Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37

Kvantmekanik II - Föreläsning 2 Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37

Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5 Observabler Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 2/37

Formalism I Vi har tidigare tittat på specifika system (en given potential t.ex.) och ibland bevisat egenskaper för detta system (osäkerhetsrelationen t.ex.). Vi vill nu införa en mer generell abstrakt formalism för att hjälpa oss att formulera kvantmekaniken mer kraftfullt. En av många fördelar är att vi kan formulera många problem på ett mer generellt sätt och vi kan ofta utföra bevis en gång för alla istället för för varje givet problem. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 4/37

Vågfunktionen och operatorer Hittills har vi i kvantmekaniken sett vågfunktionen Ψ(r, t) beskriver systemets tillstånd vid en given tidpunkt operatorer Ô beskriver observabler (eller gör något annat med vårt tillstånd) Istället för att betrakta tillstånden som en vågfunktion Ψ(r, t), låt oss nu beteckna dem med en tillståndsvektor, en ket: α OBS! α är inte en variabel utan en beteckning! Vi väljer den till vad vi vill så att vi kan identifiera vårt tillstånd. Detta sätt att beteckna tillstånden kallas Dirac-notation och vi kommer att utveckla den mer och använda den i denna kurs. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 5/37

Exempel på kets Exempel Exempel på kets kan vara α, mitt tillstånd, f, ψ,, 1, 1, 2, +,, etc Ofta väljer vi egenvärdet eller något liknande som beteckning. Det viktiga är att vi väljer något som är tydligt (och helst inte för långt). Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 6/37

Frågedags Fråga 1 Betrakta ett kvantmekaniskt system som beskrivs av en vågfunktion Ψ(r, t) och där vi har en operator Ô som beskriver en observabel. Vilket av följande påståenden är korrekt? 1 Operatorn Ô beskriver också systemet. 2 Vi kan välja att beteckna vårt tillstånd α, vilket också beskriver systemet. 3 Vi måste välja om vi ska beteckna vårt tillstånd Ψ(r, t) eller α (dvs vi kan inte använda båda beteckningarna samtidigt). Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 7/37

Representation av tillståndsvektorer I Ibland kan det räcka att ha tillstånden beskrivna så abstrakta, men ofta vill vi kunna representera dem på något annat sätt. Tidigare har vi nästan alltid valt att representera tillstånden som funktioner, men ofta är det naturligare och enklare att representera tillstånden som vektorer. Betrakta ett system med N ortonormerade tillstånd. Vi kan då skriva egentillstånden (egenvektorerna) som e n ; n = 1,..., N där { e n } utgör en ortonormerad bas av egenvektorer. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 9/37

Representation av tillståndsvektorer II Låt oss nu skriva ett tillstånd α som en linjärkombination av dessa: N α = a n e n n=1 där a n = komplext tal, utvecklingskoefficient α är normerad om N a n 2 = 1 n=1 Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 10/37

Representation av tillståndsvektorer III En naturlig representation av α är då α a = a 1 a 2 a 3. a N dvs vi representerar α som en kolumnvektor. Vi använder ofta beteckningen α synonymt med a då det oftast är uppenbart vad vi menar. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 11/37

Tillstånd representerade som funktioner I Även för tillstånd som vi vill representera som funktioner (dvs som för tillstånden vi har stött på i tidigare kurser) är Dirac-notationen bra. Betrakta två tillstånd som representeras av funktioner: f f (x) g g(x) Inre produkten skrivs då f g = b a f (x)g(x)dx (där f och g är definierade i intervallet [a, b]). Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 12/37

Tillstånd representerade som funktioner II Exempel: Oändliga potentialbrunnen Betrakta den oändliga potentialbrunnen, { 0, 0 x a V (x) =, annars Sedan tidigare vet vi att lösningarna är ψ n (x) = 2 nπx sin a a ; n = 1, 2, 3,... Även om vi har oändligt många egentillstånd N = och vektorrepresentationen därför är direkt olämplig kan vi fortfarande med fördel använda Dirac-notationen, n = ψ n ψ n (x) Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 13/37

Hilbertrummet För godtyckliga funktioner f och g kan det hända att inre produkten inte är väldefinierad. Om vi kräver att f och g är kvadratiskt integrerbara, dvs b a f (x) 2 dx < ; b a g(x) 2 dx < så spänner de upp ett rum som är mindre än rummet av alla funktioner. Detta rum kallas Hilbertrummet. För att våra vågfunktioner ska ha väldefinierade inre produkter kräver vi därför att Våra vågfunktioner lever i Hilbertrummet Då kan vågfunktionerna normeras så att ψ 2 dx = 1 och vi kan identifiera ψ 2 som en sannolikhetstäthet. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 14/37

Något om baser När f och g lever i Hilbertummet så är inre produkten f g alltid väldefinierad, f f = f (x) 2 dx = f 2 där f är normen av f. En bas { e n } är ortonormerad om e n e m = δ nm där δ nm är Kronecker-deltat (=1 om n = m, annars 0). Om vi uttrycker f i basen { e n } är den given av f = n c n e n Hur hittar vi c n? Jo, vi tar reda på hur mycket av e n som finns i f, dvs c n ges av c n = e n f Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 15/37

Frågestund Fråga 2 Betrakta två funktioner f och g som lever i Hilbertrummet. Om inre produkten mellan f och g är f g, hur skriver vi då inre produkten mellan g och f? 1 g f = f g 2 g f = f g 3 g f = f g Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 16/37

Representation av operatorer I Vi har sett att vi kan representera ett tillstånd α som en kolumnvektor a 1 a 2 α a = a 3. a N Men hur representerar vi då operatorerna? Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 18/37

Representation av operatorer II Betrakta två tillstånd α = n β = n a n e n ; a n = e n α b n e n ; b n = e n β Betrakta nu en operator ˆQ och antag att n β = ˆQ α b n e n = a n ˆQ e n n Tag nu inre produkten med e m, b n e m e n = a n e m ˆQ e n }{{} n n δ mn b m = a n e m ˆQ e n Q mn a n }{{} n n = Q mn Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 19/37

Representation av operatorer III Matriselementet Q mn e m ˆQ e n kallas matriselementet för ˆQ med avseende på e m och e n. Notera att ˆQ är en linjär transformation, b m = n Q mn a n dvs vi kan identifiera ˆQ med en matris Q. Vi har alltså transformationen b = Qa där Q = Q 11 Q 12... Q 21... Notera att vi talar om matriselementet av en operator även när vi har valt att representera våra tillstånd som funktioner. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 20/37

Linjär algebra När vi arbetar med operatorer och tillstånd som matriser och vektorer behöver vi linjär algebra. Egenvektorerna till en operator på matrisform är våra egentillstånd till operatorn. Samma relationer som gäller för matriser och vektorer gäller även våra kvantmekaniska operatorer och tillstånd Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 21/37

Frågestund Fråga 3 Om ˆQ är en godtycklig operator, vad gäller då helt generellt för den på matrisform, dvs vilket påstående är korrekt? 1 Q måste vara diagonal 2 Q måste vara reell 3 Q är en helt generell komplex matris Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 22/37

Mer om Dirac-notationen Vi skriver inre produkterna som α β Dirac föreslog att vi kan betrakta α som ett eget objekt, en bra, dvs Dirac-notation β ket α bra α β bra(c)ket Bra:n är som funktioner som bara väntar på något, t.ex. en ket eller operator, att verka på Jämför med operatorer När en operator verkar på en ket får vi en ny ket När en bra verkar på en ket får vi en skalär (ett komplext tal) Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 24/37

Kommentarer a) Om α representeras av funktionen f (x) kan bran representeras av α = f (x)[ ]dx där [ ] bara väntar på att fyllas med vad som kommer efter bran. b) Om α representeras av en kolumnvektor α = a 1 a 2. a N så representeras bran av en radvektor α = ( a 1 a 2 a N ) = (a ) T = a Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 25/37

Duala rummet och operatorer Våra bran lever i det duala rummet och beskriver våra tillstånd precis lika bra som våra kets. Att betrakta bran som egna objekt har många fördelar Vi kan t.ex. definiera en projektionsoperator ˆP α α ˆP plockar ut komponenten längs α av en godtycklig vektor och ger tillbaka en vektor av den storleken i riktningen α : ˆP β = α α β = ( α β ) α där α β är utvecklingskoefficienten som talar om hur mycket av α som finns i β. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 26/37

Enhetsoperatorn För ett godtyckligt tillstånd α kan vi i en ortonormerad bas { e i } skriva α = a i e i ; a i = e i α i Vi kan nu skriva om detta som α = e i α e i = ( ) e i e i α = e i e i α }{{} i ett komplext tal i i }{{} ˆ1 där vi har definierat Enhetsoperatorn ˆ1 i e i e i Enhetsoperatorn kan vi sätta in var som helst där det är praktiskt. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 27/37

Operatorer och matriser I För en operator Â kan vi då skriva Â = ˆ1Âˆ1 = e i e i Â i j = e i A ij e j ij e j e j = ij e i e i Â e j e j }{{} Matriselementet A ij Tidigare såg vi hur vi tar fram matriselementet från operatorn, nu vet vi hur vi tar fram operatorn från matriselementet. Notera att om basen { e i } är egenvektorer till Â så är matrisen A diagonal, A ij = e i Â e j = e i a j e j = a j e i e j = a j δ ij }{{} e j egentillstånd till Â δ ij Enhetsmatrisen Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 28/37

Operatorer och matriser II Operatorn Â är då given av a 1 0... A = 0 a 2 0.. 0.. Dubbelsumman för Â blir då också en enkelsumma, Â = ij e i A ij e j = i e i a i e i Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 29/37

Egenskaper hos inre produkter Egenskaper hos inre produkter Betrakta två tillstånd α och β. Låt b vara ett komplext tal och ˆQ en operator. Vi har då att α bβ = b α β bα β = b α β α bβ = b α β Detta följer från definitionen av de inre produkterna. Man kan också visa att α ˆQβ = ˆQ α β Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 30/37

Frågestund Fråga 4 Vad är β α för något? 1 Inre produkten mellan β och α 2 En operator 3 En ket 4 En bra Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 31/37

Observabler I En obervabel är något vi kan mäta. Betrakta en operator för en observabel, ˆQ. Vi kan skriva väntevärdet som ˆQ = ψ ˆQψdx = ψ ˆQψ = ψ ˆQ ψ ˆQ verkar på ψ där vi ofta skriver det på den sista formen och då underförstår att ˆQ verkar åt höger. Men ˆQ är ju nu en observabel, väntevärdet måste då vara reellt, dvs ˆQ = ˆQ för en observabel Men vi kan nu skriva ˆQ = ψ( ˆQψ) dx = ( ˆQψ) ψdx = ˆQψ ψ ˆQ verkar på ψ Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 33/37

Observabler II För en observabel har vi alltså ψ ˆQψ = ˆQψ ψ, för alla ψ En sådan operator kallas hermitsk. Man kan visa att uttrycket ovan kan generaliseras till Teorem För godtyckliga ψ a och ψ b gäller då ˆQ är hermitsk att ψ a ˆQψ b = ˆQψ a ψ b Kom ihåg: Observabel reella väntevärden hermitsk operator, dvs Observabler representeras av hermitska operatorer Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 34/37

Hermitska operatorer Generellt har vi att ψ a ˆQψ b = ˆQ ψ a ψ b men för hermitska operatorer gäller att ψ a ˆQψ b = ˆQψ a ψ b dvs ˆQ = ˆQ för hermitska operatorer Hermitskt konjugat innebär komplexkonjugering och transponering så för operatorer på matrisform är det ganska lätt att kolla om en operator är hermitsk. För operatorer som inte är på matrisform får man istället undersöka vad som händer då de verkar på godtyckliga vågfunktioner f (x) och g(x). Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 35/37

Frågestund Fråga 5 Vilken eller vilka av följande operatorer är hermitska (flera val är möjliga)? Â = 0 2 3 i 1 0 i i 3 + i 3 ; ˆB = 2 i 3 i 1 2 3 2 3 ; Ĉ = 2 2i 3 1 2 3i 3i 3 4 1 Ingen är hermitsk 2 Â är hermitsk 3 ˆB är hermitsk 4 Ĉ är hermitsk Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 36/37

Frågestund Fråga 6 Måste alla operatorer vara hermitska? 1 Nej, bara sådana som svarar mot observabler, dvs något vi kan mäta 2 Nej, men alla som dyker upp i kvantmekaniken är hermitska 3 Ja, alla operatorer är hermitska Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 37/37