Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR SYMMERISKA MARISER Defnton (Smmetrsk matrs) En kadratsk matrs kallas smmetrsk om A A V upprepar defntonen a en ortogonal matrs Defnton ( Ortogonal matrs ) En kadratsk matrs kallas ortogonal om A A AA d s om A A I Egenskaper för smmetrska matrser V har sat tdgare kursen att en matrs är dagonalserbar om och endast om matrsen har n st lnjäroberoende egenektorer (kolla stenclen "Dagonalserng a en kadratsk matrs") Man kan sa att detta kra är uppfllt för en smmetrsk matrs En smmetrsk matrs är alltd dagonalserbar Dessutom kan älja ortonormerade egenektorer Här följer några satser om dagonalserbarhet a smetrska matrser Sats (Egenärden tll smetrska matrser) För en smetrsk matrs A gäller följande: a) Alla egenärden tll A är reella tal b) Egenektorer från olka egenrum är ortogonala Bes för b delen Låt och ara tå olka egenärden med motsarande egenektorer och V beräknar ( ) A på tå sätt och därför resultat måste ara lka: I) ) A ( ) ( A ) ( ) ( ) ( ) (*) ( II) ( ) A ( A smmetrsk ds AA ) ) A ( A ) ( ) ( ) (**) ( Därför ) ) eller ekalent ( ( ( )( ) (***) Enlgt antagande och första faktorn (***) är nte Därför måste andra faktorn I (***) ara ds ( )
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR Sats ( Spektralsatsen om ortogonal dagonalserng a en smmetrsk matrs) Låt A ara en ortogonalt dagonalserbar matrs ds det fnns en ortogonal matrs P och en dagonalmatrs D sådana att A PDP Då är A en smmetrsk matrs Bes: Anta A PDP Eftersom P P A PDP (*) Om transponerar båda leden (*) får A PDP P D P PDP A ( ) ( ) ( ortogonal matrs) har att A är en smmetrsk matrs (V SB) Satsen om egenärden tll och dagonalserng a en smetrsk reell matrs kallas spektralsatsen Sats 3 ( Spektralsatsen om ortogonal dagonalserng a en smmetrsk matrs) En smetrsk matrs A är ortogonalt dagonalserbar ds det fnns en ortogonal matrs P och en dagonalmatrs D sådana att A PDP eller A PDP ( eftersom P P för en ortogonal matrs) Eftersom kolonner en ortogonal matrs P bldar en ortonormerad bas ( ON bas) R n kan uttrcka satser och 3 på följande sätt: Sats 4 (smmetrsk matrs och ortonormerade egenätorer ) ( En kadratsk matrsen a tp n n är smmetrsk) (Man kan blda en ON bas tll R n a matrsens egenektorer) En drekt påföljd a sats 3 (eller 4) år att dm( E ) den algebraska multplcteten för, för arje egenärde som hör tll en smmetrsk matrs A Hur bestämmer man en ortogonal matrs P som dagonalserar en smmetrsk matrs A? För att bestämma en ortogonal matrs P som dagonalserar A gör enlgt följande V bestämmer som anlgt egenärden och egenektorer tll matrsen A V normerar de egenektorer som hör tll egenärden ars algebr multplctet är (Egenektorer som hör tll olka egenärden är redan ortogonala mot arandra enlg sats ) 3 Om ett egenärde har den algebraska multplcteten m> då är dm( E ) den algebraska multplcteten för De basektorer som spänner upp egenrummet E
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR 3 ortonormerar med Gram-Schmdt metoden På detta sätt får en ortonormerad bas för E 4 De ortonormerade basektorer och 3 bldar kolonner P Uppgft Låt A / Bestäm en ortogonal matrs som dagonalserar A / Lösnng: V bestämmer egenärden, egenektorer och därefter ortonormerar ektorerna ( ) / dddddd(aa ) / ( ) ( ) /4 ( ) /4 ±/ 3/ och / Motsarande egenektorer är ooooh Vektorerna är ortogonala V normerar ektorer och bldar P uu / / ooooh uu / / Därmed är / / PP / / en ortogonal matrs som dagonalserar A ds som uppfller ekalent AA PPPPPP ( eller PP AAAA DD) AA PPPPPP eller Uppgft ( Ortogonalt dagonalserng a en smmetrsk matrs med en dubbelrot) Låt A Bestäm en ortogonal matrs P som dagonalserar A Lösnng: V bestämmer egenärden, egenektorer och därefter ortonormerar ektorerna dddddd(aa ) 3 + 6 9 + 4 För att fnna en heltalslösnng ( om en sådan fnns) testar faktorer a 4 (konstant term slutet a ekatonen), ds testar om det fnns en lösnng bland, -,,, 4, 4 och fnner att är en lösnng Polnomdson ( 3 + 6 9 + 4)/( ) + 5 4 Från ekatonen + 5 4 får tå lösnngar tll
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR 4 ooooh 3 4 Därmed har en dubbelrot, och 3 4 ) Substtutonen (AA ) ger tå oberoende (men nte ortogonala) ektorer och V ortoganalserar de med hjälp a Gram-Schmdts metod och får en n bas med ortogonala ektorer för egenrum som hör tll / uu och uu ( V kan stället anända uu som är / också ortogonal mot uu ) ) Den egenektor som tllhör egenärdet 4 är 3 och är redan ortogonal mot alla ektorer det första egenrummet (Egenektorer för en smmetrsk matrs från olka egenrum är ortogonala ) Alltså har en bas med ortogonala ektorer, och För att få en ORONORMERAD bas delar arje ektor med dess längd Därefter / / 6 / 3 bldar PP / 6 / 3 som ortogonalt dagonalserar A / / 6 / 3 Uppgft 3 En matrs har komplexa egenärden + och Är matrsen smmetrsk? Sar Nej En smmetrsk matrs har reella egenärden Uppgft 4 Kan man bestämma en smmetrsk matrs a tp som har a) egenärden 3 och med motsarande egenektorer ooooh b) egenärden 3 och med motsarande egenektorer ooooh c) ett egenärde 5 med den algebraska multplcteten med motsarande egenektorer ooooh d) ett egenärde 5 med den algebraska multplcteten med motsarande egenrummet EE ssssssss( )? Lösnng:
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR 5 V anänder Sats och undersöker om kan blda en bas a ortonormerade egenektorer a) Nej Egenektorer för en smmetrsk matrs från olka egenrum måste ara ortogonala (Sats) I årt fall och som tllhör olka egenärden 3, är nte ortogonala Anmärknng: Matrsen AA PPPPPP 3 4, som har gna egenärden och egenektorer, är dagonalserbar men nte smmetrsk b) Ja Matrsen har ortogonala ektorer (som kan normera, om ll) och därför, enlgt Sats är matrsen smmetrsk: (Matrsen är smmetrsk) (V kan blda en ON bas a matrsens egenektorer) V kan äen bestämma A: AA PPPPPP 3 4, ( 5) 5 c) Ja Den karakterstska ekatonen har en dubbelrot 5 med motsarande egenektorer ooooh som kan ortonormera, t ex med Gram- Schmdt metoden, och blda en ON bas som består a egenektorer (V kan blda en ON bas a matrsens egenektorer) ( Matrsen är smmetrsk) Anmärknng : V har nte kra år uppgft att bestämma en ON bas Om ll endast bestämma A som har gna egenektorer/ egenärden kan räkna drekt, (utan att normera egenektorer) AA PPPPPP 5 5, 5 5 Anmärknng : Lägg märke tll att alla ektorer R förutom är egenektorer eftersom EE ssssssss(, ) har dmenson och därmed spänner upp hela rummet R d) Nej Matrsen är nte alls dagonalserbar ( endast en oberoende egenektor ) Uppgft 5 Bestäm en smmetrsk matrs a tp som har ett egenärde med motsarande egenektor och ett egenärde (ps: Bestäm först en egenektor som sarar mot ) Lösnng: Egenektorer som tllhör olka egenärden ( ds som tllhör olka egenrum) är ortogonala, därmed är ortogonal mot x Beteckna Från har t x+ och x Därmed är ortogonal mot t för arje t
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR 6 V äljer en ektor för t ex och bldar matrsen P Då är P Slutlgen har A PDP 3 3/ / 3 / 3/ 3/ / Sar: A / 3/ Uppgft 6 Kan man bestämma en smmetrsk matrs a tp 3 3 som har egenärden 3 och,3, (ds en dubbel rot ) med motsarande egenrum 3, EE (3) ssssssss, (dddddddddddd rrrrrr), EE () ssssssss(, ) Sar: Ja Först: Matrsen A, a tp 3 3, har tre lnjärt oberoende ( kontrollera själ) egenärden och därmed är matrsen dagonalserbar Egenektorer som tllhör olka egenärden ( ds som tllhör olka egenrum) är ortogonala: För från EE (3) och, 3 från EE () gäller och 3 3 å basektorer, 3 ( som nte är ortogonala men tllhör samma egenrum) från underrummet EE () ssssssss(, ) kan ortogonalsera och äen ortonormera ( Gram_Schmdt) På detta sätt får en bas med tre ON egenektorer som betder att matrsen A, a tp 3 3, är ortogonal dagonalserbar och därmed smmetrsk Uppgft 7 Kan man bestämma en smmetrsk matrs a tp 3 3 som har egenärden 3 och,3, (ds en dubbel rot )
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR 7 med motsarande egenrum 3, EE (3) ssssssss, (dddddddddddd rrrrrr), EE () ssssssss(, ) Sar: Nej Egenektorer för en smmetrsk matrs som tllhör olka egenärden ( ds som tllhör olka egenrum) måste ara ortogonala men årt fall från egenrummet EE (3) och 3 från egenrummet EE () är INE ortogonala Uppgft 8 Bestäm en smmetrsk 3 3-matrs A med följande tå egenskaper: Matrsen har ett egenärde 3 med den algebraska multplcteten Motsarande egenektorer "lgger " planet ( ds är parallella med planet) x 3 Matrsen har ett egenärde med den algebraska multplcteten Lösnng: å egenektorer från egenrummet EE 3 som sarar mot 3 bestämmer genom att älja tå lnjärt oberoende ektorer som lgger planet x 3 Punkten O(,,) lgger planet Om t ex äljer, får x och punkten M(,,) Om t ex äljer, får x3 och punkten N(3,,) som lgger planet Därmed har tå lnjärt oberoende ( kolla själ) ektorer 3 OOOO och OONN som lgger planet och är därmed egenektorer för matrsen A För att få en smmetrsk matrs måste älja den tredje egenektor ortogonal mot de första tå (Egenektorer för en smmetrsk matrs från olka egenrum måste ara ortogonala (Sats)) V kan tll exempel älja en ektor som är parallell med 3 3 Låt P ara matrsen ars kollon är,, 3 3 PP 3 6 V beräknar PP 3 6 5 4 3 3 och A PDP 7 6 7 3 6
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR 8 Anmärknng: V skulle få samma sar om först bestämde en ON bas a egenektorer Denna metod skulle kräa lte mer beräknng Sar: AA 3 7 7 6 3 6 Uppgft 9 Bestäm en smmetrsk 3 3-matrs A med följande tå egenskaper: Matrsen har ett egenärde med den algebraska multplcteten Motsarande egenektorer "lgger på " lnjen ( ds är parallella med lnjen) xx t Matrsen har ett egenärde 5 med den algebraska multplcteten Lösnng: V ska bestämma tre lnjärt oberoende egenektorer men de som lgger olka egenrum måste ara ortogonala En egenektor som tllhör EE () är ( ljens rktnngsektor) V äljer tå lnjärt oberoende egenektorer, 3 som tllhör EE (5) De tå måste ara nkelrätta mot ( I en smmetrsk matrs är egenektorer från olka egenrum ortogonala ) V kan älja t ex och 3 De är lnjärt oberoende och dessutom nkelräta mot, 3 Anmärknng: Vektorerna och 3 behöer nte ara ortogonala snsemellan eftersom de tllhör samma egenrum, men själklart, om ll, kan ortonormera de Detta är onödgt den här uppgften) Låt P ara matrsen ars kollon är,, 3 PP 4 4 V beräknar PP 4 5 8 8 och 4 A PDP 4 3 4 4 Sar: AA 4 3 4
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR 9 Låt A ara en smmetrsk matrs med gna egenärden k, Om, motsarande egenrum E, E är gna ( alla förutom E k ) då kan bestämma E k k genom att utnttja följande fakta : en smmetrsk matrs är dagonalserbar, därmed dm( E ) den algebraska multplcteten för ( för en smmetrsk matrs) egenektorer för en smmetrsk matrs som hör tll olka egenärden är ortogonala k Uppgft Låt A ara en smmetrsk matrs a tp 3 3 som har en enkel rot med motsarande egenrummet E span och en dubbelrot a) Bestäm E b) Bestäm A om och Lösnng: V anänder fakta att en smmetrsk matrs är dagonalserbar (därmed har år matrs 3 lnjärt oberoende egenektorer) och att egenektorer som hör tll olka egenärden är ortogonala Därför har E dmenson och ektorer som lgger E är ortogonala mot x Låt ara en godtcklg ektor E Då gäller x ds x + + Ekatonen x + + har tå fra arabler s och t Hära x s t och därför x s t + s s t t Därmed är E span, b) V har tre lnjärt oberoende egenektorer och kan blda P
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR Först beräknar 5 6 P (kontrollera själ) och slutlgen 5 5 6 PDP A Uppgft ( Jämför upp 9 ten 5 maj 4) Låt A ara en smmetrsk matrs a tp 4 4 som har en enkel rot med motsarande egenrummet span E, en enkel rot med motsarande egenrummet span E och en dubbelrot 3 Bestäm 3 E Lösnng: V anänder fakta att en smmetrsk matrs är dagonalserbar (därmed har år matrs 4 lnjärt oberoende egenektorer) och att egenektorer som hör tll olka egenärden är ortogonala Därför har 3 E dmenson och ektorer som lgger 3 E är ortogonala mot och mot Alltså, för en godtcklgt ektor x 3 E har ek : x och ek : x som ger sstemet + + x å fra arabler s och t Lösnngen s x, s, t, t kan skra på formen + t s t t s s x Alltså är, 3 span E
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR Några teoretska uppgfter I nedanstående uppgfter anänder att skalärprodukten u ( u ) kan skras som matrsprodukten u ( u ) Låt A ara en smmetrsk matrs a tp n n Låt u och ara tå n-dmensonella kolonnektorer Då är Au och A också kolonnektorer Vsa att Au u A för alla u och R n Bes: Au ( matrsprodukt) ( Au) u A (A smmetrsk ) u A u A VSB I följande uppgfter anänder komplexa tal Här är kort sammanfattnng om grundläggande räknelagar Om a + b och a, b R då gäller: a kallas realdelen a och betecknas Re( ) b kallas magnärdelen a och betecknas Im( ) a b kallas konjugatet tll och betecknas a + b kallas absolutbeloppet a och betecknas Följande relatoner anänds d olka beräknngar: ( a + b)( a b) a b a + b Med andra ord: om och endast om är ett reellt tal Räknelagar för komplexkonjugerng ( + ) +, ( ), Exempel Låt 5 3 Bestäm Re( ), Im( ),, och Lösnng: Re( ) 5, Im( ) 3, 5+ 3, ( 5) + ( 3) 34, ( 5 3)( 5+ 3) 5 9 5+ 9 34 Exempel Låt 3 och + Beräkna a) + b) och c) Lösnng: a) + ( 3) + ( + ) 3 b) ( 3)( + ) + 3 4 6 + 3 4 + 6 8 3 3 + 3 + 4 + 6 4 + 7 4 7 c) + + + 4 5 5 5
Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR Konjugatet tll en radektor (,, n ) är (,, n ) På samma sätt defneras konjugatet tll en kolonnektor och konjugatet tll en matrs Om A [ a j ] är en n m då är A [ a j ] ( + ) (3 4) ( ) (3 + 4) Exempels, om A då är A 5 5 5 5 Det är enkelt att sa att för konjugerng a en matrsprodukt gäller AB AB --------------------------------- Låt A ara en reell kadratsk matrs a tp n n som har ett komplext egenärde med tllhörande egenektor Vsa att är också ett egenärde med tllhörande egenektor Bes V konjugerar båda sdor A och får A A (eftersom A är en reell matrs) A VSB -------------------------------- Nu kan besa följande ktga sats 3 Låt A ara en reell smmetrsk matrs a tp n n Vsa att alla matrsens egenärden är reella tal Bes Låt ara ett egenärde med tllhörande egenektor Alltså A Enlgt gäller också A V ska sa att som betder att är ett reellt tal V beräknar ( ) ( ) ( A) A ( A är smmetrsk) A Alltså har sat att ( ) (*) Notera att är ett reellt tal (förklara arför) Vektorn är en egenektor och därmed skld från Därmed är > V delar (*) med > och får Med andra ord är ett reellt tal, VSB -------------------------------- Här besar spektralsatsen för x matrser 4 Låt A ara en reell smetrsk x matrs Besa att A är ortogonalt dagonalserbar ds det fnns en ortogonal matrs P och en dagonalmatrs D sådana att P AP D ( eller A PDP ) Bes Den karakterstska ekatonen det(a I) har tå reella (enlgt 3) lösnngar och (det kan hända att ) Låt ara en enhetsegenektor och en enhetsektor R som är ortogonal mot Då har P [, ] ortonormerade kolonner och är därmed en ortogonalmatrs, (ds P P I ) För matrsen P AP har P AP A[, ] (blokmatrsmultplkaton)
3 Armn Halloc: EXRA ÖVNINGAR A A A A A A ], [ ) eftersom ( A A A A A ) och eftersom ( A A ( eftersom, som, ) ( A A A ) A Alltså har sat att det fnns en ortogonal matrs ], [ P och en dagonalmatrs A D sådana att D AP P VSB Anmärknng Med hjälp a matematsk ndukton sar att spektralsatsen gäller för reella smetrska matrser a tp n n --------------------------------------------------