Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer.



Relevanta dokument
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

Tentamen i Finansmatematik I 19 december 2003

Lösningar till tentamen i Grundläggande nansmatematik. 21 december 2006 kl. 914

S t : Vi ska här betrakta ett antal portföljer som vid t = 0 är värda 100 SEK.

Formelsamling för kursen Grundläggande finansmatematik

Del 3 Utdelningar. Strukturakademin

STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission FIGUR 1. Utdelning. Återinvesterade utdelningar Ej återinvesterade utdelningar

HANDLA MED OPTIONER I N T R O D U K T I O N S A M M A N F AT T N I N G S T E G 1 - W E B B I N A R I U M D E N 6 D E C E M B E R 2018

Del 16 Kapitalskyddade. placeringar

Del 1 Volatilitet. Strukturakademin

HQ AB sakframställan. Del 5 Prissättning av optioner

Del 17 Optionens lösenpris

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Ekonomisk styrning Delkurs Finansiering

VECKOOPTIONER PÅ AKTIER

TENTA: G29/28 Uppdaterar

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 19 november 2016

VAD ÄR EN AKTIEOPTION? OPTIONSTYPER AN OTC TRANSACTION WITH DANSKE BANK AS COUNTERPARTY.

TENTA G28/723G29 (uppdaterad )

Warranter En investering med hävstångseffekt

Prissättning av optioner

I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r

Tentamen Finansiering (2FE253) Onsdagen den 17 februari 2016, kl. 08:00-12:00

under en options löptid. Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission

c S X Värdet av investeringen visas av den prickade linjen.

Handledning risk investeringsportfölj DEGIRO

Del 13 Andrahandsmarknaden

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 21 mars 2015, kl. 09:00-13:00

Del 18 Autocalls fördjupning

Övningsexempel i Finansiell Matematik

Asa Hansson. Sign: ECTS: D Civilekonom D Ekon.kand. D Pol.kand. D Fristående D LTH D Utbytesstudent D Annat. Betyg: Nationalekonomiska institutionen

Ytterligare övningsfrågor finansiell ekonomi NEKA53

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission LÅNG KÖPOPTION. Värde option. Köpt köpoption. Utveckling marknad. Rättighet

Hedging och Försäkring (prisskydd/prisförsäkring)

SF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER

VAD ÄR EN TILLVÄXTOPTION?

Del 7 Barriäroptioner

Tentamen Finansiering (2FE253) Torsdagen den 16 februari 2017

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, EA, GA, ML 14 december 2009

Del 7 Barriäroptioner. Strukturakademin

Livförsäkringsmatematik II

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 11 november 2017

Black-Scholes. En prissättningsmodell för optioner. Linnea Lindström

Direktavkastning = Analytiker Leo Johansson Lara 20/11-16 Axel Leth

Är säljstrategier av OMXS30 optioner lönsamma på den svenska marknaden?

Förnyelsebar Energi I AB

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Innehåll. Kursfallsskydd... 3 Lock & Secure... 3 Konstruktion av Lock & Secure funktionen... 3 Avkastning och risk... 4

En undersökning av kvantiloptionens egenskaper

Styrelsens fullständiga förslag till godkännande av beslut om utställande av köpoptioner i Avensia AB

Strukturakademin Strukturinvest Fondkommission

Finansmatematik II Kapitel 2 Stokastiska egenskaper hos aktiepriser

Tentamen Finansiering (2FE253) Onsdagen den 27 september 2017

Del 15 Avkastningsberäkning

Koncernredovisning helägda bolag, samriskbolag och intressebolag Bengt Bengtsson

Modern kapitalförvaltning kundanpassning med flexibla lösningar

EFFEKTIVA STRATEGIER MED AKTIEOPTIONER NASDAQ STOCKHOLM 16 NOVEMBER 2017

Obligationsbaserade futures, forwards och optioner

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version Finansmatematik II Kapitel 1

URA 40 HUR PÅVERKAS KONCERNREDOVISNINGEN OCH TILLÄMPNINGEN AV KAPITALANDELSMETODEN AV FÖREKOMSTEN AV POTENTIELLA RÖSTBERÄTTIGADE AKTIER

Del 15 Avkastningsberäkning

Warranter och optioner En prisjämförelse En kvantitativ studie av hur avkastning och pris skiljer sig mellan warranter och optioner.

Livåterförsäkring II Lönsamhetsanalys

Styrelsens förslag till beslut under punkt 13 på dagordningen vid årsstämma i Swedish Match AB den 28 april 2009

STYRELSENS FÖR BIOINVENT INTERNATIONAL AB (PUBL) FÖRSLAG TILL BESLUT OM A. INFÖRANDE AV PERSONALOPTIONSPROGRAM

Information om Valutaoptioner Här kan du läsa om valutaoptioner, som kan handlas genom Danske Bank.

Kallelse till extra bolagsstämma i Betsson AB (publ)

Tentamen Finansiering (2FE253) Tisdagen den 29 september 2015, kl. 14:00-18:00

Tentamen Finansiering (2FE253) Torsdagen den 15 februari 2018

Aktiemarknadsnämndens uttalande 2018:

Marknadsföringsmaterial oktober Nyhet! Valutabevis. Låt dina pengar upptäcka världen

Effektivisering av portföljer med volatilitetslänkade derivatinstrument

TIO FRÅGOR OCH SVAR OM OPTIONS- OCH TERMINSHANDEL

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

HQ AB sakframställan. Del 6 Bristerna i Bankens värderingsmetod

STYRELSENS FULLSTÄNDIGA FÖRSLAG TILL TILLDELNING AVSEENDE 2007 UNDER ORTIVUS AB (PUBL) ( BOLAGET ) 2005 SHARE UNIT PLAN

ENZYMATICA AB (PUBL) FÖRSLAG TILL BESLUT OM A.

Del 2 Korrelation. Strukturakademin

Handlingar inför extra bolagsstämma i. Betsson AB (publ)

Tio frågor och svar om options- och terminshandel

Påbyggnad/utveckling av lagen om ett pris Effektiv marknad: Priserna på en finansiell marknad avspeglar all relevant information

Fonden regleras i enlighet med den norska lagen om värdepappersfonder av den 25 november 2011 ( vpfl ).

STYRELSENS FÖRSLAG TILL BESLUT OM INFÖRANDE AV OPTIONSPROGRAM 2019/2025

P (t) = V 1 (t) V m (t) P (t + t) P (t) P (t) = v j (t)r j (t, t + t), v(t) Q t v(t),

Revisionsrapport. Granskning av förekomst och följsamhet av gällande lagstiftning och regelverk vid handel med Derivat. Landstinget Dalarna

Information om Hakon Invests övriga incitamentsprogram finns i Bilaga 1.

TENTAMEN. Finansiell Planering 7,5 poäng

I n f o r m a t i o n o m r å v a r u o p t i o n e r

Strängnäs kommuns riktlinjer för direktupphandlingar

Incitamentsprogram. Instrument i denna guide. grantthornton.se/incitamentsprogram. Aktier. Teckningsoptioner. Köpoptioner

EMPIRISK STUDIE AV BLACK-SCHOLES PRISSÄTTNINGSMODELL

TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010

Placeringsalternativ kopplat till tre strategier på G10 ländernas valutor

Tentamen Finansiering (2FE253) Lördagen den 7 november 2015, kl. 09:00-13:00

Weibullanalys. Maximum-likelihoodskattning

Apoteket AB:s Pensionsstiftelse. Absolutavkastning

Transkript:

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd för Matematisk statistik TH FINANSMATEMATIK I, HT 01 KOMPLEMENT DAG 12 Version 01 12 10 TRE OPTIONSSTRATEGIER Vi ska här utgå ifrån att vi har en aktie och ska med denna som grund konstruera tre olika optionsportföljer Försäkra aktieinnehav med säljoptioner Genom att köpa en säljotion med lösenpris K och löptid T försäkrar man sig om att kunna sälja aktien för (minst) K kronor i tidsintervallet (0, T ) Portföljens utveckling beror på hur man finansierar köpet av optionen Om detta finansieras med kassan blir portföljvärdet vid t F t = S t + P t (K) P 0 (K)e rt F T = max(k, S T ) P 0 (K)e rt Övning 1 Visa detta Om optionen är av amerikansk typ, vilket är det normala för aktieoptioner, så kan man lösa optionen (dvs sälja aktien för K kr) vid varje tidpunkt t T och därför gäller F t K P 0 (K)e rt för alla t T Istället för att finansiera optionsköpet med kassan kan man sälja x aktier och gardera de återstående aktierna med 1 x säljoptioner Här är alltså xs 0 = (1 x)p 0 (K) och portföljvärdet vid t blir F t = (1 x)(s t + P t (K)) dvs F t = S t + P t (K), där p = P 0 (K)/S 0 1 + p F T = max(k, S T ) 1 + p Denna handelstrategi överensstämmer alltså med handelstrategin i avsnittet om portföjlförsäkring i komplementet dag 5 om man väljer b = K/S 0, c =, g = b/(1 + p) och l = 1/(1 + p) 1

Övning 2 Visa detta Om optionen är av amerikansk typ, så gäller F t K/(1 + p) för alla t T Övning 3 Som alternativ till denna portfölj kan man välja att lägga pengarna i kassan eller att köpa aktien för hela beloppet, S 0 Antag att e rt K < S 0 För vilka värden på S T är denna portfölj vid tiden T minst lika mycket värd som om du hade lagt alla pengarna a) i kassan? b) i aktien? c) Det bästa av dessa alternativ? Övning 4 a) Antag att optionen är av europeisk typ Konstruera en portfölj som enbart består av (innehavda och utställda) köp och säljoptioner samt kassa (men ingen aktie) och som har samma värde som S t + P t (K) för alla 0 t T b) Antag att optionerna är av amerikansk typ Diskutera för och nackdelar ur risksynpunkt med de två portföljerna Finansiera försäkringen med utställda köpoptioner Portföljförsäkringen ovan kan, om e rt K < S 0, även finansieras genom att ställa ut en köpoption med ett lämpligt valt lösenpris H Övning 5 Antag att optionerna är av europeisk typ och att e rt K < S 0 a) Visa att P 0 (K) < C 0 (K) b) Eftersom C 0 (x) 0 då x så finns ett H > K så att C 0 (H) = P 0 (K) Visa att e rt H > S 0 Vi förutsätter att ett sådant H finns även om säljoptionen är av amerikansk typ Portföljens värde vid t T är alltså F t = S t + P t (K) C t (H) dvs F T = K + (S T K) + (S T H) + Övning 6 Visa detta { K omst K F T = S T om K < S T H H om H < S T Denna handelstrategi överensstämmer alltså med handelstrategin i avsnittet om portföjlförsäkring i komplementet dag 5 om man väljer b = K/S 0, c = H/S 0, g = b och l = 1 Övning 7 Samma som Övning 3 men med denna portfölj Övning 8 Samma som Övning 4 men med denna portfölj 2

Ställa ut köpoptioner mot eget innehav Denna metod tillämpas systematiskt av vissa portföljförvaltare Man ställer ut en köpoption med ett lösenpris, K, en bit över dagens aktiepris Fördelen är att man får in C 0 (K) kronor Risken är att att aktien går upp över K och optionen löses Om inkomsten från den utställda optionen läggs i kassan blir portföljens värde vid t T F t = S t C t (K) + C 0 (K)e rt F T = min(k, S T ) + C 0 (K)e rt Övning 9 Visa detta Genom att ställa ut 1 + x köpoptioner och köpa till x aktier, där xs 0 = (1 + x)c 0 (K), kan man återinvestera inkomsten i aktien Portföljvärdet blir F t = (1 + x)(s t C t (K)), dvs F t = S t C t (K), där c = C 0 (K)/S 0 1 c F T = min(k, S T ) 1 c Övning 10 Samma som Övning 3 men med portföljen (S t C t (K))/(1 c) i fallet då e rt K > S 0 Övning 11 Samma som Övning 4 men med portföljen S t C t (K) Jämförelse av strategierna Välj K så att e rt K < S 0 och låt H bestämmas av den andra strategien, C 0 (H) = P 0 (K) Vi ska här jämföra de tre strategierna (S t + P t (K))/(1 + p) (strategi 1), S t + P t (K) C t (H) (strategi 2) och (S t C t (H))/(1 c) (strategi 3) Övning 12 a) Rita ett diagram med dessa portföljers värden vid lösentiden T som funktion av S T b) Ange för varje värde på S T vilket portföljvärde som är störst c) Som är minst Man kan använda Black-Scholes formler för köp och säljoptioner för att dela upp portföljvärdena i kassa och aktieinnehav Resultatet ges av nedanstående tabell 3

Kassa Aktieinnehav KΦ( d 2 (K))/(1 + p) SΦ(d 1 (K))/(1 + p) KΦ( d 2 (K)) + HΦ(d 2 (H)) S ( Φ(d 1 (K)) Φ(d 1 (H)) ) HΦ(d 2 (H))/(1 c) SΦ( d 1 (H))/(1 c) Här är K = e r(t t) K, d 1 (K) = ln(s t/ K) σ + σ 2 och d 2(K) = d 1 (K) σ, där σ = σ T t Övning 13 Visa detta Gemensamt för dessa strategier är att både kassan och antalet aktier är positiva Storheten d 1 är en växande funktion av s Det framgår därför av uttrycken för aktieantalen att om man replikerar den första strategien, så ska man köpa till aktier då aktiepriset gått upp och sälja av då priset gått ned För den tredje strategien gäller det omvända För den andra strategien gäller ( Φ(d1 (K)) Φ(d 1 (H)) ) = φ(d 1(K)) φ(d 1 (H)) s s σ Denna derivata är positiv om d 1 (K) 2 < d 1 (H) 2 Övning 14 Visa att d 1 (K) = d 1 ( KH)+ ln(h/k), d 1 (H) = d 1 ( KH) ln(h/k) d 1 (K) 2 d 1 (H) 2 = 4d 1 ( KH) ln(h/k) och därför Det följer att aktieantalet för den andra portföljen är en växande funktion av aktiepriset om d 1 ( KH) < 0 dvs S t < KHe (r+σ2 /2)(T t) När aktiepriset är under värdet i högerledet ska man alltså i likhet med den första strategin köpa då priset gått upp och sälja då det gått ned När priset är över ska man däremot i likhet med den tredje strategien göra det omvända Antalet aktier är alltså maximalt då likhet gället Övning 15 Bestäm värdet på detta maximum Svar 3 a) S T e rt S 0 (1 + p), b) S T K/(1 + p), c) Inga 4 a) Lägg e rt K kronor i kassan och köp en köpoption med samma lösenpris och lösentid som säljoptionen Portföljens värde vid t är e r(t t) K + C t (K) vilket enligt sälj-köp pariteten = F t 4

b) Vid en börskrasch kanske säljoptionen inte går att lösa pga att utställarens säkerhet har minskat kraftigt Detta talar för den andra portföljen även om liknade (men mindre troliga) invändningar finns mot denna 5a) P 0 (K) = C 0 (K) (S 0 K), b) Om inte så C 0 (H) C 0 (e rt S 0 ) = P 0 (e rt S 0 ) > P 0 (K) 7 a) S T S 0 e rt b) S T H c) S 0 e rt S T H 8 a) Lägg e rt K kronor i kassan Köp en köpoption med lösenpris K och ställ ut en köpoption med lösenpris H 10 a) S T (1 c)s 0 e rt b) S T K/(1 c) c) (1 c)s 0 e rt S T K/(1 c) 11 a) Lägg e rt K i kassan och ställ ut en säljoption med lösenpris K 12 b) S T strategi nr 0 < S T < (1 c)k 2 (1 c)k < S T < 1+p 1 c H 3 1+p 1 c H < S T < 1 c) S T strategi nr 0 < S T < 1 c 1+p K 3 1 c 1+p K < S T < (1 + p)h 1 (1 + p)h < S T < 2 15 Φ(b) Φ( b) = 2Φ(b) 1, där b = ln(h/k) 2σ T t 5