Tio föreläsningar inom Termodynamik med kompressibel strömning Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm Version 2.0 mars 2006 Förord Denna lunta innehåller de åtta till tio föreläsningar som ges inom kursen 5C1216 termodynamik för T2. Det främsta syftet är att ingen ska behöva skriva av allting från tavlan under föreläsningarna som om vi var tillbaka i medeltiden. Det är dessutom en bra idé att läsa genom det relevanta avsnittet i denna lunta före själva föreläsningen. Föreläsningarna i denna lunta motsvarar 45 minuter i föreläsningssalen förutom f1 och f5 som motsvarar 2 45 minuter. Föreläsningarna är avsedda att vara ett första möte med de olika kursavsnitten. Luntan Samtliga bevis och härledningar är avsedd att stödja en djupare förståelse. Ekvationerna i föreläsningsanteckningarna är numrerade enligt sammanfattningen Termo T konc och du bör ha Termo T konc bredvid dig när du studerar föreläsningarna. Termo T konc innehåller samtliga definitioner, samtliga grundekvationer, en presentation av notationen och en ordlista. Version 2.0 av föreläsningsanteckningarna är framtagen för läsåret 2005/06. Den innefattar text från 2004/05 med notation och referenser anpassade till 2005/06. Denna lunta är INTE TILLÅTEN som hjälpmedel vid skrivningar. 1
Contents f1 Den första huvudsatsen och p-v arbete. 3 f2 Ideala gaser. 8 f3 Vätskor och gaser. 15 f4 Strömning genom öppna system. 19 f5 Kompressibel strömning. 22 f6 Den andra huvudsatsen. 29 f7 Kretsprocesser. 34 f8 Entropi. 36 f9 Stötvågor. 42 f10exergi. 45 2
f1. Den första huvudsatsen och p-v arbete. Introduktion Det centrala begreppet inom termodynamik är energi och den centrala frågeställningen är omvandlingen av energi från värme till arbete, d v s hur vi människor får arbete utfört av kolvmotorer, turbiner, reamotorer med mera. Klassisk termodynamik byggs upp axiomatiskt utifrån s k huvudsatser som därmed utgör grundstenar i teorin. Termodynamikens huvudsatser har inte stringent härletts eller bevisats utan de är snarare stringenta formuleringar av allmän mänsklig intuition och förståelse. Masskonservering, t ex, kallas huvudsats nr 1, HS 1. Den övergripande målsättningen är en extremt generell och allmängiltig teori. Den första huvudsatsen Det centrala begreppet inom den första huvudsatsen, HS1, är energi och den grundläggande principen är att energi kan varken skapas eller förstöras utan endast omvandlas från en form till en annan. Ett viktigt steg under utvecklandet av denna förståelse togs när insikten uppnåddes att utförande av arbete och överföring av värme är två olika sätt att överföra och omvandla en och samma storhet, energi. Denna insikt uppnåddes under mitten av 1800-talet då ett experiment utfört av James Prescott Joule i Manchester spelade en central roll. Man kan påstå att energibegreppet höjdes från att vara ett begrepp enbart inom dynamik eller mekanik till att vara det centrala grundläggande begrepp det är idag. Den första huvudsatsen (HS1) lyder således, I varje system finns det en tillståndsfunktion energi som, 1, varken kan förstöras eller skapas, och som, 2, kan föras till eller från systemet genom värmeöverföring eller utförande av arbete. Denna formulering innehåller några stringenta begrepp som behöver defineras noga. Ett system är det tydligt avgränsade objekt som studeras och analyseras. (Jämför friläggning inom mekanik.) Systemet kan vara en hel bilmotor. Det kan också vara en liten fluidpartikel som förs genom bilmotorn. En tillståndsfunktion är en storhet eller variabel som har ett välbestämt värde när systemet befinner sig i ett välbestämt jämviktstillstånd. Ett system är i termodynamisk jämvikt om dess tillstånd skulle förbli oförändrat om systemet helt isolerades från sin omgivning. Termodynamisk jämvikt förutsätter statisk jämvikt, inre termisk jämvikt, och kemisk jämvikt. Matematiskt innebär HS1 att vi kan skriva, E = Q W, (1.1) där E är systemets (totala) energi som, enligt HS1, är en tillståndsfunktion. W är arbete utfört av det system som studeras, jfr en motor, och utgör överföring av energi från systemet till sin omgivning. Q är värme överfört till det system som studeras, motsvarande, t ex, förbränningen av bränslet i en motor. Det brukar vara intuitivt 3
självklart vad som är värmeöverföring i en viss problemställning men i princip, enligt HS1, utgörs Q av all energiöverföring som inte är indentiferbar som arbete utfört av kända krafter. Överfört värme, Q, och utfört arbete, W, är inte tillståndsfunktioner utan snarare process-funktioner. För oändligt små ändringar i E, motsvarande små mängder överfört värme och utfört arbete, skrivs ekv (1.1) i formen, de = δq δw. Se notationsbilagan i Termo T konc. Antag nu att systemets totala energi kan skrivas i formen, E = U + E rör (1.2) Här är E rör systemets makroskopiska rörelseenergi, med formen 1 2 mv2. Det viktigaste i ekv (1.2) är dock införandet av U som är systemets inre energi och som, enligt HS1, är en tillståndsfunktion. Löst eller intuitivt uttryckt omfattar den inre energin det värme som finns hos systemet. Mer noga uttryckt inkluderar inre energin även den kemiska bildningsenergi, eller snarare bildningsentalpi, som finns i systemet. Inom den klassiska termodynamiken används ordet värme enbart för överförd energi medan just inre energi används för den energi som finns i systemets inre. Se avs 1.2 i Samtliga bevis och härledningar för en diskussion av konservativa krafter och potentiell energi. När de rör är försumbar, t ex i systemets viloram, blir HS1, ekv (1.1), du = δq δw och du = δq δw. (1.3) Här har denna viktiga grundekvation skrivits både i extensiv form, för ett slutet system, och i den mer generella specifika formen. Den andra, specifika, formen erhålls genom att dividera den första, extensiva, med systemets massa, m. Se notationsbilagan i Termo T konc. Tryck-volym-arbete Det klassiska exemplet på ett system som utför p-v arbete är en mängd gas i en cylinder med en kolv, som t ex i en cykelpump, en bilmotor eller en ångmaskin. Andra exempel är den stora luftkudden som utgör golvet i en hoppborg, en liten fluidpartikel i kompressibel strömning, och lite vatten under en kastrull på en varm spisplatta. När en mängd gas i en cylinder utför arbete mot en kolv ges den mängd arbete som utförs av, δw = F dx = pa dx = p Adx = p dv. (1.4) Detta grundläggande uttryck, δw = p dv, gäller generellt i alla system då trycket har samma värde, p, överallt på de delar av randen där arbetet utförs, d v s på de delar av randen som rör sig. En kvasistatisk process eller kvasi-jämvikts-process är en kedja eller pärlband av jämviktstillstånd. När ett p-v system utför arbete i en kvasistatisk process, har 4
tillståndsfunktionen tryck ett väldefinerat värde i alla de jämviktstillstånd som processen går genom, så vi kan skriva, δw int.rev = p dv int.rev, där int.rev står för internt reversibel. Kvasistatiska processer sägs vara internt reversibla eftersom de kan fås att ändra riktning genom en oändligt liten ändring av de aktuella drivande krafterna. (Ekv (1.5) förutsätter att den vertikala tryckgradient som tyngdkraften ger upphov till är försumbar.) Det arbete som utförs under en (ändlig) internt reversibel process från tillstånd 1 till tillstånd 2 är, W 12 = δw int.rev = V2 V 1 p dv. (1.6) Arbetet ges därmed av en ytarea i det s k p-v diagrammet. Integralen kan inte beräknas, d v s värdet på W kan inte bestämmas, förrän p är helt känd som funktion av V under hela processen. Ett p-v system har två frihetsgradar så en egenskap hos processen måste anges för att det utförda arbetet ska kunna bestämmas. Se, t ex, processerna i listan vid slutet av avs 1.2 i Termo T konc. Arbete utfört av konservativa krafter kan uttryckas som en ändring i potentiell energi just därför att arbetsintegralen, W = F d x, enbart beror på integrationsvägens ändpunkter och inte på vägen mellan dessa två punkter. Tryckkrafter däremot är inte generellt konservativa eftersom trycket beror oftast av systemets volym, p = p(v ). p-v arbete beror därmed starkt av vägen genom, t ex, p-v diagrammet, d v s den process som för systemet från begynnelsetillståndet till sluttillståndet. För ett p-v system som genomgår en process i vilken δw = p dv gäller, kan HS1, ekv (1.3), skrivas, du = δq p dv och du = δq p dv, (1.7) där den andra, specifika, formen erhålls genom att dividera den första, extensiva, med systemets massa, m. Värmeöverföring Det är inte säkert att tiden kommer att räcka till för detta avsnitt under den första föreläsningen. Kursdeltagarna väntas läsa avsnittet på egen hand före det första seminariet och före den andra föreläsningen. När värmeöverföring leder till en ändring i temperatur är det praktiskt att använda en empirisk beräkningsformel med formen Q = C T där C är den relevanta (extensiva) värmekapaciteten. Om systemet har flera frihetsgradar måste dock värmeöverföringsprocessen preciseras noggrannare vilket kan leda till användandet av flera värmekapaciteter. För ett enkelt system med dess två frihetsgradar, t ex, behövs generellt två värmekapaciteter. För ett enkelt p-v system m m defineras den specifika värmekapaciteten vid konstant volym genom, δq v = c v dt v, (2.2) 5
och den specifika värmekapaciteten vid konstant tryck genom, δq p = c p dt p. (2.3) Värmeöverföring behöver inte leda till en ändring i temperatur i ett p-v system eftersom en eventuell ändring i den inre energin påverkas också av det arbete som systemet utför. Ett p-v system som genomgår en reversibel isokor process utför inget arbete, dw v = p dv v = p 0 = 0, så den första huvudsatsen, ekv (1.7), lyder, du v = δq v p dv v = δq v p 0 = δq v. (Se notationsbilagan i Termo T konc och matematikbilagan i Samtliga bevis och härledningar.) Definitionen av den specifika värmekapaciteten vid konstant specifik volym, ekv (2.2), ger nu, du v = δq v = c v dt v. (1.8) Med lite matematik fås nu, ( ) u c v = T v. (1.9) Se avs 1.4 i Samtliga bevis och härledningar. De analoga uttrycken för reversibla processer vid konstant tryck är, dh p = δq p = c p dt p och c p = ( ) h T, (1.10) där h är entalpin definerad enligt, h = u + pv och H = U + pv. (1.11) Om inre energi sägs vara värme överfört vid konstant volym kan entalpi sägas vara värme överfört vid konstant tryck. Entalpi är också en viktig energistorhet inom energibudgeten för strömning genom öppna system. (Se föreläsning nr 4 så småningom.) Bredvidläsning Ämnesområdet termodynamik presenteras i; avs 2.1 i The Engine and the Atmosphere av Warhaft, och Inledningen, s 3 4, i Energi och exergi av Tony Burden. Den första huvudsatsen presenteras i; avs 19.1 och avs 19.4 i University Physics av Young & Freedman, avs 2.4 i The Engine and the Atmosphere av Warhaft. Observera att Warhaft använder den motsatta teckenkonventionen för utfört arbete, W. 6 p
Tryck volym arbete Young & Freedman. beskrivs i avs 19.2 och avs 19.3 i University Physics av Specifika värmekapaciteter av Young & Freedman. beskrivs i avs 17.5 och avs 19.7 i University Physics 7
f2. Ideala gaser. Idealgasmodellen bygger på två grundstenar, den ideala gaslagen och Joules lag. Med hjälp av generella teoretiska samband kan man visa att en gas som uppfyller den ideala gaslagen också uppfyller Joules lag och, tvärtom, en gas som uppfyller Joules lag uppfyller också den ideala gaslagen. Se avs 1.12.4 i Samtliga bevis och härledningar. Den ideala gaslagen För en relativt tunn gas kan man visa teoretiskt att, p v T = p V nt = R, (2.10) där n är materiemängden ( antalet mol ) och, R = 8,314 kj/(kmol K). (2.11) För att gaslagen i ekvation (2.10) ska gälla måste temperaturen mätas på en absolut eller termodynamisk skala med en särskild nollpunkt. Se nedan. Ekvation (2.10) med (2.11) härleds ur en synpunkt som betraktar gasen som ett moln molekyler snarare än ett kontinuum. Se avs 18.4 och kap 20 i i University Physics av Benson. Konstanten R har ett och samma värde (2.11) för alla möjliga olika gaser eller ämnen och kallas därmed den allmänna gaskonstanten. Även själva gaslagen, ekv (2.10), kallas ibland, något missvisande, den allmänna gaslagen eller t o m den allmänna tillståndslagen. Visserligen gäller den alla gaser men enbart när de är tillräckligt tunna eller glesa. Lite löst ska den specifika volymen vara tillräckligt hög, v v krit, vilket motsvarar relativt låga värden hos masstätheten, ϱ. (v krit är den specifika volymen i det kritiska tillståndet som presenteras i föreläsning nr 3.) I termer av massa blir ekvation (2.11), p V nt = R p V = nr T = m M R T = m R M T, där, M = m n, är gasens, d v s ämnets, molmassa (g/mol eller kg/kmol). Den ideala gaslagen skrivs nu som, pv = mrt, (2.14) där, R = R M, (2.15) 8
är den specifika gaskonstanten för det aktuella ämnet, eller t o m för en gasblandning som, t ex, luft. Molmassan hos torr luft är, så den specifika gaskonstanten är, M = 28,97 kg/kmol, (2.21) R = R M = 287,0 J/(kg K). (2.22) (Fyra signifikanta siffror i detta värde förutsätter att luften är helt torr.) Uttryckt i specifik volym, v = 1/ϱ, blir ekv (2.14), pv = mrt p V m = RT d v s pv = RT, (2.13a) och uttryckt i masstäthet, ϱ, blir den, pv = mrt p = m V RT d v s p = ϱrt. (2.13b) Den första formen, pv = RT, används oftast inom termodynamik medan den andra, p = ϱrt, används oftast inom strömningslära. Ekv (2.13b), p = ϱrt, användes t ex för att beräkna masstätheten hos luft i laborationerna i kursen i strömningsmekanik. Den ideala gaslagen, ekv (2.12), (2.13) och (2.14), innefattar empiriska lagar, som Boyles lag, pv = konstant då T är konstant, Charles och Gay-Lussacs lag, V = T då p är konstant, och Charles lag, p = T då V är konstant. De sista två lagarna visar att det finns en absolut nollpunkt för temperatur som motsvarar 273,15 C. Nollpunkten i Kelvinskalan sammanfaller med den absoluta nollpunkten medan vatten fryser vid 273,15 K vid atmosfärstryck, 101,33 kpa. Joules lag En mängd av en ren gas är ett enkelt p-v system och har två frihetsgrader så generellt kommer det att krävas kända värden hos två storheter för att bestämma värdet hos den inre energin, u, i ett visst tillstånd. James Prescott Joule visade dock i ett experiment i Manchester under mitten av 1800-talet att; Den inre energin i en ideal gas beror enbart på gasens temperatur. 9
Detta kallas nu Joules lag och kan härledas teoretiskt för en tunn gas Matematiskt uttryckt innebär Joules lag att u är enbart en enkel funktion av T, u = u(t ). Generellt, för ett enkelt p-v system, behöver vi skriva u = u(t, x) där x är någon annan tillståndsfunktion, t ex u = u(t, p). För partiella derivator innebär detta att, ( ) u = 0, p T och att, ( ) u T p = ( ) u T y där y är ytterligare en godtycklig tillståndsfunktion, t ex v. Därmed kan vi använda den enklare notationen, ( ) u = du ( ) u t ex = du T dt T dt. y p Nu ges ändringar i inre energi i en ideal gas av, ( ) ( ) u u du = dt + dx = du T x dt x T, dt + 0. För att kunna inse hur ekv (2.16) följer nu från ekv (1.8) börjar vi med den energibudget för ett p-v system som följer från den första huvudsatsen, Under en isokor process (v = konstant, dv = dv v = 0), och, så, du = δq δw = δq p dv. (1.3 & 1.7) δq v = c v dt v, (2.2) dw v = p dv v = p 0 = 0, du v = c v dt v. (1.8) Denna allmänna relation ska jämföras med följden av Joules lag för en ideal gas ovan, Jämförelsen ger, vilket innebär att, du = du dt dt du v = du dt dt v. c v = du dt. du = c v dt. (2.16b) (2.16a) Denna ekvation (2.16a) gäller alltid, d v s för alla möjliga ändringar i inre energi, oberoende av processen. Observera att c v inte är konstant men ekv (2.16b) visar att c v beror enbart på T i en ideal gas. Detta är en följd av Joules lag. 10
Ett illustrativt exempel Betrakta en mängd gas i en cylinder med en fritt rörlig kolv. Den kan t ex vara luften i en cykelpump om vi täppar till utloppet och bortser från friktion och läckage vid kolven. Cylindern är inte nödvändigtvis värmeisolerad och för exemplets skull antar vi att gasen är från början i termisk jämvikt med sin omgivning. Först komprimerar vi gasen m h a kolven så att dess volym minskar. Om gasen beter sig någorlunda som en ideal gas kommer dess tryck att stiga medan dess temperatur kan öka något. Om kompressionen sker tillräckligt långsamt kommer värmeöverföring att hela tiden jämna ut temperaturskillnader så att kompressionen kan sägas ske isotermt. Hursomhelst, så länge cylindern inte är termiskt isolerad, kommer gasmängden så småningom att befinna sig i ett tillstånd med förhöjt tryck och minskad volym, men med samma temperatur som omgivningen. Den är återigen i termiskt jämvikt med sin omgivning och dess temperatur är den samma som den var före kompressionen. Om gasen uppför sig som en ideal gas under dessa förhållanden säger nu Joules lag att gasens slutliga inre energi är också den samma som den var innan kompressionen inleddes; Joules lag : T = 0 U = 0 (i en ideal gas). Energibudgeten, HS1, för kompressionsprocessen lyder nu, U = Q W = 0 Q = W. Kompressionsarbete har utförts på gasmängden, så att W < 0, och denna tillförsel av energi balanseras exakt av en bortförsel genom värmeöverföring från gasen till omgivningen; Q = W och Q < 0. Nu kan vi släppa handtaget på cykelpumpen och låta trycket i gasmängden jämnar ut sig med trycket i omgivningen. Denna plötsligt frisläppta process är ett klassiskt exempel på en icke-reversibel process. Ändå, när gasmängden väl är återigen i termisk jämvikt med sin omgivning, kan vi vända på resonemanget ovan; ( T ) = 0 0 = ( U) = Q W Q = W, där (...) har använts för ändringar och mängder under den andra, expansions, processen. Nu, Q = W > 0: bortförsel av energi genom utförande av arbete balanseras av en tillförsel av energi genom värmeöverföring. Detta är ett exempel på att en ändlig mängd värme mycket väl kan överföras i en isoterm process om systemet samtidigt utför arbete. Många upplever att det strider mot deras intuition att värme kan överföras samtidigt som temperaturen hålls konstant. Specifika värmekapaciteter Entalpi, h, defineras av, h = u + pv, (1.11) och är en viktig energistorhet inom energibudgeten för strömning genom dysor, turbiner och alla andra strömningsmaskiner. (Se föreläsning nr 4 så småningom.) Här ska vi 11
använda en annan viktig egenskap hos entalpi (1.10) för ta fram den viktiga ekv (2.18) för en ideal gas och de behändiga relationerna i ekv (2.20). Om inre energi sägs vara värme överfört vid konstant volym kan entalpi sägas vara värme överfört vid konstant tryck, dh p = δq p = c p dt p. (1.10a) Joules lag tillsammans med den ideala gaslagen, ekv (2.13), innebär att entalpi, h, beror enbart på T i en ideal gas; h = u + pv = u(t ) + RT. Nu, på samma sätt som Joules lag ledde fram till ekv (2.16), kan ekv (1.10) skrivas, dh = c p dt och c p = dh dt, (2.17) i en ideal gas. Joules lag innebär att c p beror enbart på T i en ideal gas. T -derivatan av definitionen av entalpi (1.11), omskriven med hjälp av den ideala gaslagen, ekv (2.13), ger nu, dh dt = d dt (u + RT ) = du dt + R c p = c v + R, (2.18) med hjälp av Joules lag genom ekv (2.16) och (2.17). Genom att införa kvoten, γ = c p c v, (2.19) kan ekv (2.18) användas för att skriva de specifika värmekapaciteterna i formerna, c p c v = (γ 1)c v = R c v = R γ 1 c p = kc v = γr γ 1. (2.20) Dessa uttryck för c v och c p är särskilt användbara eftersom γ ofta kan antas ta ett teoretiskt bestämt värde. Modellen av en ideal gas inom den molekylära synpunkten, d v s statistisk fysik, är ett tunt moln av oändligt många molekyler som växelverkar med varandra enbart genom kortvariga kollisioner som upprätthåller en jämviktsfördelning bland de olika energimoderna hos molekylerna. Inom denna molekylära teori för ideala gaser ges kvoten γ = c p /c v av antalet exciterade frihetsgrader hos molekylerna: ideala gaser bestående av enatomiga molekyler γ = 3+2 3 = 1,67 ideala gaser bestående av tvåatomiga molekyler γ = 5+2 5 = 1,40 ideala gaser bestående av fleratomiga molekyler γ = 6+2 6 = 1,33 12
vid relativt låga temperaturer. Se avs 2.2.3 i Samtliga bevis och härledningar och kapitel 20, särskilt avs 20.4 och 20.5, i University Physics av Benson. Luft är en gasblandning som består till ca 80% av kväve, N 2, och till ca 20% av syre, O 2. De övriga komponenterna spelar en relativt liten roll för de värden som presenteras här. (En gasblandning uppför sig oftast som en ideal gas under förhållanden då komponenterna var för sig uppför sig som ideala gaser.) Eftersom luft består nästan enbart av tvåatomiga molekyler kan man anta att γ = c p /c v = 1,40. Nu erhålls, och, från ekv (2.20). c v = 287,0 J/(kg K) 0,4 = 717,5 J/(kg K), (2.23a) c p = 1,4 717,5 J/(kg K) = 1005 J/(kg K), (2.23b) Reversibla adiabatiska processer Det är inte säkert att tiden kommer att räcka till för att härleda formlerna i detta avsnitt under den andra föreläsningen. Formlerna kommer dock att användas under den efterföljande räkneövningen. Kursdeltagarna rekommenderas att läsa avs 2.2.5 i Samtliga bevis och härledningar på egen hand före det andra seminariet. Energibudgeten för en adiabatisk process i ett slutet p-v system, ekv (1.7) med δq = 0, tillsammans med Joules lag genom ekv (2.16) och den ideala gaslagen, ekv (2.13), ger, T v γ 1 = konstant. (2.24) Energibudgeten skriven för entalpin i ett p-v system, ekv (1.12) med δq = 0, ger, tillsammans med Joules lag genom ekv (2.17), T γ p γ 1. (2.25) Den ena av ekv (2.24) och (2.25) ger den andra med hjälp av den ideala gaslagen, ekv (2.13). Tillsammans ger de, pv γ = konstant. (2.26) Det arbete som utförs under en internt reversibel och adiabatisk process ges av ekv (1.6) tillsammans med ekv (2.26) och ekv (A.4), W 12 = 1 γ 1 (p 1V 1 p 2 V 2 ). (2.27) Ekvationer (2.24) t o m (2.27) är giltiga i internt reversibla och adiabatiska processer i ideala gaser med konstant γ = c p /c v. Bredvidläsning Ideala gaser Freedman. presenteras i avs 18.1 och avs 19.6 i University Physics av Young & 13
Specifika värmekapaciteter i ideala gaser beskrivs i avs 18.4 och avs 19.7 i University Physics av Young & Freedman. Adiabatiska processer Young & Freedman. i ideala gaser beskrivs i avs 19.8 i University Physics av 14
f3. Vätskor och gaser. Exempel Vatten vid 10 C värms till ånga vid 100 C. Uppvärmning: Vätskan värms från 10 C till 100 C. Masstätheten ϱ = 980±20 kg/m 3, ganska konstant. De specifika värmekapaciteterna c v c p = 4,20 ± 0,02 kj/(kg K), i stort sett lika och konstanta. Det tillförda värmet är, Q 1 = mq 1 där q 1 = mc v T = 380 kj/kg när T = 90 K. (Variationen i masstätheten blir en faktor 10 mindre om vattnet inte närmar sig kokpunkten.) Ångbildning: Vattnet kokar och vätskan omvandlas till (vatten-) ånga. Temperaturen och trycket är konstanta, 273 K och 101 kpa, men volymen ökar med en faktor 1 600 i en sluten behållare. Ångbildningsentalpin är, och det tillförda värmet är, h = 2 257 kj/kg, Q 2 = mh. (Entalpi är värme överfört vid konstant tryck.) Till slut Ren ånga vid 100 C som skulle kunna värmas ytterligare. Under förhållanden som är aktuella inom energiteknik uppför vattenånga sig sällan som en ideal gas. Vätskor, gaser och fasövergångar Processen i exemplet kan ritas i ett p-v diagram. Delprocessen uppvärmning syns knappast eftersom p är konstant och v är nästan konstant. Under delprocessen ångbildning sker en kraftig ökning i v från vätskefasen där, till gasfasen där, v f = 1,044 10 3 m 3 /kg och ϱ f = 958 kg/m 3, v g = 1,673 m 3 /kg och ϱ g = 0,598 kg/m 3. För ökande p och T blir v = v g v f mindre och mindre tills den kritiska punkten nås. För vatten (H 2 O), T krit = 647 K och p krit = 22,7 MPa. 15
I termer av det matematiska beteendet hos isotermer i p-v diagrammet ges den kritiska punkten av; ( ) ( p 2 ) p = 0 med = 0. (2.1) v v T 2 T Vid temperaturer högre än den kritiska temperaturen kan man inte längre skilja gasfasen och vätskefasen åt. Ytterst få vanliga ämnen har kritiska tryck och temperaturer som ligger nära atmosfärstryck och vanliga inomhus och utomhus-temperaturer. Ett rent ämne kan finnas i flera olika faser; gas, vätska, samt en eller flera faser med fast form. Dessa olika möjliga faser anges av p-v-t ytan i fasdiagrammet. Flera delar av p-v-t ytan anger att två olika faser kan existera samtidigt. På en eller flera linjer i p-v-t ytan kan t o m tre olika faser existera samtidigt. Relationen mellan antalet samexisterande faser och den geomtriska dimensionen hos den relevanta delen av p-v-t ytan ges av fasregeln. Övergång mellan olika faser, s k fasomvandling, brukar kräva överföring av värme, s k omvandlingsentalpi, q = h fasomv. När fasdiagrammet ritas som vanligt, med p, v och T på varsin axel, hamnar jämviktstillstånden på en yta, ett geometriskt objekt med två dimensioner. I princip skulle figuren kunna ritas i flera dimensioner, med axlar motsvarande flera tillståndsfunktioner såsom inre energi och entropi, men jämviktstillstånden skulle fortfarande hamna på en två-dimensionell yta. Detta innebär att om t ex p och v är kända är T, u och s då bestämda, åtminstone i princip. En mängd av ett rent ämne har alltså enbart två frihetsgradar. Den utgör därmed ett enkelt system. En mängd av ett rent ämne kan dessutom utföra p-v arbete genom expansion och kompression. Den utgör därmed ett enkelt p-v system. Inkompressibla vätskor Masstätheten, ϱ = 1/v, hos vätskor och fast material som genomgår måttliga processer är nästan konstant, dv 0. Det är ofta praktiskt att använda den approximativa beräkningsmodellen inkompressibel materie i vilken, ϱ = konstant v = 1 ϱ = konstant dv = 0. När den specifika volymen, v, hålls konstant reduceras antalet frihetsgradar hos p-v systemet från två till ett så vi kan skriva, t ex, u(t, v) = u(t ). Vi behöver inte heller ange vägen genom tillståndsrummet, d v s p-v-t ytan, om det är tydligt att vi använder modellen inkompressibel materie. Vi kan, t ex, helt enkelt skriva du i stället för du v, eller, δq = c v dt, (2.4) i stället för δq v = c v dt v, ekv (2.2). Den första huvudsatsen, genom ekv (1.7), ger, du v = δq v pdv v = c v dt v p 0, 16
som vi kan skriva som, För entalpin, h = u + pv (1.11), erhålls, du = c v dt. (2.5) h = u(t ) + v p(t ). Den specifika volymen, v = 1/ϱ, är konstant så, och vi kan skriva, dh v = du v + v dp v = c v dt v + v dp v, dh = c v dt + v dp. (2.6) Vätskor och fast material är nära nog inkompressibla, åtminstone jämfört med gaser, och det medför att, c p c v. (2.7) Till exempel för vatten vid atmosfärstryck och vid temperaturer mellan 0 C och 30 C, satisfierar den relativa skillnaden mellan värmekapaciteterna, 0,6 10 3 c p c v c p 1,5 10 2. Med tanke på att även gaser kan strömma inkompressibelt är det bra att behålla c v i de allmänna uttryckena, (2.4), (2.5) och (2.6). Verkliga gaser Tillståndet i en gas ges av den ideala gaslagen, ekv (2.13) när, v v krit, d v s gasen är tunn. Dessutom behöver temperaturen vara tillräckligt hög för att kollisionerna mellan molekylerna ska kunna upprätthålla en jämviktsfördelning av energi mellan molekylerna. Se kap 20 i fysikboken av Benson. I tätare gaser påverkas molekylerna av växelverkan med andra molekyler i betydligt större utsträckning och tillståndet i gasen ges av betydligt mer invecklade matematiska samband. Ett relativt enkelt exempel på en gaslag, eller modell, med ett användningsområde som är större än den ideala gränsen, är van der Waals gaslag, ( p + a v 2 ) (v b ) = R T, (2.33) eller, (p + av 2 ) (v b) = RT. (2.34) I motsats till den allmänna gaskonstanten, R, kommer parametrarna a och b att bero på vilken gas som modelleras. Notera att notationen a och b inte är standard. 17
Van der Waals gaslag kan kalibreras vid den kritiska punkten och ger då en relativt grov överensstämmelse med en reltativt stor del av p-v -T ytan. Alternativet är en noggrannare kalibrering i en mer begränsad del av p-v -T ytan, t ex ett övergångsområde till den ideala gränsen. Van der Waals gaslag reduceras till den ideala gaslagen i gränsen, v b och pv 2 a, motsvarande p a/b 2 och RT a/b, d v s relativt tunna gaser vid relativt höga temparaturer och tryck. Parametern b motsvarar den volym som molekylerna upptar p g a det repulsiva växelverkan, med kort räckvidd, mellan molekylerna. Parametern a är inte lika lätt att tolka men är kopplad till det attraktiva växelverkan med lång räckvidd. Bredvidläsning Fasomvandling presenteras i avs 17.6 i University Physics av Young & Freedman. Den kritiska punkten och van der Waals gaslag presenteras på sidor 690 691 i avs 18.1 i University Physics av Young & Freedman. 18
f4. Strömning genom öppna system. Denna föreläsning behandlar tidsoberoende (stationär) strömning genom maskiner som turbiner av olika slag, pumpar, kompressorer och raketmotorer. Analysen gäller även enkel strömning i rör, munstycken och dysor. Fluiden i sådana maskiner sägs utgöra ett öppet system eftersom massa, och därmed energi, strömmar in i och ut ur systemet. Analysen av ett öppet system skiljer sig därmed från analysen av ett slutet system. Dessutom utförs arbete av tryckkrafterna vid in- och utloppen. Standardbeteckningar inom termodynamik kolliderar klart med den notation som används inom strömningsmekanik. Strömningshastighet betecknas i denna typsatta lunta med v, rak d v s inte kursiv, för att skilja den från volym, v och V, inre energi, u och U, och arbete, w och W. När fokuset ligger på strömning, snarare än slutna system, använder vi masstäthet, ϱ = 1/v, hellre än specifik volym, v = 1/ϱ. Energibudgeten för öppna system Inom strömningslära använder vi hellre benämningen kontrollvolym (Control Volume) med förkortningen CV. Den kontrollvolym, eller det öppna system, som vi analyserar består av fluiden i strömningsmaskinen, eller en del av ett rör. Fluiden i kontrollvolymen tillförs en värmeeffekt Q = Q CV, och utför s k tekniskt arbete med effekt Ẇ axel = ẆCV. Exempel på detta arbete är det arbete som utförs av en turbin genom dess axel (Ẇaxel > 0) eller det arbete som tillförs en kompressor eller pump (Ẇaxel < 0). För enkelhetens skull antar vi att kontrollvolymen har ett enda inlopp och ett enda utlopp. (Kontrollvolymen är fix i rummet och kallas en Eulersk kontrollvolym.) Energibudgeten för kontrollvolymen (CV) tas fram genom att tillämpa avs 1.2 Den första huvudsatsen. En helt stringent härledning ges i Samtliga bevis och härledningar. Mass- och energiflöden vid in- och utloppen Massflödena, ṁ in och ṁ ut, ges av, ṁ = ϱ v A. (3.1) Detta uttryck för massflödet tas fram i avs 5.1 av strömningsboken av Nakayama & Boucher och på sidor 84 85 i den gemensamma kursboken av Warhaft. Den energi som strömmar in är, och den energi som strömmar ut är, Ė in = e in ṁ in = ( u in + 1 2 v2 in + gz in ) ṁin, Ė ut = e ut ṁ ut = ( u ut + 1 2 v2 ut + gz ut ) ṁut. Vi har valt att ta med det arbete som utförs av tyngdkraften som potentiell energi, e pot = gz. Masskonservering ger, d dt m CV = ṁ in ṁ ut 19
Arbete utfört vid in och utloppen: Innan vi kan tillämpa den första huvudsatsen på fluiden i kontrollvolymen behöver vi ta fram uttryck för det arbete som utförs vid in- och utloppen. Vid utloppet verkar fluiden i kontrollvolymen som en kolv som trycker undan nedströmsfluiden med en kraft, F = p ut A ut. Denna krafts angreppspunkt rör sig med hastigheten v ut så den effekt som utförs av fluiden i kontrollvolymen vid utloppet är, Ẇ ut = F v ut = p ut A ut v ut. Det blir behändigt senare om vi nu skriver om detta uttryck med hjälp av ṁ ut = ϱ ut v ut A ut ovan, Ẇ ut = p ut A ut v ut = p ut 1 ϱ ut ṁ ut = 1 ϱ ut p ut ṁ ut. Vid inloppet verkar fluiden i kontrollvolymen med en kraft, F = p in A in riktad uppströms medan angreppspunkten rör sig med hastigheten v in nedströms så, Ẇ in = p in A in v in = p in 1 ϱ in ṁ in = 1 ϱ in p in ṁ in. Det positiva arbetet utförs av uppströmsfluiden som trycker fluid in i kontrollvolymen. Den första huvudsatsen där, och, så, de = δq δw (1.1) ger, d dt E CV = e in ṁ in e ut ṁ ut + Q Ẇin Ẇaxel Ẇut, d dt E CV = e in ṁ in Ẇin = e ut ṁ ut + Ẇut = ( u in + 1 2 v2 in + gz in + 1 ) p in ϱ in ( u ut + 1 2 v2 ut + gz ut + 1 ) p ut ϱ ut ( u in + 1 2 v2 in + gz in + 1 ) p in ϱ in ṁ in ṁ in, ṁ ut, ( u ut + 1 2 v2 ut + gz ut + 1 ) p ut ṁ ut + ϱ Q Ẇaxel. ut Fluidens intensiva tillståndsfunktioner förekommer enbart i kombinationen, d v s entalpi, så vi kan skriva, u + 1 p = u + pv = h, (1.11) ϱ d dt E CV = ( h in + 1 2 v2 in + gz in ) ṁin ( h ut + 1 2 v2 ut + gz ut ) ṁut + Q Ẇaxel. Denna ekvation är det mest generella uttrycket för den första huvudsatsen applicerad på ett öppet system med ett inlopp och ett utlopp. 20
Stationära förhållanden: När m CV är konstant ger masskonservering, så vi kan skriva, d dt m CV = 0 = ṁ in ṁ ut ṁ ut = ṁ in, ṁ = ṁ in = ṁ ut. När E CV är konstant kan vi nu skriva ekvationen ovan för d dt E CV i formen, där, ṁ ( h + 1 2 v2 + gz ) = Q Ẇaxel, h = h ut h in o s v. Eftersom ṁ in = ṁ ut, kan vi även definera det specifika värmet, q, och det specifika axelarbetet, w axel, genom, Q = ṁq och Ẇ axel = ṁw axel, och slutligen skriva energibudgeten i formen, ( h + 1 2 v2 + gz ) = q w axel. (3.3) Genom att jämföra ekv (3.3) med ekv (1.1), eller ekv (1.3), kan man påstå att entalpi, h, spelar den roll i energibudgeten för öppna system som inre energi, u, spelar i energibudgeten för slutna system, åtminstone beräkningsmässigt. Beräkningsformler för entalpin i en ideal gas presenterades i föreläsning nr 2 och beräkningsformeln för entalpin i en inkompressibel vätska presenterades i föreläsning nr 3. Bredvidläsning Avs 3.4 i The Engine and the Atmosphere av Warhaft. Observera att denna bok använder den motsatta teckenkonventionen för arbete, W. Rekommenderad vidareläsning Avs Strömning och energi i Samtliga bevis och härledningar. 21
f5. Kompressibel strömning. Denna föreläsning behandlar ren strömning (w axel = 0) i vilken det förekommer betydelsefulla variationer i masstäthet, ϱ. Sådana variationerna kan uppstå som en följd av flera olika fenomen men inom kompressibel strömning, i motstats till t ex förbränning, är variationerna i masstätheten orsakade av, eller förknippade med, relativt höga hastigheter. Med höga hastigheter menar vi oftast strömningshastigheter som är jämförbara med ljudhastigheten i en relevant referensram. Vid dessa höga strömningshastigheter har diffusiv värmeöverföring oftast relativt liten betydelse och de termodynamiska processerna i gasen antas nästan alltid vara adiabatiska (q = 0). Detta avsnitt behandlar enbart adiabatisk strömning. Förutom q = 0 (och w axel = 0) görs några ytterligare antaganden eller avgränsningar på väg fram mot de konventionella beräkningsformlerna för stationär och endimensionell strömning. Ur termodynamisk synpunkt är det klart viktigaste att strömningen antas vara reversibel. För strömning innebär reversibilitet helt enkelt (för en gångs skull) att strömningens riktning längs strömlinjerna kan kastas om utan att strömningsbilden förändras eller blir omöjlig. För att kunna behandlas som reversibel måste strömningen kunna approximeras som friktionsfri och det får inte förekomma några stötvågor (föreläsning nr 9). De termodynamiska processerna i gasen är då både adiabatiska och reversibla vilket innebär att de är isentropa (föreläsning nr 8). Den fluid som strömmer kompressibelt antas vara en gas, eller en blandning gaser, och inte en flerfasblandning av vätska och gas. Det främsta antagandet som görs om denna gas är att den uppför sig som en ideal gas i strömningen. Detta avgränsas ytterligare till en ideal gas med konstant γ = c p /c v. I praktiken sätter dessa antaganden en övre gräns på de machtal som kan studeras eftersom en stor variation i machtal brukar innebära en stor variation i temperatur. Materiekunskaper om adiabatiska och reversibla processer i en ideal gas med konstant γ = c p /c v sammanfattas i avs 2.3.1, 2.3.2, 2.3.5 och 2.3.7 i Termo T konc. Energi och machtal I adiabatisk strömning, q = 0, och energibudgeten, ((3.3)), för stationär strömning utan inverkan av tyngdkraften blir, ( h + 1 2 v2) = 0 h + 1 2 v2 = konstant. (3.10) För att så småningom erhålla behändiga beräkningsformler ersätts konstant i HL med värdet hos VL, h + 1 2 v2, i stagnationstillståndet och strömningshastigheten, v, skrivs om m h a machtalet, M. Ljudhastigheten och machtalet spelar mycket betydelsefulla roller i strömning eftersom ljudhastigheten är den hastighet med vilken fluktuationer i tryck fortplantar eller utbreder sig genom strömningen. Vid strömningshastigheter klart under ljudhastigehten (v a överallt) känner trycket i varje punkt av hela strömningsbilden i stort sett instantant. När strömningshastigheten är högre än ljudhastigheten hinner inte tryckinformationen fram i alla riktningar och strömningen kan hinna före sig 22
själv i någon lös mening. Tryckfältet kan inte längre tala om för fluiden uppströms att en viss fluidpartikel är på väg med hög hastighet. Detta leder bl a till fenomenet stötvågor som analyseras i föreläsning nr 9. (Stötvågor är inte reversibla så de omfattas inte av stora delar av denna föreläsning.) Ett lämpligt sätt att jämföra strömningshastigheten med ljudhastigheten är genom den dimensionslösa parametern, M = v a, (3.11) det s k machtalet. Här är v strömningshastigheten och a ljudhastigheten. I underljudsströmning är v < a och M < 1, och i överljudsströmning är v > a och M > 1. Lite mer invecklat kan strömningen runt t ex ett flygplan som flyger strax under ljudhastigheten, M < 1, uppnår överljudshastigheter, M > 1, t ex på vingarnas ovansida. Ljudhastigheten, a, ges generellt av, a 2 = ( p ϱ ) rev,ad = ( ) p. (3.12) ϱ s För adiabatiska och reversibla, d v s isentropa, processer i en ideal gas med konstant γ = c p /c v leder ekv (2.26) eller ekv (2.31) till p ϱ γ. Denna relation blir tydligare om vi inför ett godtyckligt referenstillstånd, ( ) γ ( ) ϱ p p ϱ γ p = p ref = p ref ϱ ref ϱ ϱ γ γϱ γ 1 ref = γ p rev,ad ref ϱ = γrt. Den ideala gaslagen, ekv (2.15), har använts i det sista steget. Ljudhastigheten i en ideal gas ges nu av, a = γ p = γrt. (3.13) ϱ Observera att ljudhastigheten, a, ökar med temperatur, T, och tryck, p. Generellt är inte a en konstant. Stagnationstillståndet p 0, T 0, ϱ 0 o s v där v 0 = 0 M 0 = 0. Detta referenstillstånd, det isentropa stagnationstillståndet, defineras som det tillstånd som gasen skulle befinna sig i efter en adiabatisk och reversibel, d v s isentrop, inbromsning till vila, v 0 = 0 M 0 = 0. Stagnationstillståndet betecknas med 0. Det är viktigt att notera att inbromsningen till vila inte sker enbart adiabatiskt utan även reversibelt. Den grundläggande energibudgeten för adiabatisk strömning skrivs nu, h + 1 2 v2 = h 0, (3.14) där h 0 är stagnationsentalpin. Denna ekvation kan också skrivas, h 0 h = 1 2 v2, d v s strömningen har åstadkommits genom att omvandla en del av stagnationsentalpin till rörelseenergi. 23
Adiabatisk reversibel strömning av en ideal gas med konstant γ = c p /c v. Inledningsvis skrivs energibudgeten (3.14) lite mer explicit i dess två poster, entalpi och rörelseenergi, och strömningshastigheten skrivs om m h a machtalet (3.11), h 0 h = 1 2 v2 = 1 2 M2 a 2, För en ideal gas leder Joules lag till dh = c p dt, (2.17), medan ekvation (2.20), c p = γr/(γ 1), medför att c p är konstant när γ är konstant så den ändliga ändringen, h = h 0 h = dh = c p dt = c p (T 0 T ) = c p T. För en ideal gas ges ljudhastigheten av a = γrt (3.13) och ekvation (3.10) som uttrycker energibudgeten kan skrivas, c p (T 0 T ) = 1 2 M2 a 2 γr γ 1 (T 0 T ) = 1 2 M2 γrt. Nu kan vi ta fram en snygg beräkningsformel för T/T 0 som funktion av M, T 0 = ( 1 + 1 2 (γ 1) M2) T T T 0 = [ 1 + 1 2 (γ 1) M2] 1. (3.15) Någon av ekvationerna (2.25) och (2.32), p T γ/(γ 1), leder vidare till, p p 0 = ( T T0 ) γ/(γ 1) = [ 1 + 1 2 (γ 1) M2] γ/(γ 1), (3.16) och den ideala gaslagen, (2.15), eller någon av ekvationerna (2.24) och (2.32), ger till slut, ϱ ϱ 0 = p p 0 ( T T0 ) 1 = ( T T0 ) 1/(γ 1) = [ 1 + 1 2 (γ 1) M2] 1/(γ 1). (3.17) Uttrycken, eller funktionerna av M, i ekv (3.15) (3.17) är lika med 1,0 när M = 0 (= M 0 ) och avtar sedan monotont när M ökar genom 1,0 till. Numeriska värden erhållna med formlerna (3.15) (3.17) återges i Tabeller för isentrop strömning. Ekvation (3.15) kan också härledas från Eulers ekvation för stationär strömrörsströmning. En första integral av Eulers ekvation är, γ p γ 1 ϱ + 1 2 v2 = konstant, (3.18) vilket ofta sägs vara Bernoullis lag för kompressibel strömning. Den ideala gaslagen (2.15) och uttrycket (3.13) för ljudhastigheten leder sedan till ekv (3.15) ovan. 24
Dysströmning Detta avsnitt behandlar strömning genom en konvergent divergent dysa, en s k Lavaldysa. Masskonservering ( huvudsats nr 1 ) tillämpas på stationär strömning i ett strömrör och en generell beräkningsformell (3.20) för strömrörets tvärsnittsarea tas fram. Analysen av strömrörsströmning visar att det finns väsentliga kvalitativa skillnader mellan strömning med underljudshastighet och strömning med överljudshastighet. Se diskussionen som följer ekv (3.19) nedan. I stationär strömning måste massflödet vara konstant och en analys av uttrycket för ṁ i ekv (3.1) leder till avsnittets centrala ekvation (3.19) nedan. ṁ = ϱva = konstant d dx (ϱva) = 0 dϱ dx va dϱ dx + ϱadv dx + ϱvda dx = 0 1 ϱ dϱ dx + 1 v dv dx + 1 da A dx = 0. Den första termen i sista raden, 1 dv, skrivs om i termer av, som förekommer i den ϱ dx andra termen, genom att den först skrivs om i termer av tryckgradienten, dp, m h a dx uttrycket för ljudhastigheten (3.13). a 2 = ( ) p ϱ s dϱ s = ( ) ϱ dp s = 1 p a dp s 2 s i adiabatisk och reversibel strömning. Eulers ekvation för stationär och friktionsfri strömning, och, 1 ϱ ϱv dv dx = dp dx dp dx = ϱv dv dx, dϱ dx = 1 dp ϱa 2 dx = v dv a 2 dx = 1 M2 v De första två termerna i den ekvation som följer från dxṁ d ihop, 1 dϱ ϱ dx + 1 dv v dx = (M2 1) 1 dv v dx, och hela ekvationen ( dxṁ d = 0) kan skrivas, (M 2 1) 1 v dv dx = 1 A dv dx. dϱ dx = 1 a 2 dp dx = 0 ovan kan nu skrivas da dx. (3.19) Denna ekvation visar att det finns tre olika fall eller möjligheter med klart skilda strömningsbilder. 25
underljudsströmning, M < 1. Hastigheten ökar när tvärsnittsarean minskar och hastigheten minskar när tvärsnittsarean ökar, da dx < 0 dv dx > 0 och da dx > 0 dv dx < 0. Detta förhållande känns igen från inkompressibel strömning. överljudsströmning, M > 1 Hastigheten minskar när tvärsnittsarean minskar och hastigheten ökar när tvärsnittsarean ökar, da dx < 0 dv dx < 0 och da dx > 0 dv dx > 0 Detta är tvärtom inkompressibel strömning och kan kännas lite oväntat. Masstätheten varierar kraftigt i strömning med överljudshastighet. När tvärsnittarean, A, minskar ökar masstätheten, ϱ, och gasen komprimeras. När tvärsnittarean, A, ökar minskar masstätheten, ϱ, och gasen expanderar. strömning med ljudhastigheten, M = 1 och v = a. Enligt ekv (3.19) kan detta ske enbart där tvärsnittsarean har ett minimum (eller ett maximum), M = 1 da dx = 0. Strömningen i dysan i övrigt bestämmer om strömningshastigheten ökar, minskar, eller går genom ett maximum eller minimum i halsen. (Det tvärsnitt i en konvergent divergent dysa med minst tvärsnittsarea kallas ofta halsen på svenska och throat på engelska.) Det kritiska tillståndet p, T, A o s v där M = 1 v = a. Detta referenstillstånd defineras som det tillstånd som gasen skulle befinna sig i efter en adiabatisk och reversibel, d v s isentrop, fartökning eller inbromsning till strömning med ljudhastigheten, v = a M = 1. Det kritiska tillståndet betecknas med. Det är viktigt att notera att fartökningen eller inbromsningen inte sker enbart adiabatiskt utan även reversibelt. M h a beräkningsformlerna (3.15 3.17) kan de två referenstillståndena, stagnationstillståndet och det kritiska tillståndet, enkelt relateras till varandra. och, M = M = 1 1 + 1(γ 1) 2 M2 = 1 (γ + 1) 2 T T 0 = 2 γ + 1, p p 0 = ( ) γ/(γ 1) 2 och ϱ = γ + 1 ϱ 0 ( ) 1/(γ 1) 2. γ + 1 26
För ideala gaser bestående av tvåatomiga molekyler, γ = 7 = 1,40 och kvoterna ovan 5 blir, T T 0 = 0,833 ; a a 0 = 0,913 ; p p 0 = 0,528 och ϱ ϱ 0 = 0,634, där a /a 0 har tagits fram m h a a = γrt (3.13). Den mest betydelsefulla storheten i det kritiska tillståndet kan emellertid sägas vara referensarean A som inte har någon motsvarighet i stagnationstillståndet. Masskonservering ger, ṁ = ϱva = konstant, vilket innebär, ϱva = ϱ v A och ϱmaa = ϱ M a A = ϱ 1 a A. En beräkningsformel för tvärsnittsarean kan nu tas fram, A A = 1 M ( ) 1 ( ) ϱ a 1. ϱ a För en ideal gas med konstant γ = c p /c v ger uttrycket a = γrt (3.13), A A = 1 M ( ϱ ϱ ) 1 ( ) T 1/2, T och uttrycken ovan för T/T och ϱ/ϱ ger slutligen, A A = 1 M { } 1 + 1 (γ+1)/(2(γ 1)) (γ 1) M2 2. (3.20) (γ + 1) 1 2 I en figur där A/A visas som funktion av M liknar kurvan den ena sidan av en konvergent divergent dysa med ett minimum A = A vid M = 1. För varje värde hos A/A ger ekvation (3.20) två värden hos M; ett med M < 1 och ett med M > 1. Numeriska värden erhållna med formel (3.20) inkluderas i Tabeller för isentrop strömning. Strypt dysströmning M hals = M = 1 och A hals min A = A. Analysen som leder till ekvation (3.19) ovan visar på en möjlighet som den svenske ingenjören Gustaf de Laval anses vara den första att inse och utnyttja. Gas kan nämligen accelereras från underljudshastighet till överljudshastighet i en konvergent divergent dysa. Gasen leds vid underljudshastighet (M < 1), t ex från stagnationstillståndet, in i den konvergenta delen av en dysa ( da < 0). Där ökar hastigheten dx ( dv > 0 dm dϱ > 0) medan masstätheten minskar ( < 0). Om de drivande tryckförhållandena är lämpligt valda (p ut /p in tillräckligt låg) kan machtalet uppnå värdet 1 dx dx dx (= M ) i dysans hals där tvärsnittsarean är minst och dysans konvergenta del övergår i dess divergenta del ( da > 0). Sedan kan strömningshastigheten fortsätta att öka dx 27
( dv > 0 dm > 0) i den divergenta delen medan masstätheten fortsätter att minska dx dx ( dϱ < 0). Strömningen genom dysan sägs då vara strypt (eng.: choked) och man dx brukar säga att gasen expanderas genom dysan snarare än att den accelereras. Gustaf de Laval utvecklade sin dysa för vattenånga och utnyttjade den för att konstruera en av de allra första ångturbinerna under andra halvan av 1800-talet. När hastigheten ökar från underljudsfart till överljudsfart (med massflödet konstant) ökar flödet av rörelsemängd i ångan och ångstrålen träffar turbinbladen med större kraft. Strypt dysströmning används också för att åstadkomma ett välbestämt massflöde i vissa sammanhang. Detta massflöde är dessutom det maximalt möjliga massflödet genom dysan i en viss mening. Uttrycket för ljudhastigheten, a = γrt (3.13), i en ideal gas med konstant γ = c p /c v tillsammans med uttrycken för kvoterna T /T 0 och ϱ /ϱ 0 ovan ger, ṁ strypt = ϱ v A = ϱ a A = ϱ 0 a 0 ϱ ϱ 0 a a 0 A 1/2 ϱ = ϱ 0 (γrt 0 ) ϱ 0 ( ) (γ+1)/(γ 1) 2 = ϱ 0 γrt 0 γ + 1 1/2 ( T ) 1/2 A A. T 0 Den ideala gaslagen (2.15) ger nu, γ ṁ strypt = p 0 RT 0 ( 2 γ + 1 ) (γ+1)/(γ 1) 1/2 A. (3.21) För en given minsta tvärsnittsarea, A hals = min A, och med ett givet stagnationstillståndet är massflödet genom dysan störst när strömningen är strypt, ṁ ṁ strypt för givna p 0, T 0 och min A. Detta förutsätter, förstås, adiabatisk och reversibel strömrörsströmning av en ideal gas med konstant γ = c p /c v. Bredvidläsning Avs 3.2, 3.3, 3.4 och 3.5 i Fluid Mechanics av Nakayama & Boucher. 28
f6. Den andra huvudsatsen. Värmemotorer Den generella värmemotorn representerar ångmaskiner och förbränningsmotorer, såsom bil- och flygmotorer. Den omvandlar energi i form av överfört värme till energi i form av utfört arbete. När den körs åt andra hållet motsvarar den kylprocesser och värmepumpar som kräver arbete för att kunna åstadkomma värmeöverföring. Den franska ingenjören Sadi Carnot insåg i början av 1800-talet att en värmemotor alltid arbetar mellan två värmemagasin, ett varmt och ett kallt, samt att den alltid avger spillvärme till det kalla magasinet. Teoretisk analys använder oftast idealiserade värmemagasin, som har så stort värmekapacitet att ändlig värmeöverföring medför en försumbar temperaturändring. Energibudgeten (HS1) för en värmemotor är, 0 = Q in Q ut W Q in = W + Q ut (1.13) Här är Q in värme överfört från det varma värmemagasinet till systemet, medan Q ut är värme överfört från systemet till det kalla värmemagasinet. W är arbete utfört av systemet vilket överensstämmer med den övergripande teckenkonventionen. Se figuren på tavlan och jämför med figur 21.? i fysikboken av Benson eller figur 2.14 i kursboken av Warhaft. Den andra huvudsatsen Den första huvudsatsen hävdar energins oförstörbarhet och lägger en grund till beskrivningen av överföring och omvandling av energi. HS1 säger däremot ingenting om riktningen hos dessa olika överförings- och omvandlingsprocesser. Det är emellertid en allmän mänsklig erfarenhet och insikt att många olika processer har naturliga riktningar och den andra huvudsatsen ger en stringent formulering till denna insikt. HS2 har fått ett antal till synes olika formuleringar och den leder till ett antal olika betydelsefulla resultat se de fyra sista föreläsningarna i kursen. Clausius (1850) formulerade HS2 så här; Ingen kretsprocess är möjlig i vilken överföring av värme från en kallare till en varmare kropp är det enda som sker. Som sagt är termodynamikens huvudsatser stringenta formuleringar av allmän mänsklig erfarenhet och förståelse. Följande Kelvin (1851) formulerade Planck (1927) HS2 så här; Ingen kretsprocess är möjlig i vilken allt tillfört värme omvandlas slutligen till arbete. (Sånt är livet!) En analys baserad på generella värmemotorer (avs ) visar att de två formuleringarna av HS2 ovan är helt ekvivalenta. 29
Bevis Beviset har två delar. Den ena är att visa att om Planks formulering av den andra huvudsatsen inte gäller kan inte heller Clausius formulering gälla. D v s om HS2 enligt Clausius gäller måste HS2 enligt Kelvin och Planck också gälla. Den andra delen av beviset är tvärtom. Man visar att om Clausius formulering av den andra huvudsatsen inte gäller kan inte heller Planks formulering följande Kelvin gälla. D v s om HS2 enligt Kelvin och Planck gäller måsta HS2 enligt Clausis också gälla. Bara den första delen av beviset utförs under föreläsningen. Del 1: Om Plancks formulering av den andra huvudsatsen inte gäller finns det en supermotor som tar värme, Q in, från någon kropp eller värmemagasin och omvandlar det helt och hållet till arbete, W = Q in. Nu låter vi detta värme driva en värmepump som för värme från en kallare kropp till den kropp som supermotorn utnyttjar. Se figuren på tavlan och jämför med figur 21.? i fysikboken av Benson eller figur 2.?? i kursboken av Warhaft. Betrakta det sammansatta systemet bestående av systemet som bryter mot Plancks formulering av den andra huvudsatsen tillsammans med den insatta värmepumpen. Detta sammansatta system tar in värme Q kall > 0 från den kalla kroppen och lämnar ifrån sig värme Q varm Q in = Q varm W = Q kall > 0 till den varmare kroppen utan att arbete behöver tillföras. Systemet bryter mot Clausius formulering av den andra huvudsatsen, vilket är precis det som skulle bevisas i den andra delen av beviset. Del 2: Om Clausius formulering av den andra huvudsatsen inte gäller kan inte heller Planks formulering följande Kelvin gälla. Se t ex acs 1.5 i Samtliga bevis och härledningar. Nu är det fullständiga beviset klart. Den ena formuleringen medför den andra och tvärtom. Generellt och övergripande kan man påstå att HS2 hävdar att allt utnyttjande av energi som resurs leder till en försämring av dess användbarhet. Detta leder till begreppet exergi som används för att analysera energiomvandlings- och resursförbrukande processer. Se föreläsningen nr 10. Verkningsgrader och den reversibla värmemotorn Den termiska verkningsgraden för en värmemotor, eller kretsprocess, är definerad som: η = W Q in = W ut,netto Q in. (1.14) Alla prestationstal, s k godhetstal, har samma generell struktur, vad man vill ha vad det kostar. Se även definitionerna av köldfaktorn i ekv (1.18) och av värmefaktorn i ekv (1.20) nedan. 30