13. Plana vågors reflektion och brytning Extra material som ges som referens, men krävs inte i mellanförhören eller räkneövningarna: Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.1
13.1. Vågledare... Hastigheter Behandlas ej, men ges som referens på kursens webbsidor. Materialet krävs inte i mellanförhören. Vågornas fashastighet i bz-riktningen ges av så att κ z = κ sin θ = ω v z (13.1) v z = ω κ sin θ = ω (ω/c) sin θ = c sin θ (13.2) vars storlek är c. Som vi vet från tidigare är denna allmänna fashastighet inte relaterad till hastigheten med vilken information färdas, så resultatet att ljushastigheten överskrids har inte så stor betydelse i det här fallet. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.2
Signalhastigheten är hastigheten med vilken energin transporteras. Vi såg tidigare att där v f är fashastigheten i vågens riktning. S = u EM v f (13.3) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.3
P.g.a. reflektionen ändrar riktningen hela tiden, så det lönar sig inte att räkna ut den momentana Poyntingvektorn utan tidsmedelvärdet av denna. Det lönar sig också att integrera Poyntingvektorn och energitätheten över avståndet mellan planen, för att få ett rums-medelvärde av energin mellan planen. För hastigheten v E i bz-riktningen har vi nu att Vi känner redan elfältet. Magnetfältet fås via S z = u EM v E (13.4) med den sedvanliga Ansatzen B = B 0 e iωt. Detta ger E = t B = iωb (13.5) B(z, t) = bye 0 2π ω sin +bzie 0 2π ωλ c cos «2πy λ c «2πy λ c e i2πz/ iωt e i2πz/ iωt (13.6) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.4
Energitätheten är u EM = 1 2 (E P D P + B P H P ) = 1 2 (εe2 P + 1 µ B2 P ) (13.7) Tidsmedelvärdet med hjälp av teoremet i föregående kapitel är u EM = 1 4 (E D + B H) r = 1 4 (ε e E 2 + 1 µ e B 2 ) r = 1 «4 ε 0 E e 2πy 0 2 sin 2 + 1 «1 e 2π 2 «2πy E 0 2 sin 2 λ c 4 µ 0 ω λ c + 1 «1 e 2π 2 «2πy E 0 2 cos 2 4 µ 0 ωλ c λ c (13.8) Integralen över y: Z b 0 dy u EM = 1 4 e E 0 2 b 2 ε 0 + 1 4π 2 1 + 1!! µ 0 ω 2 λ 2 g λ 2 c = 1 4 e E 0 2 ε 0 b (13.9) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.5
Poyntingvektorn är S z = (E P H P ) z = E P x H P y H P x E P y = E P x H P y (13.10) Tidsmedelvärdet är S z = 1 2 ( e E x e H y ) r = 1 2 e E 0 2 1 µ 0 2π ω sin 2 «2πy λ c (13.11) Integralen över y: Z b 0 dy S z = 1 4 e E 0 2 2π µ 0 ω b (13.12) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.6
Hastighet med vilken energin fortskrider är v E = = R b 0 dy S z R b 0 dy u EM 2π ε 0 µ 0 ω = 2πc2 ω = c λ 0 λ 0 = c = c sin θ (13.13) λ 0 / sin θ s «2 mλ0 = c 1 (13.14) 2b som är maximalt lika stor ljushastigheten. 13.1.1. Rektangulära vågledare Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.7
Med e E (r, t) = e E(r)e iωt och f H (r, t) = e H(r)e iωt har vi vågekvationerna 2 E e ω 2 + E e c 2 = 0 (13.15) 2 H e ω 2 + H e c 2 = 0 (13.16) Förutom dessa skall fälten uppfylla alla Maxwells ekvationer. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.8
Vi fokuserar nu på TE-moderna. För dessa gäller att e E z 0. Från behandlingen av vågor mellan parallella ledande plan vet vi att vågorna skall ha en fasfaktor exp[ i(ωt 2πz/ )]. Vi förenklar nu notationen genom att plocka bort tilde-symbolen från de komplexa el- och magnetfälts-amplituderna. Rotorekvationen för elfältet, ger att E iµ 0 ωh = 0 (13.17) (1) x : y E z z E y = i 2π E y = iµ 0 ωh x (13.18) (2) y : z E x x E z = i 2π E x = iµ 0 ωh y (13.19) (3) z : x E y y E x = iµ 0 ωh z (13.20) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.9
Magnetfältet propagerar i z-riktningen, så H exp[i2πz/ ]. Rotorekvationen för magnetfältet, ger att e H + iε 0 ω e E = 0 (13.21) (4) x : y H z z H y = y H z i 2π H y = iε 0 ωe x (13.22) (5) y : z H x x H z = i 2π H x x H z = iε 0 ωe y (13.23) (6) z : x H y y H x = 0 (13.24) Om nu H z är känd fås H y från (2) och (4). H x fås sedan från (1) och (5). Elfälten fås i sin tur från (2) och (1). Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.10
H z fås från vågekvationen, med observationen att H z skall bero på z endast via fasen: 2 e Hz ε 0 µ 0 2 t H z = ( 2 x + 2 y )H z + " «2π 2 # + ε 0 µ 0 ω 2 H z (13.25) = 0 (13.26) Gör nu Ansatzen H z (x, y, z) = F (x)g(y)e i2πz/ (13.27) Insättning i vågekvationen ger = 0 F (x)g(y)e i2πz/λg + F (x)g (y)e i2πz/λg + " ω 2 c 2 «2π 2 # F (x)g(y)e i2πz/ (13.28) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.11
Med beteckningen W ω 2 /c 2 (2π/ ) 2, och efter division med F (x)g(y)e i2πz/λg får vi F F + G G + W = 0 (13.29) Detta ger systemet F F G = W (13.30) G = W W (13.31) Lösningen till F är summan A sin( W x) + B cos( W x). Lösningen till G är summan C sin( W W y) + D cos( W W y). Med identifikationen κ x = W (13.32) κ y = p W W (13.33) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.12
fås och den allmänna lösningen κ 2 x + κ2 y W = κ2 x + κ2 y ω2 c 2 «2π 2! = 0 (13.34) H z (x, y, z) = (A cos κ x x cos κ y y +B cos κ x x sin κ y y +C sin κ x x cos κ y y +D sin κ x x sin κ y y) e i2πz/ (13.35) (i) Enligt det tidigare receptet får vi nu y H z = 2π µ 0 ω " # i ω2 c 2 2π i2π E x = i µ 0 ω " ω 2 c 2 «2π 2 # E x (13.36) som ger Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.13
E x = iµ 0 ω " ω 2 c 2 «2π 2 # 1 y H z (13.37) eller att E x κ y (A cos κ x x sin κ y y B cos κ x x cos κ y y +C sin κ x x sin κ y y D sin κ x x cos κ y y) e i2πz/ (13.38) Det tangentiella elfältet skall vara noll på ytorna, så att vi måste kräva E x = 0 då y = 0 och y = b. Detta ger sin(κ y b) = 0 och B = D = 0, så att κ y b = mπ, där m är ett heltal. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.14
(ii) Enligt det tidigare receptet får vi också att x H z = iε 0 ω i 2π «2π E y = µ 0 ω i µ 0 ω ω 2 c 2 «2π 2! E y (13.39) eller att E y κ x (A sin κ x x cos κ y y +B sin κ x x sin κ y y C cos κ x x cos κ y y D cos κ x x sin κ y y) e i2πz/ (13.40) Det tangentiella elfältet skall vara noll på ytorna, så att vi måste kräva E y = 0 då x = 0 och x = a. Detta ger sin(κ x a) = 0 och C = D = 0, så att κ x a = lπ, där l är ett heltal. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.15
Magnetfältet i z-riktningen är alltså ««lπx mπy H z (x, y, z) = A cos cos a b e i2πz/ (13.41) De motsvarande elfälten kallas TE lm -moder. Konventionen är att indexet l motsvarar den bredare dimensionen (x, om a > b), och m den smalare dimensionen (x, om a < b). Obs: κ 2 x + κ2 y ω2 c 2 «2π 2! = 0 (13.42) κ x = lπ a (13.43) κ y = mπ b (13.44) ω = 2π c λ 0 (13.45) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.16
ger oss nu «2π 2 = «2π 2 «lπ 2 «mπ 2 (13.46) λ 0 a b Energins eller signalens hastighet är v g = cλ 0 (13.47) för en monokromatisk våg. En fortskridande våg förekommer nu om «2π 2 > «lπ 2 + «mπ 2 «2π 2 (13.48) λ 0 a b λ c Detta ger 1 λ 2 0 > l 2a «2 + «m 2 (13.49) 2b För fixerade kantlängder a, b och en viss mod (l, m) kan bara vågor med våglängden λ 0 uppfyllande ekvationen ovan fortskrida. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.17
Alternativt, med hjälp av frekvensen ν 0 = c/λ 0, fås s ν 0 > c «l 2 + 2 a m b «2 = ν min = c λ max (13.50) Vanligtvis väljs vågledarens dimensioner så att endast TE 10 -moden av den sökta frekvensen eller våglängden fortskrider. l m ν min (Hz) λ max (m) 0 0 0 1 0 c/(2a) 2a 0 1 c/(2b) 2b 2 0 c/a a 0 2 c/b b Exempel : Mikrovågor har frekvensen ν = 10 10 Hz. TE 10 -moden motsvarar ν min = c/(2a), så om mikrovågor och vågor med högre frekvens skall fortskrida, men inte vågor med lägre frekvens (radio), måste vi ha a > c/(2ν) = 1, 5 cm. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.18
Vågledare har en standardstorlek given av a = 0, 9 tum = 2, 28 cm och b = 0, 4 tum = 1, 01 cm. En tum motsvarar 2,54 cm. Minimumfrekvensen för TE 10 -moden är nu ν min = c/(2a) = 6, 56 10 9 Hz så att maximumvåglängden är λ max = c/ν min = 2a = 4, 57 cm. Detta betyder att mikrovågor och högfrekventare strålning kan fortskrida. P.g.a. starka förluster för frekvenser nära bryt-frekvensen höjer man lite på det teoretiska standardvärdet för a så att det är mellan 2, 42 cm och 4, 35 cm. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.19
13.2. Kavitetsresonatorer Vi behandlade tidigare en RLC-krets och såg att strömmen i denna hade två tidsberoenden. För det första förekom en faktor med harmoniskt tidsberoende, och för det andra förekom också en faktor med exponentiellt dämpat tidsberoende. Dämpningen var orsakad av resistorn i kretsen. Om resistorn avlägsnas kan man visa att strömmen blir harmonisk, så att energin i kretsen pendlar mellan fullständigt elektrisk (kondensatorn fulladdad) och fullständigt magnetisk (spolens magnetfält har maximal styrka). Ett annat sätt att lagra elektromagnetisk energi är att generera EM-fält inne i en kavitet med starkt ledande väggar. Dylika kallas kavitetsresonatorer. Dessa är bättre än LC-kretsar, av två anledningar: (1) Relativ energiförlust per oskillation i en resonator är endast ca 1/20 = 5 % av vad den är i en LC-krets. (2) LC-kretsar mer eller mindre omöjliga att konstruera för frekvenser av storleksordningen 100 MHz och större. Låt resonatorns väggar vara i x = 0, x = a, y = 0, y = b, z = 0 och z = d. På dessa plan gäller att elfältets tangentiella komponent och den magnetiska flödestäthetens normalkomponent båda skall vara noll. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.20
Beteckna elfältet med E (x, y, z, t) = E(x, y, z)e iωt (13.51) Vågekvationen skall vara uppfylld för varje komponent. Detta ger t.ex. 2 E ε 0 µ 0 2 t E = 0 (13.52) 2 E x + ε 0 µ 0 ω 2 E x = 2 E x + ω2 c E 2 x = 0 (13.53) E x är tangenten av elfältet på väggarna i y = 0, y = b, z = 0 och z = d. En enkel lösning som uppfyller detta är där E x = E 1 f 1 (x) sin κ y y sin κ z z (13.54) κ y b = mπ (13.55) κ z d = nπ (13.56) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.21
med m, n heltal. Motsvarande för E y och E z ger att elfältets komponenter är E x = E 1 f 1 (x) sin κ y y sin κ z z (13.57) E y = E 2 f 2 (y) sin κ x x sin κ z z (13.58) E z = E 3 f 3 (z) sin κ x x sin κ y y (13.59) där κ x a = lπ (13.60) med l ett heltal, så att t.ex. E y = 0 då x = 0 eller x = a. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.22
I vakuum gäller ännu att E = 0: E 1 f 1 (x) sin κ yy sin κ z z + E 2 f 2 (y) sin κ xx sin κ z z +E 3 f 3 (z) sin κ xx sin κ y y = 0 (13.61) Med f 1 (x) = cos κ x x (13.62) f 2 (y) = cos κ y y (13.63) f 3 (z) = cos κ z z (13.64) fås (κ x E 1 + κ y E 2 + κ z E 3 ) sin κ x x sin κ y yκ z z = 0 (13.65) så att vi får villkoret κ x E 1 + κ y E 2 + κ z E 3 = 0 (13.66) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.23
eller le 1 a + me 2 b + ne 3 d = 0 (13.67) Detta binder samman elfältsamplituderna för en viss TE lmn -mod. Ett mera användbart villkor fås med ekv. (??), som ger κ 2 x κ2 y κ2 z + ω2 Med uttrycken för vågvektorerna och relationen ω = 2πν fås c 2 = 0 (13.68) «lπ 2 + a «mπ 2 + b «nπ 2 = 4π2 ν 2 (13.69) d c 2 eller förenklat s «l 2 + «m 2 + «n 2 (13.70) ν = c 2 a b d Varje kombination av l, m, n ger en bestämd resonansfrekvens ν för det elfält som kan existera inne i kaviteten. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.24
Det associerade magnetfältet fås med hjälp av Maxwells IV lag som ger E (x, y, z, t) = t B (x, y, z, t) (13.71) B(x, y, z) = i E(x, y, z) (13.72) ω Elfälten kan nu skrivas «««lπx mπy nπz E x = E 1 cos sin sin a b d «««lπx mπy nπz E y = E 2 sin cos sin a b d «««lπx mπy nπz E z = E 3 sin sin cos a b d (13.73) (13.74) (13.75) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.25
Om en standard-vågledare används för att konstruera kaviteten, så är dimensionerna i x och y fixerade till a = 0, 9 tum = 2, 28 cm och b = 0, 4 tum = 1, 01 cm. Genom att spela med olika längder d och index l, m, n kan kaviteten skräddarsys för önskad frekvens. Exempel : En standardkonfiguration av TE-moder i en kavitet är (l, m, n) = (1, 0, 2). Om mikrovågor vill lagras i denna gäller att ν = 10 10 Hz. Bestäm d. Ekvationen ovan ger d = a p ν2 a 2 /c 2 1/4 3, 00 cm (13.76) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.26