Sidor i boken 8-9, 90-93

Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta gäller för talet 4. Vi skriver 4 4 4. Eempel 1. Från figuren får vi 3 0 0 ( 3) 3 4 1 1 ( 4) 5 4 ( 2) 2 ( 4) 2 4 2) 2 4 2 Från detta ser vi att om vi har två tal a och b och vill bestämma avståndet på tallinjen mellan dem skriver vi a b. Detta fungerar även om vi inte vet vilket av talen som är störst. Eempel 2. Värdet hos de två talen a 0 och b 0 är hemliga. Vilket är då troligtvis störst a+b, b+a eller a + b? För det första a+b b+a. Återstår att jämföra a+b och a + b. a > 0,b > 0 a+b = a + b a < 0,b < 0 a+b = a + b a < 0,b > 0 a+b < a + b a > 0,b < 0 a+b < a + b Eempel 3. Lös ekvationen +3 = 8 Det är enkelt att se att = 5 är en lösning. Men finns det fler? Ja, om = 11 är ju 11+3 = 8 Svar: = 5 och = 11 Håkan Strömberg 1 KTH STH

Eempel 4. Lös ekvationen +3 + 4 = 11 Plan: 1 Ta reda på de i för vilka var och en av de två termerna = 0. 2 Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter -aeln. 3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt tre ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. Genomförande: 1,2 De två eftersökta -värdena är 1 = 3 och 2 = 4 3 Vi har nu att studera följande tre intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer < 3 3 < 4 4 Då Ekvation Rot OK < 3 (+3) ( 4) = 11 = 5 Ja 3 < 4 (+3) ( 4) = 11 Ingen lösning Nej 4 (+3)+( 4) = 11 = 6 Ja Svar: 1 = 5 och 2 = 6 (se grafen nedan) Avrundning och gällande siffror Detta är inte matematik! Här handlar det om tillämpningar av matematiken inom till eempel fysik och kemi. Däremot finns det ett ämne, numerisk analys, som handlar om detta. Vi kopierar den tet som finns i boken. Alla siffror skilda från 0 är gällande 0:or är gällande inuti ett tal i slutet av ett decimaltal 0:or är inte gällande i början av ett decimaltal 0:or i slutet av ett heltal kan vara gällande. Avgörs från fall till fall. Svara eakt om du kan, så slipper du alla problem. Vid multiplikation och division av närmevärden (ej eakta värden). Låt det närmevärde som har minst antal gällande siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet. Vid addition och subtraktion av närmevärden (ej eakta värden). Låt det närmevärde som har minst antal decimaler siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet. Håkan Strömberg 2 KTH STH

Eempel 5. Om vi säger att Sveriges folkmängd är 9000000 är det troligtvis inte 7 gällande siffror (synonym signifikanta siffror). Om jag säger att jag förlorade 100 kr på ett vad, är sannolikheten ganska stor att beloppet har 3 gällande siffror. Eempel 6. Kalle som mäter noga fick fram måtten 3.156 2.841 2.736 30.06 Pelle som är lite slarvigare avrundade innan han beräknade slutresultatet 3.16 2.84 2.74 31.60 Av detta ser vi att man inte ska avrunda för tidigt. Eempel 7. Med hur många siffror ska man svara Enligt reglerna är svaret 0.1 0.0003 12.6 25.7 = 0.097146 Likformighet Om linjerna l 1 och l 2 är parallella, så är de två vinklarna v och u lika stora. u och v kallas likbelägna vinklar. Givet ABC. Linjen l 2 är en transversal som skär triangeln. Linjen l 1 är en parallelltransversal som också skär triangeln, men som dessutom är parallell med en av sidorna, BC i triangeln. ADE är en topptriangel till ABC. BAC är gemensam för ABC och ADE. Dessutom är AED = ABC och ADE = ACB. De två trianglarna har lika stora vinklar, vilket innebär att trianglarna är likformiga. Man skriver då ABC ADE. Tecknet betecknar just likformig. Vi kan nu ställa upp följande förhållanden ED BC = AE AB = AD AC Håkan Strömberg 3 KTH STH

Transversalsatsen: En transversal, som är parallell med en sida i en triangel delar de övriga sidorna i samma förhållande. Topptriangelsatsen: En transversal, som är parallell med en sida i en triangel, avskär en topptriangel som är likformig med den förra. Eempel 8. I ABC är sidorna a = 10, b = 12 och c = 8. En transversal är parallell med sidan AB och skär sidan CB i D och sidan CA i E. Sträckan DE = 4. Bestäm CE och CD Först måste vi rita en figur med beteckningar insatta. Sidan a = BC är den sida som står mot A. Sidan b = AC är den sida som står mot B. Sidan c = AB är den sida som står mot C. Vi ställer nu upp förhållandena CE 12 = 4 CD 8 10 = 4 8 De två ekvationerna ger direkt CE = 6 och CD = 5. Antag att storheten är cm Svar: CE = 6 cm och CD = 5 cm. Eempel 9. ABC är rätvinklig, med sidorna AB = 3 cm, BC = 4 cm. Bestäm höjden BD Hur många trianglar ser du i figuren? Hur många av dem är rätvinkliga? Hur många är likformiga? Alla tre trianglarna är likformiga, ABC ADB BDC, eftersom de alla innehåller dels en rät vinkel och ytterligare en vinkel som ingår i en annan triangel. Antag att BD =. Sidan AC kan vi bestämma med hjälp av Pythagoras sats AC = 3 2 +4 2 5 Betrakta nu trianglarna ABC och ADB. Vi får förhållandena = 12 5. Svar: BD = 12 5 cm 4 = 3 5 Håkan Strömberg 4 KTH STH

Problem 1. Beräkna för = 5 och för = 1 Svar: f(5) = 27 och f(1) = 5 f() = 3 2 10+2 = 5 3 5 2 10 5+2 75 50+2 27 27 = 1 3 1 2 10 1+2 3 10+2 5 5 Problem 2. Lös ekvationen 3 = 10 Då > 3 är det ekvationen (3 ) = 10 som gäller, med roten = 13. Då 3 gäller ekvationen med roten = 7 Svar: = 13 och = 7. (3 ) = 10 Problem 3. Ht1953. I fyrhörningen ABCD är sidorna AB och AD vardera 12 cm, sidorna CB och CD vardera 5 cm samt diagonalen AC 13 cm. Hur lång är diagonalen BD? Eftersom 12 2 +5 2 = 13 2 måste ADC och CBA vara rätvinkliga och dessutom kongruenta, med de räta vinklarna ADC och ABC. ADO ADC, eftersom de båda är rätvinkliga och har CAD gemensam. Antag att OD =. Vi får förhållandet 5 = 12 13 som ger = 60 120 13. Detta betyder att BD = 13 9.23 Svar: 9.23 cm Håkan Strömberg 5 KTH STH

Problem 4. Vt1954. I en rektangel ABCD är sidan AB 4 cm och sidan BC 2 cm. På sidan AB är en punkt E så belägen, att AE är 1 cm. Från E drages parallellt med diagonalen AC en linje, som skär sidan BC i punkten F. Beräkna längden av sträckan EF. ABC EBF. EB = 4 1 = 3. AC = 2 2 +4 2 = 2 5. Antag att EF = och vi får ger = 3 5 2 3.3541 Svar: EF = 3.35 cm 2 5 = 3 4 Problem 5. Ht1954. I ett parallelltrapets är de parallella sidorna 4 cm och 6 cm samt en av diagonalerna 5.5 cm. Bestäm de delar, i vilka denna diagonal delas av den andra diagonalen. AC = 55 10. COD = AOB, ODC = OBA vilket betyder att AOB COD. Antag att AO =. Då är CO = 55 10. Vi får då följande förhållande som ger = 11 5 Svar: Diagonalen delas i delarna 2.2 och 3.3 cm 55 10 = 4 6 Problem 6. Ht1926. Från mittpunkterna D och E på respektive kateterna AB och AC i en rätvinklig triangel drages normalerna DF och EG mot hypotenusan BC. Hur stora är de delar BF, FG och GC, vari hypotenusan är delad, om AB = 3 dm och AC = 4 dm? Håkan Strömberg 6 KTH STH

BC = 3 2 +4 2 = 5. CGE ABC, då de båda är rätvinkliga och har ACB gemensam. Antag CG =. Vi får 4 = 2 5 som ger = 8 5. FBD ABC, då de båda är rätvinkliga och har ABC gemensam. Antag FB = y. Vi får 3 y 3 = 2 5 som ger y = 9 10. Vi bestämmer så GF Svar: Delarna är 2.5, 1.6 och 0.9 dm ( 8 5 5 + 9 ) 5 10 2 Problem 7. Vt1920. I en rätvinklig triangel, vars kateter är 15 cm och 20 cm, är en kvadrat inskriven, så att en av dess vinklar sammanfaller med triangelns räta vinkel och motstående hörn är beläget på hypotenusan. Hur stor är kvadratens sida? ADE = ACB, betyder att ABC AED DFC. Antag att kvadraten har sidan ED = BF =. Genom likformighet får vi AE ED = DF FC ger Svar: Kvadratens sida är 8.57 cm 15 = 20 (20 )(15 ) = 300 35+ 2 = 2 = 300 35 = 60 7 Läa 1. Beräkna för = 1 och = 3. f() = 3 8 2 Läa 2. Lös ekvationen 2 4 = 12 Håkan Strömberg 7 KTH STH

Läa 3. Hur många gällande siffror har a) 120003 b) 2.0000 c) 0.10003 d) 0.0007 e) 123.400 f) 304040.0 Läa 4. Vt1915. Skuggan av en flaggstång på den horisontella marken är 17.2 m lång, samtidigt som en lodrät, meterlång käpp kastar en skugga av 1.23 m. Hur hög är flaggstången? Läa 5. Ht1924. I en triangel, vars omkrets är 3 dm, är summan av de båda största sidorna 2.4 dm, och de båda minsta sidorna förhåller sig som 3 : 5. Hur stora är sidorna i en annan triangel, som är likformig med den förra och vars omkrets är 4.8 dm? Läa 6. Vt1929. En person står 20 m från ett träd. För att bestämma trädets höjd håller han en käpp lodrätt och så, att syftlinjen från ögat till trädets topp går genom käppens övre ändpunkt A. Syftlinjen till trädets rotända skär käppen i en punkt, vars avstånd från A uppmätes till 31 cm. Käppens avstånd från ögat uppmätes till 40 cm. Hur högt var trädet? Läa 7. Vt1930. Ett åkerfält har formen av en ABC, där AB = 108 m, AC = 144 m och BC = 180 m. Från en punkt D på AB, belägen 48 m från B, vill man tvärs över fältet sätta en gärdesgård DE parallell med BC. Hur lång blir gärdesgården? Läa 8. Ht1937. I en ABC är AB = 12 cm och AC = 9 cm. Höjden mot AB träffar AB i D, 7 cm från A. Höjden mot AC träffar AC, eller dess förlängning, i E. Beräkna AE. Läa Lösning 1. Svar: f(5) = 8 och f(1) = 48 = 1 1 3 8 1 2 1 1 8 1 8 8 = 3 3 3 8 3 2 3 27 72+3 48 48 Läa Lösning 2. Då < 2 är det ekvationen (2 4) = 12 som gäller, med roten = 4. Då 2 gäller ekvationen med roten = 8 Svar: = 4 och = 8. Läa Lösning 3. Läa Lösning 4. (2 4) = 12 a) 6 b) 5 c) 5 d) 1 e) 6 f) 7 Håkan Strömberg 8 KTH STH

Antag att AC = med roten = 172000 123 1398.37 cm Svar: Flaggstången är 14 m AB A B = AC A C 100 = 1720 123 Läa Lösning 5. Antag att sidorna är > y > z. Vi får då ekvationssystemet +y = 24 10 +y+z = 3 y z = 5 3 ger z = 3 5, y = 1 och = 7 5. Sidorna i den andra triangeln är 48 10 3 8 5 gånger större än i den första triangeln. Sidorna är då 24 25, 8 5, 112 25. Svar: De efterlysta sidorna är 0.96 dm, 1.6 dm och 2.24 dm Läa Lösning 6. Antag att trädet är cm. Med hjälp av likformighet får vi förhållandena med roten = 1550 cm. Svar: Trädet är 15.5 m högt. Läa Lösning 7. 31 = 2000 40 ED är en parallelltransversal. Topptriangelsatsen ger ger = 100 Svar: 100 m 180 = 60 108 Håkan Strömberg 9 KTH STH

Läa Lösning 8. Antag att AE =. AEB ACD, ty CAD är gemensam och CDA = AEB = 90. Förhållandet blir då 7 = 12 9 som ger = 28 3 Svar: AE = 28 3 9.33 cm Håkan Strömberg 10 KTH STH