Inlämningsuppgifte till / 003. Föenkla µ / µ / Lena A.,9,0,7,83 Niklas E.,5,,73,8 My E. 9,3,,7,9 Sanda F. 8,33a,3,7,9. Skiv om följande uttyck utan ottecken i nämnaen: x + x 3. Skiv om utan ottecken i nämnaen och föenkla + + + 3 + 3+ +... + n + n Helena F. 7,33b,,70,90 Jenny G. 5,3,5,69,89 Zanna H.,30,6,68,88 Ninni H. 6,35,7,60,87 Hoda H. 3,5,35,59,86 Henik K. 3,8,8,6,85 Fedik L.,9,9,6,8. Lös 5. Lös 6. Lös ut x x x x = x + + x x + + x +3 = x x + = y Emma M.,,50,63,83 7. Lös ekvationen Miki M. 0,3,5,6,8 5+x = 7+x Andé N.,3,3,58,75 8. Lös Jahangi S. 9,3,5,65,8 Helen S. 8,,39,57,76 Chistina S. 7,6,37,56,80 Kistophe S. 6,,36,55,79 Boislav 5,7,53,66,78 9. Lös ekvationen 0. Lös ekvationen x x = x x x + x = x +7=x Mainos,0,5,67,77 Om någon uppgift veka hopplös, tag någon näliggande i stället.... Undesök om följande ekvation ha någa (eella) lösninga: 3 x = x x. Lös ekvationen +x + x +x x = 3. Lös ekvationen x + +3 =
. Ett av poblemen på det åliga skolmästeskapet i matematik löd så hä: Bestäm alla väden på a, fö vilka ekvationen x x + a =0 ha exakt en eell ot. Ett lösningsföslag va följande: Vi vet att x = x. Däfö kan vi betakta x x + a =0. En andagadsekvation med avseende på x! Andagadsekvatione ha exakt en ot då och endast då uttycket unde ottecknet i pq-fomeln ä =0, i detta fall alltså nä a =/ Ettheltannatföslagvaföljande: Antag att x 0 ä en ot. Då ä det klat att även x 0 ä en ot. Skall ekvationen ha exakt en ot, så måste dessa två sammanfalla, d.v.s. x 0 =0. Men x =0ä en ot då och endast då Nå, hu skall det vaa? a =0 Mängde I 5-6 avgö om esp. påstående ä sant fö godtyckliga mängde A,B, C,... (Som alltid: motivea ditt sva!) 5. A (A B) =A 6. (A B) ÂC =(AÂC) (BÂC) 7. AÂ (B C) =(AÂB) (AÂC) 8. AÂ (B C) =(AÂB) ÂC 9. AÂ (B C) =(AÂB) (AÂC) 0. (A B) (B C) =B. (AÂB) (BÂA) =A B. (A B) ÂC A 3. A C = B C = A = B. A C = B C = A = B 5. ½ A C = B C A C = B C = A = B 6. Hä låte vi P (A) beteckna mängden av alla delmängde till A, den s.k. potensmängden till A. P (A B) =P (A) P (B) 7. Låt A och B vaa två mängde. Vad säge nedanstående utsaga? Hitta enkel fomuleing med od! x :(x A = x B) 8. Fö vilka mängde A och B gälle AÂB = BÂA? 9. Ett av flea altenativa beteckningssätt fö komplementet till en mängd A ä A. Föenkla (A B) C B Tips: De Mogans laga. 30. Alla ban i en skola spela fotboll och/elle handboll. Va sjunde fotbollsspelae spela också handboll och va nionde handbollsspelae spela också fotboll. Vilka ä flest: handbollsspelana elle fotbollsspelana? 3. Hu många av talen,, 3,..., 000 ä (a) delbaa med 5? (b) delbaa med 7? (c) inte delbaa med vae sig 5 elle 7?
Logik 3. Du se en elev lösa en ekvation så hä: (x ) = 5(x ) x = 5 x = 6 Din kommenta? Om man skall sätta ut ekvivalens- / implikationspila mellan ekvationena, hu skall det se ut? 33. Fö va och en av följande utsago, avgö om den ä en tautologi (d.v.s. alltid sann, oavsett P och Q:s sanningsväden), en motsägelse (d.v.s. alltid falsk, oavsett P och Q:s sanningsväden) elle ingendea. (a) P Q = (P Q) (b) (P Q) = P Q 3. Polisen ha intevjuat fya vittnen vi kalla dem A, B, C, och D och konstateat att ) A och B kanintebådahaätt, ) B och C motsäge vaanda, 3) om C tala sanning, så ha A ljugit, ) om D tala sanning, så också A. Kan man u detta avgöa vem som talat sanning esp. ljugit? Om inte fö alla, kan man kanske avgöa det fö vissa? Tips: Gö lämplig sanningstabell. 35. Hä följe någa påståenden om talen a, b, c, någa uttyckta helt och hållet med symbole abc =0 a + b + c > 0 (a b)(a c)(b c) =0 a + b + c > 0 a + b + c =0 a ( b + c )+ b ( c + a )+ c ( a + b ) =0 ochnågauttycktameapåvadagsspåk: Alla te talen a, b, c ä =0 Minst ett av talen a, b, c ä =0 Minst två av talen a, b, c ä =0 Minst ett av talen a, b, c ä > 0 Minst ett av talen a, b, c ä 6= 0 Minst två av talen a, b, c ä lika. Vissa påståenden ä ekvivalenta vilka? 36. En mängd M av eella tal kallas uppåt begänsad, omm det finns något tal b, ej nödvändigtvis tillhöande M, sådant att x b fö alla x M nedåt begänsad, omm det finns något tal b, ej nödvändigtvis tillhöande M, sådant att x b fö alla x M begänsad, ommdenä såväl uppåt som nedåt begänsad. Antag nu att fö mängdena A och B gälle x A : y A : x<y y R : x B : x<y Säge detta att någon av dem ä uppåt begänsad / nedåt begänsad / begänsad? 37. En ändlig mängd av eella tal ha alltid ett stösta och ett minsta element, t.ex. i A =, π, 7ª ä 7 stösta och minsta element. En oändlig mängd behöve natuligtvis inte ha något stösta/minsta element: N = {0,,, 3,...} ha inget stösta element. Läs definitionen av (uppåt/nedåt) begänsad mängd ovan. Kan man sätta något av konnektiven, elle m på fågetecknens plats nedan, så att man få en sann utsaga? Mängden A ä uppåt begänsad??? Mängden A ha ett stösta element. 38. Ä det sant att (δ ä gekiskt litet d och uttalas delta.) δ > 0: a, b R : a b < δ = a b < 39. Bevisa följande påstående med utnyttjande av kontaposition (d.v.s. att P Q ä ekvivalent med Q P ): m, n Z : m + n ä udda = pecis ett av talen m och n ä udda 3
Olikhete 0. Vilket ä det stösta vädet som nedanstående uttyck kan anta och fö vilket x antas det? 8 x x +5 Tips: Kvadatkomplettea nämnaen.. Ä det iktigt att fö alla eella tal a, b, c, d ½ a>b = ac > bd? c>d. Lös olikheten x x 3. Lös olikheten x 3 5x 5x 5. Lös olikheten x 6 x + x > 0 5. Lös olikheten x x 7 x 5 +< 0 6. Fö vilka väden på a ä olikheten (a + x) 3 > (a x) 3 +x 3 3a 53. Det kvadatiska medelvädet av två icke-negativa tal a och b definieas som: a + b Visa att detta vekligen ä ett medelväde, d.v.s. a + b min (a, b) max (a, b) samt att det aldig undestige det aitmetiska medelvädet: a + b a + b Kan man få likhet och i så fall nä? 5. Bevisa att fö alla a och b : a + b + a + b + ab Tips: a = a + a, (a b) =... 55. Häled AM GM-olikheten u följande figu yζx sann fö alla x> /3? 7. Visa att 0 <a,b,c<= abc +>a+ bc 8.Visaattföfyapåvaandaföljandenatuligatal alltid gälle att podukten av de två yttetalen ä minde än podukten av de två mittentalen (t.ex. om talen ä 6, 7, 8 och 9, så ä 6 9 < 7 8). 9. Bevisa att fö fya på vaanda följande natuliga tal alltid gälle att summan av de två yttetalens kube ä stöe än summan av de två mittentalens kube (t.ex. fö 6, 7, 8, 9 ä 6 3 +9 3 > 7 3 +8 3 ). 50. Antag att x och y ä två olika positiva tal. Kan man säga vilket av följande kvote ä minst, x + y x + y elle x y x y 5. Visa att x, y R :(+xy) +x +y 5. Visa att fö alla tal a, b, c och d gälle (a + b + c + d) (a + b)(c + d) Nä gälle likhet?? ab + cd b genom att jämföa ektangelns och tianglanas aeo. 56. Bestäm minsta möjliga vädet av a b + b a Tips: a b b a =. 57. Visa att a då a, b > 0 a + a + a 3 =3= a a a 3 genom att obsevea att, om inte alla a j = (i vilket fall olikheten ä kla), så måste minst ett av talen vaa < och minst ett >. Det ä alltså ingen inskänkning att anta att a = h, a =+k, a 3 =+h k, dä h, k > 0.
Talteoi 58. Summan av te heltal ä =0. Ä deas podukt ett udda elle ett jämnt tal? 59. Avgö utan maskin om talet 3 000 3 ä delbat med 0. 60. Vad behöve man lägga till på fågetecknens plats fö att följande skall bli iktigt? (a c) (b c) (???) = ab c 6. Visa att +8 n 3 n 6 n ä delbat med 0. 6. Låt oss fö ett ögonblick glömma alla anda tal föutom de jämna positiva talen,, 6, 8,... Definiea j-pimtal som de tal som inte kan skivas som podukt av två minde jämna tal. (a) Vilka ä j-pimtalen? (b) Ge exempel på ett jämnt tal som kan faktoiseas i j-pimtal på två olika sätt. 63. Föutsättninga som i föegående fåga. Dessutom: Med a b mena vi nu att kvoten b/a bli ett jämnt heltal (de udda heltalen existea som sagt inte fö oss, fö tillfället!) Ge ett motexempel till motsvaigheten till lemma. i Vetblad j-pimtalet p ab = (p a) elle (p b) 6. a) Vilka este ä möjliga att få då ett kvadattal divideas med? b) En heltalstippel (a, b, c), fö vilken a + b = c, kalla man pythagoeisk. Exempel: (3,, 5), (5,, 3), (8, 5, 7). Visa att det inte finns någon pythagoeisk taltippel dä a och b båda ä udda heltal. 65. a) Vilken est ge talen,,,,... vid division med? b) Visa att ingen av talen ovan kan vaa ationellt. 66. Visa att diffeensen mellan kvadatena på två udda heltal ä alltid jämnt delba med 8. 67. Visa att om p, q ä pimtal 5, så ä p q delbat med. 68. Visa att om p ä pimtal 6=, 5, så ä p elle p +delbat med 0. 69. a) Vilket ä det stösta heltalet som podukten av te på vaanda följande heltal säket ä delba med? b) Visa att (3n)! (3!) n ä ett heltal 70. Vilket ä det stösta heltalet som podukten av fem på vaanda följande heltal säket ä delba med? 7. En ton som ligge en oktav höge än en annan ha dubbelt så hög fekvens. En ton som ligge en kvint höge än en annan ha fekvens som ä 3/ av den läge. Ommanpåettpianoföflytta sig 7 oktave, så skall man samtidigt ha föflyttat sig kvinte. (Räkna 8 på vaanda följande tangente, inkl. de svata. Tangente och 8 bilda en kvint.) Föklaa nu hu man utan äkning kan inse att µ 3 6= 7 ochdämedattettpianoaldigkanstämmaspefekt! 7. Vilka ä de minsta positiva heltalen x och y som uppfylle 73x 7y =? 73. (Kinesisk äkneuppgift fån 500-talet.) Hu många gäss, anko esp. höno kan man få fö 00 mynt, om man vill ha 00 st. totalt och en gås kosta 5 mynt, en anka 3 mynt och te höno tillsammans mynt? 7. Ange alla pa av heltal (x, y) sådana att (a) 350x 7y =7 (b) 350x 7y =35 (c) 350x 7y = 75. Ha alla ekvatione av typen heltalslösninga? ax + by + cz = d dä a, b, c, d ä givna heltal 76. Bevisa att fö alla heltal a, b och d gälle (d a) (d b) = d SGD (a, b) 5
Summo 77. Föenkla 78. Föenkla 79. Föenkla x x x 3 x... x 00 + + 3 +... + 00 + 3 + 3 + 3 3 +... + 3 n Vilket tal näma sig summona ovan, nämantaalltstöen? 80. Avgö om följande utsaga ä sann : m Z : n N : k= k >m 8. Beäkna summan av alla tesiffiga tal som ä delbaa med 3. 8. Ställ upp en fomel fö följande summa, dä n ä ett positivt heltal: +n +(n ) + (3n ) +... + n (n ) 83. De positiva udda talen kan odnas på följande sätt 3 5 7 9 3 5 7 9 o.s.v. (a) Ge en fomel fö sista talet på ad n (b) Ge en fomel fö fösta talet på ad n. (c) Ge en fomel fö summan av talen på ad n. (d) Summea alla talen på adena till n påtvåolikasätt ochhäleddenvägenfomeln µ n (n +) 3 + 3 +3 3... + n 3 = 8. En bodtennistuneing med n spelae tillgå så att alla möte alla en gång. Ingen match kan sluta oavgjod. Säg att spelae numme k vinne x k och föloa y k matche. Visa att x + x +... + x n = y + y +... + y n Induktion och ekusion 85. Fö fomeln k k= = n (n +) ha vi edan ett fullgott åskådligt bevis, men skiv nu ne (som övning) ett induktionsbevis. 86. Skiv ne ett induktionsbevis fö k (k +) k= = n (n +)(n +) 3 87. Med tanke på hu föegående två fomle se ut, så ä det väl inte helt otänkbat att k (k +)(k +) k= = n (n +)(n +)(n +3) Skiv ne ett induktionsbevis! 88. Titta på de te fomlena nämast ovan, gissa och bevisa med induktion en fomel fö k (k +)(k +)(k +3) k= 89. Ge ett induktionsbevis (det finns altenativ!) fö att en mängd med n element ha n olika delmängde (den tomma delmängden inäknad). 90. Visa med induktion att 9. Visa med induktion att n >n fö alla heltal n> n n (n +) n Tips: Såväl n n (n +) n som (n +) n+ (n +) n kan omfomas till µ n??? n +??? 9. Talföljden C n,n=0,,, 3,... definieas genom C n = (n)! n!(n +)! Skiv ut de sex fösta talen samt ge en ekvivalent ekusiv definition (d.v.s. av den typ som föekomme i avsnitt.3) 6