Karlstad universitet Avdelningen ör ysik elektronik Analytisk mekanik Snakeoard 5 Studentpresentation Jonas Ågren Jürgen Fuchs (kursansvarig
Innehll Introduktion 3 Historik 3 Matematisk modell 4 Hur rörelse produceras p en snakeoard 5 Hur vridmoment produceras p en snakeoard 5 Betydelse av att luta p kroppen 6 Icke holonomiska tvng 7 Rörelseekvationerna härledda av Kushelov 8 Rörelseekvationerna härledda av Stephens Reerenser 3
Introduktion Denna rapport är till stor del en sammanställning av tre vetenskapliga artiklar, som har det gemensamt att de ehandlar snakeoarden som ett komplext dynamiskt system. Den örsta artikeln Newtonian exercise on a snake-oard av David Roinson, är relativt populärvetenskaplig, där örattaren örsöker ge svar p rgor som hur rörelse skapas, utan att ngon ot sätts i marken hur mycket man mste luta sig ör att inte ramla. Detta utreder han utan att ördjupa sig allt ör mycket. Den andra artikeln Decoupled Control or the Snakeoard av Benjamin Jay Stephens, eskriver en teoretisk modell av snakeoarden i syte att kunna göra en järrkontroll som styr en root-snakeoard som ska ölja en örutestämd väg. Den tredje artikeln Further development o the Mathematical Model o a Snakeoard av A. S. Kuleshov, ger en komplett eskrivning av snakeoardens rörelseekvationer även dess lösningar. I de tv örsta artiklarna örenklar man modellen genom att anta att de rämre akre hjulen roterar symmetriskt eroende av varandra, medan den tredje artikeln tar hänsyn till att plattormarna ( därmed ocks hjulen roterar oeroende av varandra. Roinson gr dock irn modell d han örklarar hur en kare ska lyt i sitt k i högre hastigheter. Bde Kuleshov Stephens gr längre i a artiklar, men denna rapport stannar vid rörelseekvationerna deras härledning. Historik Snakeoarden uppanns 989 av James Fisher Oliver Macleod Smith. Den utvecklades rn den ursprungliga skateoarden estr av tv otplattor som är direkt sammankopplade med tv hjul, som vrids om otplattan vrids. Fotplattorna är hoplänkade med en styv stng (crossar med gngjärn vid varje otplatta, s att rotation är möjlig kring den vertikala axeln. P vissa nyare snakeoardmodeller är endast ett hjul sammankopplat med varje otplatta. Konstruktionen gör att ötterna är sammanlänkade p ett konstant avstnd, med möjlighet att vrida ötterna medurs eller moturs. Figur : Snakeoard
Matematisk modell Figur : Matematisk modell enligt Stephens Den matematiska modellen är i alla tre artiklarna olika varianter av den vi ser i igur. I denna rapport ges startpositionen (ötterna ut i likhet med Stephens Kuleshovs modeller. φ etecknar vinkeln mellan otplattans hjul stngen. Enda skillnaden mellan de da artiklarna är att Kuleshov etecknar φ -vinklarna med φ φ ör den rämre respektive akre otplattan, etersom de är oeroende av varandra. θ etecknar vinkeln mellan stngen x-axeln ψ etecknar vinkeln mellan karen stngen. l etecknar avstndet mellan hela systemets masscentrum otplattornas masscentrum, antas vara lika ör rämre akre otplatta. Roinson ger en enklare modell (ötterna in ör att enklare kunna örklara hur vridmoment ger upphov till rörelse. Figur : Förenklad matematisk modell enligt Roinson
Hur rörelse produceras p en snakeoard Roinsons modell (igur ger en ra örklaring till hur rörelsen kan produceras. Kraterna som uppkommer genom att man vrider kroppen ildar ett vridmoment, vars storlek estäms av kraternas storlek avstndet mellan kraterna. Lt en krat (F verka längs axeln under den vänstra oten. D ildas en lika stor motriktad reaktionskrat (R rn marken, etersom varken hjul eller ot kan varken rulla eller glida t det hllet. Om den andra kraten (F r verka p den andra axeln, kommer reaktionskraten (R li mindre än F, nämligen F cosα. Detta ger en resulterande, drivande krat, F α, vinkelrät mot den andra axeln som accelererar snakeoarden längs den cirkelge som deinieras av hjulens position. Den drivande kraten är allts proportionell mot α, vilket inneär att det man r ut mest av vridmomentet d vinkeln mellan otplattorna är störst. Hur vridmoment produceras p en snakeoard Om karen roterar överkroppen moturs, skapas ett vridmoment, därör en krat medurs p ötterna (rörelsemängdsmomentets evarande. Önskar karen allts att ötterna skall utöra ett medurs vridmoment p snakeoarden, s skall överkroppen vridas moturs vice versa. Man kan approximera vridmomentet till att est av tv komponenter: M = I ω&, ( där I är kroppens tröghetsmoment ω& är vinkelaccelerationen. Här görs antagandet att denna term dominerar över den andra termen, I & ω, samt att ω L är i en av principalaxlarnas riktningar. D inns tv möjligheter att pverka vridmomentets storlek. Ju större tröghetsmoment, desto större vridmoment ju större acceleration p vridningen av kroppen, desto större vridmoment. Tröghetsmomentet ör kroppen deinieras som summan av alla produkter mellan massan ör varje partikel i den roterande kroppen (m kvadraten p varje partikels avstnd rn rotationsaxeln (r : = I mr. ( Detta etyder att man kan öka kroppens tröghetsmoment, genom att hlla armarna ut rn kroppens rotationsaxel, därmed öka hela vridmomentet. Man ör allts tänka p att hlla armarna s lngt ut som möjligt en ra acceleration p rotationen av överkroppen, ör största möjliga vridmoment. För att art p snakeoarden skall man (enligt Roinson st med ötterna int, vrida överkroppen medurs i rörelseriktningen, ör att skapa ett moturs vridmoment p snakeoarden, ändra otplattornas läge till utt, vrida överkroppen t andra hllet osv. När man väl tt art p snakeoarden, krävs mindre rotation ör att övervinna riktionen rn underlaget samt eventuellt lutmotstnd. Vid art kommer ocks ötternas rörelser att vara ur as, ör att ett ättre lyt i ket. Detta mste ske ör att hjulen ska kunna ölja en jämn kurva lir mest uppenart d vglängden är liten.
Betydelse av att luta p kroppen Allt som rör sig i kurvor, accelererar mot centrum p den cirkel av vilken kurvan är en del av. Detta ger upphov till en centripetalkrat i den riktningen. Detta är riktionskraten som utövas av marken p hjulen, i den riktning de inte kan röra sig i. När snakeoarden har en rörelse, s lir R > F R < F cosα, s den resulterande kraten inkluderar inte ara den drivande kraten, utan ocks en krat, riktad mot cirkeln centrum: mv =, (3 r F cp Där m är hela systemets massa, v är systemets hastighet r är radien p den cirkel som deinieras av hjulen. Denna krat är allts störst d radien är liten hastigheten stor. Figur 3: Ngra av de krater som verkar p en snakeoardkare För att avgöra hur mycket karen mste luta sig mot cirkelns centrum, ör att inte ramla, kan öljande ekvation sättas upp (igur 3: vilket ger: mv mgx = y, (4 r x y v = rg = tanθ. (5 Denna ekvation ger den vinkel karen skall luta sig med vid varje estämd hastighet radie p cirkeln.
Icke-holonomiska tvng I den matematiska modellen antas hjulen röra sig utan att glida i sidled. De villkor som den matematiska modellen utgör kan inte skrivas utan ett hastighetseroende, vilket gör att tvngen lir icke-holonomiska. Kuleshov eskriver tvngen med en ekvation ör den rämre otplattan en ekvation ör den akre otplattan: ( φ θ y& cos( φ θ l & θ cosφ x& = (6 x& φ θ y& cos φ θ l & θ cosφ = (7 ( ( Stephens eskriver tvngen med hjälp av en matrisekvation: där ( q q = A &, (8 ( A q cos = θ ( θ φ cos( θ φ cosθ l cosφ, (9 eskriver tvngen, x y q = θ ( ψ θ l cosθ cotφ l θ cotφ & θ q & = ψ& ( & φ eskriver kinematiken ör snakeoarden.
Rörelseekvationerna härledda av Kushelov: Frn ekvation (6 (7 löses x& y& ut: & x& = ( lθ ( ( cosφ cos( φ θ cosφ cos( φ θ φ φ & y& = (3 lθ ( ( cosφ ( φ θ cosφ ( φ θ φ φ I ortsättningen eskrivs otplattornas rörelser med nya varialer enligt: = φ φ (4 = φ φ (5 Vidare antas varialerna ψ, vara kända tidseroende unktioner. Kominationen: l & θ V = ( (6 etecknas med pseudohastighet är i generella allet hastigheten p en punkt som erhlls om man tar en projektion av systemets momentana centrum p den linje som gr genom centrallinjen ör en snakeoard. Ekvation (6 ger: V θ = l & (7 V & V & l ( & & = (8 θ l ( V Uttrycken ( (3 kan nu skrivas om med hjälp av (6 till: V θ = V cosθ x& (9 V θ = V θ y& (
vilket ger: θ cosθ && x = V& cosθ θ l & & V θ ( V ( ( cosθ θ && y = V& θ cosθ l & & V cosθ ( V ( ( I den enklare modellen, som Stephens använder, är φ = φ = φ (3 därör lir =. (4 Detta specialall ger en mycket enkel variant p ekv. (9 (: x & = V cosθ (5 y & = V θ (6 I detta all kan pseudohastigheten, V, tolkas som hastigheten ör systemets masscentrum. För att inna den sista rörelseekvationen introduceras accelerationsenergiunktionen, eller Gis unktion. Gis unktion ör en stelkropp ser ut enligt öljande: S m = W C C C ω Θ & ω ([ ω Θ ω] & ω, (7 där m är kroppens massa, W C är accelerationen av kroppens masscentrum, ω ω& är kroppens vinkelhastighet vinkelacceleration Θ C är kroppens tröghetstensor. Nu delas systemet upp i tre delar, den styva stngen mellan otplattorna (s, karen ( samt otplattorna med hjul (. Gis unktion hittas ör alla tre delar summan av de tre unktionerna ildar den totala Gisunktionen. De tre partiala Gisunktionerna lir: I s x && y & θ ms S s =, (8
där m s är stngens massa, I s är stngens tröghetsmoment med avseende p den vertikala axeln som gr genom dess masscentrum θ & är vinkelhastigheten kring samma axel. I x && y & θ & ψ m S =, (9 där m är karens massa, I är karens tröghetsmoment med avseende p den vertikala axeln som gr genom dess masscentrum & θ ψ& är vinkelhastigheten kring samma axel. x && y m && θ && θ &&& θ& l I I S = m, (3 där m är otplattornas hjulens massa, l är den konstanta längden mellan otplattan stngens masscentrum, I är otplattornas tröghetsmoment med avseende p den vertikala axeln som gr genom deras masscentra & θ & φ är vinkelhastigheten kring samma axlar. Här är de termer som inte innehller de generaliserade accelerationerna utelämnade. Om den totala massan ör systemet skrivs som: m = m m m (3 s I skrivs som: I = I s m l, (3 s kan den totala Gisunktionen skrivas som: m I I I && && S = x y θ ( I && ψ && θ& I (33 Ersätt & θ, & x& & y& med uttrycken i ekv. (8, ( (, s erhlls slutligen: m S = V& mvv& ( mvv& ( & ( 3 ( I I I ml ( ( I I I & ml ml & ( I I I V& ( I && ψ I && l ( Detta uttryck innehller endast de termer som eror p V &. Övriga termer är utelämnade, etersom vi endast är intresserade av motsvarande rörelseekvation som eskriver örändringshastigheten ör pseudohastigheten V, som är av ormen: (34
S =, (35 V& vilket ger ett komplett rörelseekvationssystem ör snakeoarden: V θ x & = V cosθ V θ y& = V θ & θ = P V l ( t V& P ( t V = Q( t, (36 där P P ( t ( t = ( & = ( I I I ml ( I I I ( ( ( I I I & & ( 3 ml ml &, (37 (38 ( Q t ( I && ψ && I = ml ( (39 Rörelseekvationerna härledda av Stephens: Lagranges rörelseekvation ör ett system som innehller tvng är: d L L dt q& q Aq& = T = Tτ A λ, (4 där τ är en generaliserad vridmomentsvektor, A är tvngsmatrisen som ges av ekvation (9 L är Lagrangianen som ges av:
( q, q& m( x& y& I & θ I θ ψ& I θ & φ L = s, (4 där samtliga varialer är deinierade p samma sätt som tidigare. Här r man dock ha i eaktande att ekv. (3-5 gäller. Etersom Lagrangianen inte innehller q, s lir: L q = (4 Sätter man d in ekv. (4 i ekv. (4 lir rörelseekvationerna: ( θ φ mx && = λ λ φ my && = λ ( θ φ λ φ I&& θ I && ψ = λl cos( θ φ I & θ && ψ = τψ && I φ = τ φ (43 Ekv. (4 kan skrivas om s att: M T ( q q& C( q q&& q& = A ( q λ T ( qτ &,, (44 där C ( q q& term lika med noll etersom tröghetsmatrisen inte har ngot sdant eroende. M ( q är, innehller Coriolistermer centriugaltermer. För snakeoarden är dock denna snakeoardens massmatris. Bda sidor i ekv (44 kan nu multipliceras med en matris, sdan att: ( q λ = D T A T, (45 S kan vi eliminera λ, x y rn rörelseekvationerna (43. Resultatet lir: D T M T ( q q& = D T ( qτ & (46 T D, Man kan visa att de reducerade rörelseekvationerna d lir: ( cot φ I I & θ && ψ = τ && θ ψ & φθ& ml I && ml csc φ cot φ = ψ && I φ = τ φ (47
Reerenser Roinson, David, Newtonian exercise on a snake-oard, Bootham school, York, UK. Stephens, Benjamin Jay, Lynch, Kevin M., Decoupled Control or the Snakeoard, Department o Mechanical Engineering, Northwestern University. Kuleshov, A. S., Further Development o the Mathematical Model o a Snakeoard, Department o Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, ISSN 56-3547, Regular and Chaotic Dynamics, 7, Vol., No. 3, pp. 3-334. http://en.wikipedia.org/wiki/snakeoard