Galileo (1564-1642) En tydlig bild av relativ rörelse var utvecklad: * Detta kallas nu den Galileiska transformationen där man kan utföra experiment med identiska utfall om man står stilla eller är i konstant rörelse. 1 1 2 2 0m 5m Genom att tänka på rörelsen som sammansatt av en komponent neråt som utsätts för konstant acceleration och en rörelse åt sidan som är en konstant, får Galileo en parabolisk rörelse för en kropp som både faller och rör sig åt sidan. 20m 45m 80m 0s 1s 2s 3s 4s 0m 20m 40m 60m 80m 3 3 4 4
5 5 6 6 Newton 1643-1727 Newton i Woolsthorpe Lite biografi om Newton Härleding av planeternas rörelse Översikt av Principia Diskussion av mekanikens grundlagar 7 8
Isac Newton Föddes 1642 när Galileo dog Hans far, som var analfabet, dog innan Isac föddes Han fick en präst till styvfar Han hade ett dåligt förhållande med familjen. Han hotade att bränna ner huset Från 1653 togs han ur skolan för att sköta gården, då skolan inte gick något vidare. Hans farbror fick in honom i skolan igen 1660 Han erkände synder : mer intresserad av pengar, lärdom och nöje än Gud Började på Trinity College 1661 Vid Trinity ville han bli jurist Till slut blev han mer intresserad av naturfilosofi och läste Aristoteles, Platon, Descartes Han blev sedan intresserad av Copernicus och Kepler, Galileo Intresserade sig för matematik 1663 när han upptäckte att han inte behärskade geometri, vilket behövdes för att förstå astrologi. Då läste han Euklides. Blev till slut magister i april 1665 9 10 Pesten tvingade skolan att stänga sommaren 1665 varvid Newton flyttade hem Under två år (23-25 års ålder) utvecklade han där diffrentialkalkylen (fluxions) samtidigt med Leibnitz och rörelselagarna som sedan definierade kroppars rörelser på jorden och planeternas rörelser i rymden. Han återvände till Trinity och fick stipendium Utvecklade senare ljusets sammansättning i färger Blev fellow efter att ha donerat ett reflektorteleskop till Trinity 11 12
Newton beskrivs som äregirig men också någon som undvek konflikter. Han utkämpade en fejd med Hooke if I have seen further, it s because I have stood on the shoulders of giants. (Hooke var väldigt kort) Opticks som kom ut 1671 undersökte fenomenet refraktion 13 14 Newton var en mångsysslare Alkemi, religion, vissa idéer som han helst höll i hemliga. Vi återgår nu till huvudämnet, vilket är innehållet i Principia 15 16
1665 - Newton åker hem och förbereder vad som kom att bli en total omställing av den naturfilosofiska världsbilden Skapade teorin för fluxioner (De Methodis Serierum et Fluxionium, 1671) Tänkte igenom Principia Funderade igenom vitt ljus som sammansatta färger Det finns ev. sanning i historien om Newton och äpplet.. Medan Newton reflekterade över livet föll ett äpple och enligt historien inspirerade det honom till argumentet illustrerad på följande sida vilket, enligt min mening, är ett av de tre mest eleganta fysikaliska argumenten överhuvudtaget. Väl borta från universitet kunde han vara kreativ. 17 18 Han beskriver sina idéer mycket senare (1680) i A treatise of the system of the world. En projektil som skjuts med högre och högre fart har banorna D,E,F,... till den blir tillräckligt snabb för att kretsa runt jorden (30.000 km/t) Vid ett möte 1684 diskuterade Christoffer Wren och Edmund Halley möjligheten att gravitationskraften var omvänt proportionell mot kvadraten på radien från gravitationscentrum. Hooke påstod att han kunde bevisa det, men kunde till slut inte prestera något bevis. De vände sig till Newton som sade att han hade bevisat detta några år tidigare och framförde ett bevis en kort tid därpå. Han gick också steget längre och visade att det skulle bli ellipser enligt Keplers teori. Det var en för tiden mycket avancerad beräkning. Halley förmådde Newton att skriva ihop beviset 19 20
Newton protesterade, men 18 månader senare hade han skrivit ihop Principia och bevisat dessa slutsatser. Royal Society hade inte pengar att publicera pga budgeten för History of Fishes. Så Halley betalade publikationen själv 1687. Beviset accepterades i England men inte på kontinenten. 1687 21 22 Efter Principia blev Newon tjänsteman, kändis och därefter hade han inte några fler vetenskapliga framgångar. Newtons Principia: härledning av planeternas rörelser och dess konsekvenser för astromin 23 24
Stjärnor och äpplen som faller En projektil som skjuts med högre och högre fart har banorna D,E,F,... till det blir tillräckligt fort för att kretsa runt jorden (30.000 km/t) Vi följer en kropp som följer en cirkulär bana under ett kort tidsintervall: R! vt v! vt R = at v at Detta kan göras kvantitativt. 25 Dessa två uttryck löses enkelt till a = v2 R 26 Newtons observation att accelerationen är Genom att stoppa in det kända a=10 m 2/s och R=6370 km blir det v = 30.000 km/t för att åstadkomma omloppsbana vid jordens yta. Med kunskap om avståndet till månen, och månens omloppstid visste han månens hastighet och därigenom visste han också att a motsvarande månens acceleration var cirka g/3600. Eftersom avståndet till månen var på 60 ggr jordens radius visade han att kraften var proportionell till 1/R 2 a = v2 R tillsammans med hans observation att månens rotation motsvarar en acceleration proportionell mot månens avstånd i kvadrat ger utan större svårighet Keplers lag. 27 28
Detta gav Keplers rörelselagar: v 2 /R = K/R 2 Newtons gravitationslag v 2 R = K Multiplicera båda led med R 2 (2πR/T ) 2 R = K v = (2πR/T ) Det svåra, som Newton ägnade många månader åt och som också presenterades i Principia var att planeternas banor faktiskt blev ellipser. För att räkna ut detta fick han skapa ny matematik. R 3 /T 2 = K/(4π) 2 Denna beräkning är förhållandevis enkel. Newton förenade rörelser i himlen och på jorden och visade att samma rörelseekvationer beskrev de båda. 29 30 Avvikelser från perfekta ellipser hos planeterna användes sedan för att hitta nya planeter: Uranus upptäcktes 1781 av Herschel med teleskop Intressant notering:... Galileo såg Neptunus men hade fullt upp med annat! Neptunus blev nästan upptäckt av Galileo* men sedan identifierad genom avvikelser från Uranus bana. Avvikelser hos Neptunus ledde till slut till upptäckten av Pluto 1930. * Nästa OH bild Neptunus råkade vara i Galileos kikare när han studerade Jupiter. Han noterade en stjärna som rörde sig men följde aldrig upp denna observation. 31 32
Newtons ekvationer ger en fullständig förklaring till väsentligen alla uppmätta astronmiska rörelser från 1670-talet till 1882 när Newcombe mätte avvikelser från perfekta ellipser hos Merkurius. Bilden ovan är väldigt överdriven Avvikelsen är endast 1/1000 grad per hundra år! Och en konsekvens av Einsteins allmänna relativitetsteori. 33 34 DEFINITION I Newtons Principia: rörelselagar Principia är uppenbarligen inspirerad av Euklides med definitioner och logiska resonemang. Först definierar Newton massa, och är noggrann att peka ut att den verkar sammanfalla med vikt The quantity of matter is the measure of the same, arising from its density and bulk conjointly. THUS AIR of a double density, in a double space, is quadruple in quantity; in a triple space, sextuple in quantity. The same thing is to be understood of snow, and fine dust or powders, that are condensed by compression or liquefaction, and of all bodies that are by any causes whatever differently condensed. I have no regard in this place to a medium, if any such there is, that freely pervades the interstices between the parts of bodies. It is this quantity that I mean hereafter everywhere under the name of body or mass. And the same is known by the weight of each body, for it is proportional to the weight, as I have found by experiments on pendulums, very accurately made, which shall be shown hereafter. 35 36
Därefter definierar Newton impulse som produkten av massan och hastigheten p = mv DEFINITION II The quantity of motion is the measure of the same, arising from the velocity and quantity of matter conjointly. The motion of the whole is the sum of the motions of all the parts; and therefore in a body double in quantity, with equal velocity, the motion is double; with twice the velocity, it is quadruple. 37 38 Sedan definieras tröghet dvs inertia och Newton redovisar att den motsvarar massa DEFINITION III The vis insita, or innate force of matter, is a power of resisting, by which every body, as much as in it lies, continues in its present state, whether it be of rest, or of moving uniformly forwards in a right line. This force is always proportional to the body whose force it is and differs nothing from the inactivity of the mass, but in our manner of conceiving it. A body, from the inert nature of matter, is not without difficulty put out of its state of rest or motion. Upon which account, this vis insita may, by a most significant name, be called inertia (vis inertiae) or force of inactivity. But a body only exerts this force when another force, impressed upon it, endeavours to change its condition; and the exercise of this force may be considered as both resistance and impulse; it is resistance so far as the body for maintaining its present state, opposes the force impressed; it is impulse so far as the body, by not easily giving way to the impressed force of another endeavours to change the state of that other. Resistance is usually ascribed to bodies at rest, and impulse to those in motion; but motion and rest, as commonly conceived, are only relatively distinguished; nor are those bodies always truly at rest, which commonly are taken so 39 40
Sedan följer definitionen av en kraft som någonting som ändrar en kropps bana från rät. DEFINITION IV An impressed force is an action exerted upon a body, in order to change its state, either of rest, or of uniform motion in a right line. This force consists in the action only, and remains no longer in the body when the action is over. For a body maintains every new state it acquires by its inertia only. But impressed forces are of different origins, as from percussion, from pressure, from centripetal force. 41 42 Sedan följer en noggrann formulering av centrifugalkraft, dvs kraft som påverkar en kropp i riktning lodrätt mot rörelsen v F 43 44
Sedan följer en mycket noggrann diskussion av vad som nu kallas inertialsystem (ett laboratorium som står absolut still eller är i konstant rörelse) och absolut tid och rum. Notera att exemplet om relativ och absolut rörelse tycks vara hämtat från Oresme IV. Absolute motion is the translation of a body from one absolute place into another; and relative motion, the translation from one relative place into another. Thus in a ship under sail, the relative place of a body is that part of the ship which the body possesses; or that part of its cavity which the body fills, and which therefore moves together with the ship: and relative rest is the continuance of the body in the same part of the ship, or of its cavity. But real, absolute rest, is the continuance of the body in the same part of that immovable space, in which the ship itself, its cavity, and all that it contains, is moved. 45 46 Wherefore if the earth is really at rest, the body, which relatively rests in the ship, will... move with the same velocity which the ship has on the earth. But if the earth also moves, the... motion of the body will arise, partly from the true motion of the earth, in immovable space; partly from the relative motion of the ship on the earth; and if the body moves also relatively in the ship; its true motion will arise, partly from the true motion of the earth, in immovable space, and partly from the relative motions as well of the ship on the earth, as of the body in the ship; and from these relative motions will arise the relative motion of the body on the earth.... Sedan följer en diskussion om tid och absoluta tidsmätningar: en tes som står sig 220 år fram till Einsteins relativitetsteori. 47 48
Absolute time, in astronomy, is distinguished from relative, by the equation or correlation of the vulgar time. For the natural days are truly unequal, though they are commonly considered as equal and used for a measure of time; astronomers correct this inequality for their more accurate deducing of the celestial motions. All motions may be accelerated and retarded, but the true, or equable, progress of absolute time is liable to no change. perseverance of the existence of things remains the same, whether the motions are swift or slow, or none at all.... Dessa diskussioner definierar vad som kallas en Galileisk tranformation, dvs man kan förflytta sig i tid eller med konstant hastighet utan att någon mätbar förändring av någonting lokalt uppstår. Dessa naturlagar var en fullständig beskrivning av alla kända naturfenomen i 200 år. Sedan följer de tre Newtonska rörelselagarna: 49 50 Newtons rörelselagar: I Varje kropp i ett inertialsystem förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig och rätlinjig rörelse om den inte påverkas av någon kraft. II Accelerationen a hos en kropp är proportionell mot den totala sammanlagda kraft F som verkar på kroppen, och inverterad proportionell mot trögheten ( massan ) m. dv.s F = ma. III Varje kropp som påverkar en annan kropp med en kraft F påverkas i sin tur av den andra kroppen med en lika stor men motriktad kraft!f. I Varje kropp i ett inertialsystem förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig och rätlinjig rörelse om den inte påverkas av någon kraft. Exempel 1: Hockeypuck Exempel 2: När man rycker en toalettpappersrulle 51 52
53 54 Svar enligt Newton... lägg ihop alla krafter med pilar! II Accelerationen a hos en kropp är proportionell mot den totala sammanlagda kraft F som verkar på kroppen, och inverterad proportionell mot massan m. dvs F = ma. 100 200 100 100 50 50 100 Vilket block utsätts för den största påfrestningen? 100 = 50 + 50 55 100 200 = 100 + 100 56
50 = 10+ 10 + 10 + 10 + 10 = kraft på fästet Ett mera komplicerat exempel... räkna bara antal snören så får man utväxlingen i ett block III Varje kropp som påverkar en annan kropp med en kraft F påverkas i sin tur av den andra kroppen med en lika stor men motriktad kraft!f. Exempel 1: Exempel 2: alla molekylerna i din kropp! 10 + 10 + 10 + 10 = 40 = kraft i nedre blocket Summan av alla små bidrag +F och -F blir noll, annars skulle vi inte hålla ihop! 57 58 Ballong som flyger eller en jet-motor Två tidvatten per dag bekräftar Newtons teori nymåne fullmåne SOLEN månen jorden/vattnet månen kvartsmåne 59 60
Nu kommer man till det mest abstrakta och viktiga... skillnaden mellan tröghet och vikt 61 62 Newton diskuterar skillnaden mellan vikt och tröghet (massa)... Trögheten M motsvarar 1000 g i alla dessa fall: F g = M g g Gravitationskraften är proportionell mot vikten F = Ma Kraften för att åstadkomma given acceleration är proportionell mot trögheten Om vi förflyttar oss är massan alltid densamma men vikten ändrar sig. Tom ekvatorn Kiruna vikt M g = 1000 g 1003 g Vikten är dock olika månen 150g 63 64
(1) Kan du kasta en kula snabbare på månen än på jorden? (2) Kan du kasta kulan längre på månen? Vi analyserar Galileos Pisa-experiment (som antagligen är en skröna) som visar den principiella skillnaden mellan tröghet och vikt... svar: (1) nej (2) ja 65 66 F = M g g Gravitationskraften är proportionell mot vikten M g g = Ma F g F = Ma För en kropp som faller blir Kraften för att åstadkomma given acceleration är proportionell mot trögheten Om inte gravitationsmassan och trögheten var identiska skulle olika kroppar accelereras olika fort i vårt gravitionsfält! M g g = Ma 67 68
Detta är en mycket viktig fråga. Om inte gravitationsmassan och tröghetsmassan visar sig vara exakt densamma måste man överge Einsteins relativitetsteori. Därför har detta förhållande mätts med mycket stor precision: Senaste mätningarna (1999) visar Härledning av den universella gravitationslagen och Cavendish (1798) mätning av jordens massa M g M = 1 ± 10 13 69 70 Newtons observation att accelerationen är a = v2 R tillsammans med hans observation att månens rotation motsvarar en acceleration proportionell mot månens avstånd i kvadrat ger utan större svårighet Keplers lag. Newtons formulering.. all matter attracts all other matter with a force proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between them. Modern formulering F = K m 1m 2 R 2 71 72
Låt oss ta två godtyckliga kroppar och undersöka kraften på vardera. Enligt Newton, är kraften på en kropp pga gravitationen proportionell mot massan Cavendish experiment, 1798 F 1 m 1 F 2 m 2 R Text F 1 = F 2 F = K m 1m 2 R 2 Krafterna måsta vara lika enligt 3:e lagen och omvänt proportionellt mot R 2 enligt Kepler och mätningar 73 74 Genom att mäta kraften F med sådan apparat, och kännedom om m 1 m 2 g och R var det bara att räkna ut K F = K m 1m 2 R 2 Nu tillämpar vi det på en kropp som är på jorden F = K m 1m 2 R 2 Nu tillämpar vi detta på en kropp vid jordens yta. m 1 m 2 = kroppens massa = jordens massa (okänd) K = gravitations-konstant, mätt av Cavendish R = jordens radie, vilken var känd. F = kroppens vikt ( g m 1 ) Vi kan därigenom räkna ut jordens massa! 75 76
Detta experiment gjordes av Cavendish, som fick K = 6.63 10 11 m 3 s 2 /kg och därigenom M e = 6.6 10 21 ton Sammanfattning: 1700 Man hade en fullständigt korrekt och kvantitativ bild av det som var känt av de mekaniska grundlagarna som sedan höll i 200 år. Utvecklingen i matematiken fortsatte i en rasande takt och man hade en grundsten för en vidare utveckling av den klassiska fysiken. Man hade till slut, efter 2000 år, lagt den gamla grekiska naturfilosofin bakom sig. 77 78 Newtons snilleblixt var en enkel grundidé, som utvecklades fullständigt med logiska och matematiska resonemang och som testades med ytterligare experiment. 79 80
81 82 83 84