Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 3 poäng. 0 3 poäng: U. 4 3 poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 073 763 7 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. Bestäm (a) (x+) ln x (b) (4p) Det verkar lämpligt att börja med partiell integration (för att bli av med logaritmen): du= (x+) V= ln x (x+) ln x = U= (x+) dv= x = (x+) ln x (x+) x = (x+) ln x x + x+ x = (x+) ln x (x++ x ) = (x+) ln x ( x + x+ln x)+c = (x+) ln x x 4 x ln x+ C Rättningsnorm: Insett att partiell integration ska användas: p. Korrekt genomfört partiell integration: p. Skrivit om andra integralen på ett användbart sätt: p. Löst andra integralen korrekt: p. (Inget avdrag om man glömt +C.) 3 x x (Tips: a t = e t ln a om a>0.) (4p) Det verkar lämpligt att börja med substitution: 3 x = t x=3 t= 9 x x = x =dt x = dt x= t= = = 9 t dt [ t ] 9 ln = ( 9 ln ) ( ln )= 3 04 ln
MAA4 Lösning Sida (av 5) Rättningsnorm: Insett att det är substitution som ska användas: p. Substituerat på ett korrekt sätt: p. Lyckats hitta primitiv funktion till till den nya integranden: p. Hanterat gränserna korrekt (antingen genom att substituera dem eller genom att byta tillbaka till x): p. (a) Skissa kurvan y= x för x. (p) Se (b), eftersom figuren används där. Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? (b) Bestäm ett approximativt värde på x genom att dela upp området i fyra lika breda delintervall och utgå från funktionsvärdena i delintervallens högra ändpunkter. (p) Vi behöver en värdetabell. Funktionen är jämn, vilket kan utnyttjas: Skiss: x f (x) 0 0 = ± = = 0,5 ± = 6 = 0,065 0 Indelning i 4 delintervall ger intervallbredd x= ( ( ) ) /4=. Approximation: x + + + 6 33 = 6 =,065 Rättningsnorm: Det gör inget om man summerar fel, så länge man summerat rätt saker. Svårt att säga hur en p:s-variant skulle se ut, men de finns säkert. Kommentar: Just den här funktionen är det omöjligt att hitta en primitiv funktion till, så integralen går inte att beräkna med hjälp av fundamentalsatsen del. Man är tvungen att approximera (fast man gör det väl mer noga än vad vi har gjort här). (c) Här är en del av grafen för funktionen f. f (t) 3 0 0 3 4 t Funktionen g definieras enligt g(x)= x f (t) dt. Vad är g (3)? Motivera! (p)
MAA4 Lösning Sida 3 (av 5) Enligt fundamentalsatsen del är d x f (t) dt= f (x). Så a g (3)= f (3)=, enligt grafen. Om man glömt fundamentalsatsen del men kommer ihåg del så kan man utgå från att f har den primitiva funktionen F och göra något i den här vägen: g (x)= d x a f (t) dt= d ([ ] F(t) x d( ) a) = F(x) F(a) = F (x) 0= f (x) Rättningsnorm: På något sätt motiverat att g (3)= f (3): p. Rätt svar: p. (d) Funktionen h har derivatan h (x)=e x +sin x, och h(0)=4. Ta fram en formel för h(x). (3p) Vi söker primitiv funktion: (e x + sin x ) = ex cos x + C Nu ska vi bestämma värdet på C: 4=h(0)= e0 cos 0+C= +C= 3 +C C= 4+ 3 = Svar: h(x)= ex cos x + Rättningsnorm: Bestämt rätt primitiv funktion: p. Vid fel med inre derivator men rätt i övrigt: p. Korrekt bestämning av C: p 3 Vilken/vilka punkter på kurvan y= ligger närmast origo? Motivera noga! (8p) x Snabbskiss: 4 3 3 0 3 4 Det måste finnas två svar, ett på vardera kurvdelen. Om vi kallar avståndet från punkten (x, y)=(x, /x ) till (x, y)=(0, 0) för z har vi z= (x 0) + (/x 0) = x + 4/ = Vi söker minimum för z genom att derivera: x6 + 4 dz = d ( x 6 + 4 ) / = Derivatan blir noll då täljaren är noll: ( x 6 ) + 4 / 6x5 (x 6 + 4) 4x 3 = ( ) x x6 + 4 (x6 8) x 5 = x 6 8 x 3 x 6 + 4 x 6 8=0 x 6 = 8 (x ) 3 = 3 x = x=±
MAA4 Lösning Sida 4 (av 5) Vi ser i figuren att det måste finnas ett minimum, och eftersom det här är de enda punkter där derivatan är noll (och icke deriverbara punkter och ändpunkter saknas) så måste detta vara minimipunkten. Annars kan vi motivera med teckentabell: x 0 z 0 + odef 0 + z ց min ր odef ց min ր (Man kan också använda andraderivatatestet, men att beräkna andraderivatan verkar inte så underhållande... ) Till dessa x-värden hör y=/( ) = /( ) = /=. Svar: De två punkter som ligger närmast origo är (x, y)=(, ) och (x, y)=(, ). Man kan förenkla beräkningen genom att istället minimera kvadraten på avståndet, w=z. Det ger samma svar men enklare derivering: dw = d x 6 + 4 = 6x5 x4 (x 6 + 4) 4x 3 = (x6 8) ( ) x 5 Också här är derivatans nollställen lösningarna till x 6 8=0. Om man ritar in kortaste vägen i figuren ser man för övrigt att den är normal till kurvan. Rättningsnorm: Ställt upp ett fungerande uttryck för avståndet: p. Deriverat korrekt: p. Bestämt nollställen korrekt: p. Motiverat att nollställena motsvarar minimum: p. Faktiskt svarat på frågan:p Inga avdrag för följdfel: om man har fel uttryck men analyserar det på korrekt sätt får man full poäng för analysen, osv. Mindre räknefel på p-momenten ger p:s avdrag. Om man inte lyckats räkna något, men ändå gjort något konstruktivt, t.ex. ritat en korrekt graf och konstaterat att det måste finnas två svar, ges högst p. 4 Kurvorna y = cos(πx) och y = x avgränsar tillsammans ett ändligt område. (a) Skissa området, och bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna. (3p) Grafen för cos(πx) är en vanlig cosinuskurva hoptryckt med en faktor π, vilket gör att perioden blir. x x 0 Absolutbeloppsfunktionen kan skrivas x = x x<0. Snabbskiss: 3 3 Det ser ut som att kurvorna skär i (, 0) och (, 0) vilket kan verifieras: x= : cos(π )=cosπ = 0 = =0 Symmetri ger att även den andra skärningspunkten stämmer. Och det är uppenbart att det inte finns fler skärningspunkter; linjestyckena försvinner bortanför cosinuskurvans värdemängd. Rättningsnorm: Korrekt bild av cosinuskurvan: p. Korrekt bild av absolutbeloppsuttrycket: p. Korrekta skärningspunkter för det man ritade (oavsett om det var rätt eller fel): p. (b) Bestäm områdets area. (5p)
MAA4 Lösning Sida 5 (av 5) Området består av två lika stora delar, så det går bra att räkna ut arean på det ena och fördubbla: / [ ] / A= ( ) sin(πx) cos(πx) (x ) = x + x 0 π 0 = sin(π ) ( ) sin(π 0) ( π ) + 0 + 0 = π π + 4 a.e. Svar: Arean är /π + / a.e. Rättningsnorm: Ställt upp korrekt integral för ena halvan av området: p. Korrekt primitiv funktion: p. Korrekt värde: p. Korrekt hantering av andra halvan: p. Om man ritade felaktigt på (a)-uppgiften men gör en korrekt beräkning av det man ritat ges full poäng här.