Technology Management Mapleövning 3

Technology Management Mapleövning 3 Namn: Personnummer: Allmänt Denna andra övning kommer huvudsakligen att handla om funktioner av mer än en variabel. Inledningen till dagens pass ägnas dock åt resonans (högst ytligt). Resonans Vanliga ekvationer, t.ex. x 2 3x 2 0 har du stött på ett otal gånger. Lösningen är då tal. En annan typ av ekvationer är differentialekvationer. De utgörs av ett samband mellan en funktion y och vissa av dess derivator. I gymnasiet kan du eventuellt ha stött på vissa sådana ekvationer. Exempel. Betrakta begynnelsevärdesproblemet y t 3y t 2y t t 2 y 0 2 y 0 1 Utöver själva differentialekvationen finns här också krav på funktionen då t 0 Om t uppfattas som tiden så är dessa krav på funktionen y i begynnelsen (t 0). Maple kan naturligtvis lösa dylika problem. I detta fall kan det ske på följande sätt "!$#&%(''*),+*).-/.-01/243657&%('8'*)9+*),-/$-/24185+*).-/:#-&;:1<.+*)>=&/#419?<)9+&/@)>=/#AB 6C)ED4F>D+*).-/:F/B Ibland kan man behöva lägga till t ex Försök nu även med 4%HG4I&8%('4+*)>JIK7L8*)9M//B K "!.#&%(''<)9+*).-/@$-01/723657&%''*),+<).-/@.-/7241657+<).-N/#-&;1B 6C)EDK4F>D+*).-/:F/B och jämför med förra svaret. Det första begynnelsekravet y 0 2 innebär att funktionsgrafen ska gå genom punkten 0 2. Det andra begynnelsekravet D y 0O 1 innebär att derivatan ska vara 1 då t 0. Det är alltså ett krav på funktionsgrafens lutning i punkten 0 2. Lösningen blir Du kan lätt rita lösningen t.ex. med kommandot till begynnelsevärdesproblemet.

I&4-<)9N)9MMM/$-8# = 3 A/B (Kommandot är en förkortning av right hand side.) Notera att kurvan startar i punkten 0 2. Vilken lutning har den där? För att få rätt lutning kan du klicka inuti kurvan och sedan på knappen 1:1. Så får du nämligen samma skala på båda axlarna. En källa till differentialekvationer är Newtons kraftekvation enligt vilken massan gånger accelerationen = kraften, med formel ma F, där a t C v t C s t, och a acceleration, v fart, s sträcka och t tiden. Betrakta exempelvis ekvationen y t F t 0 2y t 16 01y t. Här skulle en möjlig tolkning kunna vara att y t betyder massan 1 gånger accelerationen, 0 2y t kommer från en bromskraft, 16 01y t är en återförande fjäderkraft och F t är en yttre kraft. Om den yttre kraften varierar med en viss frekvens kan lösningen y t uppnå stora värden. Vi säger att det har uppstått resonans (mer om detta längre ner). Allmänbildning och repetition (åtminstone från grundskolans fysikkurs om växelström och troligen från triangelsolvering i matten). I optimeringskursen behandlas inte de trigonometriska funktionerna. En kort resumé finns dock i appendix C. Vad som behövs för stunden känner du dock till från din skoltid. Först definitionen av sinusfunktionen (se figur nedan): Betrakta en punkt P x y på enhetscirkeln. Vinkeln AOP mäts i radianer (180 motsvarar π radianer). Eftersom cirkelns radie är 1 blir längden av den feta cirkelbågen AP också t. Nu definieras sint som den andra koordinaten för punkten P. Alltså är y sint. I ett rätvinkligt ty-koordinatsystem avsätts nu punkten t y. Om detta sker för varje t i intervallet 0 t 2π fås sinusfunktionens graf på detta intervall. Efter 2π (= ett varv moturs) startar funktionen om på 0. En animation av förloppet kan du hämta i form av ett : & 4:- på nätet. Innan du går vidare ska du spara dagens arbete på diskett och printa ut lösningskurvan till begynnelsevärdesproblemet ovan (samma skala på axlarna!) för inlämning. Ikonisera sedan Maple och starta Netscape. Gå till adressen 4--I! GK- 7- : GK-GK-N% 7-76K-7&-74 K:L4-G&-: 6K7L4-G:-7 4-G Spara filerna sinmovie.mws och resonans.mws på C!-67G4I Stäng Netscape. Återgå till Maple. Gå till &% och 7I7L. Välj C!-G4I och där filen sinmovie.mws. Klicka på figuren och sedan på play -knappen. 2

y P x y y t sint 1 O t A x t t y y sint t 2π t Då periodiska (ekonomiska) förlopp skall beskrivas kan sinus och cosinusfunktionen komma till pass. (cosinus definieras analogt. Den ges av punkten P:s förstakoordinat, dvs. x cost.) I detta sammanhang kan du använda sinus för att modellera en periodisk yttre kraft. Mera precist skall du studera hur lösningen till begynnelsevärdesproblemet y t 0 2y t 16 01y t& 10sin ωt y 0 0 y 0 1 in filen resonans.mws. Du får då tillgång till komman- beror av ω Läs från C!-67G4I dosviten G 8K"!$#AB "!$#&%''*)9+*)9-/$-01/2A 857&%('8'*)9+*),-/$-/2A 8=&A A7==857+").-/#A(=8546%HL") G 8K5-/ +*)>=/#8=$?<)9+/O)>=/#NAB '!.#),C)>D8F,D+*)9-/7F// B '!.# G %HLC)>JIK7L8<)9'&/$-8&%&/@B I&-<),'<$-8#4= 1=/@B 76@ G %HL (Notera att näst sista raden blivit överflödig tack vare vidareutvecklingen av Maple.) Du får en lösning då ω 1. Vi är närmast intresserade av att i grafen - efter en stund - avläsa det största värde som lösningen till begynnelsevärdesproblemet har. I lösningen, ser du på skärmen, ingår ett par exponentialtermer som med ökande t snabbt går mot 0. 3

Genom att vänta en stund innan du avläser maxvärdet hinner inverkan från exponentialfunktionerna att försvinna. Praktiskt uppnår vi detta genom att ändra plot-kommandot till I&-<),'<$-8#A== A1=/B. Du ser nu att lösningens maxvärde blir ungefär 0.66. Din närmaste uppgift är nu att upprepa dessa beräkningar för ω 2 3 3 5 4 4 5 5 6 7 och för varje ω-värde avläsa lösningens maxvärde. Fyll i dina värden i följande tabell ω 1 2 3 3.5 4 4.5 5 6 7 maxvärde 0.66 Samla i Maple alla värdepar i en lista enligt mönstret!$# A,= < 1 < 3< < 3 < < <B < < * " Sammanbind alla dessa punkter med räta linjer enligt I-<) 6/B För vilket värde på ω verkar lösningen ha störst maxvärde ω =? För detta ω- värde föreligger alltså resonans. Ett exempel på hur resonans kan påverka byggnader kan du se på nätet. Gå till adressen 4-4-I! 6%HL(-4 (-%L '84&% 8 G&%K? 4&%7 8 4-G Om du läser texten finner du att bron först visade upp transversella svängningar med en frekvens omkring 36 Hz. Senare tillkom torsionssvängningar. Med vilken frekvens Hz? Därmed stänger resonansavdelningen. Funktioner Funktionsvärden. Genom tilldelningen '!.#)9J<.+/ )9J&;:1 +;1/5JI") J;1 +;1/B definieras funktionen f. Funktionsvärdet i punkten 1 2 beräknas via '*)HAO,1/B. Värdet blir. Effekten blir alltså densamma som av )9J4#NA.+4#41*)9J;:1 +;:1/5JI") J;:1 +;:1&//B. Derivation Ett sätt att derivera känner du sedan tidigare. Den partiella derivatan f x kan du beräkna via &%('4'*))9J;1 +;:1/5JI ) J;:1 +;1/.J/@B. Men du kan också använda operatorn?. Då skriver du? A <)9'&/O)9J".+&/B. Om du i stället vill derivera med avseende på y så skriv? 1 *),'&/O)9J<9+&/B. Bestäm den partiella derivatan med avseende på x då x y 3 2 1 4

Maple känner till formel [15.8], ty vad blir? A,1 <) &/? 1 A <) &/B? Här är g en funktion utan några speciella egenskaper. Alltså räknar Maple fel i vissa fall. Jämför Youngs sats sidan 515 och notera att i uppgift 15.5:6 visas en funktion för vilken [15.8] ej gäller i origo. Funktionsgrafer. Som ett modellexempel kan du titta på funktionen f, som du kom i kontakt med ovan. Om du i f x y sätter y 0 får du kvar en funktion av enbart en variabel. Du kan rita den via I-<)9'<)9J<,=/@.J4# 1 1/B För att få kurvan i ett rymdperspektiv så skriv IK:86 IK:86C) %(-")$I&4-&4/! J",=.'*),J<,=/9J4# 1 1 ",KJ87#L&::G&K86/B Det är inget speciellt med just kurvan då y 0. Du kan med kommandona 1 1 1! I&4-A!$# IK:86) J<,=*.'*)9J<E=/.J6# 1 <EKJ86#:L&7GK88/! I&4-61<!$# IK:86) J<,1*.'*)9J<E1/.J6# 1 <EKJ86#:L&7GK88/! I&-63"!$# IK:66C) J< 1,'*)9J< 1/,J4# 1,KJ87#:L&:GK8/ &%(I&K+*)ED7I&-OA I&7-61 I&4-634F/B lägga till de två kurvorna då y 2 resp y 2 Givetvis kan du i stället fixera x och låta y variera. Skapa några kurvor i y-led med 1 1 1! I&4-!$# IK:86) =.+".'*)>=,+&/.+6# 1 <EKJ86#:L&7GK88/! I&4- <!$# IK:86) 1.+".'*)>1,+&/.+6# 1 <EKJ86#:L&7GK88/! I&- <!$# IK:66C) 1.+<,'*) 1<.+&/,+4# 1,KJ87#:L&:GK8/ &% IK+*)>D:I&-AO I&-1 I&7-83*$I- I7- * I7-4F/@B Det som börjar ta form är en bild av f :s graf. Printa ut denna figur, där datorn skrivit ditt namn som rubrik, för inlämning. Observera att du med vänster musknapp intryckt, genom att flytta markören, kan vrida allt så du ser kurvorna ur olika synvinklar! Men det blir ganska jobbigt på ovanstående sätt. Dessutom ser du behovet av att ta bort dolda delar av kurvan. Som tur är finns lösningen redan i Maple. Använd I&4-83*),'*)9J<.+/.J4# 1 19+4# 1 1*>KJ66:#:L7GK68/@B så får du en 3D-bild uppritad ovanför rektangeln 2 x 2 2 y 2 Studerar du I&-63 finner du att det finns en mängd optioner. Klicka på figuren! Du kan nu uppe till vänster hitta värden på två vinklar. De är i defaultläget lika: ϑ ϕ 45. Det finns ett annat sätt att vrida på figuren: klicka upprepat på någon piltangent till höger om talet 45. Notera hur vinklarna ϑ och ϕ ändras. Vrid funktionsytan så att ϑ 45 och ϕ 135. Bilden är nu upp och ner. Det är lättast att se detta om man printar ut båda ytorna på varsitt papper (med olika titel), vänder upp och ned på det ena, håller ihop papperen med axlarna överlappande (kolla så plus och minus blir rätt!) och vänder sig mot en ljuskälla. Du kan också rita den nya ytan med kommandot 7&%77L8-6K:-%L 5

I&4-83*),'*)9J<.+/.J4# 1 19+4# 1 1*>KJ8:#:L&:GK8C 7&%::L4-6K-N%(L# * A(3 &/@B -N% L6 Klicka på figuren. Högt uppe hittar du -4+. Klicka där och välj K:-. Gå sedan in under 647 och välj ) /. Experimentera gärna med andra färger och ytterligare optioner. Titta t ex under J86 och under 4 (-%(L 6(LN(-48K% L. f Tangentplan. I xz-planet är linjen z x 0 7 0 x 0 7 f 0 7 0 en tangent i punkten 0 7 0 f 0 7 0> till kurvan z f x 0. Du kan rita in den som en röd linje tillsammans med funktionsgrafen. Använd kommandona I&-!$#:I&4-83*),'*)9J<.+/.J4# 1 1*.+4# 1 1 *,KJ67#:L::GK6C 7&%77L8-6K:-%L6# = = /! A!$#'*)>=,=/2? A *)9'/O)>=,=/5C)9J = /! I&-"!$# IK:66C) J<,= A.J4# = 1 1 874#<$-4N% 4L6#41/! &% I&K+*)>D7I- $I&-8F/B Klicka på bilden och sedan på knappen A@! A. Gå in under %7 och välj där 8 G 8K-7, == M. Du hittar ytan igen genom att långsamt stega dig uppför arbetsbladet med markören på upp -pilen längst till höger. Avläs den röda linjens lutning. Den blir. Beräkna också? A *)9'&/O)E=,=/. Jämför innehållet i de två senaste rutorna. Med kommandona I&-!$#:I&4-83*),'*)9J<.+/.J4# 1 1*.+4# 1 1 *,KJ67#:L::GK6C 7&%77L8-6K:-%L6# A1= = &/! 1<!$#'<)>= >=/2? 1 *)9'&/)>= E=/57+! I&-A=<!$# IK:66C) =.+ 1,+4# 1 1 874# 9-N% L687#41/! &% I&K+*)>D7I-*$I&- I&-A(=F/ B ritar du en blå tangent som går genom 0 7 0 f 0 7 0, och är parallell med yz-planet. Den röda och den blå tangenten bestämmer tillsammans ett plan genom punkten 0 7 0 f 0 7 0>. Detta plan är tangentplanet till ytan, ovanför punkten (0.7, 0) i xy-planet. Som bekant är dess ekvation (se sidan 512) z f 0 7 0O f 1 0 7 0 x 0 7 Rita in detta plan i den förra figuren genom att använda f 2 0 7 0 y 0 I-AA@!$#:I&7-83*)9'<)>= >=/2? A *)9'N/O)>=,=/5@)9J = /:2? 1 *)9'&/@)>= J4# = 1 1.+4# 1 1*E7&%7:L4-6K-N%(L# A14= = &/! &% IK+*)>D:I&-< I&- I&7-A(=*$I&7-OAA(F/@B,=/5+< Byt vinklarna (så som du första gången ändrade från 45 till 135 ) till ϑ 60 ϕ 70 och 647< C) 6K+ :K6/. Notera hur de röda och blå tangenterna ligger i tangentplanet. Spara arbetsbladet. 6

Nivåkurvor. Öppna ett nytt arbetsblad och ta med %(-")$I&4-&4/! OBS tryck ofta på &% och K:6. Ett komplement till funktionsgrafen kan nivåkurvor vara. En nivåkurva till en funktion f av två variabler är en sammanbindning av punkter x y, där f har samma funktionsvärde. Om f exempelvis beskriver en orts höjd över havet så utgör nivåkurvorna en sammanbindning av orter, som ligger på samma höjd. Om f beskriver lufttrycket så utgör de i stället en sammanbindning av platser med samma lufttryck. Dessa kurvor, som på meteorologiska kartor brukar kallas isobarer, är liksom orienteringskartans höjdkurvor bra tillämpningsexempel. Använd (L8-8I- för att lära dig hur (L4-8I&7- fungerar. Rita sedan nivåkurvor till funktionen f ovan. Arbeta i området 2 x 2 2 y 2. Ta med -% -&# % 67 &% -6K6 K: där du ersätter... med ditt namn. (Apostroferna skall luta åt nordväst.) Klicka på knappen 1:1. Tryck ut bilden och tag med den i din rapport. Gör sedan exakt samma sak med ordet (L4-8I&7- ersatt av (L4-&8I&4-83. Vrid figuren och testa även alla kombinationer av bollarna till höger om vinklarna 45. Kombinera en boll av nummer 1 7 från vänster med en av bollarna nr 8 11. Koppla ur knappen 1:1. Välj den figur som i ditt tycke tydligast visar funktionsytan (inkl. lämplig 647 och &% 4- G ) och lämna in med lämplig titel. I Maple finns också möjlighet att samtidigt visa den tvådimensionella bilden med nivåkurvorna och funktionens graf. Maple måste då fås att inhämta mera kunnande. Gör det med % - )$I&-4-48/B. Du kan börja med att rita om funktionsgrafen: Börja med att definiera f x y som ovan. Skriv sedan L4-8I&- (L4-6I&-63 I&4-A!$#I&-83*)9'*)9J".+&/.J8# 1 1.+4# 1 1 (-6+#IK:- (L6-8 KJ867#:L7:GK8C &%(8# = = &/! 1 1 =! Genom det nya kommandot -48K7LN'7:G nedan sänker du nivåkurvorna från xy-planet till i detta fall nivån z 0 5. Skriv in I&-4-4 -88K7L'7:G 4&%(< I&-61"!$#(L8-8I-<)9'<)9J<.+&/@9J4# 1*9+4# 1*$LG8I8%HL8-7#38=4= 4%(4# = = &/! LG4I&8% L4-&@!$#-88K7L'7:G )),J<.+&/ J<.+" / (L4-6I&- &% IK+*)>D:I&-AO *)$I&4-61/7F* 7%77L4-6K-%(L6# = &/B Stationära punkter och extrempunkter. De stationära punkterna till funktionen f hittar du på följande sätt 'NA!$#? A *)9'/O)9J<.+/B '81<!$#? 1 *)9'/O)9J<.+/B 6C)ED'NA #4=* '81#4=F*,DJ<.+6F/B Vilka stationära punkter hittade du? Jämför dina fynd med funktionsgrafen och nivåkurvorna. Vilka som är lokala maximi- eller 7

minimipunkter kan du nog gissa med stöd av grafen. Men om du vill räkna på det så kan du först bilda en kvadratisk form Q. Om a b är en stationär punkt blir Q f 11 a b x 2 2 f 12 a b xy f 22 a b y 2 Om du specialiserar dig på punkten 1 0 och funktionen ovan så bestämmer Maple Q om du skriver!.#? AHA *)9'&/)HA,=/57J;:1281857? A>1 <)9'/O) A>=/57J57+82? 1*,1 *),'&/)HAO,=/5:+;1B Denna kvadratiska form är uppenbarligen negativt definit, varför 1 0 är en lokal maximipunkt. I origo blir Q =? Q är så (0,0) är I dessa fall var det mycket enkelt att undersöka Q. Betrakta därför i stället en annan funktion g. Skriv i Maple!$#)9J<9+&/ 357J;:1243657J57+82+;:12+;:3*B Vilka stationära punkter får den Q som hör ihop med origo:? En av dem är 0 0. Bestäm det!.#? AHA *) &/)>=,=/57J;:1281857? A>1 <) /O)E=>=/57J57+82? 1*,1 *) &/)>=*,=/5:+;1B Vilket Q fick du? Här behöver du kanske kvadratkomplettera. Då behöver Maple ånyo utbildas. Denna gång med %(-") (-887L4-N/B. Bland 7L8- :- de nya kommandona finns G4I&-667 K8 (läs blå texten). Skriv 8 G4I&:-667 K8C).J&/B och Maple framställer Q på en sådan form att du direkt kan avläsa karaktären hos Q. Den blir definit. Alltså är 0 0 en lokal punkt. Kontrollera även Q:s kvadratkomplettering m a p y. G% G% Maple tillhandahåller också funktionerna GKJ&%HG% och G% LN% G%. Betrakta funktionen h x y x 2 y 2 0 x 1 0 y 1 Uppenbarligen är minsta värdet 0 och största värdet 2. Kontrollera: GKJ% G% och )9J;:12+;:1,DJ<.+8F>DJ8#4= A9+4#8= AF/@B G%HL% G% )9J;:12+;:1,DJ<.+8F>DJ8#4= A9+4#8= AF/@B 8

Funktioner av flera variabler beter sig i många avseenden på sätt som du känner igen från envariabelfunktioner. Men ibland uppträder nya fenomen. För en kontinuerlig funktion f x, som då x a och då x b har lokala minimivärden, gäller att det mellan a och b finns minst en punkt c, där f har ett lokalt maximum. Betrakta nu i stället funktionen F x y x 2 2 4 x 2 2 y x 2 Denna funktion har den egenskapen att alla stationära punkter är lokala minimipunkter. Använd samma metod som ovan för att bestämma alla stationära punkter och för att visa att de är lokala minimipunkter. De stationära punkterna är Motsvarande kvadratiska former är Efter kvadratkomplettering m a p y får formerna utseendet Extremvärden med bivillkor. Betrakta funktionen f x y x 2 y 2. Dess graf är en paraboloid. Du kan rita den medelst cylindriska koordinater '!$#)9J<9+&/ J&;:12+;1B I&4-83*) 7-<) /$-8#8= 185% #6= 18= 87#+%HL8N%:K8 7&%77L8-6K:-%L6# 33< <>KJ867#L&7:GK8 7-4+4#:IK:- 476# 8K+&/B 74@ 7+8%HL84&%:K8 Lagra bilden i variabeln K&A via K&A!$#:I-83<) 7-") /$-6#4= 15 % #4= 1= 787#:+8%HL&%K8 7&%77L8-6K:-%L6# 33< <>KJ867#L&7:GK8 7-4+4#:IK:- 476# 8K+&/! Funktionens minsta värde är uppenbarligen 0 medan största värde saknas. Det är då underförstått att definitionsmängden är hela planet. Begränsa nu definitionsmänden till de punkter i planet där g x y x 2 2 y 2 2 2. Denna punktmängd blir en cirkel med medelpunkt i 2 2 och radie 2. Du kan rita den via!$#)9j<9+&/ ),J 1/;12)9+ 1/;:1B % G8I&8%4%(-I&-") *)9J<9+&/#419J4#4= 9+8#4=,KJ66:#:L7GK6 4:4# * -N% L67#81 LG8I&8%HL4-7# ==< :K88%HL 4#(LN(-48K% L&/B 9

K 8 Spara även den kurvan i en variabel, säg K1. Ta dock bort :K86%HL 4#(L(-46K%HL du sparar: K1"!$#% G4I8%4% -I&-<) *)9J<.+/#41.J6#4=.+4#6= <,KJ87#:L&:GK 874# -N% L67#81 LG8I&8%HL4-7# ==&/! < innan Att bestämma största och minsta värdet av f x y under bivillkoret g x y* 2 innebär alltså att hitta de punkter på ytan z f x y rakt ovanför den blå cirkeln där f är störst respektive minst. Vi söker både den blå punkten x y a b och motsvarande funktionsvärde z f a b (= sökta M resp m). För att rita de två bilderna i en enda tredimensionell bild och dessutom lyfta upp de blå punkterna på paraboloiden så skriv in % -").I&-&8/! % -")$I&7--84/!!$#-48K:L'7G ))9J<9+&/ J<.+<,= &/!!$#-88K7L'7:G )),J<.+&/ J<.+".'<)9J".+/ /! &% IK+*)>D <)>K1/@ ")>K1/,K&A(F/B Här placerar funktionen den blå kurvan i xy-planet som tidigare men nu i en tredimensionell miljö. Funktionen lyfter upp den blå kurvan till paraboloiden. Hur högt upp kan de blå punkterna på paraboloiden komma? När du vet det har du hittat det största värdet. I detta fall råder betydande symmetri. Linjen y x skär cirkeln x 2 2 y 2 2 i punkterna 1 1 och 3 3. Du ser att i 1 1 blir f x y minst och i 3 3 störst. Med röd färg skall du nu sammanbinda punkterna 1 1 0 och 1 1 f 1 1>. Analogt drar du en grön linje mellan 3 3 0 och 3 3 f 3 3>. Innan du gör detta så ställ om så att bilden hamnar i ett separat fönster (7I4-N%(L@ &-?% I&K+< %HL8 ). Skriv sedan! K3"!$# IK:86) A AO #8= '<)HAO A/ " 478#6"$-N% L:#41/!$#(IK:86C) 3*93* #4= '*)>3*,3/ < 4:4# 6:L.-% L647#81/C! &%(I&K+*)ED <)>K1/ ")>K41/,K&AO,K3*>K F/@B Tryck bilden (med ditt namn datorskrivet på) och lämna in den! Vad blir minsta respektive största värdet? Bilden kan även kompletteras med nivåkurvor till f. Skriv K <!$#(L4-6I&-")9'*)9J<9+&/.J4# 9+4# &% I&K+<)>D <)>K41/ ")EK1/,KA>K3<,K L4-&6:#A /C! $")EK /7F/B Som du ser tangerar nivåkurvorna till f den blå kurvan g x y@ 2 i punkterna 1 1 och 3 3. Detta stämmer med villkoren i rutan sidan 655 (Lagranges metod): Sätt K x y@ f x y λg x y. Enligt rutan gäller (ty K i L i för i 1 2 : Översätt till Maple via K 1 x y@ 0 K 2 x y@ 0 g x y 2 10

!$#),J<.+&/ '*)9J<9+&/ K7G 8K85 *),J<9+&/@B 6)>D&%('4'*) )9J".+&/.J/#4=.%(''<) )9J"9+&/9+/#4=* *),J<9+&/7#414F>DJ".+"EKG 6KF/B Vilka lösningar fick du? I Maple finns en snabbare metod. När du tidigare utökade Maples kunnande med % - ) (-867L4-/B J-487GK fick du bl.a. tillgång till funktionen J-88GKB I det nu aktuella fallet ger den J-487GKC)9'*),J<.+&/>D *)9J<9+&/#41F*,DJ<9+8F/B Vad blir minsta och största värdet med denna metod? Om du i stället utför kommandot J-487GKC)9'*),J<.+&/>D *)9J<9+&/#41F*,DJ<9+8F* /B. och sedan B så får du via information om de punkter, där minsta resp största värdet antas. Vilka är dessa punkter i detta fall? Som vanligt bör du kritiskt ifrågasätta de resultat som Maple levererar. Vad blir minsta och största värdet av f x y x 2 y under bivillkoret g x yc x y 1 om du använder J-487GK? G%HLN% GO% och GKJ&% G%? Om du i stället ur bivillkoret löser ut y så kan du använda. Gör så här G% LN% G% GKJ&% G% C)9J;:165@)HA J//B C)9J;:165@)HA J//B Vad blev största och minsta värdet? Vad fann J-487GK? Jo, de lokala maximi- och minimivärdena. 4J-487GK kan även hantera flera bivillkor. I övningsuppgif 18.5:6 söks max och min av funktionen H x y z x y z under bivillkoren G 1 x y z& x 2 y 2 z 2 1 G 2 x y z& x y z 1. Lösningen ges av J-487GKC)9J42+42,DJ;:12+&;:12 ;1#NA9J + #NA(F*,DJ<9+< Största resp minsta värdet blev. Avslutande uppgifter F* /B Uppgift 3. Gå till &% och klicka på. Dina kommande räkningar, som hör till uppgift 3, skall tryckas ut och lämnas in. Börja med textmod och skriv ditt namn. Betrakta funktionen f x 1 x y xy y@ 2 x 2 y 2. Definiera funktionen '. Bestäm alla stationära punkter till f : Utför 6C)ED:? A <)9'&/O)9J".+&/#4=*$? 1 <)9'/O),J<9+&/7#4=4F>DJ".+6F/@B 11 B

Använd andraderivator och kvadratkomplettering för att avgöra vilka av de stationära punkterna som är lokala extrempunkter: Det kan vara praktiskt att definiera den kvadratiska formen!$#*)>k /? AHA *)9'&/)>K /5(;:128185? AO,1 *),'&/)>K* /5&5 82? 1>1 <)9'/O)EK /5 ;:1*B Då )EK / är en stationär punkt kommer )>K / att vara den kvadratiska form som du genom kvadratkomplettering kan använda för att avgöra om )EK / är en lokal extrempunkt. Använd gärna N% -") -887L8-/B och G4I&-667 K8B. Kvadratkompletteringen görs med avseende på h eller k. Ange i textmod vilka de lokala extrempunkterna är och om de är lokala max- eller minimipunkter. Rita grafen genom kommandot I&-63*)9'*),J<.+&/9J4#.+4# -8+#IK-( (L8-8",KJ87# 7&%7:L4-6K:-%(L6# A(= < K&% L 4# /@B Rita grafen igen men nu med 7&%:7L4-6K:-N%(L6# =,= <B. :J8< Använd L4-8I&- för att i en separat figur rita upp minst 40 nivåkurvor till funktionen. Arbeta i samma område som vid grafritningen. Tänk på att varje nivåkurva bstår av fyra delar, varför det i din figur ska finnas 40 slingor nere till höger. Lös problemet genom att läsa informationstexten under (L8-8I-. Uppgift 4. Bestäm största och minsta värdet av f x y< 10 2x y under bivillkoret g x y@ x 2 xy 2y 2 1. För vilka x och y antas största respektive minsta värdet? JG 2000-06-22 12 (GM010405)