Mat Grundkurs i matematik 3-I

Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2010 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 1 / 90

G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 2 / 90

Komplexa tal Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = 1 C är mängden av komplexa tal G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 3 / 90

Komplexa tal Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = 1 C är mängden av komplexa tal Reell del: Re (x + iy) = x Imaginär del: Im (x + iy) = y så Im (z) är alltså ett reellt tal G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 3 / 90

Komplexa tal Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = 1 C är mängden av komplexa tal Reell del: Re (x + iy) = x Imaginär del: Im (x + iy) = y så Im (z) är alltså ett reellt tal Konjugering: x + iy = x iy (= x + i( y)) Absolutbelopp (eller modul) x + iy = mod (x + iy) = x 2 + y 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 3 / 90

Komplexa tal Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = 1 C är mängden av komplexa tal Reell del: Re (x + iy) = x Imaginär del: Im (x + iy) = y Konjugering: x + iy = x iy så Im (z) är alltså ett reellt tal (= x + i( y)) Absolutbelopp (eller modul) x + iy = mod (x + iy) = x 2 + y 2 Räkneregler z 2 = zz, z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 z = z, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 + z 2 z 1 + z 2, ( ) z1 z 2 = z 1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 3 / 90

Exempel Vid addition och subtraktion av komplexa tal adderar och subtraherar man de reella och imaginära delarna var för sig så att tex. (8 + 2i) + ( 3 4i) = (8 + ( 3)) + (2 + ( 4))i = 5 2i. Vid multiplikation gäller det bara att komma ihåg att i 2 = 1: (8 + 2i)( 3 4i) = 8 ( 3) + 8 ( 4)i + 2 ( 3)i + 2 ( 4)i 2 = 24 32i 6i 8 ( 1) = 16 38i. Division av komplexa tal kan räknas så att man förlänger med nämnarens konjugat så att man i nämnaren får ett reellt tal, tex.: 8 + 2i 3 4i (8 + 2i)( 3 + 4i) 24 + 32i 6i + 8i2 = = ( 3 4i)( 3 + 4i) ( 3) 2 (4i) 2 24 8 + 26i 32 + 26i = 9 16i 2 = 9 + 16 = 32 25 + 26 25 i. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 4 / 90

Kommentar Ett annat, formellt mera korrekt, sätt att definiera de komplexa talen är att inte alls (explicit) tala om den imaginära konstanten i utan tala om punkter (eller vektorer) (x, y) i planet R 2 och definiera räkneoperationer för dem som motsvarar räkneoperationerna för vanliga reella tal. Addition är inget problem eftersom det enda förnuftiga är att definiera (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), vilket är addition av vektorer. Ett viktigt villkor som multiplikationen skall uppfylla är att produkten av två punkter endast får vara noll (dvs. (0, 0)) om åtminstone den ena faktorn är noll. Detta uppnås om man definierar (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) och man kan då visa att alla räkneregler gäller. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 5 / 90

Argument eller fasvinkel Ifall Re (z) = x och Im (z) = y så är argumentet θ = arg(z) av z ( y ) arctan (+2kπ), x > 0, x + iy x. ( y ) θ. θ = arctan + π (+2kπ), x < 0, x y π y 2 (+2kπ), x = 0 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 6 / 90

Argument eller fasvinkel Ifall Re (z) = x och Im (z) = y så är argumentet θ = arg(z) av z ( y ) arctan (+2kπ), x > 0, x + iy x. ( y ) θ. θ = arctan + π (+2kπ), x < 0, x y π y 2 (+2kπ), x = 0 atan2 I de flesta programmeringsspråk finns en funktion atan2 som räknar ut det argument av x + iy som ligger i intervallet ( π, π] med kommandot atan2(y,x). Observera att i tex. Excel och OOCalc skall man skriva atan2(x;y) dvs. byta ordning på argumenten. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 6 / 90

Polär framställning z = r(cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ, r 0 z = r och arg(z) = θ Re (z) = r cos(θ) och Im (z) = r sin(θ) Kommentar Om x är ett reellt tal kan man skriva x = x sign (x) vilket motsvarar den polära framställningen z = z e iθ med den skillnaden att teckenfunktionen sign (x) bara får två värden (eftersom man inte behöver bry sig om sign (0)). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 7 / 90

Exempel arg( 3) =? G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 8 / 90

Exempel arg( 3) =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan( 0 3 ) + π (+2kπ) = π (+2kπ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 8 / 90

Exempel arg( 3) =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan( 0 3 ) + π (+2kπ) = π (+2kπ). arg(2 2i) =? G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 8 / 90

Exempel arg( 3) =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan( 0 3 ) + π (+2kπ) = π (+2kπ). arg(2 2i) =? Argumentet är arctan( 2 2 ) (+2kπ) = π 4 (+2kπ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 8 / 90

Exempel arg( 3) =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan( 0 3 ) + π (+2kπ) = π (+2kπ). arg(2 2i) =? Argumentet är arctan( 2 2 ) (+2kπ) = π 4 (+2kπ). arg( 3e i 0.1234 ) =? G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 8 / 90

Exempel arg( 3) =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan( 0 3 ) + π (+2kπ) = π (+2kπ). arg(2 2i) =? Argumentet är arctan( 2 2 ) (+2kπ) = π 4 (+2kπ). arg( 3e i 0.1234 ) =? Argument är arg( 3) + arg(e i 0.1234 ) = π 0.1234 (+2kπ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 8 / 90

Räkneregler z 1 z 2 = z 1 z 2, arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) z n = z n, z 1 z 2 = z 1 z 2 ( ) arg (z n z1 ) = n arg(z), arg = arg(z 1 ) arg(z 2 ) z 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 9 / 90

Räkneregler z 1 z 2 = z 1 z 2, arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) z n = z n, z 1 z 2 = z 1 z 2 ( ) arg (z n z1 ) = n arg(z), arg = arg(z 1 ) arg(z 2 ) z 2 z 1 = z 2 Re (z 1 ) = Re (z 2 ), Im (z 1 ) = Im (z 2 ) z 1 = z 2, θ 1 = θ 2 + 2kπ där θ 1 = arg(z 1 ) och θ 2 = arg(z 2 ) Två personer som har samma födelsedag är inte nödvändigtvis lika gamla men skillnaden i ålder är ett antal hela år. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 9 / 90

Exponentfunktionen exp(x + iy) = e x+iy = e x( cos(y) + i sin(y) ) e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 e z = e Re (z), arg(e z ) = Im (z) e z 0, z C, e iθ = 1 θ R d Moivres formel cos(nt) + i sin(nt) = e int = ( e it) n = ( cos(t) + i sin(t) ) n G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 10 / 90

Logaritmfunktionen z = ln(w) w = e z Om z = x + iy så är e z = e x och arg(e z ) = y G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 11 / 90

Logaritmfunktionen z = ln(w) w = e z Om z = x + iy så är e z = e x och arg(e z ) = y och om w = e z måste w = e z = e x och arg(w) + 2kπ = arg(e z ) = y G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 11 / 90

Logaritmfunktionen z = ln(w) w = e z Om z = x + iy så är e z = e x och arg(e z ) = y och om w = e z måste w = e z = e x och arg(w) + 2kπ = arg(e z ) = y dvs. x = ln( w ) så att z = ln(w) = ln( w ) + i(arg(w) + 2kπ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 11 / 90

Logaritmfunktionen z = ln(w) w = e z Om z = x + iy så är e z = e x och arg(e z ) = y och om w = e z måste w = e z = e x och arg(w) + 2kπ = arg(e z ) = y dvs. x = ln( w ) så att z = ln(w) = ln( w ) + i(arg(w) + 2kπ). För att få en ordentlig logaritmfunktion med bara ett värde i varje punkt kan man tex. definiera Ln(w) = ln( w ) + iarg(w) där Arg(w) är argumentet valt så att π < Arg(z) π så att tex. ln( w ) egentligen är Ln( w ) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 11 / 90

Rötter: z = w 1 n w = z n Om z = z e iϕ, dvs. ϕ = arg(z) så är z n = z n och arg(z n ) = nϕ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 12 / 90

Rötter: z = w 1 n w = z n Om z = z e iϕ, dvs. ϕ = arg(z) så är z n = z n och arg(z n ) = nϕ och om w = z n så är w = z n och arg(w) + 2kπ = nϕ så att om arg(w) = θ så är z = w 1 n och ϕ = θ n + 2kπ n G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 12 / 90

Rötter: z = w 1 n w = z n Om z = z e iϕ, dvs. ϕ = arg(z) så är z n = z n och arg(z n ) = nϕ och om w = z n så är w = z n och arg(w) + 2kπ = nϕ så att om arg(w) = θ så är z = w 1 n och ϕ = θ n + 2kπ n dvs. ( z = w 1 n = n w = n w cos( θ+2kπ n ) ) + i sin( ) θ+2kπ n, där k = 0, 1,..., n 1 eftersom man får samma värden för k + n som för k. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 12 / 90

Exempel Låt w = 1 + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 13 / 90

Exempel Låt w = 1 + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. Lösning: Absolutbeloppet av talet w är w = 1 2 + 1 2 = 2 1.4142, och w:s argument är arctan( 1 1 ) = π 4. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 13 / 90

Exempel Låt w = 1 + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. Lösning: Absolutbeloppet av talet w är w = 1 2 + 1 2 = 2 1.4142, och w:s argument är arctan( 1 1 ) = π 4. Ifall z = r och arg(z) = ϕ, så är z 4 = r 4 och arg(z 4 ) = 4ϕ. Om nu z 4 = w så är r 4 = w = 2 och 4ϕ = π 4 + 2kπ där k är ett heltal. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 13 / 90

Exempel Låt w = 1 + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. Lösning: Absolutbeloppet av talet w är w = 1 2 + 1 2 = 2 1.4142, och w:s argument är arctan( 1 1 ) = π 4. Ifall z = r och arg(z) = ϕ, så är z 4 = r 4 och arg(z 4 ) = 4ϕ. Om nu z 4 = w så är r 4 = w = 2 och 4ϕ = π 4 + 2kπ där k är ett heltal. Av detta följer att r = 8 2 1.0905 och ϕ = π 16 + π 2 k = 0.19635 + 1.5708k. Nu får man olika lösningar då k = 0, 1,..., 3 eftersom man då tex. k = 4 får samma tal som då k = 0 osv. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 13 / 90

Exempel Låt w = 1 + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. Lösning: Absolutbeloppet av talet w är w = 1 2 + 1 2 = 2 1.4142, och w:s argument är arctan( 1 1 ) = π 4. Ifall z = r och arg(z) = ϕ, så är z 4 = r 4 och arg(z 4 ) = 4ϕ. Om nu z 4 = w så är r 4 = w = 2 och 4ϕ = π 4 + 2kπ där k är ett heltal. Av detta följer att r = 8 2 1.0905 och ϕ = π 16 + π 2 k = 0.19635 + 1.5708k. Nu får man olika lösningar då k = 0, 1,..., 3 eftersom man då tex. k = 4 får samma tal som då k = 0 osv. Eftersom argumenten för dehär lösningarna är π 16, π 16 + π 2, π 16 + π och π 16 + 3π 2 så ser vi att den lösning vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π] fås då k = 2 och är alltså ( ) z 2 = 1.0905 cos(0.19635 + 1.5708 2) + i sin(0.19635 + 1.5708 2) = 1.0696 i 0.21275. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 13 / 90

Trigonometriska funktioner sin(z) = 1 ( 2i e iz e iz) cos(z) = 1 ( 2 e iz + e iz) sin(x + iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y) cos(x + iy) = cos(x) cosh(y) i sin(x) sinh(y) Möbius-avbildning z az+b cz+d, ad bc 0 Cirklar och linjer avbildas på cirklar eller linjer G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 14 / 90

Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z 0 Ω finns ett tal δ > 0 så att { z C : z z 0 < δ } Ω G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 15 / 90

Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z 0 Ω finns ett tal δ > 0 så att { z C : z z 0 < δ } Ω En mängd A C är sluten ifall C \ A = { z C : z / A } är öppen G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 15 / 90

Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z 0 Ω finns ett tal δ > 0 så att { z C : z z 0 < δ } Ω En mängd A C är sluten ifall C \ A = { z C : z / A } är öppen En mängd Ω C är öppen när den inte innehåller någon randpunkt, dvs. Ω Ω = G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 15 / 90

Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z 0 Ω finns ett tal δ > 0 så att { z C : z z 0 < δ } Ω En mängd A C är sluten ifall C \ A = { z C : z / A } är öppen En mängd Ω C är öppen när den inte innehåller någon randpunkt, dvs. Ω Ω = där randen Ω består av de punkter z C för vilka det för varje δ > 0 finns en punkt z i Ω och en punkt z u C \ Ω så att z i z < δ och z u z < δ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 15 / 90

Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z 0 Ω finns ett tal δ > 0 så att { z C : z z 0 < δ } Ω En mängd A C är sluten ifall C \ A = { z C : z / A } är öppen En mängd Ω C är öppen när den inte innehåller någon randpunkt, dvs. Ω Ω = där randen Ω består av de punkter z C för vilka det för varje δ > 0 finns en punkt z i Ω och en punkt z u C \ Ω så att z i z < δ och z u z < δ En mängd Ω C är sluten när den innehåller alla randpunkter, dvs. Ω Ω G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 15 / 90

Sammanhängande mängder En öppen mängd Ω C är sammanhängande ifall det för alla z 0, z 1 Ω finns en kontinuerlig funktion γ : [0, 1] Ω så att γ(0) = z 0 och γ(1) = z 1 (och alltså γ(t) Ω, t [0, 1], dvs. en kurva i Ω från z 0 till z 1). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 16 / 90

Sammanhängande mängder En öppen mängd Ω C är sammanhängande ifall det för alla z 0, z 1 Ω finns en kontinuerlig funktion γ : [0, 1] Ω så att γ(0) = z 0 och γ(1) = z 1 (och alltså γ(t) Ω, t [0, 1], dvs. en kurva i Ω från z 0 till z 1). Mera allmänt: A C är sammanhängande om följande gäller (som alltså är ekvivalent med ovanstående villkor då A är öppen): Ifall A Ω 1 Ω 2 där Ω j C, j = 1, 2 är öppen och Ω 1 Ω 2 = så är A Ω 1 = eller A Ω 2 = G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 16 / 90

Sammanhängande mängder En öppen mängd Ω C är sammanhängande ifall det för alla z 0, z 1 Ω finns en kontinuerlig funktion γ : [0, 1] Ω så att γ(0) = z 0 och γ(1) = z 1 (och alltså γ(t) Ω, t [0, 1], dvs. en kurva i Ω från z 0 till z 1). Mera allmänt: A C är sammanhängande om följande gäller (som alltså är ekvivalent med ovanstående villkor då A är öppen): Ifall A Ω 1 Ω 2 där Ω j C, j = 1, 2 är öppen och Ω 1 Ω 2 = så är A Ω 1 = eller A Ω 2 = Kontinuerliga funktioner Om Ω C så är funktionen f : Ω C kontinuerlig i Ω om lim z z 0 z Ω f (z) = f (z 0 ) z 0 Ω. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 16 / 90

Derivator En funktion f är deriverbar i punkten z 0 ifall lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 = f (z 0 ) för något komplext tal f (z 0 ) dvs., för varje ɛ > 0 finns det ett tal δ > 0 så att om 0 < z z 0 < δ så är f definierad för z och z 0 och f (z) f (z 0 ) f (z 0 ) z z 0 < ɛ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 17 / 90

Derivator En funktion f är deriverbar i punkten z 0 ifall lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 = f (z 0 ) för något komplext tal f (z 0 ) dvs., för varje ɛ > 0 finns det ett tal δ > 0 så att om 0 < z z 0 < δ så är f definierad för z och z 0 och f (z) f (z 0 ) f (z 0 ) z z 0 < ɛ Alla normala deriveringsregler gäller och tex. d dz zm = mz m 1 ( då m inte är ett heltal) d dz ez = e z d dz ln(z) = 1 z d d dz sin(z) = cos(z) dz cos(z) = sin(z) d dz g( f (z) ) = g ( f (z) ) f (z) ( ) d dz f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 17 / 90

Analytiska funktioner En funktion f är analytisk i mängden A C ifall det finns en öppen mängd Ω C så att A Ω och f är deriverbar i varje punkt i Ω G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 18 / 90

Analytiska funktioner En funktion f är analytisk i mängden A C ifall det finns en öppen mängd Ω C så att A Ω och f är deriverbar i varje punkt i Ω Cauchy-Riemann ekvationerna Ifall f (z) = u(x, y) + iv(x, y) då z = x + iy så gäller u x (x, y) = v y (x, y) u y (x, y) = v x (x, y) i de punkter där f är deriverbar G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 18 / 90

Stig En stig, eller bitvis differentierbar glatt kurva är en kontinuerlig funktion γ : [a, b] C så att det finns ändligt många punkter a = t 0 < t 1 <... < t n = b så att γ är kontinuerligt deriverbar i varje intervall [t j 1, t j ] och derivatan (höger- eller vänster- i ändpunkterna) är aldrig 0. γ def = { γ(t) : t [a, b] } G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 19 / 90

Stig En stig, eller bitvis differentierbar glatt kurva är en kontinuerlig funktion γ : [a, b] C så att det finns ändligt många punkter a = t 0 < t 1 <... < t n = b så att γ är kontinuerligt deriverbar i varje intervall [t j 1, t j ] och derivatan (höger- eller vänster- i ändpunkterna) är aldrig 0. γ def = { γ(t) : t [a, b] } Stigintegraler Ifall γ är en stig är γ f (z) dz = b a f (γ(t))γ (t) dt G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 19 / 90

Stig En stig, eller bitvis differentierbar glatt kurva är en kontinuerlig funktion γ : [a, b] C så att det finns ändligt många punkter a = t 0 < t 1 <... < t n = b så att γ är kontinuerligt deriverbar i varje intervall [t j 1, t j ] och derivatan (höger- eller vänster- i ändpunkterna) är aldrig 0. γ def = { γ(t) : t [a, b] } Stigintegraler Ifall γ är en stig är γ f (z) dz = b a f (γ(t))γ (t) dt Ofta skriver man C f (z) dz istället för f (z) dz där C är en riktad kurva om γ det är klart hur parameterframställningen γ för C (som alltså är γ med riktning ) skall väljas. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 19 / 90

Exempel på integraler Om C är sträckan från z 0 till z 1 så är f (z) dz = f (z) dz = C γ 1 0 f (γ(t))γ (t) dt, där γ(t) = (1 t)z 0 + tz 1, t [0, 1]. Alternativt, C f (z) dz = b a f (γ(t))γ (t) dt där γ(t) = b t b a z 0 + t a b a z 1 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 20 / 90

Exempel på integraler Om C är sträckan från z 0 till z 1 så är f (z) dz = f (z) dz = C γ 1 0 f (γ(t))γ (t) dt, där γ(t) = (1 t)z 0 + tz 1, t [0, 1]. Alternativt, C f (z) dz = b a f (γ(t))γ (t) dt där γ(t) = b t b a z 0 + t a b a z 1 Om C är cirkelbågen z z 0 = r från z 0 + re iα till z 0 + re iβ motsols (där α < β) så är C f (z) dz = där γ(t) = z 0 + re it, t [α, β]. γ f (z) dz = β α f (γ(t))γ (t) dt, G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 20 / 90

Lemma Två stigar γ 1 : [a, b] C och γ 2 : [c, d] C där γ 1 (b) = γ 2 (c) kan kombineras till en stig γ = γ 1 γ 2, γ : [a, b + d c] C, så att { γ 1(t), t [a, b], γ(t) = γ 2(c + t b), t [b, b + d c], och då är γ f (z) dz = f (z) dz + γ 1 f (z) dz. γ 2 (På motsvarande sätt kan en stig delas upp.) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 21 / 90

Lemma Två stigar γ 1 : [a, b] C och γ 2 : [c, d] C där γ 1 (b) = γ 2 (c) kan kombineras till en stig γ = γ 1 γ 2, γ : [a, b + d c] C, så att { γ 1(t), t [a, b], γ(t) = γ 2(c + t b), t [b, b + d c], och då är γ f (z) dz = f (z) dz + γ 1 f (z) dz. γ 2 (På motsvarande sätt kan en stig delas upp.) Lemma Om γ : [a, b] C är en stig och γ eller γ är stigen γ (t) = γ(a + b t), t [a, b], dvs. stigen γ i omvänd riktning, så är f (z) dz = f (z) dz. γ γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 21 / 90

Slutna stigar En stig γ : [a, b] C är sluten ifall γ(a) = γ(b) och γ f (z) dz betyder att γ är sluten. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 22 / 90

Slutna stigar En stig γ : [a, b] C är sluten ifall γ(a) = γ(b) och γ f (z) dz betyder att γ är sluten. Lemma Ifall f (z) M då z γ, (a < b) och längden av γ är L så gäller b f (z) dz f (γ(t)) γ (t) dt ML. γ a G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 22 / 90

Slutna stigar En stig γ : [a, b] C är sluten ifall γ(a) = γ(b) och γ f (z) dz betyder att γ är sluten. Lemma Ifall f (z) M då z γ, (a < b) och längden av γ är L så gäller b f (z) dz f (γ(t)) γ (t) dt ML. Lemma γ a Om γ : [a, b] C är en stig och f är en kontinuerlig funktion så att det finns en deriverbar funktion F så att F (z) = f (z) då z γ så är f (z) dz = F (γ(b)) F (γ(a)). γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 22 / 90

Vridningstal Ifall γ är en sluten stig så är ν(γ, w) = 1 1 2πi γ z w dz stigens vridningstal i förhållande till w / γ. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 23 / 90

Vridningstal Ifall γ är en sluten stig så är ν(γ, w) = 1 1 2πi γ z w dz stigens vridningstal i förhållande till w / γ. Lemma ν(γ, w) ett heltal som anger hur många varv γ går runt w i positiv riktning och är konstant i varje öppen sammanhängande delmängd av C \ γ. ν(γ, w) = ν(γ, w), w / γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 23 / 90

Cauchys integralteorem Om γ är en sluten stig och f är analytisk på γ och i alla punkter innanför γ så är f (z) dz = 0 γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 24 / 90

Cauchys integralteorem Om γ är en sluten stig och f är analytisk på γ och i alla punkter innanför γ så är f (z) dz = 0 γ Antagandet mera exakt: γ är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att γ Ω och ν(γ, z) = 0 för alla z C \ Ω G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 24 / 90

Exempel Visa hur man kan räkna ut integralen sin(t) 0 t dt med hjälp av Cauchys integralteorem. Lösning: Vi bildar en sluten stig γ som är sammansatt av stigarn γ S, γ [ S, r], γ r och av γ [r,s] där 0 < r < S och γ S är den stig som består av sträckorna från S till S + i S, från S + i S till S + i S och från S + i S till S, γ [ S, r] är sträckan från S + 0i till r + 0i, γ r är cirkelbågen z = r i negativ riktning från r to r och γ [r,s] är sträckan från r + 0i till S + 0i. Av Cauchys integralteorem följer att γ z dz = 0 dvs. e iz γ S z dz + e iz γ [ S, r] z dz + e iz γ r z dz + e iz γ [r,s] z dz = 0 så det gäller att visa att ( sin(t) 1 0 t dt = lim r 0 2 Im e iz γ S [ S, r] z sedan räkna ut lim S γ S e iz z dz och lim r 0 γ r e iz z e iz dz + γ [r,s] e iz z dz ) och dz. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 25 / 90

Cauchys integralteorem, ver. 1.1 Om γ 1 och γ 2 är slutna stigar och f är analytisk på γ1 och γ 2 punkter mellan γ1 och γ 2 så är f (z) dz = f (z) dz. γ 1 γ 2 och i alla G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 26 / 90

Cauchys integralteorem, ver. 1.1 Om γ 1 och γ 2 är slutna stigar och f är analytisk på γ1 och γ 2 punkter mellan γ1 och γ 2 så är f (z) dz = f (z) dz. γ 1 γ 2 och i alla Antagandet mera exakt: γ 1 och γ 2 är slutna stigar, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att γ 1 Ω, γ 2 Ω och ν(γ 1, z) = ν(γ 2, z) för alla z C \ Ω. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 26 / 90

Cauchys integralformel, ver 1.0 Om γ är en sluten stig som går ett varv runt punkten w och f är analytisk på γ och i alla punkter innanför γ så är f (w) = 1 f (z) 2πi z w dz. γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 27 / 90

Cauchys integralformel, ver 1.0 Om γ är en sluten stig som går ett varv runt punkten w och f är analytisk på γ och i alla punkter innanför γ så är f (w) = 1 f (z) 2πi z w dz. γ Cauchys integralformel, ver 1.1 Om γ är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att γ Ω och ν(γ, z) = 0 för alla z C \ Ω så är f (w)ν(γ, w) = 1 f (z) 2πi γ z w dz, för alla w Ω \ γ. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 27 / 90

Exempel z + 2 Beräkna integralen dz då γ är randen (i positiv riktning) γ (z + 1)(z 2) av rektangeln med hörn i punkterna 2 + 3i, 2 3i, 1 3i och 1 + 3i.Lösning: Vi konstaterar att funktionen som skall integreras är analytisk i alla punkter utom 1 och 2 och av dessa är det bara 1 som ligger innanför γ. Därför väljer vi f (z) = z + 2 och eftersom f är z 2 analytisk i alla punkter utom 2 och eftersom denna punkt ligger utanför rektangeln kan vi använda Cauchys integralteorem. Punkten 1 ligger inne i rektangeln och vi får därför γ z + 2 (z + 1)(z 2) dz = γ f (z) 1 + 2 dz = 2πif ( 1) = 2πi z ( 1) 1 2 = 2π 3 i. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 28 / 90

Cauchys integralformel, ver 1.2 Om f är en analytisk funktion i en öppen mängd Ω C, γ 1, γ 2,..., γ n är slutna stigar så att γj Ω och n j=1 ν(γ j, z) = 0 för varje z C \ Ω så är f (w) n j=1 n j=1 ν(γ j, w) = 1 2πi γ j f (z) dz = 0 n j=1 γ j f (z) z w dz, w Ω \ n j=1γ j G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 29 / 90

Teorem Om f är analytisk i den öppna mängden Ω så är också f deriverbar i Ω, dvs. f oändligt många gånger deriverbar i Ω. Cauchys olikheter f (n) (w) n!m r n ifall f är analytisk i { z : z w r } och f (z) M då z w = r eller ifall f är analytisk i { z : z w < r } och f (z) M då z w < r. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 30 / 90

Liouvilles teorem Om f är analytisk i C och f är begränsad (dvs. f (z) M < för alla z C) så är f en konstant. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 31 / 90

Liouvilles teorem Om f är analytisk i C och f är begränsad (dvs. f (z) M < för alla z C) så är f en konstant. Moreras teorem Om f är kontinuerlig i den öppna mängden Ω C och för varje triangel T Ω så är f analytisk i Ω. T f (z) dz = 0 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 31 / 90

Konvergensradie Om z 0 C och a n C, n 0 så finns det ett tal R, 0 R, så att serien n=0 a n(z z 0 ) n konvergerar (absolut) då z z 0 < R divergerar då z z 0 > R. Talet R kallas seriens n=0 a n(z z 0 ) n konvergensradie. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 32 / 90

Exempel Bestäm konvergensradien för potensserien Vi använder kvottestet och räknar (n+1)! z 2(n+1)+2 lim (n+1) n+1 n = lim n! n n z 2n+2 n n=1 n + 1 (n + 1) (n+1)n n n n! n n z2n+2. z 2n+2 2 2n 2 1 = lim n (1 + 1 z 2 = 1 n )n e z2. Serien konvergerar då gränsvärdet är < 1 dvs. då z 2 < e eller z < e. På motsvarande sätt divergerar serien då gränsvärdet av kvoterna är > 1, dvs. då z > e. Detta innebär att seriens konvergensradie är e. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 33 / 90

Potensserie Ifall f är analytisk innanför cirkeln z z 0 = r så är f (z) = a n (z z 0 ) n, z z 0 < r, n=0 där a n = 1 n! f (n) (z 0 ) och konvergensradien är r. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 34 / 90

Potensserie Ifall f är analytisk innanför cirkeln z z 0 = r så är f (z) = a n (z z 0 ) n, z z 0 < r, n=0 där a n = 1 n! f (n) (z 0 ) och konvergensradien är r. Omvänt, ifall f (z) = n=0 a n(z z 0 ) n så är f analytisk i mängden { z : z z 0 < R } där R är konvergensradien och f (z) = na n (z z 0 ) n 1, n=1 z z 0 < R dvs. serien kan deriveras (och integreras) termvis. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 34 / 90

Laurent-serie Om f är analytisk i mängden { z : r < z z 0 < R } så är f (z) = n= a n (z z 0 ) n, där serien konvergerar (absolut) för alla z så att r < z z 0 < R och kan deriveras och integreras termvis. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 35 / 90

Laurent-serie Om f är analytisk i mängden { z : r < z z 0 < R } så är f (z) = n= a n (z z 0 ) n, där serien konvergerar (absolut) för alla z så att r < z z 0 < R och kan deriveras och integreras termvis. a n = 1 f (z) dz, 2πi (z z 0 ) n+1 C r,z0 där C r,z 0 är cirkeln z z 0 = r, r < r < R, G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 35 / 90

l Hopitals regel Om f och g är analytiska i z 0 och f (z 0 ) = g(z 0 ) = 0 och gränsvärdet f (z) lim z z 0 g existerar så är (z) f (z) lim z z 0 g(z) = lim f (z) z z 0 g (z) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 36 / 90

l Hopitals regel Om f och g är analytiska i z 0 och f (z 0 ) = g(z 0 ) = 0 och gränsvärdet f (z) lim z z 0 g existerar så är (z) f (z) lim z z 0 g(z) = lim f (z) z z 0 g (z) Exempel på serieutvecklingar 1 1 z = 1 + z + z2 + z 3 +... = n=0 zn, z < 1 e z = 1 + z + z2 2! + z3 3! +... = n=0 zn n! G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 36 / 90

l Hopitals regel Om f och g är analytiska i z 0 och f (z 0 ) = g(z 0 ) = 0 och gränsvärdet f (z) lim z z 0 g existerar så är (z) f (z) lim z z 0 g(z) = lim f (z) z z 0 g (z) Exempel på serieutvecklingar 1 1 z = 1 + z + z2 + z 3 +... = n=0 zn, z < 1 e z = 1 + z + z2 2! + z3 3! +... = n=0 zn n! sin(z) = z z3 3! + z5 5!... = n=0 ( 1) n z 2n+1 (2n+1)! cos(z) = 1 z2 2! + z4 4!... = ( 1) n z 2n n=0 (2n)! G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 36 / 90

z-transformer Om x(n), n = 0, 1, 2, är en talföljd så är z-transformen av x Z(x)(z) = x(n)z n n=0 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 37 / 90

z-transformer Om x(n), n = 0, 1, 2, är en talföljd så är z-transformen av x Z(x)(z) = x(n)z n n=0 Konvergensområdet Det finns ett tal R, 0 R så att serien n=0 x(n)z n konvergerar då z > R och divergerar då z < R. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 37 / 90

Överföringsfunktioner Antag att H är en funktion som avbildar en talföljd x = (x(n)) n=0 på en talföljd H(x) = (H(x)(n)) n=0 så att H är linjär, dvs H(λx + µy) = λh(x) + µh(y); H är translationsinvariant, dvs. H(τ(x)) = τ(h(x)) där τ(x)(0) = 0 och τ(x)(n) = x(n 1) då n 1; Det finns ett tal C < så att H(δ)(n) C n+1, n 0 där δ(0) = 1 och δ(n) = 0, n 1. då finns det en funktion H(z), den sk. överföringsfunktionen så att Y (z) = H(z)X (z) där X = Z(x) och Y = Z(H(x)). Funktionen H(z) är z-transformen av H(δ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 38 / 90

Residy Om f (z) = a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R så är a 1 = Res(f, z 0 ) n= residyn av f i punkten z 0. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 39 / 90

Residy Om f (z) = n= residyn av f i punkten z 0. Lemma Om a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R så är a 1 = Res(f, z 0 ) ( lim (z z0 )f (z) ) = w existerar z z 0 eller då m > 1 1 d m 1 ( lim (z z0 z z 0 (m 1)! dz m 1 ) m f (z) ) = w existerar så är Res(f, z 0 ) = w. (m måste vara minst ordningen av polen i z 0.) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 39 / 90

Residyteoremet Ifall γ är en sluten stig och f är analytisk på och innanför γ bortsett från punkterna z j för vilka ν(γ, z j ) = 1, j = 1,..., k så är γ f (z) dz = 2πi k Res(f, z j ). j=1 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 40 / 90

Varför? Om γ j är en cirkel med mittpunkt z j och så liten radie r j att f är analytisk i { z : 0 < z z j r j } Ω så kan vi skriva Eftersom d dz n 1 och f (z) = n= a j,n (z z j ) n, 0 < z z j r j. 1 n+1 zn+1 = z n då n 1 blir γ j a j,n (z z j ) n dz = 0 då γ j f (z) dz = a j, 1 γ j 1 z z j dz = 2πia j, 1 = 2πiRes(f, z j ). Nu följer residyteoremet av att man tillämpar Cauchys integralteorem, ver 1.2 på stigarna γ och γ j, j = 1,..., k. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 41 / 90

Beräkning av integraler Om f är analytisk på reella axeln och i övre halvplanet (Im (z) > 0) bortsett från punkterna z j, j = 1,..., k, och lim Im z 0 zf (z) = 0, (dvs. om z f är rationell, ifall skillnaden mellan nämnarens och täljarens gradtal är minst 2) så är R k f (x) dx = lim f (x) dx = 2πi Res(f, z j ). R R j=1 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 42 / 90

Exempel Beräkna med hjälp av residyteoremet integralen 1 (x 2 + 1)(x 2 + 4) dx. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 43 / 90

Exempel 1 Beräkna med hjälp av residyteoremet integralen (x 2 + 1)(x 2 + 4) dx. 1 Låt f (z) =. Denna funktion är analytisk i alla punkter utom (z 2 +1)(z 2 +4) nämnarens nollställen vilka är z = ±i och z = ±2i. Av dessa är det endast +i och +2i som ligger i övre halvplanet. Eftersom nämnarens gradtal minus täljarens gradtal är 4 så ser vi också att lim z f (z) = 0. z G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 43 / 90

forts. Vi kan alltså använda residyteoremet och vi får 1 (x 2 + 1)(x 2 + 4) dx = 2πi( Res(f, i) + Res(f, 2i) ) = 2πi lim z i ( (z i)f (z) ) + 2πi lim z 2i ( (z 2i)f (z) ) = 2πi lim z i z i (z i)(z + i)(z 2i)(z + 2i) z 2i + 2πi lim z 2i (z i)(z + i)(z 2i)(z + 2i) 1 1 = 2πi lim + 2πi lim z i (z + i)(z 2i)(z + 2i) z 2i (z i)(z + i)(z + 2i) = 2πi 2i ( i) 3i + 2πi i 3i 4i = π 3 π 6 = π 6. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 44 / 90

Teorem Ifall a > 0, g är analytisk på reella axeln och i övre halvplanet (Im (z) > 0) bortsett från punkterna z j, j = 1,..., k, och lim Im z 0 g(z) = 0 (när g är z rationell, ifall skillnaden mellan nämnarens och täljarens gradtal är minst 1) så är R e iax g(x) dx = lim e iax g(x) dx = 2πi R R k Res(e iaz g(z), z j ). j=1 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 45 / 90

Teorem Ifall a > 0, g är analytisk på reella axeln och i övre halvplanet (Im (z) > 0) bortsett från punkterna z j, j = 1,..., k, och lim Im z 0 g(z) = 0 (när g är z rationell, ifall skillnaden mellan nämnarens och täljarens gradtal är minst 1) så är R e iax g(x) dx = lim e iax g(x) dx = 2πi R R k Res(e iaz g(z), z j ). j=1 Obs! Om g(x) är reell så är ( R ) R sin(ax)g(x) dx = Im R R eiax g(x) dx och ( R R cos(ax)g(x) dx = Re R R eiax g(x) dx), och det är i båda fallen enklare att räkna ut lim R R R eiax g(x) dx och sedan ta imaginära eller reella delen än att skriva tex. sin(ax) = 1 2i (eiax e iax ). (Att försöka tillämpa residyteoremet på funktionen sin(az)g(z) eller cos(az)g(z) lyckas vanligen inte alls.) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 45 / 90

Lemma 2π 0 F (cos(t), sin(t)) dt 2π = F ( ( 1 2 e it + e it), 1 ( 2i e it e it)) 1 0 ie it ieit dt = f (z) dz γ ( ( 1 ifall f (z) = F 2 z + 1 ) (, 1 z 2i z 1 )) 1 och γ är enhetscirkeln z iz z = 1. Integralen kan räknas ut med residyteoremet (ifall förutsättningarna är uppfyllda). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 46 / 90

Nollställen, poler Om f (z) = a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R där a m 0 och R > 0, n=m (och f (z 0 ) = a 0 om m 0) så är z 0 ett nollställe av ordningen m om m > 0 (dvs. med multipliciteten m), G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 47 / 90

Nollställen, poler Om f (z) = a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R där a m 0 och R > 0, n=m (och f (z 0 ) = a 0 om m 0) så är z 0 ett nollställe av ordningen m om m > 0 (dvs. med multipliciteten m), z 0 är en pol av ordningen m om m < 0 (dvs. med multipliciteten m ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 47 / 90

Nollställen, poler Om f (z) = a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R där a m 0 och R > 0, n=m (och f (z 0 ) = a 0 om m 0) så är z 0 ett nollställe av ordningen m om m > 0 (dvs. med multipliciteten m), z 0 är en pol av ordningen m om m < 0 (dvs. med multipliciteten m ). Om f (z) = a n (z z 0 ) n och a n 0 för oändligt många n < 0 så är z 0 en n= väsentlig singularitet. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 47 / 90

Nollställen, poler Om f (z) = a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R där a m 0 och R > 0, n=m (och f (z 0 ) = a 0 om m 0) så är z 0 ett nollställe av ordningen m om m > 0 (dvs. med multipliciteten m), z 0 är en pol av ordningen m om m < 0 (dvs. med multipliciteten m ). Om f (z) = a n (z z 0 ) n och a n 0 för oändligt många n < 0 så är z 0 en n= väsentlig singularitet. Exempel 0 är ett nollställe av ordningen 1 till sin(z) 0 är ett nollställe av ordningen 2 till 1 cos(z) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 47 / 90

Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 48 / 90

Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 lim z z 0 f (z) existerar och är 0 (z z 0 ) m G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 48 / 90

Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 lim z z 0 f (z) existerar och är 0 (z z 0 ) m z 0 är en pol av ordningen m till 1 f G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 48 / 90

Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 lim z z 0 f (z) existerar och är 0 (z z 0 ) m z 0 är en pol av ordningen m till 1 f Lemma z 0 är en pol av ordningen m till f G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 48 / 90

Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 lim z z 0 f (z) existerar och är 0 (z z 0 ) m z 0 är en pol av ordningen m till 1 f Lemma z 0 är en pol av ordningen m till f lim z z0 (z z 0 ) m f (z) existerar och är 0 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 48 / 90

Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 lim z z 0 f (z) existerar och är 0 (z z 0 ) m z 0 är en pol av ordningen m till 1 f Lemma z 0 är en pol av ordningen m till f lim z z0 (z z 0 ) m f (z) existerar och är 0 z 0 är ett nollställe av ordningen m till 1 f G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 48 / 90

Lemma Om f är analytisk i z 0 och z 0 är ett nollställe av ordningen m så är ( ) f Res f, z 0 = m Lemma Om f är analytisk i mängden { z : 0 < z z 0 < r } där r > 0 och z 0 är en pol av ordningen m så är ( ) f Res f, z 0 = m G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 49 / 90

Antalet lösningar till en ekvation innanför en sluten stig Om f är analytisk på och innanför γ (och den slutna stigen γ går ett varv i positiv riktning) och ϕ, där ϕ(t) = f (γ(t)), t [a, b], går m varv runt w så finns det m lösningar till ekvationen f (z) = w innanför γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 50 / 90

Antalet lösningar till en ekvation innanför en sluten stig Om f är analytisk på och innanför γ (och den slutna stigen γ går ett varv i positiv riktning) och ϕ, där ϕ(t) = f (γ(t)), t [a, b], går m varv runt w så finns det m lösningar till ekvationen f (z) = w innanför γ Mera exakt Ifall ν(γ, z) = 1 eller 0 då z C \ γ och f är analytisk på och innanför γ bortsett från högst ett ändligt antal poler innanför γ så är 1 f (z) 2πi f (z) w dz = 1 1 dz = ν(ϕ, w), 2πi z w γ där ϕ(t) = f (γ(t)), t [a, b], antalet lösningar till ekvationen f (z) = w minus antalet poler innanför γ (räknade med multiplicitet). ϕ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 50 / 90

Lemma Om f är analytisk i punkten z 0 och f (z 0 ) = 0 så finns det ett tal r > 0 så att antingen gäller f (z) = 0 då z z 0 < r eller f (z) 0 då 0 < z z 0 < r. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 51 / 90

Lemma Om f är analytisk i punkten z 0 och f (z 0 ) = 0 så finns det ett tal r > 0 så att antingen gäller Ifall f (z) = 0 då z z 0 < r eller f (z) 0 då 0 < z z 0 < r. Analytisk fortsättning Ω är en öppen sammanhängande mängd, f och g är analytiska i Ω, f (z) = g(z) då z A Ω där A är sådan att det finns zj A, z j z, j 1 och lim j z j = z Ω, tex. så att A och antingen är öppen eller A = Ω γ där γ är en stig (så att γ inte består av bara en punkt), så är f (z) = g(z) för alla z Ω. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 51 / 90

Exempel Definiera Γ(z) = 0 e t t z 1 dt. Man kan visa att Γ då kommer att vara analytisk då Re (z) > 0 (eftersom t z 1 = t Re (z) 1 då t > 0). Hur är det med Γ(z) för andra värden av z? G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 52 / 90

Exempel Definiera Γ(z) = 0 e t t z 1 dt. Man kan visa att Γ då kommer att vara analytisk då Re (z) > 0 (eftersom t z 1 = t Re (z) 1 då t > 0). Hur är det med Γ(z) för andra värden av z? Då Re (z) > 0 får vi med hjälp av partiell integrering Γ(z + 1) = 0 e t t z dt = Detta betyder att Γ(z) = Γ(z) = / 0 Γ(z + 1) z ( e t t z) ( e t zt z 1) dt = zγ(z). 0 då Re (z) > 0 och vi kan definiera Γ(z + 1), z 0, Re (z) > 1. z G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 52 / 90

forts. Av teoremet om analytisk fortsättning följer att ifall f (z) är en analytisk funktion i mängden { z : z 0, Re (z) > 1 } så att f (z) = Γ(z) då Re (z) > 0 så måste den vara Γ(z+1) z. Vi kan nu fortsätta på samma sätt och definiera Γ(z) = Γ(z + k), z j, j = 0,..., k 1, Re (z) > k, z(z + 1)... (z + k 1) och vi ser vi får en funktion Γ som är analytisk i alla punkter utom { 0, 1, 2,... }. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 53 / 90

Definition En funktion u(x 1,..., x n ) är harmonisk i (den öppna) mängden Ω R n om den för alla (x 1,..., x n ) Ω uppfyller Laplace-ekvationen u = u x1 x 1 (x 1,..., x n ) +... + u xnx n (x 1,..., x n ) = 0. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 54 / 90

Definition En funktion u(x 1,..., x n ) är harmonisk i (den öppna) mängden Ω R n om den för alla (x 1,..., x n ) Ω uppfyller Laplace-ekvationen u = u x1 x 1 (x 1,..., x n ) +... + u xnx n (x 1,..., x n ) = 0. Teorem Funktionen u(x, y) är harmonisk i Ω u(x, y) = Re (f (x + iy)) där f (z) är en analytisk funktion i Ω (då x + iy = (x, y) Ω). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 54 / 90

Definition En funktion u(x 1,..., x n ) är harmonisk i (den öppna) mängden Ω R n om den för alla (x 1,..., x n ) Ω uppfyller Laplace-ekvationen u = u x1 x 1 (x 1,..., x n ) +... + u xnx n (x 1,..., x n ) = 0. Teorem Funktionen u(x, y) är harmonisk i Ω u(x, y) = Re (f (x + iy)) där f (z) är en analytisk funktion i Ω (då x + iy = (x, y) Ω). Lemma Om v(x, y) är en harmonisk funktion i (den öppna) mängden Ω 1 och f : Ω 2 Ω 1 är en analytisk funktion i (den öppna) mängden Ω 2 så är u(x, y) = v(re (f (x + iy)), Im (f (x + iy))) harmonisk i Ω 2. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 54 / 90

Exempel Bestäm en harmonisk funktion (u xx + u yy = 0) i första kvadranten { (x, y) : x > 0, y > 0 } så att u(x, 0) = 0, x > 0 och u(0, y) = 4, y > 0 genom att visa att v(x, y) = 1 2 1 π arctan( x y ) är en harmonisk funktion då y > 0 så att v(x, 0) = 1 då x < 0 och v(x, 0) = 0 då x > 0 och genom att använda den analytiska funktionen z z 2. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 55 / 90

Exempel Bestäm en harmonisk funktion (u xx + u yy = 0) i första kvadranten { (x, y) : x > 0, y > 0 } så att u(x, 0) = 0, x > 0 och u(0, y) = 4, y > 0 genom att visa att v(x, y) = 1 2 1 π arctan( x y ) är en harmonisk funktion då y > 0 så att v(x, 0) = 1 då x < 0 och v(x, 0) = 0 då x > 0 och genom att använda den analytiska funktionen z z 2. När vi deriverar får vi och v x (x, y) = 1 π v y (x, y) = 1 π 1 y 1 + x2 y 2 x y 2 1 + x2 y 2 = 1 π = 1 π y x 2 + y 2 och v xx (x, y) = 1 2xy π (x 2 + y 2 ) 2, x x 2 + y 2 och v yy (x, y) = 1 2xy π (x 2 + y 2 ) 2 Av detta är det klart att v xx + v yy = 0 så v är harmonisk. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 55 / 90

forts. x Om x > 0 så är lim y 0+ y = + så att lim y 0+ v(x, y) = 1 2 1 π π 2 = 0 x och om x < 0 så är lim y 0+ y = så att lim y 0+ v(x, y) = 1 2 1 π ( π 2 ) = 1. Eftersom f (z) = z2 är analytisk och avbildar mängden { z C : Re (z) > 0, Im (z) > 0 } på mängden { z C : Im (z) > 0 } så är funktionen u(x, y) = cv(re (f (x + iy)), Im (f (x + iy))) harmonisk i mängden { (x, y) : x > 0, y > 0 }. Dessutom ser vi att mängden { (0, y) : y > 0 } avbildas mängden { (x, 0) : x < 0 } så att om vi vill att u(0, y) = 4 och så skall vi välja c = 4. På motsvarande sätt ser vi att mängden { (x, 0) : x > 0 } avbildas på mängden { (x, 0) : x > 0 } så att vi också automatiskt får u(x, 0) = 0 då u definieras som ovan. Eftersom f (x + iy) = (x + iy) 2 = x 2 + 2ixy y 2 så blir u(x, y) = 4v(Re (f (x + iy)), Im (f (x + iy))) = 4v(x 2 y 2, 2xy) = 4 1 2 4 1 ( x 2 π arctan y 2 ) 2xy G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 56 / 90

Harmoniska funktioner i polära koordinater Antag att w(r, θ) = v(r cos(θ), r sin(θ)) (dvs. w är v uttryckt med polära koordinater). Då uppfyller v Laplace-ekvationen v xx + v yy = 0, (dvs. den är harmonisk) om och endast om w rr + 1 r w r + 1 r 2 w θθ = 0. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 57 / 90

Harmoniska funktioner i polära koordinater Antag att w(r, θ) = v(r cos(θ), r sin(θ)) (dvs. w är v uttryckt med polära koordinater). Då uppfyller v Laplace-ekvationen v xx + v yy = 0, (dvs. den är harmonisk) om och endast om Medelvärdesegenskapen Om Ω R n är öppen så gäller: w rr + 1 r w r + 1 r 2 w θθ = 0. u är två gånger deriverbar och harmonisk ( u = 0) i Ω u är oändligt många gånger deriverbar och harmonisk ( u = 0) i Ω 1 u är kontinuerlig i Ω och u(x 0 ) = x =1 u(x 0 + rx) ds, för alla x 0 och r 0 så att { x R n : x x 0 r } Ω x =1 1 ds G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 57 / 90

Maximumprincipen Om Ω är en öppen begränsad mängd i R n med rand Ω och u är kontinuerlig i Ω Ω och harmonisk i Ω så är max u(x) = max u(x). x Ω Ω x Ω Om Ω dessutom är sammanhängande så gäller att om u(x 0 ) = max x Ω Ω u(x) för något x 0 Ω så är u en konstant funktion. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 58 / 90

Maximumprincipen Om Ω är en öppen begränsad mängd i R n med rand Ω och u är kontinuerlig i Ω Ω och harmonisk i Ω så är max u(x) = max u(x). x Ω Ω x Ω Om Ω dessutom är sammanhängande så gäller att om u(x 0 ) = max x Ω Ω u(x) för något x 0 Ω så är u en konstant funktion. Entydighet Om Ω är en öppen begränsad mängd i R n med rand Ω och u 1 och u 2 är kontinuerliga i Ω Ω och harmoniska i Ω och u 1 (x) = u 2 (x) då x Ω så är u 1 (x) = u 2 (x) för alla x Ω. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 58 / 90

Poissons formel i enhetscirkeln Om u(x, y) är t.ex. begränsad då x 2 + y 2 < 1 så är u harmonisk i { (x, y) : x 2 + y 2 < 1 } u(r cos(θ), r sin(θ)) = 1 2π 2π 0 1 r 2 1 2r cos(θ t) + r 2 u( cos(t), sin(t) ) dt, r < 1. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 59 / 90

Poissons formel i enhetscirkeln Om u(x, y) är t.ex. begränsad då x 2 + y 2 < 1 så är u harmonisk i { (x, y) : x 2 + y 2 < 1 } u(r cos(θ), r sin(θ)) = 1 2π 2π 0 Poissons formel i övre halvplanet 1 r 2 1 2r cos(θ t) + r 2 u( cos(t), sin(t) ) dt, r < 1. Om u(x, y) är t.ex. begränsad då x R och y > 0 så är u harmonisk i { (x, y) : x R, y > 0 } u(x, y) = 1 π y (x t) 2 u(t, 0) dt, y > 0. + y 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 59 / 90

Strömningsproblem i två dimensioner Hastighetsvektorn för en virvelfri strömning av en inkompressibel vätska med viskositet 0 (dvs. utan friktion ) är v(x, y) så att v = Φ och v = 0. Dessa villkor innebär att 0 = Φ = Φ xx + Φ yy, dvs. Φ är harmonisk. Om nu f (x + iy) = Φ(x, y) + iψ(x, y) är analytisk så följer av Cauchy-Riemann ekvationerna att hastighetsvektorn (Φ x, Φ y ) = (Re (f ), Im (f )) och (Φ x, Φ y ) (Ψ x, Ψ y ), dvs. hastighetsvektorn är parallell med kurvan Ψ = c (där c är en konstant) som alltså är en strömningslinje. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 60 / 90