Vad är Riemannytor och vad är de bra till? Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com I den här artikeln ska vi titta på hur man hanterar flervärda funktioner, såsom roten ur, inom den komplexa analysen. Idén är Riemanns och innebär att vi istället för att tala om en funktion z, så definirar vi en yta (komplex kurva) så definierad att rotfunktionen blir en naturlig och väldefinierad funktion på denna yta. Efter att ha diskuterat de grundläggande fallen för detta följer vi upp med att integrera på denna yta. Problemet är att integraler, definierade genom analytisk fortsättning, ibland blir flervärda.
Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 1 (10) 1 Introduktion Ekvationen y 2 = x, där x och y är reella tal, har två lösningar om x > 0, nämligen y = ± x (och en om x = 0). Mer precist, vi definierar x som den positiva lösningen till ekvationen, och kan då beskriva alla lösningar som mängden { x, x}. Det betyder att den funktion som anger lösningarna till ekvationen för ett visst x inte är en funktion (som ska ett värde för varje x), utan en flervärd funktion. Men flervärda funktioner skapar ett identifieringsproblem (vilket värde ska vi välja?), varför vi vill hitta ett alternativt betraktelsesätt. För detta utgår vi ifrån kurvan y 2 = x i planet, och betraktar istället rotfunktionen som en funktion på denna kurva, nämligen som projektionen på y-axeln, alltså funktionen S (x, y) y. Det som vi normalt kallar funktioner av x och x, betraktar vi som en funktion definierad på kurvan y 2 = x. y a a y 2 = x I den reellvärda analysen är det inte mycket vits - med detta, definitionen av rotfunktionen som vi a gjorde ovan är tillräcklig. Men i det komplexa är detta problem mer komplext, och där visar sig detta vara ett kraftfullt sätt att betrakta flervärda funktioner på: att inte betrakta dem som funktioner på C utan på en yta i C 2 som har två reella dimensioner (liksom C självt). x 2 Riemannytor till rotfunktioner Betrakta den komplexa ekvationen w 2 = z där z C. Denna har två lösningar, av vilka den ena är minus den andra. Om vi vill göra som vi gör i det reella fallet kan vi därför först försöka definiera z som den lösning till ekvationen som har positiv imaginärdel. Om vi bestämmer denna rot när vi låter z genomlöpa en cirkel med radien r och medelpunkt i origo moturs, så ser vi att om vi börjar i den reella punkten r med roten r, och går runt ett varv för att åter närmar oss punkten r, men nu nerifrån, så kommer roten att närma sig värdet r. Mer explicit, om vi skriver z = re iθ med 0 θ < 2π ges vårt val av rot att w = re iθ/2. När vi börjar är den r, eftersom θ = 0, men när vi gått runt ett varv är den re iπ = r, eftersom θ = 2π. z = re iθ w = re iθ/2 θ w = r r w = r Vill vi därför att z, med denna definition, ska vara en kontinuerlig funktion, kan vi inte definiera den på hela planet, utan måste skära bort den positiva reella axeln. Vi får en funktion : C\R + C.
Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 2 (10) Men vi kan också bestämma att z ska betyda den lösning som har positiv realdel. Det betyder att vi tar ekvationen z = re iθ med π θ < π så att roten får argument i intervallet [ π/2, π/2). Men då får vi problem när vi går ett varv moturs med start från ett negativt reellt tal: när vi startar är r = i r, men när vi slutar är det i r. För att kunna definiera denna rotfunktion som en kontinuerlig funktion måste vi därför skära bort den negativa reella axeln, men då får vi å andra sidan en kontinuerlig funktion : C\R C. Om vi inte vill skära bort något, så kan vi tänka oss att roten z = w genomlöper en kurva samtidigt som w genomlöper en cirkel. Denna kurva kommer då också att vara periodisk, men när vi går ett varv runt bascirkeln går vi bara halva den övre kurvan; för att komma tillbaka till ursprungspunkten måste vi går runt bascirkeln två varv. Detta illustreras i figuren till höger, där vi ser att avbildningen w = z 2 är sådan att varje punkt på cirkeln har två urbilder på den blå kurvan. Vi säger att den blå kurvan är en 2-överlagring av den röda kurvan, och den blå kurvan är så nära vi kan beskriva en Riemannyta till rotfunktionen, i brist på tillräckligt många dimensioner. Med denna bild i minnet återvänder vi nu till problemet att definierar rotfunktionen för godtyckliga komplexa tal, så ser vi att vi kan definiera oändligt många rot-funktioner genom att börja med att skära bort olika strålar ugående från origo. Även om detta i konkreta fall kan vara praktiskt, är det otillfredsställande ur en teoretisk synpunkt: vi vill inte ha denna typ av tvetydighet i matematiken. Vi kan därför göra som vi gjorde i introduktionen och betrakta kurvan S : w 2 = z i C 2, en kurva som, sett med reella ögon, är en 2-dimensionell yta. Sedan betraktar vi rotfunktionen som projektionen S (z, w) w C. Denna kurva S är ett första exempel på en Riemann-yta. Om vi ska försöka beskriva hur denna yta ser ut, ska vi utgå ifrån två kopior av C, båda uppskurna längs en viss stråle. Var och en av dem svarar mot en av de två rötterna. Sedan limmar vi ihop dem längs strålarna så att, om vi går runt origo ett varv med början på det undre bladet så kommer vi, när vi passerar strålen, upp på det övre bladet. Fortsätter vi vår vandring runt origo kommer vi med tiden åter till strålen, och då ska vi komma tillbaka till det undre bladet. Att göra denna yta rättvisa i rummet är omöjligt. Den är en 2D yta i C 2, och i det fyrdimensionella rummet är det inget problem med denna yta. I rummet kan vi inte realisera den utan att den skär över sig själv, som figuren ovan illustrerar. Det som gäller här är att varje komplext tal 0 svarar mot precis två punkter på ytan. Origo är ett undantag; i en aldrig så lite omgivning av origo ser ytan
Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 3 (10) komplicerad ut. Man kallar origo en förgreningspunkt. Den grundläggande idén med Riemannytor är att ersätta definitionsområdet för en flervärd funktion, t.ex. en som definieras som lösningarna till en polynomekvation med motsvarande mängd P (z, w) = w n + a n 1 (z)w n 1 +... + a 1 (z)w + a 0 (z) = 0 S = {(z, w) C 2 ; P (z, w) = 0}. Denna kommer typiskt att bestå av n stycken sammanhängande kopior av C, svarande mot de olika lösningarna, vilka är sammankopplade och ytan vrider sig runt ett antal förgreningspunkter så som rotytan vred sig runt origo. Vi säger att ytan är n-överlagring av det komplexa talplanet, när varje punkt, utom förgreningspunkterna, svarar mot precis n punkter i Riemannytan. När vi ska försöka visualisera sådana ytor är en viss konstruktion behändig: det utvidgade komplexa talplanet. Med det menas det komplexa talplanet plus en punkt i oändligheten. De funktioner vi är intresserade av på det utvidgade komplexa talplanet är de som har ett väldefinierat gränsvärde, möjligen oegentligt, när z. Det utvidgade komplexa talplanet kan identifieras med en sfär genom att vi använder den stereografiska projektionen från nordpolen på tangentplanet till sydpolen. Nordpolen kommer då att svara mot just punkten i oändligheten. Vi säger att vi gör en enpunktskompaktifiering av C. Fördelen med det är att vi då kan realisera även andra Riemannytor som kompakta ytor. Exempel 1 Låt P (z, w) = w 2 (z 2 1). Ekvationen P (z, w) = 0 har två lösningar w till givet z, vilka dock sammanfaller då z = ±1. Det betyder att motsvarande Riemannyta har förgreningspunkter i z = ±1, men för övrigt är en 2-överlagring. Runt en förgreningspunkt gäller att ytan ser ut som rotytan ovan. För att inse detta, betrakta punkten z = 1 och inför ny variabel ζ = z 1. Då gäller att ekvationen kan skrivas w 2 = ζ(ζ + 2) 2ζ när ζ 0. Det betyder precis att i en liten omgivning av z = 1 ser ytan ut som rotytan. Detsamma gäller naturligtvis kring z = 1. För att nu förstå hela Riemannytan tar vi två kopior av C och skär upp intervallet [ 1, 1] i båda. Vi ska nu limma ihop de två bladen längs intervallet på sådant sätt att när man lämnar det ena bladet, så kommer man till det andra på samma sätt som ovan. Vi kan illustrera detta genom att tänka oss att vi vänder det undre bladet upp och ner och sprättar upp intervallet så att det får två kanter. Kanterna på de två bladen limmas sedan ihop parvis, så att de två bladen sitter ihop längs något som kan betraktas som en cirkel.
Vad a r Riemannytor och vad a r de bra till? 4 (10) I figuren till ho ger a r detta illustrerat sa att det uppskurna intervallen a r separerade till tva linjer var, vilka ska limmas ihop mellan planen, sa att bla kurva ska limmas ihop med ro d kurva. Ba ttre fo rsta s detta om vi la gger till punkten i oa ndligheten pa vart och ett av bladen innan vi bo rjar. Vi utga r alltsa fra n tva sfa rer. Sedan go r vi ett snitt i var och en av dem, och vidgar dessa till cirklar. Vi har da plo tsligt fa tt tva halvsfa rer. Sedan ska de limmas ihop till en ny sfa r. Sa Riemannytan till ekvationen w2 = z 2 1 kan uppfattas som en sfa r. Notera att vi nu har tva oa ndlighetspunktrpunkter pa denna sfa r: en i nordpolen och en i sydpolen. Anma rkning Generellt sa tt har vi att P (z, w) = w2 (az 2 + bz + c) definierar en Riemannyta som vi kan uppfatta som en sfa r. Vi har ju tva nollsta llen till polynomet az 2 + bz+c, och vi go r som i exemplet ett snitt mellan dessa punkter och limmar ihop tva halvor. Fallet a = 0 hanterar vi genom att vi la ter en av punkterna vara oa ndlighetspunkten, vilket var vad vi gjorde med rotytan ovan. Exempel 2 La t P (z, w) = w2 (z 2 1)(z 2 k 2 ), k C, k 6= ±1. A ven nu har vi en 2-o verlagring av C, denna ga ng med fo rgreningspunkter i z = ±1, ±k. Var och en av dessa ser ut som origo gjorde pa rotytan. Vi tar tva sfa rer, svarande mot det utvidgade komplexa talplanet fo r de tva lo sningarna. I dessa go r vi tva snitt: ett mellan 1 och k och ett mellan 1 och k. Liksom i fo rega ende exempel vidgar vi dem till ett cirkula rt ha l. En sfa r med tva ha l i a r topologiskt detsamma som en cylinder, sa vi har tva cylindrar som vi ska limma ihop som vi limmade ihop sfa rerna i fo rega ende exempel. Resultatet blir en torus som bildsekvensen nedan visar. Anma rkning Vi inser att konstruktionen kan generaliseras till ett godtyckligt polynom P (z, w) = w2 p(z) da r p(z) a r av fja rde graden med fyra olika nollsta llen. Konstruktionen kan ocksa anva ndas om p(z) a r ett tredjegradspolynom med olika nollsta llen vi anva nder da punkten i oa ndligheten som en fja rde fo rgreningspunkt.
Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 5 (10) 3 Definition av Riemann-ytor Historiskt sett uppkom Riemann-ytor som grafer för flervärda analytiska funktioner, definierade i någon delmängd av C. Här ska vi göra två olika definitioner, inspirerad av detta. Vi behöver då först Definition En komplex funktion F (z, w) som är definierad i någon öppen delmängd av C 2, sägs vara holomorf om det, nära varje punkt (z 0, w 0 ) i dess definitionsområde, gäller att F kan utvecklas i en konvergent potensserie F (z, w) = F mn (z z 0 ) m (w w 0 ) n. m,n 0 En sådan funktion kan vi derivera både m.a.p. z och m.a.p. w, såsom vi alltid deriverar polynom (konvergensradien ändras inte). Definition Med en konkret Riemannyta menar vi en delmängd S C 2 sådan att varje punkt s S har en omgivning U i vilken det finns en holomorf funktion F sådan att n wf (s) 0 för något n, så att det gäller att S U = {(z, w) U; F (z, w) = 0.} En punkt s S sägs vara icke-singulär om df (s) 0. Anmärkning Implicita funktionssatsen säger att om w F (s) 0, så kan vi lokalt kring s lösa ut w = w(z), medan om z F (s) 0, kan vi på samma sätt lösa ut z = z(w). Om vi kan göra båda sakerna, är dessa funktioner varandras inverser. En konkret Riemannyta är per definition inbäddad i C 2. Vi vill emellertid ha en abstrakt definition som frigör oss från inbäddningsinformation. För att närma oss en abstrakt definition börjar vi med några exempel. Exempel 3 Vi har ovan beskrivit det utvidgade komplexa talplanet som en sfär, Riemannsfären S 2. För att förstå denna som en Riemannyta, betraktar vi två kopior av C med koordinater z och w. Avbildningen w = z 1 identifierar C\{0} i z-planet med C\{0} i w-planet, bijektivt och analytiskt (vi säger att avbildningen är biholomorf). Definiera nu ett nytt topologiskt rum genom att limma ihop de två kopiorna över dessa ytor. Vi får en topologisk sfär, men också en mening till vad det ska betyda att en funktion är holomorf på den: vi säger att f är holomorf på S 2 om dess restriktion till S 2 \{0} och dess restriktion till S 2 \{ } båda är holomorfa. Ett ekvivalent sätt att beskriva en holomorf funktion på S 2 är som en som är holomorf dels som funktion av z, dels som funktion av w = 1/z i en omgivning av w = 0. I det senare fallet sätter vi värdet i origo till f( ). Exempel 4 En torus är en Riemannyta och kan konstrueras på följande sätt.
Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 6 (10) Låt A = {z; 1 < z < R + ɛ} och identifiera randbiten {z; 1 < z < 1 + ɛ/r} med randbiten {z; R < z < R + ɛ} genom att vi multiplicerar med ett fixt q C med längd R, en identifikation som naturligtvis är biholomorf. Låt T vara den yta vi får genom denna identifikation. Denna är uppenbarligen en torus och vi har en öppen, surjektiv avbildning π : A T. Om U T är öppen, säger vi att funktionen f : U C är holomorf om och endast som f π : π 1 (U) C är holomorf. Varje punkt t T har en tillräckligt liten omgivning sådan att π 1 (U) är antingen en eller två disjunkta öppna delmängder i A; i det senare fallet identifieras dessa av avbildningen z qz. För att kontrollera analyticiteten nära t räcker det därför att kontrollera den nära en av urbilderna. Med andra ord, varje t T har en omgivning U t som vi kan identifiera via π med en cirkelskiva i C som är sådan att holomorfa funktioner svarar mot holomorfa funktioner. Vi gör nu följande definition. Definition En holomorf atlas på en topologisk yta är en samling öppna mängder U α som bildar en övertäckning av ytan, tillsammans med homeomorfismer h α mellan U α och enhetscirkelskivan D i C, som är sådana att för alla α, β gäller att övergångsfunktionerna h α h 1 β : h β (U α U β ) h α (U α U β ) är holomorfa avbildningar mellan öppna delmängder av D. Anmärkning Vi kan se varje omgivning h α (U α ) som ett kartblad, så att atlasen utgörs av en samling kartblad tillsammans med specifikationer av hur man går från ett kartblad till ett annat. Från detta får vi nu Definition En topologisk yta försedd med en holomorf atlas kallas en abstrakt Riemannyta. Om U är en öppen delmängd på ytan, så säger vi att f : U C är holomorf om alla funktioner f h 1 α : h α (U U α ) C är holomorfa funktioner. Exempel 5 En holomorf atlas på S 2 ges av kartorna U 0 = {z; z < 1} och U = {z; z > 1/2}, där h 0 är identitetsavbildningen och h 1 (z) = 1/2z. Övergångsfunktionen h 1 h 1 0 : U 0 U U 0 U avbildar z på 1/2z. Som diskuteras i artikeln Om trianguleringar och Eulerkarakteristiken så kan varje orienterbar, 2-dimensionell yta beskrivas som den sammanhängande summan av g tycken torusar. Dessa i sin tur kan också konstrueras som följer då g 1. Vi startar med en 4g-polygon P i C med hörn i a 1, b 1, a 1, b 1,..., a g, b g, a g, b g, så ordnade att om vi identifierar a i med a i och b i med b i, så får vi en sfär S med g handtag. Genom denna identifikation övergår alla hörn i en punkt o S och kanterna a i och b i övergår i slutna kurvor α i respektive β i som alla utgår ifrån o. Kurvan α 1 β 1 α1 1 β1 1... α g β g αg 1 svarar mot randen till P och är därför homotop med en punkt. Vi ska nu se att en sådan yta kan förses med en komplex struktur, vilket alltså gör den till en Riemannyta. βg 1
Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 7 (10) Vi ska nu definiera öppna mängder β 1 2 α 1 U 0, U 1,..., U g, U g+1,..., U 2g, U 2g+1 i S utifrån urbilder Ũi i P. Här ska o ligga enbart i U 0, U i skär endast α i, U g+i endast β i och U 2g+1 skär ingen av dessa vägar. Det följer att i P är (1) Ũ2g+1 sammanhängande, (2) Ũi har två sammanhängande komponenter och (3) Ũ0 splittras upp i 4g sammanhängande komponenter. Härnäst ska vi konstruera kartor h i : V i U i. α 2 För i = 2g + 1 kan vi identifera mängderna och låta h 2g+1 vara restriktionen av den kanoniska avbildningen P S. För i = 1,..., 2g låter vi V i vara cirkelskivor. Vi får h i om vi avbildar två halvor på de två sammanhängande komponenterna av Ũi. För i = 0 delar vi in en cirkelskiva av lämplig radie i 4g lika stora cirkelsektorer. Dessa har basvinkel φ = π/2g och komponenterna av Ũ0 har basvinkel (2g 1)φ, så vi kan sätta ihop h 0 från translationer och (2g 1)-potenser. En abstrakt Riemannyta är alltså en storhet som inte ligger i något speciellt rum, medan en konkret Riemannyta, per definition, är en 2-dimensionell (reella dimensioner) delmängd av ett 4-dimensionellt rum. Idén är nu att man vill se konkreta Riemannytor som realiseringar av abstrakta, och att det är de abstrakta Riemannytorna som de fundamentala objekten. En skillnad är dock att en konkret Riemannyta kan innehålla singulära punkter, alltså sådana som inte har en omgivning som ser ut som en cirkelskiva. Origo på rotytan är ett tydligt exempel. En konkret Riemannyta utan några singulära punkter blir emellertid också en abstrakt Riemannyta, vilket implicita funktionssatsen visar, såsom antytts ovan. Låt S vara en konkret Riemannyta med åtminstone en singulär punkt. Man är då intresserad av att av-singularisera dessa punkter, och den adekvata frågan är om det finns någon abstrakt Riemannyta R och avbildning R S som är biholomorf i de reguljära punkterna på S. Vi säger då att R löser upp singulariteterna. Detta går alltid, men det kan inte göras i C 2, det rum som den konkreta Riemannytan lever i. Men det gör att de intressanta objekten att studera är just de abstrakta Riemannytorna, och vilka holomorfa funktioner (och differentialformer) som vi kan definiera på dem. α 1 2 β 2 β 1 1 β 1 α 1 1 4 Integration på Riemannytor Låt oss börja med att integrera rationella funktioner på C. Genom att partialbråksuppdela vet vi att dessa genereras av monom t k, k 0 samt funktioner på formen (t α) k, k 1 och α C. Dessa är enkla att integrera och ger rationella funktioner förutom fallet (t α) 1 som ger en logaritmfunktion. Efter denna inledande observation vill vi nu hitta primitiva funktioner till differentialformen R(z, p(z))dx, där p(z) är ett polynom, inte en konstant och utan dubbla nollställen, och R(x, y) är en rationell funktion i två variabler. Sådana kan alltid skrivas A(z) + B(z)/ p(z), där A, B är rationella funktioner och vi ska studera fallet A = 0, B = 1 närmare för att förstå integrationsproblematiken.
Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 8 (10) Om p är ett förstagradspolynom betraktar vi rationella funktioner i w = p(z) som lätt löses genom att vi inför w som ny integrationsvariabel. Det första intressanta fallet är därför när p(z) är ett andrgradspolynom, och genom att göra ett variabelbyte z az + b räcker det att betrakta fallet p(z) = 1 z 2. Vi vill då studera funktionen φ(z) = z 0 dt 1 t 2. Låt oss först betrakta z i det övre halvplanet Im z 0 och vi definierar rotfunktionen så att 1 = 1. Om vi endast betraktar integrationsvägar i det övre halvplanet kommer φ(z) att vara en väldefinierad funktion sådant att [ 1, 1] avbildas på [ π/2, π/2]. Om vi, alltjämnt i det övre halvplanet, går ifrån 1 ɛ till 1 + ɛ, där ɛ > 0, så kommer argumentet för 1 t 2 att öka med π och integranden alltså att öka med π/2. Det följer att [1, ) avbildas på {π/2 + iw; w > 0}. På samma sätt ser vi att (, 1] avbildas på { π/2+iw; w > 0}, och alltså avbildar φ hela det övre halvplanet konformt och bijektivt på {z; π/2 < Re z < π/2, Im z > 0}. z w = φ(z) w 1 1 π 2 π 2 Om vi nu vill utöka definitionen av φ till hela C dyker det upp två problem: integranden är en flervärd funktion och integralen beror av vilken väg vi integrerar mellan 0 och z. Om vi håller oss borta från punkterna ±1 så har vi två två rötter 1 z 2, men längs en given kurva kan vi med analytisk fortsättning definiera en rot. Vi kan därför definiera integralen dz/ 1 z γ 2 för varje kurva i C \ {±1} från 0 till z C. Problemet är att olika vägar kan ge olika svar beroende på hur kurvan tar sig runt punkterna ±1. Detta i sin tur beror i så fall på att det finns slutna kurvor som ger ett integralvärde som är 0. Mer precist har vi att dt = 2π. 1 t 2 z =R Det betyder att beroende av vilken väg vi väljer kan vi få svar som skiljer sig åt på heltalsmultipler av 2π. För att få den envärd, kan vi därför välja att betrakta värdena mod 2π, alltså i C/2πZ, vilket topologiskt är en cylinder. Vi vet från tidigare att en kurva som skär intervallet ( 1, 1) kommer att leda till att vi byter rotfunktion. Med andra ord, vi går från ett blad till ett annat på motsvarande Riemannyta, kurvan C : w 2 = 1 z 2. En sluten kurva på Riemannytan måste då gå tillbaka över intervallet för att kunna återvända till startpunkten. Genom att lägga till en bit av intervallet ( 1, 1) kan integralen längs en sådan kurva skrivas som summan av integralen av två slutna kurvor, vilka båda ligger i samma blad. Den totala integralen är därför noll. Om vi däremot går ett varv runt intervallet ( 1, 1) i något av bladen, blir integralen lika med ±2π, där tecknet beror av val av blad och av genomloppsriktning. 1 1
Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 9 (10) Vi ser nu att φ : C C/2πZ blir en biholomorf avbildning, och dess invers definierar de trigonometriska funktionerna φ 1 (ζ) = (sin ζ, cos ζ). Eftersom dessa är punkter på kurvan gäller den trigonometriska ettan, och (sin ζ) 2 = 1 sin 2 ζ = cos 2 ζ. Det betyder att ζ (P (ζ), P (ζ)), där P (ζ) = sin ζ, är en parametrisering av C. Vi ser att sin ζ har en essentiell singularitet i i, vilket betyder att vi inte utan vidare kan definiera den som en funktion på kompaktifierad cylinder (som vi vet är en Riemannsfär). Vi går så till fallet då polynomet p(z) är av grad 3 eller 4. Genom en Möbiustransformation kan ett fjärdegradspolynom alltid transformeras till ett tredjegradspolynom (genom att skjuta ett av nollställena till )och på samma sätt kan vi alltid placera två av ett tredjegradspolynom nollställena i 0 och 1. Det betyder att vi behöver förstå funktionen ψ(z) = z dt t(t 1)(t λ) där λ är något komplext tal. Vi antar, för enkelhets skull, att vi har 0 < λ < 1. Bilden av den reella axeln ges av linjestyckena där vi har att ψ(± ) = 0. [ψ( ), ψ(0)], [ψ(0), ψ(λ)], [ψ(λ), ψ(1)], [ψ(1), ψ( )], z ψ(0) w = ψ(z) 0 0 λ 1 w ψ(λ) ψ(1) Dessa linjestycken skär under rät vinkel, vilket betyder att det övre halvplanet avbildas på det inre av en rektangel. För allmänna λ får vi på motsvarande sätt ett parallellogram. För att få entydighet i rotfunktionen betraktar vi, som tidigare, ψ som en funktion på en Riemannyta som uppkommit genom att vi klistrar två kopior av C längs snitten [0, λ] och [1, ]. Liksom tidigare ger detta en topologisk torus som kan realiseras som den komplexa kurvan C i PC 2 som definieras av den homogena ekvationen y 2 z = x(x z)(x λz). Nu är ψ:s värden väldefinierade endast modulo multipler av värdet på integralen längs två slutna banor. Den första är integralen runt endera av snitten, som har värdet ω 1 = 2(ψ(0) ψ( )) = 2(ψ(1) ψ(λ)) = 2ψ(0). Det andra är integralen tas mellan de två snitten, vilken har värdet ω 2 = 2(ψ(λ) ψ(0)) = 2ψ(1). λ 0 1
Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 10 (10) Det betyder alltså att funktionen ψ(z) endast är definierad modulo Γ = Zω 1 + Zω 2, och dess inversa funktion blir därför en avbildning C/Γ C. Som ett alternativt sätt att se detta, betrakta rektangeln nedan. Den är en beskrivning av torusen, som utgörs av en enkelt sammanhängade yta (rektangeln) tillsammans med information om sidor som ska identifieras. Vi inser då att längs varje sluten kurva som ligger i kvadraten kommer dz/w att ha integral noll. För en kurva som går mellan två motstående sidor gäller att den blir en sluten kurva vars värde är samma för alla sådana kurvor och ges av vad den är för den räta linjen mellan dem.