Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: -5-8 Lokaler: TER3 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.45 och.45 tel 8336, 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sax och nedanstående tabeller, som får innehålla understrykningar och flikar: Beta, Physics Handbook Uppgifter: Tentamen omfattar 7 st uppgifter Betygsskala: 5-35 poäng betyg 3 36-46 poäng betyg 4 47-6 poäng betyg 5 Betygslista: Anslås senast /6
Kontinuerlig faltning (9p) Faltningen [h g](t) definieras enligt [h g](t) = h(t λ) g(λ) dλ. Funktionerna h(t) och g(t) illustreras i figuren nedan. h(t) g(t) t 3 3 t Nedan visas en approximativ skiss av [h g](t). t [h*g](t) t t3 t4 height t a) Beräkna [h g](t). Redovisa beräkningarna! (5p) b) Använd resultatet på [h g](t) från a) och bestäm t,t,t3,t4 samt höjden height i figuren ovan. (p) c) Som synes i figuren ovan har [h g](t) en lång platt platå. Beskriv hur den uppkommer genom att hänvisa till utseendet på funktionerna h(t) och g(t) samt faltningsförfarandet. (p) Fourierserie (8p) en periodiska signalen x(t) är en cosinusvåg där alla negativa värden har blivit nollställda, se figur. x(t) To t
Se figurer nedan. Signalen x(t) passerar ett bandpass-filter h(t) med fouriertransform H(ω). Utsignalen betecknas y(t). x(t) h(t) y(t) H( ω) Formlerna för fourierserieutveckling är x(t) =A + A n cos(nω t)+ n= A = T / x(t) dt, T T / ωο ωο 3ωο B n sin(nω t), n= A n = T / x(t)cos(nω t) dt, T T / B n = T / x(t)sin(nω t) dt, T ω =π/t. T / a) Bestäm A och B n. (3p) 4ωο ω b) Ge ett integraluttryck för bestämning av A n för vår signal x(t). Använd skissen på x(t) i början på uppgiften. (p) Eftersom A n är lite jobbig att räkna ut får ni lösningen av integralen här, A n = ( π ) π( + n) sin ( + n) + ( π ) π( n) sin ( n). c) Ge fourierserieutvecklingen av x(t) upp till 4:e deltonen, dvs x(t) =... (p) Ledning: sin(x)/x då x. d) Bestäm y(t). (p) 3 Binär bildbehandling (8p) Se figuren nedan. Objektet till vänster är avståndskarterat i euklidisk metrik. För detta objekt är även en så kallad kedjekod indikerad. enna går i gränsen mellan objekt och bakgrund och förbinder mittpunkterna av pixlarnas sidor. Kedjekoden kan användas för att approximativt beräkna omkretsen av det bakomliggande gråskale-objektet (före trökelsättning till binärbild). 3
= = 5 3 a) Rita av objektet till höger och avståndskartera det i d (8) -metrik. (p) b) Fördelen med d (8) -metrik jämfört med euklidisk metrik är att det går snabbare och enklare att beräkna avståndskartan. Vad är fördelen med euklidisk metrik jämfört med d (8) -metrik och vad är fördelen med d (okt) -metrik jämfört med d (8) -metrik? (p) c) Maxtjockleken T av ett objekt kan beräknas enligt T = max(avstandskarta). Beräkna T för objektet till vänster. Förklara också innebörden av konstanterna och i formeln. (p) d) en så kallade formfaktorn P A defineras P A = P 4πA, där P är omkretsen och A är arean av ett objekt. Man kan visa att P A för en cirkel är. För alla andra objekt är P A >. Beräkna P A för objektet. Använd den utmärkta kedjekoden för objektet till vänster! (p) 4
4 Tidsdiskret system (p) Nedanstående krets beskriver ett digitalt filter h(n). x(n) Σ y(n) h(n).8.6 Hjälp: I uppgift b) ska du bestämma H(z). Om du inte klarar det kan du jobba vidare med H (z) i c), d) och e), där z 4 H (z) = z (z.8z +.6). a) Bestäm differensekvationen (ett uttryck bestående av x( )och y( )) utgående från kretsen. (p) b) Bestäm ekvationen för överföringsfunktionen H(z). (p) c) Rita upp pol-nollställediagrammet utgående från H(z) (eller H (z)). (p) d) Skriv upp ett uttryck för frekvensgången H Ω (Ω) = H(e jω ) i normerad vinkelfrekvens Ω. (p) e) Skissa H Ω (Ω) för intervallet π Ω π. Fem punkter måste beräknas exakt, nämligen Ω = π, π/4,,π/4,π. Tala också om vilken typ av filter detta är, dvs LP, HP, BP eller BS. (3p) 5 Ned- och uppsampling (8p) Sampelpunkterna i en bild har sampelavståndet Δ. u vill sampla ner bilden så att sampelavståndet blir Δ. en ideala faltningskärnan för nedsampling är (/)sinc(x/(δ)). Nackdelen med den ideala faltningskärnan är att den är oändligt lång. Konstruera en approximativ faltningskärna enligt följande metod: Tag den ideala faltningskärnan. δ(x kδ). Trunkera den vid x =4Δ. etta ger den samplade faltningskärnan f(x). Plocka bort dirac-pulserna och erhåll dess diskreta variant f[n] =a,,b,c,b,,a. Sampla den med k= 5
a) Vad blir f[n], dvs ange värdena a, b, c. (3p) Ledning: sin(x)/x då x. b) Beskriv hur man gör för att sampla ner bilden både i x-led och y-led med hjälp av denna faltningskärna. Tala speciellt om när man får slänga vissa pixlar. (p) c) Hur många multiplikationer, additioner och subtraktioner åtgår per originalpixel för att sampla ner bilden både i x-led och y-led med denna faltningskärna. (p) d) Vilken är den ideala faltningskärnan för uppsampling? (p) 6 Faltningskärnor (7p) Nedan syns sobel y -filtret. Centrum är markerat med []. sobel y y = - - - [] = - [] [] a) Beräkna den kontinuerliga fouriertransformen genom att sätta dirac-pulser på filterkoefficienterna och anta samplingsavstånd T. Kom ihåg att beräkningarna blir enklare om de görs på det separerade filtret. (3p) b) Konstruera ett approximativt andraderivata-filter i y-led genom att utföra y = y y sobel y sobel y. (p) c) Konstruera ett Laplace-filter för en 3 3-omgivning. Laplace-operatorn definieras ( ) Δ= x +. y Utgå från -, där centrum är markerat med en dubbel-linje. x (Hur kan approximeras?) (p) y 6
7 Filter och Sampling (p) (enna uppgift testar det grundläggande kursinnehållet. Man ska inte behöva ha gjort EKG-projektet för att klara den.) En ekg-signal x(t) mäts upp, samplas, filtreras digitalt och rekonstrueras till utsignalen y(t) enligt figuren nedan. Som synes kan man välja att koppla in ett eller två filter. h(t) h(t) x(t) sampling rekonstruktion y(t) h3(t) I figur aa) visas insignalen x(t) för två olika tidsintervall, dels 3-8s och dels 34-36s. Problemet med x(t) är dels att den har en långsam drift (syns bäst i plotten till vänster) och dels att den har små krusningar (syns bäst i plotten till höger) som orsakas av ett nätbrum på 6Hz (signalen kommer troligen från USA). I figur a) visas den önskade utsignalen y(t). Både driften och krusningarna är borta. I figur b) visas en utsignal y(t) där endast driften är borta. I figur c) visas en utsignal y(t) där driften är borta, men formen på ekg-signalen har blivit förstörd. I figur d) visas energispektrum X(f) av x(t). Till vänster visas bara positiva värden på f medan till höger visas både positiva och negativa värden på f. I figur I)-IV) visas fyra olika filter. a-c) Vilka filter I)-IV) ska kopplas in för att erhålla utsignalerna i a)-c)? Tala om om du kopplar in ett eller två filter. Ge också en kortfattad motivering till dina val! (6p) d) Betrakta energispektrum X(f) i figur d). Hur ska samplingsfrekvensen väljas för att undvika vikningsdistorsion? Tala både om vilka samplingsfrekvenser som ger vikningsdistorsion och vilka som inte gör det. (p) e) Vid vilken samplingsfrekvens ger nätbrummet på 6Hz en störning på 4Hz pga vikningsdistorsion? (p) Ledning: et bästa sättet att lösa denna uppgift är att utgå från figur d), höger, och göra en geometrisk betraktelse. 7
5 5 5 95 9 aa) Insignal x(t) 85 3 4 5 6 7 8 5 5 5 95 9 aa) Insignal x(t) 85 34 34.5 35 35.5 36 3 a) Utsignal y(t) 3 a) Utsignal y(t) 3 4 5 6 7 8 34 34.5 35 35.5 36 3 b) Utsignal y(t) 3 b) Utsignal y(t) 3 4 5 6 7 8 34 34.5 35 35.5 36 3 c) Utsignal y(t) 3 c) Utsignal y(t) 3 4 5 6 7 8 8 34 34.5 35 35.5 36
d) Energispektrum X(f) d) Energispektrum X(f) 5 5 5 5 4 6.8.6.4. I) H(f).8.6.4. 5 5 II) H(f) 4 6 III) H(f) 4 6 IV) H(f).8.6.4..8.6.4. 4 6 4 6 9