Formelsamling i kursen Medicinska Bilder, TSBB31 1D och 2D Fouriertransformer, samt några formler för CT, SPECT, mm Maria Magnusson, maria.magnusson@liu.se 27 oktober 2016
1 1-D Tidskontinuerliga Fouriertransformer vinkelfrekvens, ω Signaldomän, t R Fourierdomän, ω R Definition: xt = 1 Xωe jωt dω Xω = xte jωt dt 2π Linjäritet: ax 1 t+bx 2 t ax 1 ω+bx 2 ω Tidsskift: xt a e jωa Xω Frekvensskift: e jat xt Xω a Dualitet: Xt 2π x ω Skalning: xat 1/ a Xω/a Faltning: x ht Xω Hω Multiplikation: xt ht 1/2π X Hω Derivering: d dt xt jωxω Reell signal: xt reell X ω =X ω Diracpuls: δt 1 1 t Impulståg: III = ω δt k III = 2π δ ω n2π 2π k n { 1,t 0 1 Enhetssteg: ut = 0, t<0 jω + πδω { 1, t 0.5 ω Rektangelpuls: Πt = sinc = sinω/2 0, t > 0.5 2π ω/2 Sincfunktion : sinct Πω/2π { 1 t, t 1 Triangelpuls : Λt = sinc 2 ω/2π 0, t > 1 Cosinusvåg: cos ω 0 t πδω + ω 0 +δω ω 0 2 Dirac-er: δt + δt +/2 cosω Sinusvåg: sin ω 0 t jπδω + ω 0 δω ω 0 2 Dirac-er: δt + δt +/2 j sinω Konstant: 1 2πδω Gauss: e πt2 e πω/2π2 Diverse: e at ut 1/a + jω te at ut 1/a + jω 2 e a t 2a/a 2 + ω 2 e at sinω 0 tut e at cosω 0 tut ω 0 a + jω 2 + ω0 2 a + jω a + jω 2 + ω0 2
2 1-D Tidskontinuerliga Fouriertransformer frekvens, f Definition: xt = Signaldomän, t R Xfe j2πft df X f = Fourierdomän, f R Linjäritet: ax 1 t+bx 2 t ax 1 f+bx 2 f Tidsskift: xt a e j2πfa Xf Frekvensskift: e j2πat xt Xf a Dualitet: Xt x f Skalning: xat 1/ a Xf/a Faltning: x ht Xf Hf Multiplikation: xt ht X Hf Derivering: d dt xt j2πfxf Reell signal: xt reell X f =X f Diracpuls: δt 1 1 t Impulståg: III = δt k IIIf = 1 k n { 1,t 0 1 Enhetssteg: ut = 0, t<0 j2πf + 1 2 δf Rektangelpuls: Πt = { 1, t 0.5 0, t > 0.5 sincf = sinπf πf xte j2πft dt δ f n Sincfunktion : sinct Πf { 1 t, t 1 Triangelpuls : Λt = sinc 2 f 0, t > 1 Cosinusvåg: cos 2πf 0 t δf + f 0 +δf f 0 /2 2 Dirac-er: δt + δt +/2 cos2πf Sinusvåg: sin 2πf 0 t jδf + f 0 δf f 0 /2 2 Dirac-er: δt + δt +/2 j sin2πf Konstant: 1 δf Gauss: e πt2 e πf2 Diverse: e at ut 1/a + j2πf te at ut 1/a + j2πf 2 e a t 2a/a 2 +2πf 2 e at sin2πf 0 tut e at cos2πf 0 tut 2πf 0 a + j2πf 2 +2πf 0 2 a + j2πf a + j2πf 2 +2πf 0 2
3 2-D Kontinuerliga Fouriertransformer spatiella frekvenser, u, v Spatialdomän, x, y R Fourierdomän, u, v R Definition: fx, y = F u, v = F u, ve j2πxu+yv dudv fx, ye j2πxu+yv dxdy Reell signal: fx, y reell F u, v =F u, v Linjäritet: af 1 x, y+bf 2 x, y af 1 u, v+bf 2 u, v Translation, tid: fx a, y b e j2πau+bv F u, v Translation, frekv: e j2πax+by fx, y F u a, v b Skalning: fax, by 1/ ab F u/a, v/b Faltning: f gx, y F u, v Gu, v Korrelation: f gx, y F u, v Gu, v Korrelation, reell: f gx, y, foch g reella F u, v Gu, v Multiplikation: fx, y gx, y F Gu, v Derivering i x: fx, y x j2πu F u, v Derivering i y: fx, y y j2πv F u, v Laplace: 2 fx, y = 4π 2 u 2 + v 2 F u, v 2 x + 2 fx, y 2 y 2 x 1 Generell skalning: fax, x = y det A F A 1 T u, u = x u Rotation 1: frx, x = F Ru, u = y v Rotation 2: fr, θ + θ 0 F ω, ϕ + θ 0 x = r cos θ, y = r sin θ u = ω cos ϕ, v = ω sin ϕ Separabel funktion: fx, y =gx hy F u, v =Gu Hv Diracpuls: δx, y =δx δy 1 Box: Πx, y =Πx Πy sincu sincv Böjd pyramid: Λx, y =Λx Λy sinc 2 u sinc 2 v Gauss: e πx2 +y 2 = e πx2 e πy2 e πu2 +v 2 = e πu2 e πv2 u v
4 Definitioner, Egenskaper och Samband DFT och IDFT, 1D och 2D: F [k] = N 1 n=0 N 1 F [k, l] = n=0 m=0 f[n, m] = 1 NM f[n] e j 2π N nk, M 1 N 1 k=0 f[n] = 1 N N 1 k=0 f[n, m] e j2πnk/n+ml/m, M 1 l=0 Symmetrisk DFT och IDFT, 1D och 2D: F [k] = F [k, l] = N/2 1 n= N/2 N/2 1 f[n, m] = 1 NM f[n] e j 2π N nk, M/2 1 n= N/2 m= M/2 N/2 1 k= N/2 l= M/2 F [k, l] e j2πnk/n+ml/m f[n] = 1 N N/2 1 k= N/2 f[n, m] e j2πnk/n+ml/m, M/2 1 Faltning med en skiftad dirac-puls, 1D och 2D: F [k, l] e j2πnk/n+ml/m F [k] e j 2π N nk F [k] e j 2π N nk xt δt t 0 = xt t δt t 0 dt = xt t 0 fx, y δx x 0,y y 0 = fx x,y y δx x 0,y y 0 dx dy Parseval s formel, 1D och 2D: = fx x 0,y y 0 xty t dt = XfY f df fx, yg x, y dxdy = F u, vg u, v dudv
5 Några mätvärden MTF, generell och cirkulärsymmetrisk: Hu, v 0 MTFu, v =, MTFu = Hu, H0, 0 H0, 0 Medelvärdet för ett stickprov av N pixlar: m = 1 N f n N n=1 Standardavvikelen för ett stickprov av N pixlar: s = 1 N f n m N 1 2 = N 1 N 1 N n=1 Olika varianter av SNR: SNR = P signal P noise = Asignal A noise Psignal SNR db =10log 10 P noise SNR a = μ/σ, CV = σ/μ, där P signal är signalens effekt, A signal är signalens amplitud, μ är signalens medelvärde signal-amplitud och σ är brusets standardavvikelse brus-amplitud. N fn 2 n=1 2, Asignal =20log 10, A noise m 2 6 Lite fysik för röntgen- och gammastrålning Energi E och frekvens ν för en foton: E = hν, h =6.626 10 34 Dämpningen attenuation μe och dess beroende av olika processer: μe =ρ μ mco E+μ min E+μ mp h E, E: energy ρ: density [kg/m 3 ] μ mco E: mass attenuation coefficient for coherent scattering [m 2 /kg] μ min E: mass attenuation coefficient for incoherent scattering [m 2 /kg] μ mp h E: mass attenuation coefficient for photoelectric absorbtion [m 2 /kg]
7 CT Omvandling mellan Hounsfield värden H [HU] och attenueringsvärden μ [1/cm]: H = μ μ H 2 O 1000 μ H2 O Dämpning attenuation av röntgenstrålning, samt röntgenprojektion px : Ix =I 0 exp μx, y dy, px = μx, y dy där I 0 är inkommande intensitet, Ix är utgående intensitet, μx, y är objektets dämpningsfunktion. Den parallella projektionen pr, θ av objektet μx, y: där x y pr, θ = μxs,ys ds, cos θ sin θ = sin θ cos θ r s Projektionsteoremet: P R, θ =F u, v u=r cos θ,v=r sin θ = F R cos θ, R sin θ, där P R, θ =F r [pr, θ], F u, v =F 2 [fx, y], och pr, θ är den parallella projektionen av objektet fx, y. Filtrerad återprojektion 2D parallella varianten: Tag projektioner pr, θ och beräkna fouriertransformen i r-riktningen, P R, θ. Utför ramp-filtrering: QR, θ =F r [pr, θ] HR, Hr = R qr, θ =Fr 1 [QR, θ] Utför återprojektion: ˆfx, y = π 0 qr, θ dθ = π 0 qx cos θ + y sin θ, θ dθ
8 Gamma-kameran, SPECT Gammakameraprojektion φx, en vinkel: φx = Ax, y dy, där A är aktivitetsfunktionen, dvs antalet emitterade fotoner. SPECTprojektioner φl, φ, flera vinklar: φl, φ = Axs,ys ds, där x y cos θ sin θ = sin θ cos θ l s SPECTprojektioner φl, φ, mer noggrant: φl, φ = R Axs,ys 4πs R 2 { R } exp μxs,ys ; E ds ds, s där R är detektorns position, E är energin, μx, y är objektets dämpningsfunktion. Iterativ rekonstruktion med ML-EM algoritmen: f k+1 i = f k i m j=1 A ji m j=1 p j A ji m i =1 A ji f i k där f i är en bildpunkt, p j är ett uppmätt projektionsvärde, m i =1 A ji f i k är ett beräknat projektionsvärde framåtprojektion m i =1 A ji används för normalisering, och den återstående summan är en återprojektion.,