Matematska nsttutonen Carl-Henrk Fant 24 oktober 2000 Lab 1, MATLA som grafrtande räknare (Utdrag ur Matematk med Matlab kompendum för M1 och TD1 1999/2000 av Carl-Henrk Fant) Allmänt. MATLA är ett nteraktvt program med mycket kraftfulla numerska rutner. Namnet MATLA står för matrx laboratory. Det var ursprunglgen ett program för matrshanterng, men har numera utvecklats så att det lätt kan användas för grafsk representaton, för att lösa olka problem nom matematsk analys och som ett programmerngsspråk för måttlgt stora program. Laborstonerna matematkkurserna är avsedda att ge en ntrodukton tll den verson av MATLA, som just nu är aktuell på M-sektonens datorer. Efter att ha gått genom dem har du förhoppnngsvs en tllräcklg grund att stå på så att du på egen hand kan utveckla dna kunskaper om MATLA. Under hela utbldnngen kommer du att använda Matlab som räkneverktyg, dessutom används programmet av allt fler företag så den td du nu ägnar åt att lära dg grunderna är väl använd. För att övnngarna skall kunna ge bestående kunskap krävs att du arbetar aktvt och medvetet med dem. Det kommer säkert dessutom att fnnas anlednng att gå tllbaka tll det du en gång gjort så jag rekommenderar att du gör antecknngar och sparar lämplga programfler. Det kan också vara bra att du parallellt med att du läser genom nstruktonerna och löser uppgfterna läser motsvarande avsntt boken Användarhandlednng för MATLA 5 av Pärt-Enander och Sjöberg. I görlgaste mån hänvsas tll denna nedan. (P-E,S 2.1 syftar på kaptel 2 sekton 1 nämnda bok.) Matlabs uppbyggnad. Tll skllnad från dn mnräknare som arbetar med enstaka tal så arbetar Matlab med lstor av tal vektorer, matrser, flerdmensonella matrser, samt två andra objekttyper celler och strukturer. I början, trolgen under hela denna kurs, kommer v enbart att behandla de två enklaste typerna av objekt vektorer och matrser. En lsta av tal 1 1.1 1.2 1.3 1.4 kan v tänka på som en vektor eller en radmatrs dvs en -matrs. Det är också så v kan tänka oss att den uppfattas av Matlab men kompletterad med matrstypen (1,5). En matrs som ex.vs lagras som lstan 1 4 7 2 5 8 3 6 0 tllsammans med matrstypen (3,3). Notera ordnngen på elementen lstan. En av svårgheterna då man lär sg Matlab är just att lära sg tänka lstor eller matrser kalkyler där man normalt bara tänker på enstaka tal. Samtdgt är detta en av Matlabs fördelar om man lär sg utnyttja den. Om du tdgare har hållt på med programmerng så har du säkert använt dg av for-slngor programmen. Många sådana kan ersättas av matrsräknng vlket gör programmen betydlgt effektvare. De program som Matlab använder fnns s.k. m-fler. En m-fl är ( allmänhet) en textfl som nnehåller Matlabkommandon. Att de kallas m-fler beror på att namnet på flen skall ha ändelsen.m. En del av dessa fler fnns nbyggda Matlab och är därför dolda för användaren, detta gäller exempelvs sn.m (den vanlga snus-funktonen), andra fnns tllgänglga så att man kan ttta på nnehållet, detta gäller exempelvs de hyperbolska funktonerna, vars beräknngsprocedurer fnns lagrade m-flerna snh.m resp. cosh.m. Längre fram skall v se hur man kan ttta på nnehållet dessa fler. Även de program som man själv skrver skall lagras som m-fler. Det ställs då vssa krav för att Matlab skall htta flerna, v återkommer längre fram tll vlka dessa krav är. Att starta Matlab, nmatnng och hjälp. Start: (P-E,S 2.1) Tryck ner den mellersta knappen på musen. Då får du upp en meny. Håll kvar mttknappen nertryckt och drag markören tll Program. Du får upp en ny meny där du på samma sätt väljer Räkna. I den menyn väljer du Matlab. Efter en lten stund poppar en lten bld upp en kort stund på skärmen därefter dyker ett termnalfönster upp med lte text om Matlab och en rad to get started type... Under den raden fnns den så kallade Matlabprompten». Då den syns är det klart att börja räkna. På grund av dator/systembyte kanske detta nte fungerar. I så fall kan du starta Matlab drekt ett termnalfönster där du skrver matlab.
Matematk med Matlab för M1 och TD1 1999/2000 sd. 2 av?? Inmatnng: (P-E,S 2.2) MATLA arbetar som redan nämnts med lstor/matrser av tal. Ett enstaka tal kan v uppfatta som en! " -matrs. Tal, även komplexa, matas n precs som de skrvs, exempelvs 3+2* eller 5-2*j. Notera * tecknet och att man nte har mellanslag nne talet. Den magnära enheten skrvs eller j. Matrser skrvs n radvs. De nramas av [ och ]. Matrselementen separeras av mellanslag eller, tecken, raderna (utom den ssta) separeras med ; tecken eller genom ett tryck på return/enter tangenten. All nmatnng avslutas med vagnretur RETURN. Vll man att resultat nte skall skrvas ut på skärmen så avslutas kommandot med ; följt av RETURN. Som exempel ger nmatnngarna >>A=[1 2 3; 4 5 6 ;7 8 0] eller >>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0] resultatet A =# # # I allmänhet tlldelar man det man matar n eller resultatet av en beräknng ett varabelnamn, matrsen ovan har namnet A, MATLA kommer då att spara detta vad man kallar arbetsutrymmet (workspace) och man kan använda det senare under samma arbetspass. Om nget annat namn ges så får senaste beräknngsresultatet eller nmatade matrsen automatskt namnet ans. Kommandot who ger nformaton om vlka varabler som fnns arbetsutrymmet. Spara och Rensa: (P-E,S 2.8) Kommandot clear tar bort alla varabler och kommandot clear A x tar bort varablerna A, och x. Då man avslutar MATLA med qut eller ext så töms arbetsutrymmet. Om man vll spara varabler för framtden så måste de sparas en fl. Kommandona save tmp och save tmp A sparar alla varabler respektve varablerna A och en bnärfl tmp.mat. Denna placeras aktuellt bblotek. Kontrollera med kommandot pwd matlab-fönstret vlket detta är. Om det nte är det du vll så byt med hjälp av kommandot cd bbloteksnamn matlab-fönstret nnan du sparar med save. Med kommandot save utan flnamn sparas varablerna en fl matlab.mat. De sparade varablerna flen tmp.mat återfås med kommandot load tmp, varablerna matlab.mat återfås med load. Hjälp: (P-E,S 2.7) Man kan få nformaton exempelvs om vad ett kommando utför dels va särsklda hjälpfönster, dels drekt Matlabfönstret. Kommandot helpwn startar ett hjälpfönster där man snabbt kan få nformaton om alla kommandon. Då fönstret öppnas vsas en lsta över alla underbblotek där Matlabs programfler fnns lagrade. Genom att dubbelklcka på en sådan rubrk ex.vs matlab/elmat går man vdare hjälpsystemet och får en lsta över kommandon/program det bbloteket. Dubbelklckar man på ett kommando denna lsta, ex.vs sze så får man nformaton om detta. Kommandot help kommando ex.vs help sze ger samma nformaton som den ovan beskrvna proceduren men nu drekt Matlabfönstret. Kommandot helpdesk startar en webläsare om man nte redan har en gång och laddar n en onlne-manual. I denna kan man välja vad man vll ttta på. Om man väljer matlab functons by ndex, klckar på bokstaven S och sedan på sze så får man en mycket mer omfattande nformaton om kommandot/funktonen sze. Helpdesken nnehåller allt man behöver kunna för att använda Matlab. ra att veta: Man lämnar programmet med qut eller ext. Man kan avbryta beräknngar med kommandot Control-c. Kommandot demo ger dg en kort presentaton av MATLA, en bra början. Det ger dg möjlghet att ttta på ett antal demonstratonsprogram av olka typ, dessa är värdefulla då du har lärt dg grunderna. Man kan återfå tdgare gvna kommandorader genom att trycka på pltangenten upp $. Om du skrver en eller flera bokstaäver eller symboler och använder $ -tangenten så återfår du den rad som börjar på detta sätt. Senare kommandon får man tllbaka genom att trycka på %. Man kan korrgera ett gvet kommando genom att flytta markören med pltangenterna & och ' och sedan ta bort tecknen med ack-space eller Delete-knappen.
A C Matematk med Matlab för M1 och TD1 1999/2000 sd. 3 av?? 1 MATLA som grafrtande räknedosa. OSERVERA : I vssa av följande uppgfter förekommer varablerna(*),+.-/-.-+0(1)32. De avser sffrorna dtt personnummer(*)4(65(67(98(;:3(;<1= (;>3(;?3(6@(1)32 ( välj ett av era personnummer om n är två som gör övnngen tllsammans). I denna övnng är samtlga uppgfter oblgatorska. 1.1 Förberedelser 1.1.1 Skapa ett matlab-bblotek. Som nämnts ovan fnns alla Matlab-kommandon som m-fler. Du kommer själv att skrva en del m-fler under kursens gång och senare. De vktgaste av dessa skall du samla ett bblotek matlab. örja därför med att starta flhanteraren (mapplådan på front panelen). Klcka på fle och new folder. Skapa ett bblotek matlab. Det kan vara praktskt att sedan skapa ett underbblotek tll varje laboratn t.ex lab1, etc. Starta Matlab och byt tll arbetsbblotek matlab/lab1. 1.1.2 Dokumenterng Ett enkelt sätt att dokumentera vad man gör är att låta Matlab skrva en dagbok. För att testa detta kan du göra följande: Ge kommandot dary on. Skrv dtt namn mellan -ar. I mtt fall Carl-Henrk Fant. Ge kommandot dary off. Om du nu går n flhanteraren och tttar katalogen ovnng1 så httar du en fl dary. Öppna den den enkla text edtorn som du startar genom att klcka på frontpanelens papper-och-penn symbol. Du ser att allt som skrvs på skärmen efter dary on också skrvs tll flen. Varje gång du ger kommandot dary on så fylls textflen på, nget raderas eller skrvs över. Det är därför vktgt att stänga dagboken då man nte vll att kalkylerna skall dokumenteras. De flesta uppgfter du löser skall dokumenteras dagboken. Stäng nu textedtorn gen så kan du sätta gång med Matlab. 1.2 Grundläggande operatoner 1.2.1 Artmetska operatoner De vanlga artmetska operatonerna mellan tal ser ut så här : addton = subtrakton * multplkaton dvson C exponenterng (OS! För att få denna symbol skrver man följt av mellanslag!) Talet D skrvs p medan talet E skrvs exp(1) Några exempel: Skrver du >> 100*p (utan ; före avslutande RETURN) blr svaret ans = 314.1593 (ans står för det senaste svaret). Som påpekats ovan skall man alltd ge namn tll beräknngarna. I ovanstående exempel skrver man då >> a=100*p och får svaret a = 314.1593 MATLA tllämpar den vanlga prorterngsordnngen mellan de artmetska operatonerna : >> 8^1/3 ger svaret 2.6667, medan >> 8^(1/3) ger svaret 2.
X [ D X [ D Matematk med Matlab för M1 och TD1 1999/2000 sd. 4 av?? Man får allmän hjälp om dessa begrepp helpwn genom att gå tll bbloteket matlab/ops och helpdesk genom att välja functons by subject och sedan Operators and Specal Characters. (Läs mer P-E,S 2.4) 1.2.2 Elementära funktoner MATLA har alla de vanlga elementära grundfunktonerna, alltså exponental- och logartmfunktonerna, de trgonometrska funktonerna och deras nverser, absolutbelopp, kvadratrot, och flera andra. Här följer en lsta på några av MATLAs funktoner: exp, log F4GIH6J, log10 (= 10-logartmen), sn, cos, tan, atan FKGMLONPRQPLOJ, asn, abs, sqrt snh, cosh, tanh Observera att man alltd måste ha () runt varabeln som sn(p/3). Det fnns ytterlgare funktoner t.ex. sgn, round, floor, cel Man får en fullständg lsta helpwn under matlab/elfun. Exempel: V beräknar HSF4T EUJ : >>y= log(sqrt(exp(1))) y = 0.5000 \[ V löser ekvatonen ESQVLW XYG +Z= D : >> x = atan(5/exp(1)) x =1.0728 Notera att man nte kan skrva e^x för exponentalfunktonen. (Läs mer P-E,S 2.4) 1.2.3 Formaterng av utskrft Man kan drgera antal decmaler som skrvs ut och formen på utskrften med hjälp av kommandot format. De vanlgaste varanterna är D format short ger fem sgnfkanta sffror format long ger femton sgnfkanta sffror format short e ger fem sgnfkanta sffror flyttalsnoterng format long e ger femton sgnfkanta sffror flyttalsnoterng En fullständg lsta av de olka utskrftsformaten fnner man under format matlab/general. Prova med att skrva ut de olka utskrftsformaten, t.ex. >> format long >> 10*p ans = 31.41592653589793 (Läs mer P-E,S 2.6) Uppgft 1: Låt ] vara (6>(6?3(;@3(*)^2 WW. örja med att starta dagboken och mata sedan n ] : >>c=dtt värde; eräkna därefter med hjälp av MATLA a. roten tll ekvatonen _ G rot1a. `. (Se ovan hur ekv ESQVLWaXbG b. den postva roten tll ekvatonen dfegf A X 5 JhG Stäng dagboken! +Z= D c[ ]. Ge roten namnet rot1b. kunde lösas.) Ge roten namnet
l p J Matematk med Matlab för M1 och TD1 1999/2000 sd. 5 av?? MATLA räknar naturlgtvs enbart med närmevärden. Här några uppgfter för att llustrera det. Uppgft 2: a. eräkna talet jkg formel). Wl/m egffenjw= l/m egf EnJ ]o FfEnJ dels med hjälp av MATLA, dels exakt (för hand med hjälp av lämplg Starta dagboken och skrv först: 2a: exakta värdet är (värdet), därefter matlabs är och sst j -värdet. Stäng dagboken. b. Sätt XbG A F qp ].JPr1s och tcguf kp ].Js FvXw= Då är det exakta värdet av t lka med 1, men MATLA kommer att för stora heltal e ge andra värden. Fnn det. Vlket värde får t för e -värdet dessförnnan? mnsta heltal för vlket tcg Enklaste sättet att utföra upprepade beräknngar av denna typ är att skrva allt på en rad som körs gång efter gång med hjälp av pl-tangenten. Gör så här: Skrv först n=0 och sedan på en ny rad n = n+1, x=1+(10*c)^(-n), y=(10*c)^n*(x-1) Då du återkallar denna rad med plupp-tangenten första gången har n värdet 1 och får nytt värde 2 varefter x och y beräknas med detta n-värde. Med hjälp av plupp-tangenten kan du upprepa så många gånger du vll, denna metod brukar jag kalla en mekansk snurra. Starta dagboken och skrv först: 2b: mnsta värdet är, därefter dtt n-värde. Stäng dagboken. 1.2.4 Operatoner med radmatrser För att utnyttja MATLA effektvt skall nästan alla varabler man använder vara radmatrser eller större matrser. Detta nnebär en vss komplkaton. Multplkatonen x*y betyder matrsmultplkaton. Om x och y är enstaka tal så är det den vanlga produkten. Är x och y matrser så fnns nte produkten såvda nte typerna stämmer överens. V kan som nämnts ovan föreställa oss en matrs lagrad som en lång lsta av tal tllsammans med uppgft om matrsens typ. Ofta vll v beräkna elementvsa (punkt-vsa) produkter av tal sådana lstor. Den produkten skrvs.* alltså med en punkt framför *-tecknet. Med x = [1,2,3] är x.*x= [1,4,9]. På samma sätt skrvs dvson x./y och potenser x.^y. Man kan även använda de elementära funktonerna på matrser. Allmän hjälp om detta område får du helpwn under matlab/elmat och matlab/ops. Exempel (med utskrft format short): >>x=[1 2 3]; y=[4 5 6]; ger x+y 5 7 9 x.*y 4 10 18 x./y 0.2500 0.4000 0.5000 x.^y 1 32 729 exp(x) 2.7183 7.3891 20.0855 Vktga specalkommandon är ones och zeros. De användes för att generera matrser bestående av enbart ettor respektve nollor. T.ex. ger kommandot ones(1,3) eller ones(sze(x)) svaret 1 1 1 om x är en radmatrs av längden 3. Andra exempel: >>x=[1 2 3 4]; z=ones(sze(x))./x ger svaret >>z = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 >>x+ones(sze(x)) ger svaret 2 3 4 5 >>2*ones(sze(x)) ger svaret 2 2 2 2 Det näst ssta svaret hade man också kunnat få genom att skrva x+1. z kan man erhålla med z = 1./x. (Läs mer P-E,S 3.5-6)
l G Matematk med Matlab för M1 och TD1 1999/2000 sd. 6 av?? Uppgft 3: Skrv n radmatrserna XxGzy(1){(65 (67} och t Guy(98 (6: (6<}. eräkna x+y, x-y, x.*y, x.^y, x./y, x.\y, x.*sn(y). Vad svarar Matlab på X~ t. (Detta svar kommer du att förtå bättre när v kommt gång med Lnjär algebra lp 2.) 1.2.5 Genererng av artmetska följder. ƒ Om, och är gvna tal kan man blda radmatrsen x=[a,a+h,a+2h,...,b] med hjälp av kommandot x=a:h:b. >>x=-5:2:5 ger x = -5-3 -1 1 3 5 Analogt ger kommandot >>x=-p:0.1:p; radmatrsen x=[-3.1416-3.0416-2.9416... 2.9584 3.0584], vlket är en matrs av längden 63. Kolla genom att mata n x enlgt ovan och sedan skrva >>length(x) Låt också datorn skrva matrsen x på skärmen genom att skrva >>x (utan sem-kolon) Vll man ha steglängden h = 1 räcker det att skrva >>x=a:b t.ex. >>x=0:10 x = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Om b < a så kan man ha h < 0. Ytterlgare nformaton får du under matlab/ops. Läs den nformatonen, kolon-operatorn är en mycket vktg ngredens Matlab. (Läs mer P-E,S 4.3) Uppgft 4: Låt e vara ett gvet postvt heltal. Generera radmatrserna m=[-1,-2,...,-n] och x=[2^(-1),2^(-2),..., 2^(-n)]. Använd sedan kommandot sum(x) för att beräkna den geometrska summan r ) A r 5 A p.p.p A Vlket är det första n-värde för vlket l - W W W? Starta dagboken och skrv först: 4: mnsta värdet är, därefter dtt n-värde. Stäng dagboken. r;s 1.2.6 Kurvrtnng Om x = [x(1),...,x(n)] och y = [y(1),...,y(n)] är två radmatrser av samma längd så kommer rtkommandot plot(x,y) att rta en kurva som sammanbnder de n stycken punkterna (x(1),y(1)),..., (x(n),y(n)). Om x eller y nnehåller flera rader så kommer flera grafer att rtas samma fgur. Om man nte ger ett särsklt kommando kommer MATLA att välja koordnataxlarna så att samtlga punkter syns. (Detta kallas auto-scalng.) Man kan drgera på vlket sätt kurvan rtas genom att ge order om särskld lnjetyp. Man kan också rta ut punkterna utan att sammanbnda dem genom att bestämma vlken punkttyp som skall användas. Här några exempel: >>x=-3:0.5:3;y=sn(x); >>plot(x,y) >>plot(x,y, : ) (Prckad sammanbunden kurva.) >>plot(x,y,. ) (Punkterna utrtade som små prckar.) >>plot(x,y, o ) (Punkterna utrtade som små crklar.) Allmän hjälp för tvådmensonell grafk ges matlab/graph2d. (Läs mer P-E,S 13.1)
l 1.2.7 Funktonskurvor Matematk med Matlab för M1 och TD1 1999/2000 sd. 7 av?? Av exemplen ovan framgår det redan hur man kan rta funktonskurvor. Säg att v vll rta funktonen ˆFvX1J, på ntervallet Š XŒ ƒ. Man börjar då med att välja en lämplg steglängd och bldar sedan radmatrsen x=a:h:b. Därefter låter man MATLA beräkna funktonsvärden samt ger dessa ett namn.. Man får funktonskurvan upprtad med kommandot plot(x,funktonsnamn). Ett exempel gör detta klarare: >> x=-2*p:0.1:2*p; >> y=sn(3*x)+cos(5*x);plot(x,y) Här rtas funktonen ˆFvX;J GŽ X A X på ntervallet y = D + D1} På samma sätt rtar man funktonen *FvX1JgGIX! X 5 på samma ntervall med hjälp av kommandot >>g=x.*sn(x.*x);plot(x,g) Uppgft 5: Rta ovanstående fgurer. Vd kurvrtnng bör man tänka på att det blr bättre graf om man har fler punkter, men bara upp tll en vss gräns. Radmatrserna bör nte ha fler än ca 400 element. Däröver blr det bara slöser med beräknngstd och mnnesutrymme. I synnerhet om blden skall skrvas ut på papper så är detta mycket vktgt. 1.2.8 Flera kurvor samma fgur Antag att v vll rta funktonerna och ovan samma fgur. V kan då ge kommandot plot(x,f -,x,g, -. ) eller bara plot(x,f,x,g) Det fnns också en annan möjlghet. Antag att v först rtar funktonen med hjälp av kommandot >>plot(x,f) Man kan sedan ge kommandot >>hold on Då kommer de gamla kurvorna att behållas när nya kurvor rtas. Tll exempel >>plot(x,g) När man nte längre vll behålla gamla kurvor ger man kommandot >>hold off Kommandot hold ensamt nnebär att man skftar från hold on-läge tll hold off-läge, (om man tdgare gett kommandot hold on ) eller från hold off-läge tll hold-on-läge. Läs vdare matlab/graph2d. (Läs mer P-E,S 13.3) 1.2.9 Dmensonerng av koordnataxlarna Normalt väljer MATLA ett koordnatsystem så att alla punkter som skall rtas syns på skärmen. Man kan styra valet av koordnataxlar med hjälp av kommandot axs. För att ta reda på hur axs fungerar kan du läsa hjälptexten matlab/graph2d. (Läs mer P-E,S 13.3) Uppgft 6: Ett bekvämt sätt att ge ett plotkommando där det är lätt att ändra är att på en enda rad skrva enlgt följande exempel. >> a=0; b=1; h=(b-a)/400; x = a:h:b; y = sn(1./x); plot(x,y) Med vänster och höger pltangenterna kan du flytta markören tll den plats du vll ändra. ackspace och del raderar, pröva vad de tar bort. l/m a. Ttta på kurvorna egf X1J, X l.m egf X1J l/m och egfvx1j X. Använd zoom för att ttta närmare på kurvorna. b. Rta en fgur vlken de tre kurvorna txg l/m egfvx1j X + txg ].o FfX;J och tyg förekommer samtdgt. Den ssta får du med y = ones(sze(x)), (plot(x,1) ger 401 grafer bestående av en punkt vardera). Zooma n för att ttta på gränsvärdet H _, _/œ 2 v šn _.