PARTIELLA DERIVATOR Partiella derivator deinieras enom ränsvärden Deinition Låt vara en reellvärd untion deinierad på en öppen mänd n n Ω R Den partiella derivatan av i punten Aa a n Ω med avseende på variabeln betecnas a a an oc deinieras som ränsvärdet a a a K an a a a n K n a a a lim 0 a En partiell derivata besriver ur snabbt väer med avseende på variabeln När man deriverar en untion av lera variabler med avseende på betratar man alla andra variabler som onstanter oc använder deriverins reler ör envariabeluntioner Eempel Låt sin e Bestäm oc Lösnin cos e cos e cos e Derivator av andra ordninen Andra derivatan två åner på betecnas Andra derivatan en ån på oc en ån på j betecnas Smmetrisa eensaper os derivator av andra ordninen Scwars sats Om partiella derivator av andra ordninen är ontinuerlia i en punten så är j j j j i denna punt av 0
8 Derivator av öre ordninen betecnas på linande sätt T e trcet betder att vi deriverar untionen åtta åner: åner på åner på oc en ån på Eempel Låt cos Bestäm oc Lösnin: sin cos till slut blandade derivatan Notera att vi år samma resultat om vi deriverar örst på sedan på eller örst på sedan på Följande betecninar ör partiella derivator ocså öreommer i olia matteböcer: D oc även T e ör en iven untion av två variabler an vi betecna partiella derivator på öljande sätt Första derivatan med avseende på betecnas ä Första derivatan med avseende på betecnas Andra derivatan med avseende på två åner betecnas eller Andra derivatan med avseende på två åner betecnas eller Andra derivatan med avseende på oc betecnas eller av 0
Uppit Beräna oc då Lösnin: 0 etersom vi betratar som en onstant när vi deriverar med avseende på etersom vi betratar som en onstant när vi deriverar med avseende på 0 vi deriverar en ån till med avseende på vi deriverar en ån till med avseende på vi deriverar med avseende på eller med avseende på Uppit Beräna oc som ä då a b c e d sin Svar: a 0 0 b 0 0 0 c e e e e e d a e e Uppit Bestäm onstanten A om untionen ln satisierar öljande evation A Svar: A Uppit Bestäm onstanten A om untionen e satisierar öljande evation A 0 0 Svar: A av 0
BESTÄMNING AV FUNKTIONER OM PARTIELLA DERIVATOR ÄR GIVNA Fall En derivata till änd Om ör en untion av två variabler derivatan på är iven P * då an vi bestämma -delen av untionen enom att beräna P d Alla untioner som uppller * är ivna med P d där är ett odtclit uttrc som inneåller - men inte -variabeln Eempel Bestäm alla untioner av två variabler som satisierar Lösnin Från an vi bestämma den del av untionen som inneåller -variabeln dvs Därör där är en odtclit untion som beror av dvs som inneåller -variabeln oc en odtcli onstant men inte -variabeln Svar: Eempelvis öljande tre untioner av två variabler sin 0 oc ln sin arcsin ar samma örsta derivatan på : Uppit Bestäm alla untioner av två variabler som satisierar av 0
cos a b cos c cos b e 9 där Svar: a sin är en odtcli untion av som inte inneåller b sin c cos där är en odtcli untion av som inte inneåller d e 9 Om vi ar Fall Vi söer ör ivna P oc Q * Anmärnin: För ontinuerlia partiella derivator ar problemet lösnin om oc endast om dvs P Q Därör äller öljande Det inns untioner med ontinuerlia andra derivator som satisierar evationer P oc Q om oc endast om öljande villor är uppllt P Q Eempel Bestäm alla untioner av två variabler som satisierar oc Lösnin: av 0
6 av 0 * För att bestämma deriverar vi * på substituerar i andra villoret oc år dvs notera att båda sidor inneåller endast oc INTE -variabeln Här av år vi där är en onstant Till slut rån * ar vi Svar: Anmärnin: Det är enelt att ontrollera lösninen: Om vi deriverar på resp ar vi: oc Eempel Bestäm alla untioner av två variabler med ontinuerlia part derivator som satisierar oc Lösnin: Metod Det inns inen untion som satisierar ivna villor etersom Metod * där inte inneåller -variabeln För att eventuellt bestämma deriverar vi * på substituerar i andra villoret oc år som är motsäelse etersom beror endast av
7 av 0 Därmed sanas untioner som satisierar ivna villor Svar: Inen untion satisierar ivna villor Uppit Bestäm alla untioner av två variabler med ontinuerlia part derivator som satisierar cos Svar: ln sin Uppit 6 Bestäm alla untioner av två variabler med ontinuerlia part derivator som satisierar cos Svar: Inen untion satisierar ivna villor Etersom NÅGRA EXEMPEL MED FUNKTIONER AV TRE VARIABLER Uppit 7 Bestäm alla untioner av tre variabler med ontinuerlia part derivator som satisierar a b cos c Svar: a arctan där är ett odtclit uttrc som inneåller oc men inneåller inte b cos c
8 av 0 Uppit 8 Bestäm alla untioner av tre variabler med ontinuerlia part derivator om alla tre partiella derivator är ivna oc Lösnin: Villor implicerar * För att bestämma substituerar vi * i andra villoret oc år Härav som vi substituerar i * oc år ** Till slut ör att bestämma oc därmed ela untionen substituerar vi ** i det tredje villoret er dvs Från ** ar vi slutlien ela untionen Anmärnin: Det är enelt att ontrollera lösninen enom att beräna partiella derivator Svar: Uppit 9
9 av 0 Bestäm en untion av tre variabler som uppller öljande rav oc Tips: Från örsta tre villor ar vi Från år vi 0 Svar: 0 Anmärnin: Vi an ontrollera diret på linande sätt som ör untioner med var om problemet P Q oc R * ar nåon lösnin Om partiella derivator är ontinuerlia då är andra derivator oberoende av deriverins ordnin: Därör P Q P R oc Q R Med andra ord: Det inns untioner med ontinuerlia andra derivator som satisierar evationer P Q oc R * om oc endast om öljande alla tre villor är uppllda Q P R P oc R Q Uppit 0 Bestäm alla untion av tre variabler med ontinuerli andra derivator som uppller Svar: Inen lösnin etersom R Q
ETT EXEMPEL MED BERÄKNING AV PARTIELLA DERIVATOR ENLIGT DEFINITIONEN Uppit 0 Låt 0 om om 00 00 a Använd derivatans deinition ör att beräna partiella derivator 00 oc 00 b Är untionen ontinuerli i punten 00 Lösnin: 00 0 0 00 0 0 a lim lim lim0 0 0 0 0 00 lim 0 00 00 0 0 lim lim 0 0 0 0 Alltså båda partiella derivator eisterar i punten 0 0 oc 00 00 0 0 b Om vi sriver i polära oordinater r cosθ sinθ r cosθ sinθ Om r år mot 0 är resultat cos θ sinθ beror av θ oc därör eisterar inte lim 00 Funtionen är inte ontinuerli etersom lim 00 eisterar inte Kommentar Om en envariabeluntion är deriverbar i en punt så är untionen ontinuerli i samma punt Ovanstående eempel visar att eistensen av partiella derivator i en punt inte aranterar att untionen är ontinuerli i punten till sillnad rån eensaper os ordinära derivator ör envariabeluntioner 0 av 0