Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0, d) 7, e) 0 Övning,, c), d) 0 Övning /7 = / = / = / Övning,, c), d) Övning 77,, c) 7, d) 00, e), f ) 0 Övning,, c) 7 Övning 7,, c) 9, d) 7 Övning,, c) Övning 9, 7, c), d), e), f ) Övning 0,, c) Övning, a b +, c) ab ac bc Övning, +, c) ac + ad bc + bd Övning + + 9, 9, c) + + 9 z z + z Övning +, 7 Övning ac b, Övning, ac b, (a+) c), d) (a ) a, c) a, d) (a+) Övning 7 +,, c) + ( 9) ( )( ) Övning +, ( 9 + )( ) eller 7 ( + 7 )), c) Övning 9, +, c) 0 7 0 Övning 0, (+) + Övning, a +b (a+ (a Övning ( )( ) Övning Övning +,, +, c) + 7, d), c) + Övning 7 kvot: +, rest: + + kvot: + + + + +, rest: 0 c) kvot: +, rest: + 0 Kvadratkomplettering Övning Låt a vara hela kvadratens bredd och b den lilla kvadratens bredd Den gröna triangeln har då arean (a och fås ur den stora genom att man tar bort två rektanglar med sidorna a och b Den lilla kvadraten tas då bort två gånger, varför den måste läggas till igen Övning ( + ), ( + ), c) ( ) Övning är ett dubbelt nollställe, ±, c), Övning p() = ( + ) + med likhet precis då = / Minsta värdet är därför och det antas i = / Polnomet saknar nollställen Övning Tecknet på a avgör om kurvan har ett maimum (a < 0) eller minimum (a > 0) Etrempunkten antas i = b/a och värdet i den punkten är c b /a Villkoret för att andragradsekvationen ska ha en lösning är att a och c b /a har olika tecken (eller c = b /), vilket också kan uttrckas som att Övning Figurer nedan: 0 a(c b / = ac b / 0 b ac c) Polnomet i har nollställena, medan det i c) har nollställena ± / Övning 7 ( + ) + ( ), ( ) ( + ) + (z ) 0 Övning Kvadratkompletteringen blir ( + ) + ( ) Vi ser även nu att minsta värdet är och att det antas då = och = Övning 9 ( ) +, ( + ) +, c) ( + ) + 7, d) ( + ) +, e) ( ) + Övning 0 I har vi nollställena ±, i ± och i d) ± De övriga två saknar nollställen Övning + = ( + ) så minsta värdet är 0 + = ( ) + så minsta värdet är c) + + = ( + ) +, så minsta värdet är Övning + = ( ) + så största värdet är 7 0 = ( + ) + så största värdet är c) 7 0 = ( + ) +, så största värdet är Övning ( + ) + = ( + ) +, ( + ) = ( + ), c) ( + ) Övning Till eempel = ( + ) (z ) + och ( + z) + ( + z) z Övning f (,, z) = 7 ( ) ( ) (z ), så det största värdet är 7 och antas då = = z =

Faktorisering av polnom Potenser och potenslagar Övning 0 9, Övning, 0 Övning Övning a b Övning,, c), d), e) 9 Övning 0, Övning = 9, Övning ( )( ), ( + )( ), c) går ej Övning Med α = får vi q() = + + och C = och med α = får vi q() = + och C = 0 I det senare fallet går divisionen jämnt upp Övning 7 ( )( + ) = +, ( )( + ) = ( ) = Övning a, a, c) a, a 9 7 Övning 7, 0, c) 9, d) Övning 9,, c) Övning 9 a 9/, a /9, c) a /, d) a /, e) a 7/ Övning 0 9, Övning, e ( + e ) = e (e + ) Övning + Övning 9 ( + )( )( 7), ( + )( )( + ) Övning 0 ( + )( ), ( + )( ) Övning ( )( + ), klar, c) ( )( + + ), d) ( + )( + ), e) ( + )( + 9) Övning ( )( + + ), ( + )( + + ), c) ( ) ( + )( ) Övning p() = 0 + a = 0 a = 0 Övning ( ) 0 + ( ) ( ) 0 + = + + = 0, så svaret är ja Övning p() = ( ) ( + + ), så multipliciteten är Övning ( + )( + ), ( + ), c) ( )( + + ) Övning 7 ( + z )( + z + ) = (( ) z )(( + ) z ) = ( z)( + z)( + z)( + + z), ( + )( + + ) = ( ) ( + ) Övning Konjugatregeln ger att uttrcket är lika med (bc (b + c a )(bc + b + c a ) = (a (b c) )((b + c) a ) som är lika med uttrcket Vidare är (p = a + b + c a = b + c a osv vilket visar den andra formeln Övning 9 ( )( + )( ) Relationen mellan potens- och logaritmlagar Övning,, c) /, d), e) / Övning den första svarar mot att a 0 =, de övriga är direkt ur definitionen Övning lg(abc), 0, c), d) ln(ab ) Övning /, e /9 Övning lg( 7) = lg + lg 7 = lg 000 + 07 = lg 000 + lg(09) = lg(09) Eftersom lg = lg = följer resultatet Övning, /, c), c) 000, d) Övning 7 lg, ln, c) lg Övning ln,, c)t, d) 0 Övning 9,, c), e, d), e, e) 0, ln 9 att ln( ) inte är definierad!) ln, f ) (notera Övning 0 a log( ) =a log( ) =a log + a log =a log a log Övning lg = lg = 990 = + lg(9) så 9 0 Övning + Övning ln(( + e e )) = ln(e / ( + e )), så det andra uttrcket är ln(e / e ) = ln / Svaren är alltså lika Övning Ekvationen blir a + b = ab (a )(b ) = Lösningarna ges därför av a = + s, b = + /s där s > 0

Ekvationslösning Olikheter Övning Den första är, resten ekvivalenser Övning + = ± =, 7, =, Övning = = är inte en lösning eftersom uttrcket inte ens är definierat då Övning = ±, = ± Övning Sätt = De reella lösningarna är = ± + Samma ekvation som i eempel efter variabelbtet = ln Lösingarna är = e, e Övning = är lösning på ekvationen + = ( ) Övning 7,, c) Övning, Övning 9 Fra fall: () = = 0 () = 0, =, () =, = 0, () + =, + = Den sista saknar lösning Svaret är (0, 0), (±, 0), (0, ±) Två fall = 0, = 0, = 0, = 0 Svaret är (0, ±), (, 0) Övning, 0/9 Övning, < <, c) = Övning <, eller < 0 eller Övning <, 0, c) eller, d) < eller < <, e) alla Övning 0 <, < eller, c) < eller 0 < Övning < <, < eller >, c) alla, d) > eller 0 < < Övning 7 < eller Övning 0,, c) saknas Övning,, c) saknas Övning 0, Absolutbelopp Övning, 7/, c) 0, d) lg Övning /,, c) ( ± 7)/, d) saknas Övning lösning saknas Övning,, c) ( ln )/ ln Övning 7 första ekvationen ger fallen = 0, = ±, = 0 Andra ekvationen ger fallen = 0, = Alla punkter på formen (0, ) löser därför båda ekvationerna, men om = 0 måste = ± Sammanfattningsvis har vi lösningarna (0, ), (±, ± ) Den första ekvationen ger de tre fallen = 0, = 0, = Ger lösningarna (0, ), (, 0), (, ) Övning Den andra ekvationen har lösningarna =, vilket ger lösningarna (, /), (, /) Den tredje ekvationen ger att = 0 eller λ = Fallet = 0 ger lösningarna (, 0, ), (, 0, ) Fallet λ = innebär att första ekvationen blir =, alltså = ± och då måste = 0 Ger alltså lösningarna (0, ±, 0) Övning,, c), d) Övning,, c) Övning,, ±,,, d), Övning < <, < eller > +, c) < <, d) < < eller < < Övning a = 7 + = och b = ( 7 ) = Övning Figurer nedan: 0 0 0 0 0 c) d) Övning 7,,, c),, d) /, 7/ Övning Figurer nedan:

0 0 Övning 9 Ellips med centrum i (, 0) och halvalar, 0 0 c) 0 d) 0 0 Övning 0 Ellips med centrum i (, ) och halvalar, Ingen ellips (en hperbel), c) Ingen ellips (en parabel) Övning Skillnaden är att kurvan i första kvadranten nu kan skrivas = + och vi ser då att Graf som nedan Övning 9 < eller > Övning 0 <, = Övning, + Övning > + 7 eller 0 < < eller < < 0 eller < + 7 Man kan också tänka på det som att man bter ut - och -alar Övning Asmptoterna blir = ± ( ) och kurvan skär - aeln i = och =, varför grafen (med asmptoter) blir Analtisk geometri (basali Övning + = 0, + 7 = 0, c) =, d) + = 0, e) = Övning (, ), (, ), c) (, ) Övning + 9 = 0, + = 0 Övning = ( + ) Övning C = F = 0 0 Övning Nej, Ja 0 Övning Figurer nedan: 0 0 0 0 Övning ( ) + ( ) =, ( + ) + ( + ) = Övning ) ( ) + ( + ) = 9, dvs cirkel med medelpunkt i (, ) och radien 7/ ( + ) + =, dvs cirkel med medelpunkt i (, 0) och radie c) ( + ) + ( ) =, dvs cirkel med medelpunkt i (, ) och radie / Övning 7 = / + / + / Övning Ellips med halvalar, 0 0 Smmetrilinjen i är = och den i är = Övning a =, b = Övning 7 (, ), (, ) Övning En cirkel med medelpunkt i (, ) och radien Skärningen med linjen ges av ( +, + ), (, ) Övning 9 a =, Övning 0 Medelpunkt (, ) och radie Övning Medelpunkt (0, ) och halvalar /, Medelpunkt (, ) och halvalar,

Övning Cirkelskivan med medelpunkt i (, ) och radien 7 (alltså området innanför motsvarande cirkel), Allt utanför cirkeln med medelpunkt i (, 0) och radien, c) Cirkelskivan med medelpunkt i (, ) och radien / Övning Medelpunkt (0, ) Asmptoter: = ± Skär - aeln i 0, C O B A Q P Övning Figurer nedan: 0 Likformighetsargument: OAB OPQ c) Ptagoras sats på OPQ d) Identifiera katetrarna i triangeln OBC e) Följer ur figuren nedan: 0 c) 0 0 Övning (, 0) och (, ) Övning (, ) och (, ) Övning 7 Vi får de två ekvationssstemen d) Endast punkten (, ) Övning 7 = + k eller + k, = ± + k, c) = + k, där k är ett godtckligt heltal Övning Se figuren nedan: { + + = 0 + = och { = 0 + = Båda innebär skärningen mellan enhetscirkeln och en rät linje, som i båda fallen skär cirkeln i två punkter (kontrollera genom att rita upp situationen) Det finns alltså fra lösningar B Q O A P Hpotenusan i triangeln OPQ har längden Det betder att triangeln OAB har sidor som är så stora som OPQ Därför måste cos = medan sin = Trigonometriska funktioner Övning Övning = 0, 7 =, 0 = 7 = Övning sin då + k < < + k, k heltal Övning,, c) tan = tan( ) = tan = Vinklarna är utritade i figuren nedan: Övning 9 Skriv om som sin( ) = sin som har lösningarna { = + k = + k { = 0 k = 0 k Här är k ett godtckligt heltal, så vilket tecken man har på k spelar ingen roll i svaret Det är viktigt att man räknar med perioden från början här! Övning 0 k, + k eller + k Övning sin = cos att = sin = och eftersom sin > 0 följer På motsvarande sätt fås att cos = + Övning Följer av att (cos, sin ) ligger på enhetscirkeln Övning Med hjälp av formeln för dubbla vinkeln kan ekvationen skrivas om som ( sin + ) sin = 0 Denna har lösningarna = k och = + k, = + k

Övning ±0 Övning + k, + k, + k, + k, c) ± + k, d) + k, e) + k, f ) ± 9 + k k (notera att tan(± ) inte är defini- Övning k, + k, erat) Övning + k, 0 + k, + k Övning 7 + k + k, k heltal Övning + k, + k, ± + k, c) + k 7, + k, d) + k, + k, 7 + k Övning 9 ± + k, + k