Hambley avsnitt

Föreläsning Hambley avsnitt 6.6.8 Filter [6.2, 6.5 6.8] Nästan all trådlös och trådbunden kommunikation är baserad på tidsharmoniska signaler. Signalerna utnyttjar ett frekvensband centrerad kring en bärfrekvens. Som exempel kan en sändare som sänder P3 radio använda frekvensbandet 99.75 99.85 MHz centrerat runt bärfrekvensen 99.8 MHz. Bandbredden är då 99.85 99.75 MHz= khz. Det räcker för att överföra ljud. Överföringshastigheten (bitar/sekund) är proportionell mot bandbredden. Ett WiFi nät som skall klara Gbit/s ( miljard bitar per sekund) och använder en bärfrekvens av 5 GHz behöver en bandbredd av 6 MHz. Exempel: frekvens våglängd Hushållsel 5 Hz 6 km AM adio MHz 3 m FM adio ca MHz 3 m WiFi 2.4 GHz.25 m WiFi 5 GHz.66 m H f b H f b H f L f H H f f f I många tillämpningar är det viktigt att kunna filtrera bort oönskade signaler. Det finns fyra typer av filter som används för detta ändamål f L f H f Lågpassfilter: Släpper igenom låga frekvenser med f < f b. Högpassfilter: Släpper igenom höga frekvenser, f > f b. Bandpassfilter: Släpper igenom frekvenser i bandet, f L < f < f H. Bandspärrfilter: Spärrar frekvenser i bandet f L < f < f H. Figuren till höger visar ideala filter. Verkliga filter har inte lika skarpa övergångar.

2 Decibel och Bodediagram [6.3, 6.4] Överföringsfunktionen H = H e jarg{h} fasvridningen för olika frekvenser. = V ut för ett filter ger dämpningen och H = dämpningen arg{h} = fasvridningen Det är lämpligt att plotta dämpningen som funktion av frekvensen i ett loglog diagram medan fasvridningen plottas i ett loglin diagram. Dessa diagram kallas Bodediagram och innehåller all information om filtret. I stället för att plotta log( H ) som funktion av log(ω) (logaritmen av ω) har man valt att plotta 2 log( H ) som funktion av log(ω). Man kallar 2 log( H ) för H mätt i decibel och inför decibelskala H db = 2 log H Detta leder till: överföringsfunktion db tolkning H = db oförändrad H = 2 db ggr. förstärkning H =. 2 db ggr. dämpning H = n n 2 db n ggr. förstärkning H = n n 2 db n ggr. dämpning Exempel: Llågpassfilter (överföringsfunktion) Spänningsdelning ger att Lkretsen till höger har överföringsfunktionen H(jω) = V ut = jωl = jωl/ = 2 (ωl) 2e jarctan(ωl/) jωl V ut Filtret ger alltså dämpningen 2 (ωl) = och fasvridningen 2 2 (ωl/) 2 arctan(ωl/). Som synes dyker kombinationen ωl/ upp i både dämpning och fasvridning. Man inför därför beteckningen ω B = /L =brytvinkelfrekvens.

3 Bodediagram för Lfiltret För Lkretsen ovan ges amplitud och fas av ( ) H db = 2 log H = 2 log (ω/ωb ) 2 db arg H = arctan(ω/ω b ) ( ) där ω b = /L är brytvinkelfrekvensen. För ω ω b gäller H db = 2 log (ω/ωb ) 2 2 log() = och arctan(ω/ω b ) arctan() =, d.v.s. { H db = db arg H = arctan = = då ω ω b ( ) och för stora ω (ω ω b ) gäller H db = 2 log (ω/ωb ) 2 2 log(ω/ω b ) samt arg H arctan = π/2, d.v.s. H db = 2 log ω db ω b dåω ω b arg H = arctan = π/2 = 9 Vid brytvinkelfrekvensen (ω = ω b ) gäller { H db = 2 log 2 3 db arg{h} = arctan = π/4 = 45 I rätlinjeapproximationen för amplituden används lågfrekvensasymptoten för ω < ω b och högfrekvensasymptoten för ω > ω b. I rätlinjeapproximationen för fasen används lågfrekvensgränsen för ω < ω b / och högfrekvensgränsen för ω > ω b. Lågfrekvens och högfrekvensgränsen förbinds med en rät linje. I exemplet är L/ =. s/rad vilket ger brytfrekvensen ω b = rad/s. För frekvenser större än brytvinkelfrekvensen avtar amplituden av överföringsfunktionen med 2 decibel per dekad. Det betyder att om H är A db vid vinkelfrekvensen ω så är den A 2 db vid vinkelfrekvensen ω och A 4 db vid vinkelfrekvensen ω, se figur.

4 Bodediagram L Bodediagram Lkrets 5 ätlinjeapproximation Phase (deg); Magnitude (db) Fas (grader) Amplitud (db) 5 2 25 3 35 4 2 4 6 ätlinjeapproximation 2dB/dekad 8 2 3 4 Vinkelfrekvens (rad/s) Frequency (rad/sec)

5 Bandpass och bandstoppfilter Genom att använda både induktanser och kondensatorer i en tvåport kan man konstruera bandpass och bandstoppfilter. De enklaste typerna består av en kondensator, en spole och en resistans. Det finns då två möjliga kopplingar och dessa benämns serieresonanskrets respektive parallellresonanskrets. Serieresonanskrets jωl jωc V ut Serieresonansfrekvensen i figuren blir ett bandpassfilter om utsignalen tas ut över resistansen och ett bandspärrfilter om den tas ut över spolen och kondensatorn. Tas utsignalen ut över enbart spolen får vi ett andra ordningens högpassfilter och tas den ut över kondensatorn får vi ett andra ordningens lågpassfilter (se avsnitt 6.6 i Hambley). Överföringsfunktionen för bandpassfiltret ges av H(jω) = ( j ωl ) ωc H(jω) = ( 2 ωl ωc Uppenbarligen är H = vid vinkelfrekvensen ω =. Vi kallar ω för reso nansvinkelfrekvensen och motsvarande frekvens f = 2π för resonansfrevensen. esonansen uppstår genom att spolen och kondensatorn hamnar i resonans. I ena stunden är det ingen ström genom kretsen och all energi ligger upplagrad som elektrisk energi. En kvarts period senare är kondensatorn urladdad och det flyter maximal ström i kretsen. Den elektriska energin har då övergått i magnetisk energi i spolen. Man kan jämföra med en pendel där i ena stunden rörelseenergin är noll och all energi finns upplagrad som potentiell energi. En kvarts period senare är pendeln i sin lägsta punkt och all potentiell energi har övergått till kinetisk energi. ) 2

6 Bandbredd Bandbredden för filtret är definierat som B = f H f L, där f H är den högre frekvensen och f L den lägre frekvensen där H = 2. Motsvarande vinkelfrekvenser ω H och ω L ges av ( ωl ) 2 = 2 ωc Detta ger en fjärdegradsekvation för ω med två reella lösningar som är större än noll och två som är mindre än noll. Vi kan endast ha positiva frekvenser och därför får vi ) 2 ω H = 2L ( 2L Bandbredden ges därmed av ω L = 2L ( 2L ) 2 B = f H f L = ω H ω L = 2π 2πL Vi ser att stor resistans ger stor bandbredd. I gränsen gäller B. Qvärdet Man definerar Qvärdet för ett bandpassfilter som Q = f B = 2πf L = ω L Ett stort Qvärde innebär alltså ett smalt filter och ett lågt filter ett brett filter. Q kommer av det engelska begreppet quality factor (se Hambley avsnitt 6.6 och 6.7). Extrauppgifter. Visa att dämpningen för bandpassfiltret kan skrivas H = ( ( f Q s f )) 2 f f 2. Visa att dämpningen för bandspärrfiltret kan skrivas Q S (f/f f /f) H = ( ( f Q s f )) 2 f f

7 3. Visa att dämpningen för högpassfiltret kan skrivas H = Q S f/f ( ( f Q s f )) 2 f f 4. Visa att dämpningen för lågpassfiltret kan skrivas H = Q S f /f ( ( f Q s f )) 2 f f

8 Parallellresonanskrets I in jωl jωc V ut jωl jωc V ut I figuren ses ett bandpassfilter i form av en parallellresonanskrets. I Hambley analyseras den övre kretsen, men enligt källtransformationen är den ekvivalent med den undre kretsen. Överföringsfunktionen för den undre kretsen kan efter en del manipulationer skrivas H(jω) = V ut = jq P ( ω ω ω ω ) där ω = 2πf = = resonansvinkelfrekvensen Q P = ω L = ω C = Qvärdet Även här gäller B = f Q =bandbredden.