Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 1 Sysem, Insignal & Usignal Insignal x() x[n] SYSTEM H! H = sysemoperaorn Usignal y() = H{y()} y[n] = H{x[n]} w E SYSTEM = en maemaisk modell av e fysikalisk sysem, al. en algorim, som för olika insignaler x genererar olika usignaler y. w En SIGNAL = en informaionsbärande maemaisk funkion som represenerar en (ofa mäbar) fysikalisk sorhe. w Signalerna är här ofas deerminisiska, endimensionella, periodiska eller icke-periodiska, idskoninuerliga eller idsdiskrea.
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 2 Signaloperaioner w Skifning: y 2 () = x(+2) x() y 1 () = x( 3) y() = x( ± T) 2 3 w Spegling: y( ) = x( ) w Tidsskalning: y( ) = x( a ) y() = x( ) x() x(3) x() x(0,4) (0,4=2/5) 1/3 1 5/2
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 3 Signalyper x() Tidskoninuerlig signal ( coninuous-ime ) x[n] Tidsdiskre signal ( discree-ime ) -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 n Periodisk signal x() är T 0 periodisk x() = x( +T 0 ) T 0, min = Grundperiodiden x() T 0
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 4 Signalyper olika klassificeringar Kausal signal x() = 0 för < 0 (Anikausal signal x() = 0 för 0 ) Energisignal = signal som har ändlig signalenergi E x = x() 2 d Effeksignal = signal som har ändlig signaleffek 1 P x = lim T T T 2 T 2 x() 2 d
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 5 Signalmodeller de vikigase Enhessege u() (heavisidefunkionen, uni sep funcion ) u () 1; 0 = 0; < 0 1 u() u() används ofa vid sudier av sysems segsvar, dvs. y() då x() = u() för a forma/definiera signaler under olika idsinervall.ex.kausala signaler. Också användbar: (sår ej i boken) u 0 () = 1; > 0 0; 0 ( Använd u ( ) i sälle för u( ) 0 )
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 6 Signalmodeller de vikigase Diracimpulsen δ() Paul Dirac:s egen definiion : Gränsvärdesolkning: ( uni impulse funcion ): δ () = 0 0 δ ()d = 1 1 τ τ d ( ) δ () då τ 0 area = 1 δ ( )
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 7 Signalmodeller de vikigase ϕ(t) = dirac:ens vik Egenskaper hos diracimpulsen: 1. 1. φ() δ ( T) = φ(t) δ ( T) 2. φ()δ ( T)d = φ(t) φ(t) T δ ( T) φ() ( The sampling/sifing propery ) φ ( T ) δ ( T) T δ() definieras av samband 2! δ() är en disribuion (generaliserad funkion) Disribuioner definieras av sin verkan, via e inegralsamband, på andra (es-)funkioner (här är esfunkionen ϕ() ). 3. u() = δ ( τ )dτ δ ( ) = du ( ) d
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 8 Signalmodeller de vikigase Generella komplexa exponenialfunkionen e s s = σ + jω e s = e σ e jω e s = e σ e jω 4 cenrala specialfall: s = 0 k e 0 = k (1) ω = 0 e σ (2) cos ω ( ) = 1 2 es + e s ( ); σ = 0 (3) e σ cos( ω); allmän (4)
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 9 Sysemegenskaper 1. Linjärie Lå insignalerna x 1 () och x 2 () ge upphov ill usignalerna y 1 () resp. y 2 () och beraka insignalen x() = a x 1 () + b x 2 () (a, b konsaner) Syseme är linjär omm usignalen kan skrivas som y() = a y 1 () + b y 2 () Annars är de icke-linjär ( nonlinear ) Al. formulering: H a x 1 ( ) + b x 2 ( ) ( ) ( ) { } = a H { x 1 } + b H { x 2 } Linjär homogen, och addiiv, H ( ) ( ) + x 2 ( ) ( ) H { a x } = a H { x } { x 1 } = H { x 1 ( ) } + H { x 2 ( ) } Linjärieskonsekvens: Om x() = 0 y() = 0
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 10 Sysemegenskaper 2. Tidsinvarians ( ime invariance ) För e idsinvarian sysem ändras ine sysemes paramerar med iden. Konsekvens: Om x() y() x( T) y( T), dvs. om H { x( ) } = y ( ) H { x( T )} = y ( T ) Ine idsinvarian sysem idsvarian (= idsvariabel, icke idsinvarian) ( ime-varying ) Exempel: x() y () y ( T) x ( T) T Prakiska sysem är ofas Linjära & TidsInvariana LTI-sysem
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 11 Sysemegenskaper 3. Kausalie Sysemegenskap y( 0 ) beror på x( 0 )? y( 0 ) beror på x( > 0 )? Kausal JA NEJ Icke-kausal Evenuell JA Spec.fall: ani-kausal NEJ JA Handlar om usignalens beroende av insignalen. Kausal sysem usignalen beror ine på insignalens framida värden: Kausalieskonsekvens: Om x( < 0 ) = 0 y( < 0 ) = 0 Alla fysikaliska realidssysem är kausala (Boken: causal resp. non-causal )
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 12 Sysemegenskaper 4. Sabilie Usignalen från e (insignal-usignal-)sabil ( BIBO sable ) sysem är begränsad för alla begränsade insignaler, dvs. x() K 1 < y() K 2 <, K 1, K 2 R Om ej uppfyll syseme är (insignal-usignal-)insabil ( BIBO unsable ) I kursen fokuserar vi främs på exern sabilie mer om dea senare (kap. 2.6)! 5. Invererbarhe x() y() = S H { x() } S i = x()? Om H i { y() } = x() gäller för sysem S i, så är sysem S invererbar och sysem S i är inverssysem ill sysem S.
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 13 Sysemegenskaper 6. Tidskoninuerlig vs. Tidsdiskre ( coninuous-ime vs. discree-ime ) x() y() x[n] y[n] Tidskoninuerliga sysem modelleras/implemeneras ofa m.h.a. idsdiskrea sysem: x() Likformig sampling = nt s Tidsdiskre sysem Tidskoninuerlig x[n] y[n] sysem H {x[n]} Tidskoninuerlig sysem Rekonsrukion y() = H {x()} Kursfokus: Egenskaper hos dessa olika delblock sam relaioner mellan de olika in- och usignalerna både i idsdomänen och frekvensdomänen!
Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 14