Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 1 MMGD20-TMV216-HT13/Anteckn Area Volym Determinant Linjär Avbildning vs Matrisalgebra Vi kommer att ha lite annanlunda framställning av teorin för linjära avbildningar, speciellt kommer vi att gå genom teorin med material från olika kapitel av boken Jag skriver ner därför den här (icke finslippade) texten om bland annat, matrisalgebra, linjäravbildning, volymer och determinant 1 Linjär avbildning och matrisalgebra (Kap 2, Kap 31-33, [SL LinAlg]) Matrisalgebra och linjära avbildingar är egentligen samma sak Huvudmålet av kursen kan tolkas som tillämpningar av matrixalgebra på ekvationsystem Att studera matrisalgebra genom linjära avbildningar, dvs betrakta algebraiska beräkningar som geometriska operationer, är ett centralt tema i matematik; kort sagt, vill man omformulera diversa matematiska eller praktiska problem som ett geometriska problem Vi får därifrån intuition och hittar rätta verktyg! Några konkreta exempel har vi minsta-kvadrat-läsning (se Överbestämda system, Kap 56) och diagonalisering av symmetriska matris (se Kap 8) 11 Matrisalgebra (Kap 2) 1 Motivering Vektorekv Ax = b versus skalär ekvation ax = b Vi börjar med en omskrivning av ett system av två ekvationer med två variabler som en matrix ekvation Ax = b Säg (t ex i kursen Diskret Matte) att barnen lillebror A och storbror B har fått 18 kr resp 28 kr att köpa appelsiner (ap) och äpplen (äp) De ska köpa samma antal, säg x st, appelsiner och samma antal y st äpplen, lillebror A får köpa små äpplen/appelsiner och storbror B stora Pristabeln, per st, på en marknad ser ut så här, ap äp små 5 2 stora 8 3 Antalen x, y uppfyller då ett ekvationssystem { 5x + 2y = 18 8x + 3y = 28 För att kunna jämföra systemet med en skalär ekvation ax = b betecknar vi pristabeln som en matris 5 2 P = 8 3
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 2 och antalen x och y som en kolonnvektor likaväl summorna 18 och 28 som v = b = x, y 18 28 Ekvationssystemet ska omskrivas som en kompakt form, en vektorekvation, P v = b Här har vi infört en operation, P v, multiplikationen av en matrix med en vektor 2 Vi kan lösa systemet här med en handberäkning, x = 2, y = 4, dvs v = uppfyller 4 P v = 5 2 2 8 3 4 = 5 2 + 2 4 = 8 2 + 3 4 18 28 P v kan också betraktas som en linjärkombination av kolonner vektorerna i P, 5 2 18 P v = 2 + 4 =, 8 3 28 dvs matrismultiplikationen P v är ingenting mer än en linjärkombination av kolonnvektorerna i P Eftersom en skalär ekvation ax = b kan lösas x = a 1 b (OBS! om a 0) vill vi försöka lösa en allmänn vektorekv Ax = b (med samman antal ekvationer som variabler) som x = A 1 b om A 1 existerar Vi kommer att utvecka en fullständig teori för vektorekv:n Ax = b av godtyckliga antal variabler och ekvationer; den kan kort sammanfattas som: en entydig lösn (speciellt om A 1 existerar så har den alltid en entydig lösning) Ax = b har olösbar lösbar med oändligt många lösningar Mer specifikt ska vi komma fram en metod för att avgöra vilket fall det blir och hur många fria variabler det finns när det är oändligt många lösningar 2 Koefficientmatriser Betrakta ekvsys { x 1 + 2x 2 = 5 3x 1 + 4x 2 = 6
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 3 Vi plockar upp koefficienterna som en matris, koefficientmatrisen 1 2 A = 3 4 En lösning (x 1, x 2 ) skall idenifieras som en vektor x = x 1 e 1 + x 2 e 2 = systemet skall skrivas som Ax = b, b = Vi känner oss manade att lösa ekv:n med 5 = 5e 6 1 + 6e 2 x = A 1 b [ x1 x 2 ], och ekv Men vi behöver först se över reglerna innan vi börjar invertera matriser Vi påminner oss att addition/multiplication av tal uppfyller följande regler (a) a + 0 = a, a0 = 0, a1 = a (b) a(cx) = c(ax) (Konstanten c är fritt fram) (c) (a + b)x = ax + bx, a(x + y) = ax + ay (Distributiviteten) 3 Matrismultiplikation vs linjärkombination Vi behandlar 2 2-matriser - allmänna matriser är egentligen samma x1 Skriv A som två kolonnvektorer A = [a 1 a 2 ] Låt x = Ax = [a 1 a 2 ] som är linjär kombination av a 1, a 2 Ex 1 2 7 3 4 8 eller 1 2 7 3 4 8 = 7 = [ x1 x 2 x 2 ] = x 1 a 1 + x 2 a 2 (1) 1 + 8 3 2 = 4 7 1 + 8 2 = 7 3 + 8 4 23 53 23 53 Den sista är på något sätt snabbare att beräkna, medan den första är begreppsmässigt bättre Matriser som motsvarande 0, 1 blir noll-matriser 0, och identitetmatrisen 1 0 I 2 = I = 0 1 Räkneregler för matriser är exakt samma som tal, så längre man behåller ordningen under multiplikationen - bortsett från skalärmultiplikation som är fritt fram
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 4 4 Transponant Låt r vara en radvektor r = [c d] Transponentet r t är kolonnvektorn r t = c d (Omvänt blir transponentet k t av en kolonnvektor k en radvektor) OBS! Matrismultiplikation av radvektor och kolonnvektor vs Inreprodukt En radvektor r multiplicerad med en kolonnvektor k blir ett tal, och är också inreprodukten rk = [r 1 r 2 ] [ k1 k 2 ] = r 1 k 1 + r 2 k 2 = r t k ( här är inreprodukten av kolonnvektorer) Detta kommer att användas av i minst-kvadrat-lösning Transponentet A t av en m n-matrix A definieras som denna n m-matrix vars j:te kolonnen är den j : te raden i A transponerad, dvs A t = [r t 1r t 2 r t m], om A är skriven som m rader (av rad-n-vektorer) r 1 A = r 2 r m (Alternativt: A t är n stycken rad-m-vektorer om A är n stycken kolonn-m-vektorer) Vi gör några små beräkningar av matriser Ex [1 2] 4 = 14, 5 (Se du någon samband mellan resultaten?) 4 4 4 4 [1 1 1] = 5 5 5 5 4 4 8 [1 2] = 5 5 10 (förlängning) 4 5 1/4 5/12 = I 0 3 0 1/3 2 (invertering)
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 5 12 Linjära avbildningar (Kap 31-33 [SL:LinAlg] 5 Påminnelser om linjära funktioner Den enklaste klassen av funktioner är linjära funktioner i en variabel x, dvs, f(x) = ax (eller mer allmänna affina funktioner f(x) = ax + b) Linjära funktioner av två variabler är av form z = f(x, y) = a 1 x + a 2 y Denna kan vi betrakta som en avbildning från planet R 2 av vektorer xe 1 + ye 2 till reella linjen R Definitionsmängden här är R 2 av (x, y) medan värdemängden R av z Även om det är en funktion f : R 2 R 2 från plan till plan är det bra att skilja det ena R 2 från det andra R 2 (Mer viktigt är det i praktiken Se ex 1) Funktionerna ax eller a 1 x 1 + a 2 x 2 är ex på linjära skalära funktioner Vi tittar nu vektorella funktioner av flera variabler, dvs funktioner som har vektorer som värden Given en matris A, till ex 1 2 A = 3 4 så kan vi betrakta den linjära avbildningen x1 y1 x1 + 2 f : x = = y = Ax = x 2 y 2 3x 1 + 4x 2 A kallas då matrisen till f, och betecknas f = f A 6 Räknelagarna för matrisprodukt Av vs linjära egenskaper för f Räknereglerna för matrisprodukten Av kan omformuleras som egenskaper för f : v Av: f(cv) = cf(v), f(u + v) = f(u) + f(v) Sammanfattning: Varje 2 2- matris A definierar en linjär avbildning f A : R 2 R 2 Omvänt har vi följande Sats Varje linjär avbildning f : R 2 R 2 är av formen f A, f = f A, för någon 2 2-matris A som bestäms av A = [f(e 1 ) f(e 2 )] Se senare ex för att se hur man bestämmer matriser för lin avb 13 Determinant Area Volym 7 Geometriska tolkningar av inreprodukt och korsprodukt Geometriska tolkningar av u v och u v kan grovt sammanfattas så här Inreprodukt u v Projektionen av u på v Korsprodukt u v Area av parallellogram spant av u och v samt medurs-motursorienteringen av paret (u, v) (i förhållande till en fix orientering i planet)
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 6 Vi kommer att introducera determinanten det(a) för en 3x3-matris som beräknar volymen på en parallellopiped och som omfattar båda inreprodukt och korsprodukt Påminn om korsprodukten: u v definieras som vektorn sådan att (i) u v är ortogonal mot u och v, (ii) den minsta vridning (dvs mellan 0, π) med högra handen från u till v ger tummen siktad åt u v, (iii) Längden av u v är arean av parallellogramen med sidorna u och v Ex Betrakta två vektorer u 1 u = u 1 e 1 +u 2 e 2 = u 1 e 1 +u 2 e 2 +0e 3 = u 2, v = v 1 e 1 +v 2 e 2 = v 1 e 1 +v 2 e 2 +0e 3 = v 2 0 0 i xy-planet i xyz-rummet Korsprodukten u v är då parallell med e 3 Mer precist u v = 0 0 = (u 1 v 2 u 2 v 1 )e 3 u 1 v 2 u 2 v 1 Enligt definitionen är u 1 v 2 u 2 v 1, bortsett från tecknet, arean för parallellogramen spant av u, v; den är positiv om (u, v) är moturs och negativ medurs Dvs, talet u 1 v 2 u 2 v 1 beräknar då arean med orientering relativ den given orientering på xy-planet Vi har sett en teknik i matematik där vi kan betrakta ett två-dimensionellt problem i tredimensioner 1 Ett fågelperspektiv 8 Determinant Låt nu vara en 2 matris a b A = c d Def Determinanten det(a) av A definieras som det(a) = ad bc Betrakta A = [u, v] som två ordnade vektorer Enligt beräkningen ovan på korsprodukten (av ũ = u + 0e 3, ṽ = v + 0e 3, dvs u, v lyftades till tre-dim) får följande Sats (Universumet är planet R 2 )det(a) är arean Area(P ) av parallellogramen P som spänns upp av u, v, om paret (u, v) är moturs, det(a) = Area(P ); den är negativ av Area(P ) om paret är medurs, det(a) = Area(P ) 1 Ni vet säkert lite grann om Einsteins relativitetsteori som säger att vi lever i 4-dim iställt för 3? v 1
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 7 9 Volym Låt u, v, w vara tre givna vektorer och låt P vara parallellopepiden som de spänner upp (Se figuren 11) Vi söker nu lösningarna till följande fråga Hur beräknar vi volymen av parallellopepiden P mha u, v, w? Vi antar för tillfället att (u, v, w) är höger-hand-orienterad, dvs positiv orienterad Påminn Volym av en parallellopipeden Vol(P) = Basarean Höjden (2) Beteckna parallellogramen som spänns upp av u, v, dvs basen till parallellopepiden sett från w s spets, som B Vol(P) = Area(B) Höjden (3) Låt Enligt (i)-(iii) ovan är längden av n är arean och n är en normalvektor till basen B n := u v (4) Area(B) = n (5) Höjden är då längden av orthgonalprojektionen, säg h, av w på normallinjen Av [Kap 13, Sats 120] i textboken, vet vi Nu samlar vi ihop (3)-(6) och får h = n w n w n, Höjden = h = n 2 n n w Vol(P) = Area(B) Höjden = n n Enligt vårt antangandet av orienteringen blir n w postiv, dvs V = V ol(p) = (u v) w = n w = (u v) w (Alternativt: Beteckna vinkeln mellan n och w som α Då är V = n w cos α = n w = (u v) w) Så får vi Sats Volymen av parallellopepiden P som spänns upp av u, v, w är om de är positivt orienterade, annans blir V ol(p) = (u v) w V ol(p) = (u v) w (6)
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 8 Enligt formeln för korsprodukten i koordinater får vi u 2 v 3 u 3 v 2 u v = u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 och (u v) w = (u 2 v 3 u 3 v 2 )w 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 )w 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 )w 3 = u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 Detta definierar vi som determinant för matrisen och kan beräknas med s k Sarrus regel Def A = [u v w] det(a) = u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 Satsen ovan kan omformuleras som om tripeln (u v w) är positivt orienterade Vol(P) = det[u v w] Anmärkning Om A är en övertriangulär matris a 11 a 12 a 13 A = 0 a 22 a 23 0 0 a 33 då är produkten av diagonalelementen det(a) = a 22 a 22 a 33 14 Små beräkningar av det(a) mha radreducering 10 Determinant mha radreducering Radreducering, eller Gauss elliminering, är en metod att lös ekvsys Den kan också använda för att beräkna determinanter Det är samma princip för alla kvadratiska matriser, så beskriver jag här bara för 3 3-matriser För allmänna större matriser, säg 5 5, tar det mycket tid med handberäkningen om de inte har andra specialla egenskaper Man kan använda dator förstås Observera att determianten det(a) för n n-matris A (n = 2, 3) har följande egenskaper:
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 9 (1) det(a) = det(a t ) Detta medförs av definitionen Man kan då betrakta A som en kolonn av radvektorer (iställt som kolonnvektorer) om man vill (2) den byter tecken efter omkastning av två rader (eller kolonn), ty att orientering av motsvarance parallellogramen (n = 2) och parallellopepiden (n = 3) ändras, (3) om två rader är det samma så blir den noll, ty det blir en degenererad parallellogramen (dvs ett segment n = 2) med noll area och degenerad parallellopepiden (en kallapad sådan, n = 3) med noll volym (4) som en funktion av tre kolonnvektorer är determinant en linjär funktion i varje kolonn (medan andra kolonner är fasta) (Kort argument för n = 2: Med en fixerad basen u är arean av parallellogramen uv linjärt beroende på höjden, vilken är sin tur linjär beroende på den andra sida v) (3) och (4) tillsammans medför att radoperationen c (i:te raden) + (j:te raden) blir den nya (j:te raden) förändrar ej det(a) Så kan vi genom några radoperationer överföra A till en övertriangulär matris vars determiant är produkt av diagonalen Ex Vi utför radreducering på 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A = 4 5 6 ( 4)rad1+rad2,( 7)rad1+rad3, 0 3 6 0 3 6 7 8 10 0 6 11 0 0 1 så får vi det(a) = 3 Fråga/Övn Kan du argumentera utan beräkning att 1 2 3 det 4 5 6 = 0? 7 8 9 15 Uppgifter med lösning 11 Uppgifter Ex (a) Låt f vara speglingen map linjen L: y = 2x i planet Beräkna matrisen för f (b) I rummet representerar y = 2x + 3z ett plan P Beräkna matrisen för speglingen map P i rummet 2 Lsn: (a) Linjen L: y = 2x kan skrivas som 2x+y = 0 En normal till linjen är n = 1 v1 Speglingen för en godtycklig vektor v = är (se bilden ner) v 2 f(v) = v backad två steg längs normalen
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 10 dvi Så att Svar: Matrisen är f(v) = v 2 v n n n n = f(e 1 ) = 1 15 [ v1 v 2 ] 2 2v 1 + v 2 5 3, f(e 4 2 ) = 1 15 1 15 3 4 4 3 4 3 2 1 1 (Anmärkning: Man kan också använda en inriktningsvektor, till ex u =, till linjen 2 och beräkna speglingen mha projektionen på linjen iställt Se [SL, Prop 125]) 2 (b) I rummet har planet y = 2x + 3z, dvs 2x + y 3z = 0 en normal n = 1 3 Speglingen blir det samma som i två dimension, dvs backad två steg längs normalen, f(v) = v 2 v n v 1 n n n = v 2 2 2v 2 1 + v 2 3v 3 1 14 v 3 3 Bilderna av enhetsvektorerna blir f(e 1 ) = 1 6 4, f(e 2 ) = 1 4 12, f(e 2 ) = 1 12 6 14 14 14 12 6 4 och matrisen för speglingen är 6 4 12 1/14 4 12 6 12 6 4 Fråga/Övning Kan du bevisa med geometrisk argument, utan beräkningar, att matriserna A ovan uppfyller A 2 = I, det(a) = 1
Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 11 Parallellopepiden spännd upp av u, v, w w v B u n