Energitekniska formler med kommentarer

Energitekniska formler med kommentarer Energiteknik del 2 Anders Bengtsson 19 januari 2011 Sammanfattning Det finns egentligen inga formler som alltid kan användas. Med en formel tänker man sig ofta en kombination av bokstäver som man hittar i en formelsamling som man stoppar in siffror i för att räkna ut ett svar. Men så fungerar det inte. En formel är alltid omgiven av en berättelse som talar om vad den kan användas till och hur den ska användas. En formel måste anpassas till ett sammanhang. Att lösa problem handlar om att berätta den berättelsen! Ni har sett att det är så jag gör på tavlan. Jag skulle kunna räkna genom alla uppgifter hemma och sedan på tavlan bara skriva ner det rätta formlerna, stoppa in siffrorna och sedan knappa på räknaren. Då skulle vi hinna många uppgifter. Men skulle ni lära er något? Jag tror inte det. När jag löser ett problem berättar jag en berättelse. Jag ritar figurer, jag tar reda på vad vi vet om systemet, inte bara givna data, utan också annat som inte uttrycks i siffror i uppgiftstexten. Jag tar reda på vad som ska räknas ut. Jag försöker förstå hur systemet fungerar egentligen. Så småningom klarnar det vilka formler som kan anpassas till och tillämpas på problemet. Att skriva en formelsamling blir då också att berätta en historia. Den kommer här. 1

1 Enkel modell för energitekniska system Figuren visar en starkt schematiskt modell av ett värmetekniskt system där energiutbytet med systemets omgivning i form av värme och arbete visas. W in U Q in Q ut W ut Figur 1: Modell av värmetekniskt system. Här räknas energiflödena positiva i pilarnas riktning. Energiprincipen (termodynamikens första lag) Energi kan inte skapas eller förintas, bara omvandlas mellan olika former. Tillämpat på ett värmetekniskt system där vi räknar på energiformerna värme och arbete blir energibalansen Q in + W in Q ut W ut = U (1) Netto-inflödet (utflödet) av olika energiformer till systemet ger en ökning (minskning) av den inre energin: U > 0 ( U < 0). Vi räknar netto-värme som tillförs systemet positivt, och nettoarbete som systemet uträttar på omgivningen som positivt 1 Q in Q ut = Q (2) W ut W in = W (3) 1 Ibland räknas arbete som uträttas av systemet på omgivningen istället som negativt, men det ger mer krångel med minustecken. 2

Energiprincipen kan då skrivas som Q = U + W (4) Ett värmetekniskt system sägs befinna sig i olika tillstånd som karakteriseras av olika tillståndsvariabler. Exempel för en gas kan vara tryck, volym och temperatur. När tillståndet förändras talar man om en process. 2 Beräkning av värmeutbytet ( Q) med omgivningen Hur stort värmeutbytet med omgivningen blir vid en process beror på hur processen går till. Q är alltså ingen tillståndsvariabel, utan snarare en processvariabel. I det fall att inget annat energiutbytet sker med omgivningen, det vill säga då W = 0, ger energiprincipen att Q = U. Då gäller för många system med hög noggrannhet att U = c m T (5) Här är c den så kallade specifika värmekapaciteten. Den mäts i J/kgK. I denna form används formeln för fasta ämnen och vätskor, som ju inte utvidgas så mycket vid en temperaturhöjning (det uträttade arbetet kan försummas). För gaser är det lite mer komplicerat som vi strax ska se. Formeln (5) kan också skrivas U = C n T (6) där nu stora C är den molara specifika värmekapaciteten och n är antalet mol materia. C mäts således i J/molK. Denna form användes mest för gaser. För gaser som kan ändra sin volym kraftigt vid uppvärmning, måste man räkna med olika värmekapaciteter beroende på om processen sker vi konstant volym eller vid konstant tryck. Mer om detta senare. Kontentan av allt detta är att vid uppvärmningsprocesser där systemets volym inte ändras (inget arbete uträttas) så har man i praktiken Q = C n T eftersom då gäller Q = U. Lägg dock märke till att detta är korrekt bara om inget annat energiutbyte än värmeutbyte sker med omgivningen. Och som sagt, för gaser har man 3

lite mer speciella formler. Varning! Överhuvudtaget är beräkning av värmeutbyten och arbeten i allmänhet mer komplicerat är jag beskriver här. Problemet ligger i att värmetekniska system beskrivs av ett antal tillståndsvariabler (tryck, volym, temperatur, materiamängd) som alla i egentligen varierar mer eller mindre under olika typer av processer. För att göra det hela hanterligt räknar man därför på processer under vilka olika variabler antas vara konstanta (oförändrade). Dessutom definieras en uppsättning tillståndsfunktioner såsom exempelvis entalpi, entropi och exergi som är användbara i många sammanhang. I en första kurs är det dock inte vettigt att gå in på allt detta. Som ytterligare komplikationer har vi sådant som öppna och slutna system, reversibla och irreversibla processer. Kring detta har mycket förvirrat och felaktigt skrivits i literaturen, att behandla det korrekt och begripligt får vi vänta med. Vad som följer är förenklat men korrekt. Den större berättelsen kommer i det fjärde häftet Termodynamikens andra lag. Gaser Orsaken till att gaser är så vanliga i värmetekniska sammanhang är att de är det aktiva mediet i många värmemaskiner. Förbränningsmotorn är ett tydligt exempel. Hjärtat i en sådan är ett kolv&cylindersystem. I en första fas sugs en bränsle-luft blandning in i cylindern under volymexpansion. Därefter komprimeras blandningen. Sedan antänds blandningen (värme tillförs) och förbränningsgaserna expanderar (systemet uträttar arbete). I nästa fas minskar volymen igen och avgaserna pressas ut ur systemet. Därefter upprepas processen. Detta är givetvis förenklat, men ger principen för en fyrtakts bensinmotor. I alla de här beskrivna delprocesserna sker energiutbyte med omgivningen. Totalt har vi en kretsprocess, den upprepar sig regelbundet, eller cykliskt. Efter en cykel är systemet tillbaka i ursprungstillståndet och processen upprepas. Tillståndsvariabler för en gas är tryck p, volym V, temperatur T samt antal molekyler n. Mellan dessa variabler gäller en tillståndsekvation. Experimentellt har man kommit fram till att den allmänna gaslagen gäller med stor noggrannhet för de flesta gaser under normala omständigheter vad gäller tryck och temperatur pv = nrt (7) 4

Här mäts trycket i N/m 2 eller Pa, volymen i m 3, temperaturen i K och antalet molekyler i mol. R är den allmänna gaskonstanten som har värdet R = 8, 314 J/molK (8) Lagen kallas också för ideala gaslagen eftersom den faktiskt kan härledas från grundläggande (förenklande=ideala) antaganden om gasmolekylernas rörelse. För ideala gaser gäller dessutom ytterligare några enkla lagar. Exempelvis beror den inre energin enbart på temperaturen. Lägg dock märke till att om man har en blandning av gaser så gäller gaslagen för varje gas för sig. I en gasblandning är givetvis volymen och temperaturen de samma, men antalet gasmolekyler kan vara olika. Därmed får gaserna också olika så kallade partialtryck. Antalet molekyler mäts i mol. Notera att 1 mol = 6, 022 10 23 stycken (9) Detta tal kallas för Avogadros tal. 2 3 Beräkning av arbete Arbete är heller ingen tillståndsvariabel utan en processvariabel. Arbetet beror alltså på vilken process man har. Låt oss studera ett enkelt kolv&cylinder-system med en ideal gas som arbetsmedium. p, V, n, T p, V, n, T dv Figur 2: Model av kolv& cylinder-system. 2 Somliga blir förvirrade över Avogrados tal. Det är helt enkelt en praktisk förkortning för ett stort antal precis som 1 dussin är en förkortning för 12 stycken och 1 tjog för 20 stycken. 5

Systemet är ritat i två lägen, i det andra har gasen pressat ut kolven ett litet stycke så att volymen ökat med dv. Symbolen d betyder en liten förändring på samma sätt som symbolen används för en större förändring. Det arbete som gasen uträttar under denna lilla volymförändring bestäms av dw = pdv (10) Man tänker sig alltså att trycket inte hinner ändras under en sådan liten volymförändring. För en större volymförändring, säg från volymen V A till volymen V B (så att V = V B V A ) måste man summera bidragen från alla små volymförändringar mellan V A och V B. Arbetet blir W = VB V A pdv (11) alltså en integral. Integralen används ju som vanligt när vi vill summera något som varierar. För att kunna räkna ut just denna integral måste vi veta hur trycket p beror på volymen V. Vi ska göra det nedan för ett antal typiska processer. Notera först att alla symbolerna hänger ihop fint och snyggt V = VB V A dv = [ ] VB V = V B V A (12) V A precis som det ska. Här ser vi en (större) volymförändring V som en summa av många små dv. 3.1 Isokor process, konstant volym Tänk på en gas i en stålflaska. I en sådan kan volymen inte ändras. Eftersom volymen är konstant ( V = 0) uträttas inget arbete W = W A B = 0 (13) varför värmeutbytet är lika med ändringen i inre energi Q = U. Tryckökningen leder till en temperaturhöjning som kan beräknas via gaslagen T = V A p nr = V A(p B p A ) (14) nr Eftersom inre energin U för en ideal gas enbart beror på temperaturen T kan man beräkna den som 6

P P B B P A A V A =V B V Figur 3: Isokor process. U = c v m T (15) Därmed kan även värmeutbytet beräknas till Q = Q B A = c v m T (16) Detta är den ekvation man oftast ser. Man säger att systemet absorberar värme Q = Q A B isokort. I dessa ekvationer står c v för den specifika värmekapaciteten vid konstant volym. Viktigt att förstå! Man måste ha klart för sig att inget värme lagras upp av gasen. Värme är en energiform som enbart kan flöda, eller strömma, inte lagras. Värme tillförs alltså gasen. Det som däremot lagras är inre energi. Högersidorna i formlerna 15 och 16 ser likadana ut, och ger samma numeriska resultat, men deras betydelser är olika. Om processen går åt andra hållet, så att man istället har en trycksänkning, minskar inre energin och systemet lämnar värme till omgivningen. 3.2 Isobar process, konstant tryck Tänk på en gas i en ballong. Trycket bestäms av trycket i omgivningen. Eftersom trycket är konstant ( p = 0) kan det uträttade arbetet beräknas enkelt W A B = VB V A pdv = p A VB V A dv = p a (V B V A ) = p a V (17) 7

P A B P A =P B V A V B V Figur 4: Isobar process. Volymökningen leder till en temperaturhöjning som kan beräknas via gaslagen T = p A V nr = p A(V B V A ) (18) nr Detta samband mellan V och T (som gäller vid konstant tryck) kan användas för att beräkna det isobara arbetet enligt W A B = nr T (19) Systemet absorberar nu värme Q = Q A B isobart Q = Q A B = c p m T (20) där man nu räknar med en isobar specifik värmekapacitet c p. Av historiska och praktiska skäl räknar man på detta sätt, men notera att systemet inte lagrar upp hela denna energimängd i form av inre energi. Istället uträttas ett arbete på omgivningen. Det absorberade värmet leder till en höjning av den inre energin som även i detta fall (för en ideal gas) kan beräknas via U = c v m T. Samtidigt uträttar gasen ett arbete på omgivningen W = p a V. Samband mellan c v och c p för en ideal gas Detta resonemang kan vi nu använda för att reda ut hur c v och c p hänger samman för en ideal gas. Det hela blir enklast om man räknar värmekapaciteterna per mol istället för per kg. Man använder då beteckningarna stora C v och stora C p, och man skriver för en isobar process Q = Q A B = C p n T (21) 8

där C p nu mäts i J/molK. Här kan man lägga märke till att detta är samma enhet som gaskonstanten R mäts i. Energiprincipen ger nu Q = U + W. Vi sätter in allt vi vet Ekvation (20) som gäller för isobart värmeutbyte Ekvation (15) som alltid gäller för en ideal gas Ekvation (19) som gäller för isobart arbete så får vi C p n T = C v n T + nr T (22) Vi ser att (korta bort den gemensamma faktorn n T) C p = C v + R (23) När man slår upp värmekapaciteter för gaser i tabellverk måste man ge noga akt på om det är C p, C v eller c p, c v som är angivet. Titta på enheterna. C mäts per mol, c mäts per kg. Ibland anges bara värmekapacitet vid konstant volym, ibland bara vid konstant tryck. Dessa är dock relaterade på ett enkelt sätt, nämligen via ekvation (23), så har man den ena kan man få fram den andra. Mer om stora C v och C p för en ideal gas När man försökte basera värmeläran på en mikroskopisk teori för hur molekylerna i en gas rör sig, kom man fram till att man måste räkna med att varje frihetsgrad för den enskilda molekylens rörelse bar på en fundamental, mycket liten, energimängd där k B är Boltzmanns konstant e = 1 2 k BT (24) k B = 1, 38099 10 23 J/K (25) Det är inte helt fel att tänka sig k B som ett mått på materiens fundamentala värmekapacitet. Det blir tydligare om man räknar inte för en enstaka frihetsgrad, utan för 1 mol frihetsgrader. Multiplicera alltså med Avogadros tal N A = 6, 02204 10 23 mol 1, då får man k B N A = 1, 38099 10 23 J/K 6, 02204 10 23 mol 1 = 8, 3144 J/Kmol vilket är precis gaskonstanten. För en mol frihetsgrader har vi alltså värmekapaciteten 9

E = 1 2 k BN A T = 1 RT (26) 2 Nu kan man börja räkna frihetsgrader för gasmolekyler. En enkel en-atomig molekyl har 3 frihetsgrader att röra sig i: Riktningarna x, y och z i rummet. Den inre energin för n mol en-atomiga gasmolekyler blir alltså U = 3 2 nrt U = 3 nr T (27) 2 Jämför nu denna formel med formeln U = C v n T så ser vi att stora C v för en en-atomig gas blir 3 2 R. C v = 3 2 R (28) För en två-atomig gas kan molykylerna även rotera i två riktningar (vilka?). Antalet fundamentala frihetsgrader är alltså 5, och stora C v för en två-atomig gas blir 5 2 R. Kvoten γ mellan värmekapaciteterna γ = C p C v = c p c v (29) spelar en roll i vissa sammanhang. Tabellen nedan sammanfattar användbar data för en- och två-atomiga ideala gaser. Ideal gas C p C v γ = C p /C v 1-atomig 5/2 R 3/2 R 5/3 = 1, 67 2-atomig 7/2 R 5/2 R 7/5 = 1, 4 3.3 Isoterm process, konstant temperatur Man kan tänka sig att systemet står i god värmekontakt med en stor temperaturreservoar som håller T konstant under processen. Eftersom temperaturen är konstant ( T = 0) så ändras inte inre energin U = U A B = 0 (30) Enligt gaslagen ser vi då att tryck gånger volym är konstant p A V A = p B V B (31) 10

P P A A P B B V A V B V Figur 5: Isoterm process. Arbetet kan beräknas eftersom gaslagen också ger p = nrt/v VB VB dv W A B = pdv = nrt V A V A V [ ] VB = nrt ln V = nrt ln V B V A V A (32) Eftersom U = 0 absorberar systemet ett lika stort värme Q = Q A B = W A B men inget av detta värme lagras upp i systemet (kom ihåg T = 0 och därmed U = 0). Man kan se det som att systemet absorberar värme som helt och hållet går åt till att uträtta ett arbete på omgivningen. Om processen går åt andra hållet är det omgivningen som uträttar arbete på systemet som då avger värme till omgivningen. Detta framgår av att tecknen på W och Q i det fallet är negativa. Återigen ser vi att varken arbete eller värme kan lagras, enbart flöda in eller ut ur ett system. Det blir väldigt tydligt för isoterma processer för gaser där ingen energi alls kan lagras av gasen! 3.4 Adiabatisk process, inget värmeutbyte med omgivningen En process kan vara adiabatisk om systemet är väl isolerat mot omgivningen eller om processen sker snabbt jämfört med värmetransporten som i regel är ganska långsam. Vi har alltså Q = Q A B = 0 varför W = W A B = U (33) 11

P P A A B P B V A V B V Figur 6: Adiabatisk process. Systemet uträttar ett arbete och energin till detta tas från den inre energin. Vi kan också skriva detta i termer av små förändringar med hjälp av differentialer. 3 Vi har dq = du + dw = 0 där dw = pdv och alltså du + pdv = 0 (34) Även om processen inte sker vid konstant volym så kan vi använda (för en ideal gas) du = c v mdt för att beräkna ändringen i inre energi. Detta ger c v mdt + pdv = 0 eller dt = pdv c v m (35) Eftersom ingen av de variabler som ingår i gaslagen (utom antalet molekyler n) är konstant, blir det lite mer komplicerat här. Ändå går det att få fram ett samband mellan tryck och volym som kan utnyttjas för att beräkna arbetet. Vi börjar med att differentiera gaslagen d(pv ) = d(nrt) pdv + V dp = nrdt (36) Sätter man samman dessa två ekvationer, (35) och (36), kan man eliminera dt och får (1 + nr )pdv + V dp = 0 (37) c v m Använder man sig sedan av det samband mellan C v och C p som vi tog fram ovan, se ekvation (23), så kan man räkna fram att 3 En differential kan sägas vara en matematiskt liten förändring. 12

1 + nr c v m = γ (38) och vi får en ganska enkel ekvation för differentialerna γpdv + V dp = 0 eller γ dv V = dp p Det finns två sätt att lösa denna differentialekvation. (39) Metod 1 Man kan integrera den på följande vis γ dv V = dp p γ lnv = ln p + konstant (40) Använder man sedan logaritmlagarna, får man pv γ = k (41) där konstanten k kan beräknas i någon av processens ändpunkter k = p A V γ A = p BV γ B (42) Metod 2 En annan metod är att skriva ekvation (39) på formen dp dv = γ p (43) V Vi vill bestämma trycket p som en funktion av volymen V. Ekvationen frågar efter en funktion som har egenskapen att om man deriverar den med avseende på V, så är det samma sak som att dividera med V och multiplicera med en konstant γ. En sådan funktion är just p = kv γ (44) eftersom ju dp dv = kγv γ 1 och γ p V = kγv γ 1 Båda metoderna ger förstås samma lösning. Nu kan arbetet beräknas eftersom vi vet hur trycket beror på volymen, nämligen formel (44). Resultatet blir W A B = VB V A kv γ dv = k 1 γ 13 (V (1 γ) B V (1 γ) A ) (45)

Detta ser inte så trevligt ut. Som tur är kan uttrycket förenklas om man använder sig av formeln (42). Man får W A B = 1 1 γ (p BV B p A V A ) (46) Vi lämnar det som en övning att med hjälp av de samband som finns framme dessutom visa att detta är samma som c v m T (47) det vill säga inget annat än just U, vilket vi ju kunde ha sagt med en gång. Men nu ser vi en gengäld att allt hänger samman. 3.5 Sammanfattning processer för ideala gaser Energiprincipen gäller alltid: Q = U + W. I alla processer från A till B räknas differenser som X = X B X A Process A B Q = Q A B U = U A B W = W A B Isokor U c v m T 0 Isobar c p m T c v m T p V = nr T Isoterm W 0 nrt ln(v B /V A ) Adiabat 0 c v m T U Processerna kan gå åt båda hållen. För varje tillståndsvariabel (p, V, T,U) eller processvariabel (Q, W) kan variabel därför vara positiv eller negativ, beroende på vilken typ av process man tittar på (exempelvis expansion eller kompression ). 14

Process A B Ena hållet Andra hållet Isokor Tryckökning: Värme absorberas som lagras i en ökning av inre energin Trycksänkning: Värme avges, inre energin minskar motsvarande Isobar Isoterm Adiabat 4 Kretsprocesser Expansion: Värme absorberas som dels lagras i en ökning av inre energin, dels går till uträttat arbete Expansion: Värme absorberas som helt går till uträttat arbete Expansion: Arbete uträttas genom en sänkning av inre energin Kompression: Värme avges, inre energin minskar, arbete uträttas på systemet Praktiskt fungerande värmemaskiner måste arbeta cykliskt. Processer som upprepas cykliskt kallas för kretsprocesser. I ett pv-diagram kommer en kretsprocess att representeras av en sluten kurva. Ett varv runt i kretsprocessen kallas för en cykel. Typexemplet är en förbränningsmotor som genomgår en serie av faser eller delprocesser som upprepas regelbundet. Efter en viss tid är systemet tillbaka till utgångstillståndet. Man kan få en uppfattning om frekvensen för detta cykliska arbete genom att betänka att tomgångsvarvtalet för en typiskt bensinmotor är ca 2000 varv/minut. Under kretsprocessen absorberar systemet värme (detta betalar man för i form av bränsle) och uträttar arbete (detta är nyttan), men systemet kommer också att avge värme till omgivningen (detta är förluster varav en del tas tillvara för exempelvis kupévärme. I vissa faser av processen måste dessutom arbete uträttas på systemet (som när bränsleluft-blandningen i en bensinmotor komprimeras), detta arbete måste subtraheras från det uträttade arbetet. Tänker man såhär så inser man att en vettig definition på kretsprocessens verkningsgrad är netto uträttat arbete / tillfört värme. Netto uträttat arbete (av systemet uträttat arbete på omgivningen minus av omgivningen på systemet uträttat arbete) kan beräknas som arean av området som innesluts av kretsprocessens kurva i pvdiagrammet. När man studerar kretsprocesser teoretiskt är det vanligt att dela Kompression: Värme avges, motsvarande arbete uträttas på systemet Kompression: Arbete uträttas på systemet, inre energin ökar motsvarande 15

upp dem i en serie av enkla delprocesser av de slag vi studerat ovan. En viktig sådan teoetisk model är Carnotprocessen som består av två isotermer och två adiabater. P W V Figur 7: Kretsprocess. 4.1 Carnotprocessen Carnotprocessen är en idealiserad kretsprocess som är teoretiskt intressant och beräkningsmässigt hanterlig. Historiskt har den varit viktig för värmelärans utveckling. Den består alltså av fyra delprocesser: Isoterm, adiabat, isoterm och adiabat. Ingen verklig värmemaskin går så rent. Mycket av dess intresse ligger i att man kan bevisa att den har den teoretiskt högsta möjliga verkningsgrad som man kan uppnå för en värmemaskin som arbetar mellan två temperaturer, en högre T V (varma reservoaren) och en lägre T K (kalla reservoaren). Carnotprocessen kan beskrivas på följande sätt om vi rör oss medurs från tillståndet A i figuren via tillstånden B, C och D tillbaka till A. Tillståndsförändringar under en Carnotprocess A B Isoterm expansion T = T B T A = 0 p = p B p A < 0, V = V B V A > 0 B C Adiabatisk expansion Q = Q B C = 0 p = p C p B < 0, V = V C V B > 0, T = T C T B < 0 C D Isoterm kompression T = T D T C = 0 p = p D p C > 0, V = V D V C < 0 D A Adiabatisk expansion Q = Q D A = 0 p = p A p D > 0, V = V A V D < 0, T = T A T D > 0 16

A P B D C V Figur 8: Carnotprocess. Under dessa delprocesser kan vi alltså med hjälp av vad vi tidigare beräknat skriva ned energiförändringarna. Energiförändringar under en Carnotprocess A B Isoterm expansion Arbete uträttas W A B = nrt A ln(v B /V A ) > 0 ( nytta ). Lika mycket värme Q A B absorberas ( kostnad ). B C Adiabatisk expansion Q B C = 0 Arbete uträttas (tas från inre energin), ( nytta ). Det visar sig att vi inte behöver räkna ut det dock. C D Isoterm kompression Arbete uträttas på systemet W C D = nrt C ln(v D /V C ) < 0 ( nödvändigt ). Lika mycket värme Q A B lämnas till omgivningen ( förluster ). D A Adiabatisk kompression Q D A = 0 Arbete uträttas på systemet (inre energin ökar), ( nödvändigt ). Det visar sig att vi inte behöver räkna ut det dock. Vi vill nu beräkna verkningsgraden η som kvoten mellan uträttat arbete ( nytta ) och tillfört värme ( kostnad ). Då skulle man i princip också behöva beräkna det uträttade arbetet under den adiabatiska expansionen D C, men som vi ska se behöver vi inte det om vi utnyttjar energiprincipen. 17

Vi har en kretsprocess, detta betyder att den inre energin efter en cykel är tillbaka till sitt ursprungliga värden, eller U cykel = 0. Vi finner alltså att Q cykel = W cykel. Enligt vår genomgång av delprocesserna får vi nu att enbart isotermerna bidrager till Q cykel (eftersom värmeutbytet är noll under adiabaterna) Q cykel = Q A B + Q C D = nrt A ln V B V A + nrt C ln V D V C (48) Det uträttade arbete (alltså netto -arbetet) är W cykel = Q cykel = Q A B + Q C D. (49) Det tillförda värmet är Q A B och verkningsgraden blir således η = W cykel Q A B = Q A B + Q C D Q A B = 1 + Q C D Q A B. (50) Kvoten mellan Q C D och Q A B kan beräknas (med ett viss besvär) Q C D = T C ln VD VC Q A B T A ln V B VA = T C T A. (51) Vi visar inte hela beräkningen, men det sista likhetstecknet kommer sig av att för de adiabater vi har gäller V B /V A = V C /V D, ett samband som följer av att för de båda adiabaterna gäller TV γ 1 = konstant. Beräkning av (51) Här kommer beräkningen i alla fall för den som vill vara säker på att det är rätt! För de två adiabaterna gäller T B V γ 1 B = T C V γ 1 C (52) T A V γ 1 A = T D V γ 1 D (53) Att dessa ekvationer gäller kan man övertyga sig om genom att utnyttja pv γ = konstant (ekvation 41) för en adiabat och byta ut trycket p mot nrt/v med hjälp av gaslagen. 18

Dessutom vet vi att T A = T B och T C = T D för isotermerna. Om vi nu delar ekvationerna (52) och (53) med varandra så får vi resultatet V B /V A = V C /V D. (Man delar alltså vänsterledet med vänsteledet och högerledet med högerledet.) Hela poängen med detta är att Carnotverkningsgraden blir η = 1 T C T A (54) Eller om man vill uttrycka det med T kall = T C och T varm = T A η = 1 T kall T varm (55) 4.2 Några tillämpningar av Carnotprocessen Motorn Carnotprocessen kan användas till beskriva ett antal värmemaskiner såsom förbränningsmotorn, kylskåpet och värmepumpen. Kylskåpet och värmepumpen är snarlika i sin tekniska utformning, båda bygger på att man pumpar runt en kylvätska som i en fas av processen tvingas att förångas (tar upp värme) och i en annan tvingas kondensera (avlämna värme). På så vis kan värme pumpas från den kalla sidan till den varma genom en insats av arbete. I kylskåpet är den kalla sidan ( nyttan ) inuti skåpet. Vi vill pumpa värme ur kylskåpet för att hålla insidan kall. I värmepumpen är den varma sidan ( nyttan ) inomhus. Vi vill pumpa väme utifrån och in för att hålla huset varmt. Notera dock att just på grund av förångnings- och kondensationsfaserna är Carnotprocess ingen riktigt bra modell. Vi räknar med den för enkelhets skull. Den överskattar effektiviteten (i jämförelse med verkliga kylmaskiner/värmepumpar med upp till tre till fyra gånger). Förbränningsmotorn är naturligtvis helt annorlunda till sin tekniska uppbyggnad. Både kylskåpet och värmepumpen är slutna system, medan förbränningsmotorn är ett öppet system. Inte desto mindre kan den abstrakt (men grovt) beskrivas som en Carnotprocess. 4 För verkliga förbänningsmotorer finns ett antal kretsprocesser som beskriver dem väl. 4 Hur det kan vara möjligt förklaras i del 3 Mer om kretsprocesser. 19

Låt oss nu räkna med Carnot för enkelhets skull. För att beskriva Carnotprocessen använder vi följande figur som visar energiflöden mellan två temperaturreservoarer, en varm med konstant temperatur T v och en kall med konstant temperatur T k. Tv Qv W T k Qk Figur 9: En Carnotmotor. I denna typ av figur låter vi pilarnas riktning stå för positiva värmen och arbeten. Från figuren ser vi omedelbart att Q v = W + Q k eller W = Q v Q k (56) Verkningsgarden är per definition η = W Q v = Q v Q k Q v = 1 Q k Q v (57) Om vi jämför detta med uttrycket för Carnotverkningsgraden η = 1 T k /T v får vi Q k = T k (58) Q v T v Detta är en formel som är mycket använbar när man räknar på kylmaskiner och värmepumpar (då är verkningsgraden inte så relevant). Kylskåpet I ett kylskåp pumpas värme ut ur kylskåpet genom en insats av ett arbete. Flödena blir som i figuren räknade positiva i pilarnas riktning. För kylskåpet definierar man köldfaktorn som kvoten mellan bortkylt värme ( nytta ) och tillfört arbete ( kostnad ) ɛ k = Q k (59) W Carnotverkningsgraden har ingen relevans för kylskåpet men formel (58) är användbar. 20

Ute i köket Tv Qv T k Qk W Från elnätet Inne i kylskåpet Figur 10: Ett Carnotkylskåp. Värmepumpen I en värmepump pumpas värme från utomhusluften in i huset genom en insats av ett arbete. Flödena blir som i figuren räknade positiva i pilarnas riktning. För värmepumpen definierar man värmefaktorn som kvoten mellan inomhus avgiven värme ( nytta ) och tillfört arbete ( kostnad ) ɛ v = Q v (60) W Carnotverkningsgraden har ingen relevans för värmepumpen men formel (58) kan användas. Inomhus Tv Qv T k Q k Utomhus W Från elnätet Figur 11: En Carnotvärmepump. 4.3 Termodynamikens andra lag Termodynamikens andra lag kan formuleras på några olika sätt. 21

Clausius formulering Det finns ingen process vars enda resultat är att värme överförs från en kallare till en varmare reservoar (det vill säga utan någon insats av på systemet uträttat arbete). Kelvins formulering Det finns ingen process vars enda resultat är att värme från en enda varm reservoar helt omvandlas till arbete (det vill säga utan närvaro av en kall reservoar). Däremot kan värme från en varm reservoar helt omvandlas till värme vid kallare reservoar. Det är en naturlig process. Vidare kan arbete helt omvandlas till värme. Det är också en naturlig process. Matematiskt formuleras termodynamikens andra lag med hjälp av tillståndsfunktionen entropi. Här krävs dock en djupare förståelse av sambanden mellan tillståndsfunktioner och processfunktioner. Mer om detta i del 4 Termodynamikens andra lag. 5 Värmetransport Man räknar med tre former av värmetransport Konduktion, värmen transporteras via mikroskopisk växelverkan mellan materialets partiklar. Kallas också värmeledning. Konvektion, värmen transporteras via makroskopisk materialtransport. Strålning, värmen transporteras via elektromagnetisk strålning vars frekvensspektrum bestäms av temperaturen på den strålande ytan. 5.1 Konduktion Värmeledning räknat som transporterat värme per tidsenhet kallas värmeflödet och betecknas med φ och mäts i W. För att beräkna värmeledningen genom en skiva av ett visst material med tjockleken d och arean A använder man formeln där φ = λ A Tv T k d (61) λ är materialets värmekonduktivitet. Mäts i Wm 1 K 1. A är den värmeöverförande arean. Mäts i m 2. 22

φ Tv T k d Figur 12: Värmeledning genom en skiva. T v temperaturen på den varma sidan. Mäts i K. T k temperaturen på den kalla sidan. Mäts i K. d materialets tjocklek. Mäts i m. Formeln är giltig om skivan inte är alltför tjock. Dimensionerna stämmer, vilket kan kontrolleras genom att multiplicera samman dimensionerna för storheterna i högerledet 5.2 Konvektion Wm 1 K 1 m 2 K m = W Då en yta med en viss temperatur T 1 står i kontakt med en vätska eller en gas kommer det att ske en värmetransport genom konvektion. Konvektion betyder i detta sammanhang materialtransport. Vätskan eller gasen kommer att cirkulera utanför ytan och på så sätt värmas vid ytan och kylas en bit ut i vätskan/gasen. Man räknar med en värmegenomgångskoefficient, betecknad med α, som beskriver storleken på denna värmetransport. Den beror på vätska/gas men även på strömmningsförhållanden. T 1 T 2 Figur 13: Värmekonvektion utanför en yta. 23

där Formeln för värmekonvektion lyder φ = α A (T 1 T 2 ) (62) α värmegenomgångskoefficienten. Mäts i Wm 2 K 1. A är den värmeöverförande arean. Mäts i m 2. T v temperaturen på den varma sidan. Mäts i K. T k temperaturen på den kalla sidan. Mäts i K. Formeln är giltig om ingen påtvingad cirkulation finns. Vid påtvingad cirkulation (exempelvis via fläktar, blåst, omröring eller strömning) ökar konduktionen, men är svårare att beräkna. 5.3 Värmeledning genom flera materialskikt Om man har flera värmeisolerande skikt med exempelvis inomhusluft på ena sidan och utomhusluft på den andra, kan man sätta samma dessa formler för att beräkna den totala värmetransporten. Detta är ju situationen i en husvägg. T 1 φ α k 1 1 α k 2 2 d 1 d 2 T 2 Figur 14: Värmetransport genom flera skikt. Naturligtvis är det samma värmeflöde genom alla skikten. Utnyttjar man detta faktum kan man visa att värmeflödet kan skrivas som där φ = U A (T 1 T 2 ) (63) U är det så kallade U-värdet mätt i Wm 1 K 1. 24