Lektion 6, Flervariabelanals den februari 6.. Beräkna div F och rot F av F e + e. Divergensen och rotationen ges av div F F,,,, + + + +, rot F F,,,, e e e z, +,,,. rot F F,, e e e z z, z, z z z, + z, z z, +, z z,,. 6..6 Beräkna div F och rot F av F e z e + z e z. Anm. När div F sägs vektorfältet vara källfritt, och när rot F sägs vektorfältet vara virvelfritt. 6..4 Beräkna div F och rot F av F z e + z e + e z. Vi har div F F,, z, z, z + z + + +, Vi har div F F,,, z, z + z + z z + + z, rot F F,, e e e z z z, z, z z z, z +, + z, z +, z, z,. z
6..8 Beräkna div F och rot F av Vi har div F F,, fz + + +, F fz e fz e. fz, fz, fz + rot F F,, fz, fz, e e e z fz fz fz, + fz, fz fz + f z, + f z, f z, f z,. Först undersöker vi om F är konservativ genom att kontrollera om F :s Jakobian är smmetrisk, F F F,, z, F vilket den inte är. Istället för att räkna ut linjeintegralen eplicit längs de tre kantlinjerna använder vi Greens formel och skriver om linjeintegralen till en dubbelintegral F dr T F F F d d, där minustecknet uppstår eftersom kurvan genomlöper triangeln T :s kantlinjer i negativ riktning medurs. I vårt fall blir dubbelintegralen + d d. T Om vi ritar upp triangeln T,,, 6.3. Beräkna d + d medurs runt triangeln med hörn i,,, och,. Linjeintegralen kan vi skriva om som, d, d F dr. så ser vi att den är enklast att först integrera i -led. För ett givet -värde ska gå från kurvan till kurvan, och ska sedan gå från till. Området beskrivs alltså av,.
Vi har alltså att F dr [ d + + d d T ] d [ 3 3 ] d + d + d 4 3. Vi undersöker först om vektorfältet F är konservativt. Jakobianen till F, F, är inte smmetrisk så F är inte konservativ. Vi ska lösa uppgiften med två metoder., Metod eplicit uträkning Områdets rand består av två randkurvor, dels halvcirkeln + 9 i övre halvplanet från 3, till 3,, dels den räta linjen från 3, till 3,. 6.3.4 Beräkna d d där är randen till området 9 genomlöpt medurs. l 3 3 l 3 3 Olikheten 9 kan vi efter kvadrering skriva som 9, + 9,. Området består alltså av den övre halvan av cirkeldisken med mittpunkt i origo och radie 3. 3 3 Linjeintegralen kan skrivas, d, d F dr. Dessa två randkurvor kan vi parametrisera som l : r t 3 cos t, 3 sin t t π, l : r t t, 3 t 3, där pilen under parametern anger i vilken riktning parametern löper. På de två randkurvorna är F r t, 3 cos t 3 sin t, 3 cos t 3 sin t 7 cos t sin t, 7 cos t sin t, dr t ṙ t dt 3 sin t, 3 cos t dt, F r t, t, t,. Linjeintegralen över den slutna kurvan är summan av linjeintegralen över l
och l. Alltså är l F dr 6 8 l F dr π F r t dr t 7 cos t sin t, 7 cos t sin t 3 sin t, 3 cos t dt 8 cos t sin t 8 cos t sin t dt cos t sin t dt 8 cos 4t 3 3 dt 8 4 sin t dt [ t 4 sin 4t ] π 8 4 π F r t ṙ t dt. F dr F dr + l F dr 8 4 π + 8 4 π. l 6.3.7 Skissera den plana kurvan och beräkna där F e e + 3 e e. : r sin t e + sin t e F dr t π, Om vi ritar upp hur - och -koordinaten varierar med parametern t får vi figurerna. π 4 t Kurvan startar i origo. När t 4 π har vät till medan nått mavärdet. π 4 t Metod Greens formel Med Greens formel kan vi skriva om den slutna linjeintegralen som en dubbelintegral över det inneslutna området F F dr D F d d d d, D där den negativa omloppsriktningen hos ger minustecknet framför dubbelintegralen. Eftersom området D är en halvdisk och integranden är + bter vi till polära koordinater. d d D dθ 3 r 3 r dr [ ] 3 π 4 r4 8 4 π. När t π når sitt mavärde medan sjunkit till.
Vid t 3 4π antar sitt minsta värde och. Med hjälp av Greens formel får vi att den slutna linjeintegralen är F F dr F F d d + F d d, D där D och D är de två öglor som innesluter. Vi får ett minustecken framför den första dubbelintegralen eftersom genomlöper randen i negativ riktning. D På detta sätt får vi stegvis fram kurvans utseende. D D Linjeintegralen är alltså lika med 3 e e d d + 3 e e d d. D D t π t 5 4 π t 3 π Eftersom områdena D och D är varandras spegelbilder i -aeln och integranden är en jämn funktion i -led, så är integralerna lika och kancellerar varandra. Linjeintegralen har därmed värdet. t 7 4 π t π Först undersöker vi om vektorfältet är konservativt. Eftersom Jakobianen F e, 3 e inte är smmetrisk är vektorfältet inte konservativt.
6.3.8 Om är den positivt orienterade randkurvan till ett plant område som har area A och tngdpunkt, ȳ, tolka linjeintegralen F dr geometriskt när a F e, b F e, och c F e + 3 e. Arean och tngdpunkten till området ges av uttrcken A d d,, ȳ, d d. A Vi ska använda Greens formel och skriva om linjeintegralen i uppgiftsteten till en dubbelintegral som vi ska försöka uttrcka i termer av arean A och tngdpunkten, ȳ., d, d, d, d, 3 d, d d d Aȳ. d d d d A. d d d d A. 3 d d 3 d d