MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS..07 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens natur kan däremot sänka antalet poäng avsevärt. I provet är räknaren ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om symbolräknare använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med hjälp av räknaren utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med räknaren i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner. Matematikprov, lång lärokurs..07
Osa A. :n derivaatta on MAA våren, Del A 07 Poänganvisningarnas tolkning: Godkänd approximation: ± signifikanta siffror duger, om inte annat anges. Rad inom parenteser: poäng fås även om fäljande ställe/rad är rätt, dvs. för att få poäng behöver inte detta explisit ingå i lösningen. uppmärksammar, att detta poäng är oberoende från de övriga poängen. betyder, att poäng fås endast om resonemanget (föregående ställe/rad) är i skick. Kom även ihåg de allmänna poänganvisningarna.. Insättning i rotformeln 7± 7 +4 4 hittat den ena roten 4 x = eller x =4 (genom att jämföroefficienterna) a = 4 och a = b (genom att forma ekvationen) x +ax + a = x + 4x + b a =7och b = 49 Valt några testpunkter, fått ekvationspar och löst a och b med dessa testpunktsval max Placerar (oberoende varifrån fått) a =7och b = 49 och förenklar 4c + d =och 7c + d = c = och d = 5 därmed x = 5 Rita en linje genom punkterna (4, ) och (7, ) x = 5. Man får p. per korrekt svar D, A, B D, C, E. Längdens minsta värde fås i den punkt där c t är vinkelrät mot vektorn d = b a (eller i en ändpunkt) d = i j +k d a = 4+6=och d b =+0+0= Då gäller c t d =t + ( t) Genom att lösa ut nollstället t = 4 Eftersom 4 får vi nollställets minimum med det här parametervärdet och inte i en ändpunkt. c t =(t + ( t))i +tj + (t + 5( t))k eller dylig form (koefficienterna samlade) = ( t)i +tj + (5 t)k B-osa c t = ( t) + (t) + (5 t) =9t 4t + 9 Derivatan 8t 4 Nollstället t = 4 Teckenschema eller kontroll av ändpunkterna Matematikprov, lång lärokurs..07
Del B 4. Alla med samma bas ( ln y = ln x) ln 4 ln förenkling ln 4 ln =eller = ln ln 4 bli av logaritmer mha. exponentialfunktion (y = x ) förenklat svar y = x ln 4/ ln oförenklat svar y =4 log x f(x) dx, där f är a-delens funktion (även om felaktig) = F () F (), där F = f (t.ex. / ln 4/ ln + xln 4/ ln + ) Förenklat svar 9 Endast bild 0 Svaret i a-delen är linjärt, ytan beräknad geometriskt, t.ex. mha. formel för ytan av rektangel eller triangel (Då, är ) Del B 5. (Då x, är x = x) f(x) = x I svaret ± (utnyttjas inte begränsningen av x, t.ex. f(x) =± ( x)) 0 Svarat även att f(x) =x då x 0 (Vi får rotationskroppens volym med formeln π 0 f(x) dx OCH substituerat i stället för f en funktion (även om felaktig)) 0 x) dx = / 0 x) = 7 x dx = 7 symmetri volymen är 4π π fattas max integrerat med räknare max 4 integrerat endast max 0 Volymen kan beräknas som kägelsnitt ( st.) Radierna och, höjden Volymen π h(r + r r r)= 7π symmetri dubbelvolym Matematikprov, lång lärokurs..07
Del B 6. Genom att jämföra delen som blir kvar Den längre kateten i triangeln A har längden s cos 0 = s. Den triangel från vilken A är avskild är likformig med den ursprungliga triangeln i skalan. Genom iteration, när man från triangeln avskilt A,...,A n, återstår en triangel vars längre katet är ( )n s. Arean på triangeln som blir kvar är ( )n s av arean på den ursprungliga triangeln. Vi löser alltså ekvationen ( )n =0,0 lösning,89 dvs. n = Genom att räkna trianglar som avlägsnas A = 8 s förhållande mellan succesiva sidor på triangeln förhållande på areorna 4 A k+ = A 4 k där A k =( 4 )k A A k är en geometrisk följd hela arean är A k =4A beräknat genom summan på en geometrisk serie genom motiverat utifrån den ursprungliga triangeln söker n, för vilket n k= A k 4 0,97A n>,89 dvs. n = Lösningen kan även fås genom tabell, närmevärden (minst decimaler) ok n = s fattas eller s = tabell med två decimaler max 5 7. Vi betecknar den inre radien med r och den inre höjden med h (mm). Ur volymvillkoret får vi πr h = 00000 (mm ). Bottnens volym π(r + ) 5 Väggens volym π[(r + ) r ]h Det uttryck som ska minimeras är π(4r + 4) 00000 +5π(r + ). πr Derivatan 800000( r r )+0π(r + ) (= (r + )(0πr 800000)r ) minimum fås då r = 80000 9,4. Diametern är därmed (r + ) π 6,84 6,8 och höjden h +5 78,55 78,6. Minimering med räknare 0 Enhetsbytet ogjort, varpå resultatet är t.ex. l = mm eller πr h = 0 p. Enhetsbytet fel l = 000 mm, dl = 000000 mm max 4 8. (Derivatan x + 6x + ) En grafisk kontroll eller tabellering visar att det närmaste nollstället ligger i intervallet 0,5. Ett lämpligt valt startvärde, t.ex. x 0 = 0,5 (alla x 0 > 0,9 är lämpliga) Första iterationen i Newtons metod Iterationer i Newtons metod till dess att fyra decimaler hålls lika Svar: x 0,445469 0,445 iteration mot nollställe nära,40 max iteration mot nollställe nära,67 max 4 fel derivata max Vi undersöker först det fall då minst av talen, och är jämna Matematikprov, lång lärokurs..07
Del B 9. Vi undersöker först det fall då minst av talen p, q och r är jämna Summan av två jämna tal är jämn, vilket betyder att produkten (p + q)(q + r)(r + p) är jämn. Vi undersöker sedan det fall då minst av talen p, q och r är jämn. Summan av två udda tal är jämn, vilket betyder att produkten (p + q)(q + r)(r + p) on parillinen. (tabell) 0,, eller jämna/udda p./del (tabell) 0,, och jämna/udda 5 Prövat några tal 0 p, q, r succesiva, men undersökt ifall jämnt/udda max Generell kommentar: Det finns många rätta lösningssätt till uppgiften max 6 Marias svar är korrekt det har uppmärksammats, att är rätt Del B 0. Marias svar är korrekt det har uppmärksammats, att 4e x är rätt (det räcker att detta har konstaterats någonstans i svaret). Elmer har inte beaktat derivatan av den inre funktionen. Det rätta derivatafunktionen är h (x) =g (f(x))f (x) =4e x e x =4e x. Ole har beräknat potenserna felaktigt. (e x ) = e x, dvs. h(x) =e x + ur vilket vi med hjälp av inre funktionens derivata får h (x) =4e x. Deduktionslösning Eftersom antalet vitsord större än 9 är klart flera än vitsorden mindre än 9, drar vi slutsatsen att medelvärdet är större än 9. Å andra sidan, eftersom 9 är ett vanligare vitsord än 0, är medelvitsordet lägre än 9,5. Med den vikt som vitsorden 8 ger måste medelvitsordet alltså vara 9 alltså 4 9+. Lösningar där staplarna har mätts max Procenter har använts så, att totala antalet är under 80% eller över 0%. max Svar 9,0 9,5 max Endast svar 9 9,5 Fel exakthet (/4 vitsord) - Svaret är en fördelning (om frekvenser, så tillsammans 000 svar, om procenter, så tillsammans 00 %) Beräknat/approximerat medelvärdet på föregående fördelning, över 50 % av besvararna över medelvärdet Beräknat/approximerat medelvärdet på föregående fördelning, över 80 % av besvararna över medelvärdet Som fördelning går t.ex. (5, 0, 80, 5) eller (0,0,,99) procent för vitsorden 7 0. Matematikprov, lång lärokurs..07
Del B. Längderna av triangelns sidor är s, 9s och s. Arean av kvadraten N är s. Eftersom 9+=, följer av Pythagoras sats att triangeln är rätvinklig Triangelns area är därmed s 9s = s det efterfrågade förhållandet är 4 4 närmevärden max s är konstant - Längderna av triangelns sidor är s, 9s och s. Arean av kvadraten N är s. cos α = sin α = cos α = Triangelns area är därmed s 9s sin α = s det efterfrågade förhållandet är 4 4 Fjärde och femte punkten kan beräknas genom sin(cos (α)) = (även om räknat med räknare), ifall svaret är det exakta värdet. I svaret har α ett närmevärde, men svaret/sinus är svaret exakt max 5 närmevärde, även svaret max Om svaret har nåtts genom Herons formell, motsvarar användningen av formeln poängen -5 i den tidigare modellen, dvs. första, andra och sjätte poängen kommer som i de andra poängmodellerna. max 6. Vi väljer (exempelvis) så att sin( )=0för varje värde på k dvs. är en multipel av π. Genom valet = gäller att a πk k 0 och lim sin( )=lim0=0. Vi väljer (exempelvis) så att sin( ) = sin(t) för varje värde på k dvs. är av formen t +πn för något naturligt tal n. Genom valet = gäller att a t+πk k 0 och lim sin( ) = lim sin(t) = sin(t). geometrisk lösning, t.ex. genom att rita en linje i bilden + Matematikprov, lång lärokurs..07