Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, ( ( ) Genom att parametrisera ytan med två parametrar u och v, r( u,v)= x( u,v), y( u,v),z u,v kan man överföra ytintegralen till en dubbelintegral. Man har nämligen ds = r u dudv och därför f ds f x( u,v), y( u,v),z ( u,v) r r dudv u v = ( ), där står för det område i ( u,v) planet som via parametriseringen genererar ytan. Parametriseringen är inte alltid trivial, och det finns dessutom flera alternativ som sinsemellan kan leda till helt olika typer av svårigheter i den uppkomna dubbelintegralen. Men ofta är ytan en funktionsyta z = f x, y ( x,y, f ( x,y) ). I detta fall blir r x r y = ( 1,, f x ) (,1, f y )= f x, f y,1 ( ) som enkelt låter sig parametriseras genom ( ) och ds = f x ( ) + ( f y ) +1dxdy Exempel: Beräkna ( 4 z)ds Lösning: är en funktionsyta z = f x, y genom x,y, f x,y ( ( )) Vi får då ( 4 z)ds = 4 z x +y 4 där är ytan z = 4 x y, x + y 4 ( ) och vi kan använda parametrisera ( ) 1+ 4 x + 4 y dxdy = x + y ( ) 1+ 4 x + 4 y dxdy = x +y 4 = π r 1+ 4r rdrsom beräknas på vanligt sätt. På vissa enkla ytor kan man slippa parametrisera och till exempel utnyttja att ds betecknar arean av ytan. 1
Exempel: Beräkna zds där är en sluten cylinder med radie 3 kring z- axeln från z = till z =15 Lösning: Här består ytan av tre olika stycken som måste behandlas var för sig. Vi kallar dem 1,, 3 där 1 är själva cylindern. 1 parametriserar vi r( t,θ) = ( 3cosθ,3sinθ,t) så att r t r θ = (,,1) 3sinθ,3cosθ, zds t 3dtdθ = 675π = 1 t 15 θ π ( ) = ( 3cosθ,3sinθ,) så att På bottenstycket är z = så zds = r t r = 3 och Slutligen, på locket är z =15 så zds =15 ds =15 (arean av locket)= = 145π Svar: 81π 3 3 θ
Flödesintegraler Vi kommer nu till en viktigt tillämpning av ytintegraler. Utgångspunkten är ett vektorfält F som beskriver med vilken riktning en vätska strömmar i något medium och hur mycket av denna vätska som per tidsenhet strömmer igenom ett membran. etta membran motsvarar en yta i rummet och den efterfrågade flödeshastigheten visar sig ges av ytintegralen F N ds där N är ytans enhetsnormal. etta är en ytintegral av den typ vi studerat i föregående avsnitt, men situationen är faktiskt lite bättre än så. Uttrycket r u som vi använder för att få grepp om ytelementet ds, är ju i själva verket en normalvektor till ytan varför vi kan skriva N = r r u v och därmed r u r F N ds = F u r v r r u u r v dudv = F ( r u )dudv r v Flödesintegraler kan alltså beräknas genom att den givna ytan parametriseras, men man slipper storheten r u som ofta orsakar svårigheter i den uppkomna dubbelintegralen. I situationer där man ombeds beräkna flöden som ovan är membranet alltid orienterat; man vill veta flödet från en given sida av membranet till den andra. Man pratar därför om ytas positiva respektive negativa sida, och definierar den positiva sidan som den som normalen pekar åt. Vilken sida som blir positiv beror därför på vilken parametrisering som görs, och det är inte alltid lätt att förutsäga. Men det är också lätt att korrigera, så det enda som egentligen krävs är att man efter gjord parametrisering kontrollerar att normalen pekar åt rätt håll. Exempel: Beräkna flödet ( x, y,z + 1) uppåt genom ytan z = 1 x y, z Lösning: Vi använder den naturliga parametriseringen r( x,y)= x,y,1 x y r x r y = x,y,1 ( ) som ger ( ) Normalen pekar uppåt och vi får flödet till F N ds = ( x, y,z +1) ( x,y,1)dxdy = x + y + z +1dxdy x +y 1 x +y 1 Här är ju z =1 x y och dubbelintegralen beräknas lätt med polära koordinater. 3
Greens formel en sista delen av vektoranalysen kretsar kring tre stora satser: Green, Gauss och Stoke. Vi börjar med ett tillfälligt återbesök hos kurvintegraler på vektorfält i planet och Q presenterar Greens formel: Pdx + Qdy = x P dxdy y Här är en sluten, styckvis glatt och positivt orienterad kurva, och det område som kurvan inneslutar. P och Q måste vara differentierbara i hela. Exempel: Beräkna ( y + e x )dx + ( x + cos y )dy där är randen av det område som innesluts av kurvorna y = x samt x = y Lösning: En parametrisering ger en ohygglig integral, så vi använder Greens formel: ( y + e x )dx + ( x + cos y )dy = ( x + cos y ) ( x y y + e x )dxdy = = ( 1)dxdy = dy dx = 1 3 1 y= x y= x 4
Ibland använder man Greens formel baklänges och beräknar en dubbelintegral med hjälp av kurvintegral. en typiska (och så gott som enda) situationen uppstår när man vill beräkna arean av ett område som är inneslutet av en kurva på parameterform. Greens formel ger nämligen xdy = ydx = 1 xdy ydx = dxdy där den avslutande dubbelintegralen definitionsmässigt ger arean av området. Man väljer den av de tre kurvintegralerna som passar bäst med de aktuella funktionerna. Exempel: Beräkna arean innanför kurvan med parameterframställning r( t)= ( cost, sin 3 t), t π Lösning: Lösning: arean = π = 3 sin t dt = 3π 4 4 dxdy = π xdy = cost 3sin t cost dt = 5