Gamla tentemensuppgifter

Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi vet sedan tidigare att det finns oändligt många polynom av andra graden som skär x-axeln i punkterna x = 3 och x = 1. Med andra ord: Det finns oändligt många andragradsekvationer som har rötterna x = 3 x = 1. Till exempel: x x 3 = 0 3x 6x 9 = 0 x + x + 3 = 0 10x 0x 30 = 0 Som andragradsekvationer är de alla likvärdiga, men inte som funktioner: f(x) = x x 3 f(x) = 3x 6x 9 f(x) = x + x + 3 f(x) = 10x 0x 30 Plottar vi dem i samma diagram får vi figur 1. Men genom att utnyttja den tredje observationen, kurvan går genom punkten (0, 3) finns det bara en av alla dessa som överlever. Men hur ska vi få tag i den funktionen? Det räcker att anta att funktionen har följande uttryck f(x) = a(x x 3) Vi söker alltså en konstant a, så att alla de tre givna ledtrådarna fungerar. För att f(0) = 3 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

0 10 - -1 1 3 4-10 -0-30 -40 Figur 1: ska gälla behöver 3 = 3a som ger roten a = 1. Detta betyder att den eftersökta funktionen är f(x) = x x 3 som är en av de alternativ vi hade ovan. Det allra första förresten Svar: f(x) = x x 3 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan f(x) = 4 x + 1 x i den punkt där x = 1 4 Vi startar förstås med att derivera, men innan dess försöker vi skriva om funktionen på en form som kommer att göra den enklare att derivera f(x) = 4 x + 1 x = 4x 1 + x 1 Nu deriverar vi f (x) = 1 4x 1 + ( 1)x = x 1 x Vi använder direkt derivatan Nu har vi tangentens k-värde f ( 1 4 ) = ( 1 1 1 = 4 4) 1 1 1 16 f( 1 4 ) = 4 1 4 + 1 1 4 = 4 16 = 1 = 4 1 + 4 = + 4 = 6 Nu har vi även en punkt på tangenten ( 1, 6) och det är dags att bestämma 4 tangentens ekvation 6 = 1 1 4 + m ger m = 9 och tangentens ekvation blir Svar: y = 1x + 9 Håkan Strömberg KTH Syd

3 Man vill tillverka en låda (ett rätblock), utan lock med kvadratisk basyta och som har volymen 8.00 dm 3. Hur hög ska lådan vara för att materialåtgången, det vill säga arean, ska bli så liten som möjligt? Vi har två mått att ta hänsyn till b, den kvadratiska basytans sida och h höjden. Volymen för en sådan låda skrivs V = b h Eftersom V = 8 kan vi skriva den ena variabeln med hjälp av den andra. Det spelar ingen roll hur vi väljer dem, men genom att lösa ut h får vi kanske lite enklare räkningar: 8 = b ḣ ger h = 8 b Kartongarean eller vad nu lådan är gjord av kan skrivas A = b + 4bh Men eftersom vi har uttryckt h med hjälp av b kan vi nu skriva A som funktion av b. A(b) = b 8 + 4b b = b + 3 b Det är denna funktion vi ska bestämma en minpunkt för. Men innan dess måste vi bestämma definitionsmängden 0 < b <. Basytan kan alltså göras hur stor som helst medan h då minskar. Vi deriverar A (b) = b 3 b Om du känner att det är svårt att se derivatan direkt skriver du bara om funktionen på en enklare form och finner derivatan i två steg istället. Dags att lösa ekvationen A (b) = 0 b 3 b = 0 b = 3 b b 3 = 3 b = 3 16 b = 3 Höjden får vi nu genom h = 8 ( 3 ) = 8 4 3 1.6 Då A (x) = + 64 b 3 > 0 för alla b > 0 har vi här en minpunkt. Svar: 1.6 dm Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Bestäm, exakt, riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y = x3 + 3e x 4 i den punkt där x = 1. Först delar vi upp bråket i f(x), för att göra det riktigt tydligt, i Sedan bestämmer vi f (x) f(x) = x3 + 3ex 4 och därefter f (1) Svar: f (1) = 3(1+e) 5 Funktionen f (x) = 3x + 3ex f (1) = 3 + 3e f(x) = (x a) = 3(1 + e) är given. Bestäm värdet på konstanten a då man vet att f(1) + f (1) = 0 Först måste vi utveckla parentesen för att kunna derivera funktionen och nu deriverar vi f(x) = x ax + a f (x) = x a Kom ihåg att a är en konstant. Vi tecknar nu ekvationen f(1) + f (1) = 0 Svar: a 1 = 1 och a = 3 6 Funktionen 1 a + a + a = 0 a 4a + 3 = 0 a = ± 4 3 a 1 = 3 a = 1 f(x) = x 3 + ax + b där a och b är konstanter, har en lokal extrempunkt i (1, ). Bestäm koordinaterna för funktionens andra lokala extrempunkt och bestäm också vilken typ av extrempunkt det är. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

Vi deriverar f (x) = 6x + ax Så löser vi f (x) = 0 6x + ax = 0 x(3x + a) = 0 x 1 = 0 x = a 3 Alltså förstår vi att x = 1 eftersom x 1 = 0. Vi har ju fått reda på att en av extrempunkterna är (1, ). Vi kan nu få fram a genom ekvationen a 3 = 1 a = 3. Vi har också fått reda på att f(1) = Det ger oss b genom Funktionen f(x) är nu helt känd 1 3 + ( 3)1 + b = 3 + b = b = 1 f(x) = x 3 3x 1 Den andra extrempunkten finns för x = 0 vilket ger f(0) = 1. Genom att studera f (x) kan vi till sist avgöra vilken typ av extrempunkter vi har. f (x) = 1x 6 f (0) = 6 < 0 alltså en maxpunkt f (1) = 6 > 0 alltså en minpunkt. Svar: (0, 1) 7 Funktionen f(x) = x x 1 Bestäm ett intervall för x, då både f(x) < 0 och f (x) < 0. För att klara detta måste vi lösa både f(x) = 0 och f (x) = 0. x x 1 = 0 x 1 = 3 x = 4 Då x < 3 är f(x) > 0. Kurvan befinner sig över x-axeln tills den skär axeln i x = 4 och stannar under x-axeln (är negativ) tills den åter skär axeln för x = 4, för att sedan stanna för evigt över x-axeln (är positiv). f(x) < 0 då 4 < x < 3. f (x) = x 1 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

f (x) = 0 ger x 1 = 0 x = 1 f (x) < 0 då x < 1, f (x) = 0 då x = 1 och f (x) > 0 för x > 1. Alltså f (x) < 0 då < x < 1. Men nu ska både f(x) < 0 och f (x) < 0. Detta inträffar då 4 < x < 1 30 0 10-6 -4-4 6-10 Figur : Svar: 4 < x < 1 8 Kurvan y = x4 + 3x har en normal som är parallell med den räta linjen x 13y = 5. Bestäm ekvationen för denna normal. En normal till en kurva är en linje som går vinkelrät mot en tangent till kurvan. Så om vi startar med att skriva om den givna linjens ekvation från x 13y = 5 till y = x 13 5 13 Denna linje måste ha samma k-värde som den sökta normalen. Tänker vi sedan på regeln, att för två vinkelräta linjers k-värden gäller k t k n = 1 så vet vi direkt att tangentens k värde måste vara k t 1 13 = 1 k t = 13 Om vi nu tar reda på f (x) och löser ekvationen f (x) = 13, får vi reda på, för vilka x det finns en tangent med lutningen k = 13. f (x) = x 3 + 3 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

ger ekvationen x 3 + 3 = 13 x 3 = 8 x = Det finns bara x = då detta är uppfyllt. f( ) = ( )4 + 3( ) = 8 6 = ger oss punkten genom vilken normalen ska gå. Återstår att bestämma m för normalen. = 1 13 ( ) + m ger m = + 13 = 8 13 Linjens ekvation blir nu y = 1 13 x + 8 13 Svar: y = 1 13 x + 8 13 9 Den totala begränsningarean av ett rätblock är 4 dm. En av rätblockets sidokanter är dubbelt så lång som en annan. Beräkna exakt rätblockets maximala volym. Ett rätblock har som bekant höjd h, bredd b och längd l. Ett rätblock består av sex sidor, som parvis har samma area. Vi kan med våra beteckningar ovan skriva den totala begränsningsarean, (summan av arean av de sex sidorna) A(b, h, l) = bh + bl + hl Så kan man skriva en funktion av tre variabler! Den här gången är en av kanterna dubbelt så lång som en annan. Det spelar förstås ingen roll vilka vi väljer. Vi bestämmer därför att l = b. Vår funktion kan då skrivas A(b, h) = bh + 4b + 4hb = 4b + 6hb Så kan man skriva en funktion av två variabler! Nu vet vi att A(b, h) = 4, alltså 4b + 6hb = 4 Om vi betraktar detta som en ekvation kan vi lösa antingen h eller b och få denna variabel uttryckt i den andra. Enklast är förstås att lösa ut h. Vi får då 4b + 6hb = 4 6hb = 4 4b h = 4 4b 6b = 1 b 3b Håkan Strömberg 7 KTH Syd

Vår funktion kan då skrivas A(b) = 4b + 6b 1 b 3b = 4 Vilket b vi än väljer så är rätblockets area 4, precis som vi vill ha det. Nu över till volymen V = b l h. Både l och h finns nu uttryckta i b, så vi kan skriva V(b) = b b 1 b 3b = b(1 b ) 3 = 4b 3 4b3 4b3 = 8b 3 3 Det är den här funktionen vi ska söka en maxpunkt för. Vilken är då definitionsmängden? b > 0 givetvis, men finns det någon övre gräns för b. I takt med att b drar i väg mot minskar l och h. Men om b blir för stor kommer h < 0, se ovan. Det största värde b kan anta är då h = 0 alltså 1 b 3b = 0 som har roten b = 6. Definitionsmängden 0 < b < 6. Vi deriverar och får V (b) = 8 4b V (b) = 0 då 8 4b = 0 b = b 1 = (b = ) Genom V (b) = 8b och V ( ) = 8 < 0 inser vi att vi funnit en maxpunkt. Den maximala volymen blir då V( ) = 8 4( ) 3 3 = 16 3 Svar: 7.54 dm 3 10 Lös ekvationen då f(a) f (a) = 1 f(x) = x x + 1 f (x) = x 1 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

Vi kan nu teckna ekvationen Svar: a 1 = och a = 1 a a+1 a 1 = 1 a a + 1 = a 1 a 3a + = 0 a = 3 ± 9 4 8 4 a = 3 ± 1 a 1 = a = 1 1 Undersök funktionen f(x) = x 3 6x + 9x + 3 med hjälp av derivata och bestäm alla eventuella extrempunkter En cylindrisk burk utan lock ska tillverkas. Volymen ska vara 1 liter. Beräkna cylinderns höjd så att materialåtgången blir så liten som möjligt. Denna uppgift påminner mycket om uppgift 3 bland Lösta uppgifter. Förra veckans svårare problem 4 Vi tecknar till att börja med T(t), temperaturen som funktionen av tiden: T(t) = 36.9e kt där k är obekant konstant. Vi ser dock att funktionen fungerar för T(0) = 36.9 en levande varg. Vid tiden x uppmäts temperaturen 8 C. Detta ger 8 = 36.9e kx Tre timmar senare vid tiden x + 3 görs en ny mätning. Detta ger 5.6 = 36.9e k(x+3) Vi har nu fått ett ekvationssystem (icke linjärt) med två obekanta. 8 = 36.9e kx 5.6 = 36.9e k(x+3) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

Resten av problemet består av att lösa detta system. 8 = e kx 36.9 5.6 36.9 = e k(x+3) ln ( 8 36.9) = kx ln ( 5.6 36.9) = k(x + 3) Från den första ekvationen löser vi ut k k = ln( 8 36.9 x Detta värde för k, sätter vi in i den andra ekvationen och förenklar ln ( ) 5.6 ln( 36.9 = 36.9) 8 (x + 3) x ln ( ) ( 5.6 36.9 = ln 8 36.9 ln ( ) ( 5.6 36.9 ln 8 ) 3ln( 36.9 = 36.9) 8 x 3 ln ( 8 x = ) ln ( 5.6 36.9 x 9.4 ) + 3ln( 8 ) 36.9) x ) 36.9 ( ln 8 36.9 Svar: Skottet föll 9.4 timmar före kl 1 : 00, eller kl 11 : 45, som vi avrundar till kl 1. 5 Antag att den sökta funktionen är och dess derivata f(x) = ax + bx + c f (x) = ax + b Kurvan tangerar y = x i origo, som ger f(0) = 0, som ger c = 0. Dessutom är f (0) = 1 som ger b = 1. Kurvan tangerar också y = x 3. Betyder att ekvationssystemet { y = x 3 Ska ha en dubbelrot. Vi får y = ax + x x 3 = ax + x x x + 3 = 0 a a x = 1 ± a Dubbelrot erhålls 1 1a = 0 då a = 1 1. 1 1a 4a 4a ) Håkan Strömberg 10 KTH Syd

Svar: f(x) = x 1 + x 6 Linjens ekvation är p 130 = 50 130 (x 1000) 5000 1000 som förenklas till p = 7500 x 50 Den totala kostnaden för att tillverka och försälja x enheter ges av T(x) = 10x + 300 Vinsten vid tillverkning och försäljning av x enheter ges av V(x) = xp 10x 300 a) Häri insättes p uttryckt i x enligt ovan och man får b) V(x) = 7500 x 50 x 10x 300 = 140x 0.0x 300 V (x) = 140 0.04x = 0.04(x 3500) V (x) = 0 då x = 3500. V (3500) = 0.04 < 0 alltså har vi en maxpunkt. Svar: Vinsten är maximal för x = 3500 1 En ren standarduppgift, som nu bör kännas ganska trist. Vi startar med att derivera f (x) = 3x 1x + 9 Genom att lösa f (x) = 0 får vi reda på eventuella extrempunkter 3x 1x + 9 = 0 x 4x + 3 = 0 x = ± 4 3 x = ± 1 x 1 = 3 x = 1 Vi har som väntat två extrempunkter. Andraderivatan kommer kanske att kunna avgöra vilken typ de tillhör. Vi får nu f (x) = 6x 1 f (3) = 6 > 0 minpunkt f (1) = 6 < 0 maxpunkt Svar: Vi har funnit två extrempunkter, maxpunkt för x = 1 och minpunkt för x = 3. Kanske ska man svara med punkterna och då måste vi bestämma f(1) = 7 och f(3) = 3, som leder till punkterna (1, 7) och (3, 3) Håkan Strömberg 11 KTH Syd

Volymen för en cylinder bestäms med formeln V = hπr Då vi vet att V = 1 kan vi bestämma h med hjälp av r 1 = hπr h = 1 πr Materialåtgången utgör cirkelskivan i botten tillsammans med mantelytan, bandet runt. Vi kan nu uttrycka denna area som en funktion av radien r A(r) = πr + πrh = πr + πr 1 πr = πr + 1 r Vi deriverar och löser sedan A (r) = 0 för att få extrempunkterna Ekvationen ger A (r) = πr 1 r πr 1 = 0 r πr = 1 r r 3 = 1 r = När vi känner r kan vi till sist bestämma h Då h = 1 ( 3 π 1 π π 3 1 π ) 0.54 A (r) = π + r 3 som är > 0 för alla r > 0 medför detta att vi funnit en minpunkt. Svar: 54 mm Räkna bokens uppgifter: 38, 331, 33, 336, 338 38 TB: Jag ska alltså bestämma a, b, c och d i funktionen f(x) = ax 3 + bx + cx + d. De tre rötterna till ekvationen f(x) = 0 är kända. Jag vet inte riktigt, men jag chansar f(x) = (x + 6)(x 1/)(x 4). Är det riktigt? Håkan Strömberg 1 KTH Syd

KTH: Testa med f() = 5 och dessutom har du inte bestämt a, b, c och d, som du sa att du skulle göra. TB: Kan du inte säga om det är rätt istället? Jag testar väl då f() = ( + 6)( 1/)( 4) = 8 3/ ( ). Jag ser redan nu att det inte kan fungera eftersom detta värde blir negativt och därmed inte = 5. Nu får du hjälpa mig KTH: Först ska vi ta det omständliga sättet: f( 6) ger ( 6) 3 a + ( 6) b + ( 6)c + d = 0 f(1/) ger (1/) 3 a + (1/) b + (1/)c + d = 0 f(4) ger 4 3 a + 4 b + 4c + d = 0 f() ger 3 a + b + c + d = 5 Vi har ett ekvationssystem med fyra obekanta och fyra ekvationer. Normalt har detta system en lösning. Man brukar skriva det så här. Vi passar på att snygga till det lite: Ekvationssystemet har lösningen a = 5 4 16a + 36b 6c + d = 0 a/8 + b/4 + c/ + d = 0 64a + 16b + 4c + d = 0 8a + 4b + c + d = 5 b = 5 16 c = 15 4 d = 5 Det är ganska jobbigt att komma fram till detta men med en dator eller en avancerad räknedosa går det lättare. Det viktiga är att du förstår hur systemet är konstruerat. Nu över till en enklare metod, som börjar på samma sätt som du föreslog. Men först ska vi titta på en sak som förklarar varför din metod inte fungerar direkt. Här har vi tre ekvationer x 3 + x 5x 6 = 0 4x 3 + 8x 0x 4 = 0 3x 3 + 6x 15x 18 = 0 Det är lätt att se att de egentligen är fråga om samma ekvation i alla tre fallen. Om man dividerar båda sidor i den andra med 4 så uppstår den första. I den tredje ekvationen dividerar vi båda sidor med 3, så kommer vi också fram till den översta ekvationen. Rötterna är förresten x 1 = 3, x = och x = 1. Dessa kan vi i denna kurs bara komma fram till genom att gissa. Nu tittar vi på följande tre funktioner f 1 (x) = x 3 + x 5x 6 f (x) = 4x 3 + 8x 0x 4 f 3 (x) = 3x 3 + 6x 15x 18 Dessa är inte identiska, vilket vi ser när vi tar fram deras graf: Håkan Strömberg 13 KTH Syd

100 75 50 5-4 - -5-50 -75 Figur 3: 331 Visserligen har de alla samma nollställen, men däremellan beter de sig på olika sätt, eller hur. För att kunna bestämma en polynom av tredje graden behöver man 4 punkter på kurvan. Du använde bara 3 i ditt försök. Nu går vi tillbaka till din ansats: f(x) = (x + 6)(x 1/)(x 4) f(x) = x 3 + 3x 5x + 1 Som du ser har x 3 koefficienten 1, bara en av alla funktioner med de tre nollställena. Alltså ska vi finna ett m, så att f() = m( 3 + 3 5 + 1) = 5 4m = 5 m = 5/4 Om vi multiplicerar ditt resultat med m = 5/4, så får vi just det resultat som jag fick från ekvationssystemet. f(x) = 5 4 x3 5 16 x + 15 4 x 5 TB: Punkten (1, 0) ligger verkligen på kurvan eftersom f(1) = 1 1 = 0. Funktionen f(x) = x x har derivatan f (x) = 1 x. Speciellt är då f (1) = 1 Tangenten till kurvan i den aktuella punkten har lutningen k t = 1. Normalen har då k n = 1 eftersom vi vet att k t k n = 1. Vet man k-värdet och en punkt kan man bestämma linjens funktion f(x) = kx+m ger oss 0 = 1 1+m. m = 1 och vi kan skriva funktionen f(x) = x 1 eller y = x 1 som vi gjorde förr. Sen då? KTH: Det blir en ekvation. Kan du ställa upp den. TB: Vi är på jakt efter en punkt som finns på både kurvan och normalen. Borde Håkan Strömberg 14 KTH Syd

33 bli: x x = x 1 x = 1 x 1 = 1, x = 1 ger punkterna (1, 0) och ( 1, ). Den första hade vi ju redan från början, den andra är alltså svaret. TB: En punkt och en funktion är given, Q(1.5, 0) respektive f(x) = x. Jag förstår att det finns många punkter på kurvan och att avståndet från Q till dessa punkter varierar och att det bör finnas ett minsta. Men jag har ingen aning om hur jag ska lösa problemet. KTH: Accepterar du detta skrivsätt P(x, x)? Det beskriver samtliga punkter på kurvan, eller hur? Hur bestämmer man avståndet mellan två punkter i koordinatsystemet? TB: Ingen aning. KTH: Jag förstår det. Vi har inte berört detta tidigare i den här kursen, men troligtvis kommer du att känna igen det jag kommer att berätta nu. Först över till en figur: Figur 4: Vi ska beräkna avståndet mellan punkterna (, ) och (4, 5). y = 5 = 3 och x = 4 =. x och y är katetrar i en rätvinklig triangel. Med hjälp av Pythagoras sats, c = a + b, kan vi räkna ut hypotenusan, som samtidigt är det sökta avståndet. + 3 = 13 Mer generellt kan vi nu skriva formeln för avståndet mellan punkterna (x 1, y 1 ) och (x, y ) som (x1 x ) + (y 1 y ). Kan du nu använda detta för att lösa vårt problem. TB: Jag börjar så här. Avståndet a mellan en punkt vilken som helst på kurvan och Q kan skrivas a(x) = (1.5 x) + (0 x). Jag plottar funktionen för att se vad jag håller på med Det är helt klart så att det finns ett minimum att det finns kring x = 1. Ett minimum finner man genom att derivera funktionen och ta reda på var derivatan är 0. Men det känns inte lätt att derivera den här funktionen. KTH: Det har du rätt i. Vi har ännu inte nått fram till de deriveringsregler som Håkan Strömberg 15 KTH Syd

behövs för det. Derivatan blir så komplicerad som a (x) = x 9 8x + 4x Man ska nu inse att om man kvadrerar funktionen a(x) så kommer man fortfarande att få ett minimum i samma x-koordinat. Grafen av båda kurvorna visar detta: 0 15 10 5 4 6 8 10 Figur 5: Så om du accepterar detta kan du nu gå vidare TB: Jag ska nu istället derivera denna funktion 336 a (x) = ( 3 x) + ( x ) a (x) = 9 4 + x 3x + x a (x) = x a (x) = 0 då x = 0 x = 1 Jag läste av grafen ganska bra eller hur? Punkten på kurvan vi är på jakt efter är (1, 1). Avståndet mellan punkterna får vi genom a(1) = ( 3 1) + (0 1) = 5/ En ganska jobbig uppgift. TB: Den här kommer jag att klara. Vi har funktionen f(x) = ax +bx+c. Derivatan som vi kommer att behöva är f (x) = ax + b. a, b och c är alla obekanta och ska bestämmas. Följande är givet f(1) = 4, f(0) = 0 och f (0) = 1. Man får ut två ledtrådar ur tangerar linjen y = x i origo. Linjen y = x har ju som bekant lutningen k = 1. Nu får vi ett ekvationssystem: f(1) = 4 a + b + c = 4 f(0) = 0 c = 0 f (0) = 1 b = 1 Huvudräkning ger funktionen f(x) = 3x + x Håkan Strömberg 16 KTH Syd

KTH: Bra 338 TB: En sådan där jobbig uppgift igen. Jag fattar ingenting. KTH: Vad krävs för att en funktion ska ha två extrempunkter? TB: Att derivatan har två nollställen, eller åtminstone två nollställen. Det kan ju dessutom finnas terrasspunkter. KTH: Räcker det inte för att du ska kunna komma på något. TB: Jag deriverar f(x) = x 3 + ax + bx och får f (x) = 3x + ax + b. Det är alltså ekvationen f (x) = 0, som ska ha två rötter. Det har ju alltid en andragradsekvation. KTH: Nej, inte alltid två reella rötter. Dessutom kan det finnas en dubbelrot. TB: Sen då? 3x + ax + b = 0 x + ax 3 + b 3 = 0 x = a 3 ± a 9 3b 9 KTH: Hur stor får b vara för att det ska finnas reella rötter? TB: 3b får inte vara större än a, då blir det negativt under rottecknet. 3b får heller inte vara lika med a, för då blir det en dubbelrot, leder till terrasspunkt och endast en extrempunkt. Svaret är alltså a > 3b Håkan Strömberg 17 KTH Syd