MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent. Beräkna den om den är konvergent.. (a) Beräkna 8x + 5 9x + x dx (b) Avgör om konvergerar. Beräkna i så fall dess värde. dx x x 3. Beräkna cos x + cos x dx. 4. Avgör om den generaliserade integralen är konvergent eller divergent. Bestäm dess värde om den är konvergent. 5. Avgör om den generaliserade integralen ln t t 3 dt t t dt är konvergent eller divergent. Bestäm dess värde om den är konvergent. 6. Avgör om den generaliserade integralen dx + x + x är konvergent eller divergent. Bestäm dess värde om den är konvergent. 7. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen 8. Beräkna ln( + t ) t 3 dt. + t t dt är konvergent eller divergent. Beräkna den om den är konvergent.
(a) (b) 8 3 t + t + t + + dt x ln(x + ) dx. 9. Beräkna x x dx om den konvergerar. Visa annars att den divergerar.. När kurvan y = + x, x roterar kring y-axeln uppstår en kropp. Beräkna volymen av denna.. När kurvan y = + x, x roterar kring x-axeln avgränsas en kropp i rummet. Beräkna volymen av denna kropp.. En partikel rör sig i planet enligt den parametriserade kurvan (x(t), y(t)), där { x(t) = e 4t cos t y(t) = e 4t sin t. Hur långt färdas partikeln mellan tiden t = och t =? 3. En skålformad behållare beskrivs av att man låter kurvan y = x, x 4 (4 meter) rotera runt y-axeln. Den är fylld till höjden m av en oljeblandning som skiktat sig så att densiteten på höjden h är 8 h kg/m 3. Vilket arbete krävs för att pumpa upp alla olja till behållarens kant? 4. Vid en olycka på en oljeplattform sker ett utsläpp av olja. Vid en viss tidpunkt finns på avståndet x km från plattformen, där x, e x / ( + e x / ) ton olja per kvadratkilometer. På mer än kilometers avstånd är oljemängden försumbar. Hur mycket olja har totalt släppts ut vid tidpunkten? 5. Man ska gräva ett m långt dike med ett tvärsnitt av formen y = x. Det ska vara 9 m djupt och 6 m brett (som bredast). m 6 m 9 m Man räknar med att jorden som ska grävas upp har en densitet av formen ρ(d) = c + kd kg/m 3 där d är djupet under markytan och c samt k konstanter. Bestäm ett uttryck för det (minsta) arbete som krävs för att gräva gropen. (Tyngdaccelerationen betecknas g och enheten är joule.) 6. Vid ett bygge lyfts en behållare på marken med kg cement från en ställning m ovan mark, genom att dra i ett rep som väger / kg per meter. Vilket arbete utförs om behållaren lyfts till en punkt 5 m ovan mark? Differentialekvationer 7. Lös ekvationen y y + y = e 3t + e t. 8. Lös följande differentialekvationer när x >. (a) (b) xy = y(y ), xy + ( x)y = x.
9. Lös differentialekvationen. Lös differentialekvation x y(x)y (x) = ( + y(x) ) cos(/x), x >, y(/π) =. y y = x, y () = y() =.. Bestäm alla reella lösningar till differentialekvationen y (t) + y (t) + 5y(t) = e t cos 3t.. Bestäm alla funktioner f(x) som har egenskapen att alla normaler till grafen går genom (, ). 3. Grafen till den deriverbara funktionen f(x) har följande egenskap: Om man i en godtycklig punkt (a, f(a)) på grafen drar normalen så råkar den x-axeln i (b, ). Triangeln med hörn i punkterna (a, f(a)), (b, ) och (a, ) har alltid arean. Vilken funktion är f(x), om man dessutom vet att f(3) =? 4. Figuren nedan visar graferna till tre funktioner som är lösningar till en och samma differentialekvation. Ange en sådan och lös den fullständigt. x 3 Det finns många svar och Du behöver bara ta hänsyn till det principiella uppförandet hos lösningarna. 5. Låt f(t) = t, då t < och f(t) =, då t. Lös differentialekvationen när t. y + y = f(t), y() =, y () =, 6. Bestäm med hjälp av Laplacetransformering den lösning till som uppfyller y() = y () =. y + y = 5e t sin t, för t, 7. Betrakta differentialekvationen y (t) + y(t) = f(t), t, där y() = y () = och f(t) är den periodiska funktion vars graf är f(t) 3 t Bestäm laplacetransformen ỹ(s) av lösningen y(t). (Det är alltså inte själva y(t) som skall bestämmas.) 8. Låt f(t) vara definierad för t och ha Laplacetransformen f(s) = Bestäm den lösning y(t) till differentialekvationen som uppfyller y() =. (s + )e πs s. + y (t) + y(t) = f(t), t, 3
9. Funktionen f(t) är definierad för t och f(t) + t f(ξ) sin(t ξ) dξ = cos t. Bestäm funktionen f(t) och dess Laplacetransform f(s). Serier, potensserier och Taylorpolynom 3. Låt (a) Bestäm konvergensradien för P (x). P (x) = (b) Visa att P (x) löser differentialekvationen k= cos(kπ/3) x k. k! y y + y =. (c) Uttryck P (x) med hjälp av elementära funktioner (för x i konvergensintervallet). 3. För vilka x konvergerar k= x k+ k k? 3. (a) Bestäm konvergensradien till potensserien (b) Avgör om serien konvergerar. Bestäm i så fall dess värde. 33. För vilka x konvergerar k= k= k= (k!) 3 x k+ (3k)!3 k+. ( ) k (k + )3 k ( ) k x k k? 34. För vilka x konvergerar serien k= x 3k+ k k? 35. (a) Bestäm konvergensradien till potensserien (b) Avgör om serien k= k= konvergerar. Bestäm i så fall dess värde. (k!) x 4k+ k (k + )!. ( ) k k(k )9 k 36. Bestäm Taylorpolynomet av ordning 6 kring x = till funktionen + x. 4
37. Bestäm Taylorpolynomet av ordning 6 kring x = till funktionen x ( + x ). 38. Bestäm Taylorpolynomet av ordning 4 till cos(x) kring x =. 39. Bestäm Taylorpolynomet av ordning 9 kring x = till funktionen /( x 3 ). 4. Beräkna gränsvärdet av när x. 4. Beräkna gränsvärdet av när t. arctan(x ) x cos(x 3, ) ln( + t 3 ) e t sin(t) t, 4. Lös differentialekvationen xy + y xy =, y() =, genom ansats med potensserie. Uttryck lösningen med elementära funktioner. 43. Lös differentialekvationen 4xy + y + y =, y() =, genom ansats med potensserie. Uttryck lösningen med elementära funktioner. 44. Avgör om har ett lokalt maximum eller minimum i x =. 45. Avgör om har ett lokalt maximum eller minimum i x =. Förslag till svar x 3 sin(x 3 ) + x cos x e x cos( x) + sin(3x). (a) ln()/4 (b) Konvergent med värdet π. (a) 9 ln 3x + 7 ln x + 8 8 (b) Konvergent med värdet π. 3. arcsin(sin(x)/ ) + C. 4. Konvergent med värdet /4. 5. Konvergent med värdet 4/3. 6. Konvergent med värdet π/4 7. (a) 5 ln(5)/8 + ln() (b) Divergent 8. (a) ln(4/3) (b) (x ) ln(x + ) x / + x + C 9. Konvergent med värdet. π( )/3. 6π/5. 7(e 4 )/4 3. 3.45 5 πg joule 4. π( ( + e) ) 73 ton. 5
5. g R 9 y(c + k(9 y))(9 y) dy 6. 475g/4 joule 7. y = (At + B + t /)e t + e 3t /4, där A och B är godtyckliga konstanter 8. (a) y =, y = ( + ce x ), där c är en godtycklig konstant (b) y = (x + + /x) + ce x x, där c är en godtycklig konstant 9. y = ±(e ( sin(/x)) ) /. y = e x + e x x. y = e t (A cos(t) + B sin(t) cos(3t)/5), där A och B är godtyckliga konstanter. f(x) = ± c x, där c > är en konstant 3. f(x) = (x 8) /3 eller f(x) = (44 x) /3 4. T.ex. y = y samt y =, y = (ce x + ), där c är en godtycklig konstant 5. y(t) = ( u(t ))( t + sin t) 6. y(t) = (e t ) cos t + (e t + ) sin t 7. s + e s s (s + )( e s ) 8. e t u(t π) sin t 9. f(t) = cos( t) och f(s) = s/(s + ) 3. (a) (c) P (x) = e x/ cos( 3x/) 3. < x < 3. (a) 9 (b) Konvergent med summan 3π/6 33. < x 34. 4 /3 x 4 /3 35. (a) 8 /4 (b) Konvergent med summan arctan(/3)/3 + ln( /3) 36. x + x 4 x 6 37. x 4x 3 + 6x 5 38. x + x 4 /3 39. + x 3 + x 6 + x 9 4. /3 4. 6/5 4. y = (e x )x 43. y = cos( x) 44. Varken lokalt minimum eller maximum 45. Lokalt maximum 6