Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet (sid 183) 1. Diskussion 2. Geogebra CAS: Inledning (sid 184) Hur kan 1 missbrukas? -1 = i * i = 1 * 1 = 1 1 = 1 = 1 När gäller a * b = a b? a = i a De reella talen räcker inte (sid 185)
Tallinjen R, Re: 0, 1, π, e, 99, 3.14, 2,... Vinkelrät tallinje Im: 0i, 1i, πi, ei, 99i, 3.14i, 2i,... Kombinera! Komplexa talplanet: 1 + i,... Punkter (Re, Im) 4.1 Räkning med komplexa tal Repetition (sid 186-187) En genomgång av de olika talområdena och varför man till sist introducerar i och komplexa tal gjordes på lektionen. Utöver detta är det en repetition av det som gjordes i Ma1c. Läs på sida 180 och lös uppgifter på sida 181. Lös uppgifter efter behov. Historik (sid 188) Cardano, Gauss Aktivitet (sid 189) Undersök 1/i, 1/i 2,... Undersök i 4n, i 4n+1, i 4n+2, i 4n+3 CAS:
Konjugat, absolutbelopp och de fyra räknesätten (sid 184-187) Ett allmänt komplext tal betecknas ofta med bokstaven z och har formen z = a + bi Exempel på komplexa tal är 2-3i, -5i och 7. Observera det sistnämnda, varje reellt tal blir också komplext eftersom man kan välja b=0. Räknereglerna, för de komplexa talen, fungerar precis likadant som för vanliga reella, med tillägget att i 2 = -1. I uttrycket z = a + bi kallas a realdelen av z (skrivs Re z=a) och b för imaginärdelen av z (skrivs Im z=b). Om z=2-3i får vi alltså Re z=2 och Im z=3. Observera att imaginärdelen alltid är ett reellt tal! Det dyker också upp komplext konjugat z och absolutbelopp z. Räkning med komplexa tal fungerar precis som "vanligt", och beträffande addition, subtraktion och multiplikation är det tämligen enkelt. Tre exempel: (1+2i)+(3 4i)=1+2i+3 4i=1+3+2i 4i=4 2i (3 2i) (1+4i)=3 2i 1 4i=2 6i (2 i)(3+2i)=2 3+2 2i i 3 i 2i=6+4i 3i 2i2=6+i+2=8+i Det enda som är nytt är alltså att i2 ska ersättas med -1. Vad blir förresten i2013? Vi "grupperar ihop" så många i2 som möjligt och räknar på: i!"#$ = i!"#$ * i = i! 1007 * i = (-1) 1007 * i = (-1) * i = -i Division är lite knepigare än övriga räknesätt. Det finns ett trix, nämligen att man ska förlänga med nämnarens konjugat för att mygla bort i från nämnaren (i i täljaren är ok däremot). Ett exempel:!!!!!!!! = (!!!!)((!!!!) (!!!!)(!!!!) =!!!!!!!!!"!! =!!"!!!!!!!!!!!!!!!!" = -!"!" -!!!" i 4.2 Det komplexa talplanet Komplexa tal som vektorer (sid 194-197) Som nämnts ovan kan ett komplex tal representeras av en punkt i ett koordinatplan med realdel på x-axeln och imaginärdel på y-axeln. I vissa fall är det dock mera praktiskt att representera det komplexa talet med en vektor ("pil") som går från origo till motsvarande punkt. Med vektortolkningen blir addition och subtraktion enkla att "minnas", det motsvarar helt enkelt vanlig vektoraddition/subtraktion där man "sätter pilarna efter varandra och bestämmer resultant" (tänk efter varför det blir så). Absolutbeloppet dyker upp och kan användas t.ex. för att beskriva cirklar i det komplexa talplanet. Med z+2 3i =2 z ( 2+31) =2 (observera "tillfixningen") får man mängden av alla komplexa tal vars avstånd till talet 2+3i är 2. Denna mängd blir alltså en cirkel med radie 2 centrerad i 2+3i.
Lös 4202, 4205, 4206, 4209, 4210, 4213 och eventuellt 4214 och 4216. Historik Komplexa tal i polär form (sid 199-202) Det "gamla hederliga" koordinatsystemet med en x- och en y-axel är välbekant. Man anger koordinaterna för en punkt genom att tala om hur många steg i respektive riktning man ska förflytta sig. Det finns inget som hindrar att man anger punkter i andra koordinatsystem. Ett användbart alternativ är det polära koordinatsystemet. Här anges en punkts koordinater genom att man anger avstånd från origo, r, och riktning, v, (i ett vinkelmått) räknat moturs från x-axeln. Se hur det fungerar genom att öppna GeoGebrakonstruktionen. Observera att en och samma punkt kan ha olika koordinater i de olika koordinatsystemen. Observera också att den polära framställningen inte är entydig (vilka "problem" finns?). Om man tänker efter så inser man följande samband mellan de Cartesiska koordinaterna (x,y) och de polära (r,v). x = rcosv y = rsinv och r 2 = x 2 + y 2 tanv=! (med kvadrantkontroll)! Med den sistnämnda kvadrantkontrollen menas att t.ex. de Cartesiska koordinaterna (3,4) och (-3,-4) ger samma tangensekvation och man måste hålla koll på om vinkeln är korrekt eller ska "ändras" med 180 grader. Ovanstående kan genomföras oberoende av komplexa tal. Men eftersom vi har en tolkning av komplexa tal som punkter i ett koordinatsystem kan vi såklart använda den polära formen också till dessa. Vi har z=x+iy=rcosv+irsinv=r(cosv+isinv) där det sistnämnda uttrycket säges vara z på polär form. Man efterstävar att välja vinkeln v i intervallet 0 v<360,0 v <2π. I den polära formen kallas r för beloppet av z (eftersom det är just detta) och v för argumentet av z. Lös 4220, 4221, 4223, 4224ab, 4225d, 4226d, 4229cd, 4231 och 4233. Aktivitet Multiplicera med i.
Multiplikation/division i polär form (sid 204-207) Multiplikation och division blir ganska enkelt på polär form och i vissa fall är det avsevärt enklare att arbeta på polär form ön på Cartesisk (rektangulär). Poängen är, vilket också visas i boken på sida 198, att z1 z2 = z1 z2 (beloppen multipliceras) arg(z1 z2)=argz1+argz2 (argumenten adderas) Motsvarande räkneregler gäller för division. Observera att räknereglerna för argument ser ut som de för logaritmer. Det kan vara ett sätt att minnas dem (även om det är två helt olika "saker"). Observera också att addition och subtraktion inte är så lustig på polär form. Här håller man sig till den Cartesiska. Lös 4239, 4240, 4241, 4242, 4244, 4245, 4247, 4250 och eventuellt 4251, 4252. Avläs och rita i det komplexa talplanet (sid 208-209) Egentligen är det inte så mycket nytt i detta avsnitt. Det handlar om att förstå hur de algebraiska manipulationerna kan tolkas geometriskt. Försök därför räkna så lite som möjligt och tänka och rita desto mer. Lös samtliga uppgifter utom 4263 (b- och c-uppgifterna kan överhoppas beroende på ambitionsnivå). 4.3 Komplexa tal i potensform de Moivres formel (sid 204-206) Detta är i princip inget nytt utan en konsekvens av "räknereglerna" för belopp och argument som vi redan sett. Om z = r (cosv+isinv) så följer ju att z! = z n =r n =1 och argz n =n argz. Alltså Z n =r n (cosv+isinv) n =r n (cosnv+isinnv) vilket kallas De Moivres formel. Lös 4304, 4305, 4307a, 4308a, 4311, 4312a, 4313a och eventuellt 4315, 4317. Ekvationer av typen z n =a (sid 213-214) Även om Gauss visade att alla polynomekvationer har en komplex lösning betyder det inte att sådana lösningar är särskilt lättfunna i allmänhet. Vissa ekvationer kan man dock hantera, dels andragradsekvationer (mer om dessa senare), dels så kallade binomiska ekvationer. De senare ser ut såhär
z n = w där n är ett positivt heltal och w ett komplext tal. De kallas binomiska eftersom de har två termer. För att lösa sådana ekvationer arbetar man med fördel på polär form. Man skriver om w på polär form och sätter också z=r(cosv+isinv) så att z n =r n (cosnv+isinnv) Därefter jämför man belopp och argument och inser att beloppen måste vara lika, och att argumenten måsta vara lika upp till "varvräkning". Se boken för utförliga exempel. Lös 4319, 4320a, 4322, 4326, 4327. Eulers formel (sid 215-216) Det visar sig rimligt att göra definitionen e iv = cosv+isinv. Bland annat får man räknelagar för potenser som ser ut som man hoppas. Som en konsekvens av ovanstående gäller e -iv =e i(-v) =cos( v)+isin( v)=cosv isinv. Om man nu löser ut cosv och sinv så får man Eulers formler: cos v = (e iv + e -iv )/2 och sin v = (e iv e -iv )/2i Därmed är uppgift 4343 löst! Nu kan man roa sig med att bestämma cos i, sin i, ln i, i i etc. Detta är fantasieggande, men utanför kursens ramar. Lös 4334, 4335, 4336, 4339, och eventuellt 4343 (lösning finns ovan). Historik (sid 217) Euler är inte vem som helst precis. Han är tidernas mest produktive matematiker och en av de mest kreativa. Ett av hans ''fantastiska" resultat är lösningen av det så kallade Baselproblemet, nämligen att bestämma den oändliga summan! +! +! +! +! +...!!!!"!" Ni ser mönstret? Detta summerar till π! 6
Det är så snyggt så man börjar nästan gråta. Eulers bevis för detta är mycket fiffigt (det räcker nästan med gymnasiekunskaper)! Se vidare beviset -1 = 1 4.4 Polynomekvationer Andragradsekvationer (sid 218-221) Inte mycket nytt under solen egentligen. Man repeterar lösning och hantering av andragradsekvationer. Den enda skillnaden mot tidigare är att man tillåter "roten ur negativa tal" m.h.a. i. Skulle detta inte fungera kan man sätta z=x+iy och räkna på. Lös 4404cd, 4405, 4406d, 4407, 4409ab och eventuellt 4414. Polynomdivision (sid 222-224) Hur många 13 får plats 1000? Eftersom 1000 = 76 13 + 12 är det tydligen 76 stycken. Man kan formulera detta som att om man delar 1000 med 13 får man en kvot som är 76 och en rest på 12. Samma sak fungerar för polynom. Hur många x+2 får t.ex. plats i x 3 2x 2 + 3x -4? Man utför då en polynomdivision (se bok för teknik) och kommer fram till att x 3 2x 2 +3x 4=(x+2)(x 2 4x+11) 26 där x 2 4x+11 är kvoten och 26 är resten (kontrollera gärna att det stämmer med "hopmultiplikation" av högerledet. I Matematik 4 använder vi polynomdivision för att lösa ekvationer. Mer om detta i nästa avsnitt. Polynomdivision är också ett verktyg när man studerar rationella funktioner (t.ex. grafer och primitiva funktioner till dem). Mer om detta på högskolan. Lös 4419, 4420, 4422, 4423ac och eventuellt 4424, 4425. Polynomdivision (CAS) CAS Faktorsatsen (sid 225-227) Betrakta ekvationen (x 1)(x 2)=x 2 3x+2=0. Om man bara tittar på den sista likheten kanske man inte omedelbart ser lösningarna, utan man får "köra på" med pq-formeln. Om man däremot tittar på ursprungsuttrycket (innan hopmultiplikation) ser man omedelbart att nollställena är x=1 och x=2. En faktor måste ju bli noll! Alltså kan man dra slutsatsen att om x a är en faktor i ett polynom så måste x=a vara ett nollställe. I själva verket gäller också omvändningen, nämligen att om ett polynom
har ett nollställe x=a så har det också en faktor x a. Beviset bygger på att man begriper utfallet av en polynomdivision. Allt detta sammanfattas i faktorsatsen: Ett polynom har en faktor x a polynomet har ett nollställe x=a. Boken nämner också en så kallad restsats. Kolla upp i boken. Lös samtliga a-uppgifter (inte så mycket att räkna om man begripit). Dessutom 4435, 4436, 4437bd, men inga c-uppgifter. Historik (sid 228) Polynomekvationer av högre grad (sid 229-231) Här kommer ett "hopkok" av uppgifter på lösning av polynomekvationer. Man använder sig av faktorsats, polynomdivision, att rötter kommer i konjugerade par i vissa ekvationer. Alla (andra) metoder som fungerar är såklart användbara. Det finns ganska många problem så vi gör ett urval bland de svårare. Lös 4444, 4445, 4447, 4449, 4450, 4452, 4453 och eventuellt 4456 och 4457.