empiriska värden angivna i sammanfattningsprotokollet. 5. Plotta hastighetsprofilerna på dimensionslös form (/ mot U/U ), och jämför de eperimentella resultaten med motsvarande teoretiska. Dessa finns i filen "teorilab2". 6. Bestäm den genomsnittliga friktionskoefficienten fram till mätsnittet ur sambandet Cf = 2ϑ/L. Jämför detta värde med det teoretiska värdet för ett laminärt gränsskikt över en plan platta, Cf,laminär = 4. 0.332. ReL -1/2, respektive den semi-empiriska formeln för ett turbulent gränsskikt, Cf,turbulent = 0.072. ReL -1/5. 7. Disklutera resultaten och kom fram till minst tre olika skillnader mellan ett laminärt och ett turbulent gränsskikt. 8. Redovisa resultaten i form av (a) ifllt sammanfattningsprotololl, (b) plottar över hastighetsprofilerna. (c) allmänna slutsatser gällande laminära versus turbulenta gränsskikt.
Institutionen för Mekanik, KTH 1 Förberedelseuppgifter - Gränsskikt över plan platta (inlämnas till assistenen vid laborationstillfället) 1. En solig höstdag är barometertrcket 1030 mbar och temperaturen 0 C. Använd allmänna gaslagen för att beräkna luftens densitet. Svar: 2. En plan platta anströmmas av luft med hastigheten 30 m/s. Hur stort är Renolds tal baserat på längd 0.5 m nedströms om framkanten? (Den dnamiska viskositeten µ är 17.9 10-6 kg/ms och densiteten ρ är 1.2 kg/m 3 för luft vid 20 C och normalt atmosfärstrck.) Svar: 3. Enlligt Bernoulli s ekvation är p + 1 2 ρu2 = konstant = po längs en strömlinje (i friktionsfri strömning är p o = konstant överallt). I friströmmen i vindtunnelns mätsträcka gäller p + 1 2 ρ U 2 = p o, Föreslå lämpliga ställen i vindtuneln att ansluta trckslangar för att känna av p och p o,. Svar: p : p o, : 4. Med ett Pitotrör mäter man stagnationstrcket p o (även kallat totaltrck), dvs. det trck som erhålls när strömningen bromsas upp vid rörets mnning. I gränsskikt är (det statiska) trcket konstant i normalriktningen, p()=konstant, medan p o varierar p o () konstant. I en viss punkt i ett gränsskikt har man uppmätt en trckskillnad på 7 mm H 2 0 mellan Pitotröret och ett trckhål i väggen beläget på samma -position. Ställ upp Bernoulli s ekvation längs den strömlinje som träffar Pitotröret och beräkna hastigheten i mätpunkten. Svar: H = ϑ = Svar: = U() får genom att avläsa värden ur figuren ovan. Beräkna sedan formfaktorn H= / ϑ. rutorna under integranden (integranden är den funktion som står efter integraltecknet). 6. Rita upp integranderna för förträngningstjockleken ( ) och rörelsemängdsförlusttjockleken (ϑ) på ett separat rutat papper, och uppskatta och ϑ genom att räkna (c) lokala friktionskoefficienten (c f ) Svar: (b) väggfriktionen (τ w ) Svar: (a) hastighetsgradienten vid väggen, ( u ) =0 Svar: enheterna. (Blasiusgränsskikt). Bestäm med hjälp av figuren. Obs! Tänk på att kontrollera 5. Figuren ovan visar hastighetsprofilen för ett idealt gränsskikt över plan platta U (m/s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 1 2 3 (mm) 6 5 4 7 8 9 10 2