Svar till gamla tentamenstal på veckobladen Veckoblad : Data/Eletro 54 A = Patienten är ett allvarligt fall B = Patienten är under 4 år C= Någon av patientens föräldrar har diabetes 8 + + + 5 + 5 + 8 + a) P(A =.4 och P(C)= =.58 8 + d.v.s. P(A) P(C.4.58 =. medan P(A C =.8 d.v.s. A och C är beroende b) ) P(A C B C 5 + P(patienten är ett lindrigt fall över 4 år =.5 ) P(A C B C P(patienten är inte ett allvarligt fall under 4 år = P(A B. =.9 ) P(A C B C C P(patienten är ett lindrigt fall under 4 år vars föräldrar inte har diabetes. Data 989 5 herrar och n damer ) varje herre kysser n damer antal kyssar = 5n 5 ) antal handskakningar mellan herrar = n antal handskakningar mellan damer = Antal kyssar = antal handskakningar 5n = 5 n + 5 4 n ( n ) 5n = + n = + (n - n) n - n + = n = 96 ± n = ± n = och n = OBS! Två svar 4
Veckoblad : Data/Eletro 7 A: Den svarta tärningen kommer upp med 6 ögon. B: Den vita tärningen kommer upp med 6 ögon. C: Summan av antal ögon på den svarta och den vita tärningen är udda. a) Om A och B är oberoende så gäller att P(A B P(A) ÿ P(B) Ovannämnda situation kan illustreras genom att man ritar in de olika tal-paren i ett spridningsdiagram. kast med tärning 6 5 4 tärningarna visar vilka antal ögon som tärning och har. tärningarna visar 6 ögon på både tärning och. 4 5 6 kast med tärning P(A P(B 6 P(A B (enligt ovanstående figur 6 P(A) ÿ P(B 6 ÿ 6 = 6 = P(A B) A och B är oberoende b) Denna situation kan illustreras av nedanstående figur kast med tärning 6 5 4 tärningarna visar vilka antal ögon som tärning och har. tärningarna visar när summan av antal ögon är udda. 4 5 6 kast med tärning
fortsättning uppgift b: P(A 6 8 P(C = 6 P(A C (fås mha den översta raden svarta prickar i ovanstående figur 6 = P(A) ÿ P(C 6 ÿ = = P(A C) A och C är oberoende c) Är de tre händelserna A, B och C oberoende eller beroende av varandra? P(A B C eftersom det inte finns någon situation där både tärning och har 6 ögon samtidigt som summan av antal ögon skall vara udda. P(A) ÿ P(B) ÿ P(C 6 ÿ 6 ÿ = 7 = P(A B C) A, B och C är beroende. Bygg 99 Låt F vara händelsen att vi erhållit det felaktiga myntet. P(F. P(F C.99. a) Låt K vara händelsen att vi erhållit en klave i ett kast. Sannolikheten för K blir givetvis olika beroende på vilket mynt vi har valt. Vi får alltså en betingad sannolikhet. Vi antar att mynten är symmetriska. Alt : Myntet, som vi har valt är inte det felaktiga. P(K.5. Men uppgiften bestod i att vi skulle studera tre kast. Variabeln antal klavar är binomialfördelad. Sannolikheten att få tre klavar i tre kast när vi använder ett felfritt mynt blir P(K K K.5.5 =.5 Alt : Vi har valt det felaktiga myntet. P(K.. Eftersom vi erhåller klave varje gång vi kastar så blir även sannolikheten för att erhålla tre klavar i tre kast P(K K K. Vi kombinerar båda dessa resultat för att få sannolikheten att med ett slumpmässigt valt mynt få tre klavar i tre kast. P(K K K P(K K K F C ) P(F C ) + P(K K K F) P(F.5.99 +.. =.75 Vi kan nu beräkna den efterfrågade sannolikheten genom att använda Bayes sats: P(F K K K P(K K K F) P(F).. =.75 P(K K K ).75
P(K... Kn F) P(F) b) P(F n klavar i n kast = P(K... Kn).. = = C C P(K... K F) P(F) + P(K... K F ) P(F ) n n.....5 n >.9 +.99. ÿ. >.9(. ÿ. +.5 n ÿ.99)..9 >.5 n ÿ.89. >.5 n nÿln.5 > ln.4 n (-.69478) > -6.79448.89 6.79448 n > º 9.799 dvs minst tio kast.69478 Veckoblad : Maskin 888 ξ= kostnaden för ett förlorat bagage a) Förväntad kostnad per passagerare = 6.5 = dollar b) ξ= P(ξ= ).995 6.5 Bygg 99 a) Beräkna sannolikhetsfördelningen för A:s vinst. Antal kast, η P(η=y) Banken betalar ut A:s vinst, ξ 5 5 ( 6 6 6 5 = -5 5 75 ( 6 6 6 5 = 5 5 5 ( 6 6 6 5 5 5 = 5 ( 6 6 6 5 = 5 P(η=y P(ξ=) 5 75 5 Förväntad vinst: E(ξ)] = i P( ξ = i -5ÿ +5ÿ + ÿ +5ÿ = 6 6 6 6 = 85 6 = -.95 dvs en förlust på c:a 4 franc. b) Var(ξ i P( ξ = i ) [E(ξ)] = ((-5) 5 ÿ + 5 75 ÿ + 5 ÿ + 6 6 6 + 5 85 ÿ ) ( ) = 97.944 S(ξ 55.659 6 6
Maskin 987 ξ = antal bilar ξ = Po(λ = 5 bilar/5 min) a) Räkna om λ till antal bilar/ 5 minuter. λ =.667 bilar/ 5 min P(ξ P(ξ e -.667.667 (!.667 + ).54 =.496! Veckoblad 4: Maskin 4 6 6 e a) f ()d = c d + ce d = c + c = 6 4 = c + c ( ) = c ñ c =.5 6 6 b) : F( f (t)dt = < < : t F( f(t)dt = dt +.5( t )dt =.5 =.5 ( +.75( + ) : F( 6t f (t)dt = dt +.5 ( t)dt +.5 e dt = 6t 6 t e e = + 6.5 +.5 =.5( + ) +.5( +.5e + 6 6 6 Fördelningsfunktionen: F(.75(.5e 6 + ) + för för < < för c) P(.5 < ξ) + P(ξ <.5 P(ξ <.5) + P(ξ <.5.5e + +.75( + ) =.5 e - +.565 º.5749 6 = [ ] =.5 [ ] =. 5
Bygg 99 ξ i är Ep(λ i ) F( - i e λ för i =,, där λ =λ =.5 och λ = del och : - F( e -.5 ÿ.5 =.7788 del : - F( e - ÿ.5 =.665 P(systemet fungerar P(del fungerar del fungerar del fungerar (oberoende.7788 ÿ.665 =.68 Kemi 46 a) λ =.5 samtal / min λ =.5 samtal / min P(ξ = e -.5.5.! b) λ =.5 samtal / min λ =.5 samtal / 5 min P(ξ > P(ξ e -.5.5 (!.5.5 + + ).548 =.456!! c) η = tiden mellan två samtal η = Ep(λ =.5 samtal / min) P(ξ > P(ξ ( e -.5 e -.679 Bygg 99 ξ är N(µ, ). 99% 74 µ P(ξ>74.99 P(ξ>74 - P(ξ 74 P(Z 74 µ.99 P(Z 74 µ 74 µ. = -. µ = 74 + ÿ. = 786.6
Veckoblad 5: Väg o vatten a) ξ = pris på brödet ξ = P(ξ = ).8 8. E(ξ ÿ.8 + 8 ÿ. = 7:6 E(Vinst/bröd 7:6 5:-- = :6 kr b) ξ = P(ξ = ) 8.9 8. E(ξ 8 ÿ.9 + 8 ÿ. = 7:-- E(Vinst/bröd 7:-- 5:-- = :-- kr b) ξ = P(ξ = ) 8 p 8 p E(vinst/bröd 8p + 8( p) 5 Om man tolkar frågan så att man måste gå med plus dvs att E(ξ) > 5:-- så får man lösningen 8p + 8 8p 5 = p 7 > p >.7 dvs, det kan innebära att det räcker att efterfrågan första dagen är lite mer än 7%. Om man tolkar frågan så att man måste gå med få ett bättre resultat än vi d den ordinarie försäljningen dvs att E(ξ) > 7:6 så får man lösningen 8p + 8 8p 5 = p 7 :6 p.96 Efterfrågan första dagen måste öka till 96% av tillverkningen. Data 986 σ = 49 P P ( µ < P( < µ < ) ( Z <.57) P( Z <.57. 9898 = PZ < 7 8 P Z < = 7 8