I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4 + 8 + 16 + 3 med dosans hjälp får vi den första summan till 63 och den andra också till 63. (Den första frågan man ställer sig är förstås om alla summor av talföljder blir 63. Nej så är det förstås inte.) Då differensen mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant (alltid lika stor) kallar vi talföljden aritmetisk. Då kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant (alltid lika stor) kallar vi talföljden geometrisk De geometriska talföljderna lämnar vi här till nästa föreläsning. När vi diskuterade talföljder var dessa ofta oändliga. När vi nu ska studera summor av aritmetiska talföljder är de alltid ändliga. Vad är summan av 1 + + 3 +... + 98 + 99 Om man inte kommer på något bättre tvingas man knappa in 99 tal på dosan komma fram till svaret efter 5 minuter. När Carl Friedrich Gauss, kanske tidernas störste matematiker, gick i skolan, berättas det, blev han ofta klar med sina uppgifter långt före sina kamrater. Så långt före, att det irriterade hans lärare, som hade svårt att finna lämpliga extrauppgifter. På den tiden hade eleverna små griffeltavlor, i stället för kollegieblock, som de räknade på. När den pressade magistern uppmanade Carl Friedrich att lägga ihop talen 1 till 99 hade han tänkt sig få lite andrum. Men Carl Friedrich hade inte mer än hört frågan innan ha direkt skrev ned summan på griffeltavlan och lade fram Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Figur 1: den på lärarens kateder. Vilket tal stod det på tavlan och vilken teknik hade han använt för att så snabbt kunna ge svaret? Man behöver bara studera figur 1 ett ögonblick för att förstå Gauss idé. Det finns 49 par av tal, som vart och ett har summan 100. Återstår sedan talet 50. Vi får s = 49 100 + 50 = 4950 Detta är ett exempel på hur man kan summera en aritmetisk talföljd. Nu över till den inledande talföljden: 3, 6, 9, 1, 15, 18 och till en annan uppställning 3 6 9 1 15 18 18 15 1 9 6 3 1 1 1 1 1 1 Vi startar med att skriva in talföljden på första raden Vi skriver i talföljden en gång till, men nu baklänges Vi adderar kolumnerna och blir inte förvånad över att alla summor blir lika. Vi summerar sedan summorna. Denna summa är förstås dubbelt så stor som den vi söker. Vi dividerar därför med och vi har den eftersökta summan. Alltså 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 s = = 63 Talet 1 fick vi på 6 olika sätt. Speciellt då vi summerade det största och det minsta talet i följden. Vi fick talet 1 lika många gånger som det finns tal i följden. Nu kan vi skriva ner en formel som alltid gäller s n = n(a 1 + a n ) n är antalet tal i talföljden. a 1 är det första talet i följden (behöver inte vara det minsta). a n är det sista talet i talföljden (som inte heller behöver vara det största). Håkan Strömberg KTH Syd
Man kan enkelt ta reda på ett tal med ett bestämt ordningsnummer i en aritmetisk talföljd. Ett exempel: Vi har följden 11, 4, 37, 50,... Vilket är det 007 talet i denna talföljd? Vi konstaterar att differensen hela tiden är 13. Något som är ett krav för aritmetiska talföljder. För att få det önskade talet a n = 11 + 13(n 1) a 007 = 11 + 13(007 1) = 6089 Om differensen är d och det första talet är a 1 får vi formeln för vilken aritmetisk talföljd som helst. a n = a 1 + d (n 1) 1 Skriv de fem första talen i den aritmetiska talföljden, där första talet är 80 och differensen 10 80, 90, 100, 110, 10 Du vet att att det första talet i en aritmetisk talföljd är 13 och att differensen är 39. Bestäm vilket ordningsnummer talet 591 har. Vi har formeln a n = 13 + 39(n 1) Den här gången känner vi talet 591, men inte ordningsnumret n, som vi kan ta reda på genom ekvationen 591 = 13 + 39(n 1) 591 13 + 39 = 39n 507 = 39n n = 13 3 Vilket ordningsnummer har talet 784 i den aritmetiska talföljden Först skriver vi ned formeln 0, 7, 14, 1,... a n = 7(n 1) Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Sedan löser vi ekvationen 784 = 7(n 1) 7n = 791 n = 113 Svar: Ordningsnumret är 113. 4 Beräkna den aritmetiska summan 5 + 16 + 7 +... + 1094 + 1105 Först måste vi ta reda på hur många termer serien innehåller. Formeln är Sedan löser vi ekvationen a n = 5 + 11(n 1) 1105 = 5 + 11(n 1) n = 101 Vi vet nu att summan innehåller 101 termer. Vi använder till sist formeln s = 101(5 + 1105) = 56055 5 Är talföljden aritmetisk? Beräkna i så fall summan av de 0 första talen. a) 6, 8, 10, 1, 14,... b), 4, 8, 16, 3,... c) 36, 33, 30, 7, 4,... d) 15, 100, 80, 64,... a) Formeln är a n = 6 + (n 1) a 0 = 6 + (0 1) = 44. Summan blir då Svar: 500 b) Ej aritmetisk c) Formeln är s 0 = 0(6 + 44) = 500 a n = 36 3(n 1) a 0 = 36 3(0 1) = 1. Summan blir då Svar: 150 s 0 = 0(36 1) = 150 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
d) Ej aritmetisk 6 Bestäm talet x, om talen..., 8 + x, 10, 3 + x,... finns efter varandra i en aritmetisk talföljd. Alla differenser ska vara lika stora. Vi kan teckna differensen på två sätt och får ekvationen 10 (8 + x) = 3 + x 10 10 8 x = 3 + x 10 9 = 3x x = 3 7 I en aritmetisk talföljd är a 10 = 0 och a 0 = 10. Bestäm a 30. Antag att b 1 = 0 då blir b 11 = 10 och ordningsnumret på det tal vi söker 1. Nu bestämmer vi Svar: a 30 = 0 b 11 = b 1 + d(11 1) 10 = 0 + d(11 1) d = 1 b 1 = 0 1(1 1) = 0 8 Symbolen, den grekiska bokstaven sigma, används normalt för att teckna summor. Till exempel 3 k + 1 = ( 1 + 1) + ( + 1) + ( 3 + 1) = 3 + 5 + 7 = 15 k=1 Bestäm Vi får summan 4 3k 1 k=0 1 + + 5 + 8 + 11 = 17 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
1L Skriv de fem första talen i den aritmetiska talföljden, där a n = 0 + 4(n 1) L Vilket är det 100:e talet i den aritmetiska talföljd där första talet är 9 och differensen 10 3L Vilket ordningsnummer har talet 56 i den aritmetiska talföljden 4L Beräkna 5L Bestäm 104, 1016, 1008... 0 i=10 5i 3 1000 (6(i + 1) 6i) i=1 6S När Adam stod på startlinjen inför årets maratonlopp. Kom han att tänka på att summan av numren på de nummerlappar som var lägre än hans var lika stor som summan av talen på de nummerlappar som högre än hans. Loppet hade 88 deltagare. Vilket startnummer hade Adam? 1 a 1 = 0. Differensen är 4, så talen blir Vi använder direkt formeln för n = 100 och får 0, 4, 8, 3, 36 a n = 9 + 10(n 1) a 100 = 9 + 10(100 1) = 999 3 Det är inget som hindrar att talföljden är avtagande, vilket betyder att d < 0. Det är heller inget som hindrar att de ingående talen är < 0. Först skriver vi formeln a n = 104 8(n 1) Vi söker ordningsnumret för talet 56 och får ekvationen 56 = 104 8(n 1) 56 = 104 8n + 8 8n = 104 56 + 8 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
4 När vi tolkat uttrycket rätt har vi summan 47 + 5 + 57 + 6 + 67 + 7 + 77 + 8 + 87 + 9 + 97 Med hjälp av formeln för aritmetiska summor får vi s = 11(47 + 97) 5 Genom att förenkla finner vi snabbt svaret = 79 1000 1000 (6(i + 1) 6i) = 6 = 6000 i=1 6 Antag: Adam hade startnummer x. Summan av de nummer som var lägre än Adams 1,, 3,..., x 1 kan skrivas (x 1)(1 + x 1) x(x 1) s L = = Summan av de nummer som var högre än Adams kan skrivas i=1 x + 1, x +,..., 88 s H = (88 (x + 1) + 1)(x + 1 + 88) Genom att sätta s L = s H får vi ekvationen = (88 x)(89 + x) Svar: Adam hade startnummer 04 x(x 1) = (88 x)(89+x) x(x 1) = (88 x)(89 + x) x x = 833 x x x = 833 x 1 = 04 (x = 04) Håkan Strömberg 7 KTH Syd