Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår i kursen. De är bland annat här för att belysa hur metoder i linjär algebra återfinns i andra delar av matematiken och i andra ämnen. För övningar markerade med glasögon ( ) är det tänkt att du bara ska läsa och begrunda. Dessa exempel belyser ofta någon tillämpning av linjär algebra som ej ingår i kursen. Linjära ekvationssystem E 1 Jörn och Gunlög är syskon. Jörn har två gånger fler systrar än bröder och Gunlög har lika många systrar som bröder. Hur stor är syskonskaran? E 2 Ask och Embla ska köpa choklad. Ask observerar att Om jag ger dig hälften av mina pengar så kan du köpa två chokladkakor. Embla undrar då Om jag ger dig hälften av mina pengar, hur många chokladkakor kan du köpa då?. Ask svarar att då kan han köpa en chokladkaka. Hur mycket pengar hade Ask? E 3 Trafikkontoret har i en stad med fem vägar mätt trafikflödet (bilar per timme) på vissa ställen, se figuren nedan. Ställ upp ett ekvationssystem för flödet vid de övriga gatorna (pilarna) i staden. (Vi antar att inga bilar parkerar i staden och därmed att lika många bilar som kör in i varje korsning måste köra ut ur densamma.) 300 200 500 400 Har de mätt på tillräckligt många platser för att kunna bestämma flödena överallt? E 4 Tabellen nedan ger antalet milligram (mg) av vitamin A, vitamin B och kalcium som fyra olika maträtter innehåller per 100 gram (g). Antag 100 300 500 400 600 att en person vill sätta samman en kost bestående av 200 mg vitamin A, 250 mg vitamin C och 300 mg kalcium. Ställ upp ett linjärt ekvationssystem vars lösning ger personen rätt näringsvärde. Kan man förvänta sig att lösningen är unik? Mat 1 Mat 2 Mat 3 Mat 4 Vitamin A 10 30 20 10 Vitamin C 50 30 25 10 Kalcium 60 20 40 25 E 5 För en kvadratisk metallisk platta hålls sidorna vid konstant temperatur (enhet C) enligt figur nedan. Vidare kan man vid anta att det efter en viss tid uppstår jämvikt och att det då i de fyra inre punkter som är markerade gäller att temperaturen kan uppskattas med medelvärdet av de fyra punkter de är sammanknutna med. Vilken uppskattning ger det för temperaturen i dessa punkter? 20 *E 6 Jag har 32 mynt i fickan fördelade på enkronor, femkronor och tior. Hur många har jag av varje sort om deras totala värde är 100 kr? Vektorer E 7 Låt i en godtycklig konvex fyrhörning ABCD punkten M beteckna skärningen mellan diagonalerna AC och BD. a. Visa att om M skär diagonalerna mitt itu så är AB =DC. b. Visa att om AB =DC och AD=BC så skär M diagonalerna AC och BD mitt itu. **E 8 Låt P 2 beteckna mängden av polynom av grad högst två. För två polynom p 1 och p 2 i P 2 och för konstanter c definierar vi addition av polynom (p 1 + p 2 ) och multiplikation av polynom och skalär (cp 1 ) som 30 20 (p 1 + p 2 )(x) = p 1 (x) + p 2 (x), 25 (cp 1 )(x) = c p 1 (x).
Exempelvis gäller alltså att om p 1 (x) = x + 1, p 2 (x) = x 2 3x + 1 och c = 2 så är jan jun Bil 1 Bil 2 Bil 3 Fabrik A 270 440 510 jul dec Bil 1 Bil 2 Bil 3 Fabrik A 250 420 480 och (p 1 + p 2 )(x) = p 1 (x) + p 2 (x) = x + 1 + x 2 3x + 1 = x 2 2x + 2 (cp 1 )(x) = c p 1 (x) = 2(x + 1) = 2x + 2. a. Vad borde svara mot nollvektorn i P 2? b. Verifiera att P 2, med dessa operationer (addition och multiplikation med skalär) uppfyller samtliga villkor i Sats 1, sidan 23 i Sparr. Detta visar att P 2 utgör ett linjärt vektorrum. **E 9 Antag att vi på mängden av talpar inför addition (som vi här betecknar med ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 y 2 ) och multiplikation med skalär som (som vi här betecknar med ) c (x 1, x 2 ) = (c x 1, c x 2 ). Fabrik B 350 390 620 Fabrik C 330 500 470 Fabrik B 330 400 660 Fabrik C 350 480 500 E 12 I ett parkeringshus kostar det 50 kr för bilar och 100 kr för bussar att parkera. Tabellen nedan visar hur många bilar respektive bussar det fanns i huset under en arbetsvecka. Hur mycket pengar fick parkeringsbolaget in på bilar och bussar de olika dagarna denna vecka? Ställ upp det som en multiplikation mellan en matris och en vektor. Vilken dag fick de in mest pengar? E 13 Låt Bilar Bussar Måndag 30 5 Tisdag 23 2 Onsdag 15 10 Torsdag 27 6 Fredag 24 8 Här betecknar +, och vanlig addition, subtraktion och multiplikation. Avgör vilka av räknereglerna i Sats 1, sidan 23 i Sparr som gäller. **E 10 Antag att vi på mängden av talpar inför addition (som vi här betecknar med ) Beräkna A 20. A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 + 1) och multiplikation med skalär som (som vi här betecknar med ) c (x 1, x 2 ) = (c x 1 + c 1, c x 2 + c 1). Här betecknar +, och vanlig addition, subtraktion och multiplikation. Avgör vilka av räknereglerna i Sats 1, sidan 23 i Sparr som gäller. Matrisräkning E 11 En biltillverkare som tillverkar tre olika bilmodeller i tre olika fabriker når resultat första respektive andra halvåret enligt tabeller nedan (enhet Mkr). Beräkna årsresultatet för respektive fabrik och modell genom att ställa upp lämpliga matriser och addera dem. E 14 Bestäm alla 2 2-matriser A på formen A = ( a b 0 c ) sådana att A 2 = I. E 15 Finns det 2 2-matriser A och B sådana att AB BA = I? E 16 Finn alla 2 2-matriser A sådana att AA T = 0. E 17 Visa att om A, B och C är inverterbara n n-matriser så är ABC också inverterbar, med invers (ABC) 1 = C 1 B 1 A 1.
E 18 Antag att A, B och A + B är inverterbara matriser av samma storlek. Visa att matrisen A 1 + B 1 är inverterbar, och (A 1 + B 1 ) 1 = A(A + B) 1 B = B(A + B) 1 A. *E 19 Med spåret av en kvadratisk matris A (betecknas tr A efter engelskans ord trace) menar vi summan av diagonalelementen hos A. Låt A och B vara 2 2-matriser. a. Visa att tr(ab BA) = 0. b. Antag att X är en 2 2-matris med tr X = 0. Visa att det finns ett tal c sådant att X 2 = ci. c. Visa att det för 2 2-matriser A, B och C gäller att (AB BA) 2 C = C(AB BA) 2. **E 20 Låt A och B vara n n-matriser. a. Visa att spåret av AB är lika med spåret av BA, det vill säga tr(ab) = tr(ba). b. Kan det gälla att AB BA = I? Jämför med extraövning 15. Kommentar: AB BA kallas för kommutatorn av A och B och betecknas ofta [A, B]. Uppgiften ovan kan jämföras med kommutatorer inom mekaniken. Det gäller för deriverbara funktioner u att [ d d d, x]u = (xu) x u = u, dx dx dx det vill säga [ d, x] svarar mot identitetsoperatorn. dx E 21 Vid ekonomiska modeller (Leontief-modeller) förekommer en del ekvationslösning och matrisräkning. Vi ger här ett litet exempel. I många realistiska fall finns tusentals rader och kolumner. Tjänster Råmaterial Tillverkade varor Tjänster 0.04 0.05 0.02 Råmaterial 0.03 0.04 0.04 Tillverkade varor 0.02 0.3 0.2 Tabellen ovan skall läsas som att för att få ut 1 kr tjänster så krävs 0.04 kr i tjänster, 0.05 kr i råmaterial och 0.02 kr i tillverkade varor. Vi kan samla datan ovan i en så kallad ingångs-utgångsmatris A = 0.04 0.05 0.02 0.03 0.04 0.04 0.02 0.3 0.2 Efterfrågansvektorn d ger den totala efterfrågan för de tre olika sektorerna (enhet Mkr), och produktionsvektorn x (enhet Mkr) innehåller produktionsdata för varje sektor. Varje komponent i vektorn Ax innehåller den produktionsnivå som används av respektive sektor och kallas för den interna efterfrågan. Antag till exempel att produktionsvektorn x ges av Då blir den interna efterfrågan x = 200 100 150 Ax = 0.04 0.05 0.02 200 0.03 0.04 0.04 100 = 16 16 0.02 0.3 0.2 150 64 Härifrån utläser vi till exempel att tjänstesektorn behöver 16 Mkr för tjänster, råmaterial och tillverkade varor. Vi kan också härifrån dra slutsatsen att den externa efterfrågan inte får överstiga 184 Mkr i tjänster, 84 Mkr i råmaterial och 86 Mkr i tillverkade varor. Alternativt, antag att den externa efterfrågan d är given. Vi vill då bestämma produktionsnivån för varje sektor så att den interna och externa efterfrågan är lika. För att göra det måste x uppfylla det vill säga x Ax = d, (I A)x = d. Om I A är inverterbar, så blir alltså x = (I A) 1 d. Antag, som exempel, att efterfrågan d ges av En räkning ger då att d = 300 500 600
x = (I A) 1 d 360 569 974 Detta utläser vi som att tjänstesektorn måste producera tjänster till ett värde av 360 Mkr, råmaterialsektorn måste producera råmaterial till ett värde av 569 Mkr och tillverkningssektorn måste producera varor till ett värde av 974 Mkr. E 22 Vid bildbehandling arbetas det indirekt med matriser. Bilderna nedan består till exempel av 256 256-matriser (som vi kan tänka oss som vektorer i R 256 256 = R 65 536 ), där varje tal representerar en pixel i bilden och är ett mätetal på vilken grå nyans den pixeln skall ha. Låt vidare josen och vinet ha värde c 1 = 2 och c 2 = 3 respektive, och anta att insatsen av druvor, arbete och kapital begränsas av b 1 = b 2 = b 3 = 8. Med dessa beteckningar är A = 3 1 1 2, c = ( c 1 ) = ( 2 c 1 3 2 3 ), b = b 1 b 2 b 3 = 8 8, x = ( x 1 ). x 8 2 Här betecknar x 1 och x 2 produktionsnivåerna för jos respektive vin. Vår uppgift är: Maximera c x (det vill säga försäljningsvärdet) under bivillkoren Ax b och x 0. Här betyder Ax b att varje element i vektorn Ax skall vara mindre än eller lika med motsvarande element i b. Motsvarande för x 0. Den här typen av problem förekommer i optimeringslära, inte sällan med hundratusentals rader och kolonner i matrisen. Det finns utvecklade metoder att lösa dem (bland annat den så kallade simplexmetoden). Kanske kan du lösa detta exempel för hand genom att pröva dig fram? Skalärprodukt Sasha Gråskaleinverterad Matrisinverterad Sasha E 24 Antag att x och y är vektorer i R 2. Visa att Sasha x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). När du läst detta exempel bör du inte längre vara förvånad (om du var det innan) över att man behöver jobba i (och därför ha teori för) R n även för stora n. Vissa vanliga manipulationer man gör vid bildbehandling (såsom enkel skärpning) är linjära. *E 23 Den här övningen visar på ett vanligt förekommande optimeringsproblem som löses delvis med medel från linjär algebra. Ett företag har två produkter, druvjos och vin. Tabellen nedan visar hur mycket druvor, arbete och kapital som går in i produktionen (i lämpliga enheter). Jos Vin Druvor 3 1 Arbete 1 2 Kapital 1 3 Kan du ge någon geometrisk tolkning? En figur kanske kan hjälpa. **E 25 I den här uppgiften visar vi hur skalärprodukt kan generaliseras (då brukar den kallas inre produkt). Antag att vi har ett vektorrum V. En inre produkt är en regel som till varje par av vektorer x och y i V tilldelar ett tal (som betecknas x, y ) sådant att följande är uppfyllt i. x, y = y, x, för alla x och y i V. ii. x + y, u = x, u + y, u för alla x, y och u i V. iii. cx, y = c x, y för alla x och y i V och alla skalärer c. iv. x, x 0 för alla x och x, x = 0 precis då x = 0. Se sats 2, kapitel 4 i Sparr för dessa egenskaper hos skalärprodukten i R n, dvs x, y = x y. Låt nu vårt vektorrum vara P 2 (på intervallet (0, 1)), se extraövning 8. För två polynom p 1 och p 2 i P 2 definierar vi p 1, p 2 som
p 1, p 2 = 1 0 p 1 (x)p 2 (x) dx. Verifiera att alla fyra egenskaper ovan är uppfyllda. **E 26 För två m n-matriser A och B definierar vi A, B = tr(a T B). Visa att detta uppfyller samtliga villkor (se föregående uppgift) för inre produkt. Spåret för en matris definierades i extraövning 19. *E 27 För geometriska vektorer x och y känner vi till att x y = x y cos θ, där θ är vinkeln mellan x och y. Eftersom 1 cos θ 1 gäller det att x y x y. Denna olikhet är en enkel form av Cauchy Schwarz olikhet. Cauchy Schwarz olikhet är en av de mest fundamentala inom matematiken. Den gäller alltid då vi har en inre produkt. Till exempel gäller det för alla p 1 och p 2 i P 2 (se extraövningar 8 och 25) att 1 p 1 (x)p 2 (x) dx ( (p 1 (x)) 2 dx) 1/2 ( (p 2 (x)) 2 dx) 1/2. 0 0 1 *E 28 Den här uppgiften finns här för att visa hur minsta kvadratmetoden fungerar. Tabellen nedan visar kostnaden (i Mkr) som ett företag har haft för reklam under sex år och hur mycket företaget tjänat samma år. 0 1 Ledningen inser att det inte finns en rät linje som skär alla punkter. Hur bestämmer man en linje som passar bäst in? Vi ska visa ett vedertaget sätt här. Vi skulle vilja ha k och m så att (tänk efter!) 12 1 60 14 1 70 17 1 ( 21 1 m ) = 90 100. 26 1 100 30 1 120 Detta är förstås ett kraftigt överbestämt problem som saknar lösning. Låt A beteckna koefficientmatrisen i vänsterledet, x = (k, m) och y beteckna högerledet. Tricket (du kan läsa i kursboken om varför detta fungerar bra) är att multiplicera ekvationen Ax = y med A T. Gör vi det får vi ekvationssystemet A T Ax = A T y (som kallas normalekvationen) 2 646 120 ( 120 6 )( k 11 530 ) = ( m 540 ). Detta (kvadratiska!) ekvationssystem kan lösas enkelt och lösningen blir k = 365 3770, m = 123 123. Observera att denna lösning förstås inte löser det ursprungliga ekvationssystemet Ax = y! Vi ser denna data tillsammans med den räta linjen y = kx + m i figuren nedan. Kostnad för reklam 12 14 17 21 26 30 120 120 Årsinkomst 60 70 90 100 100 120 100 100 80 80 60 60 10 15 20 25 30 10 15 20 25 30 Den något naiva företagsledningen stirrar sig blinda på detta och skulle vilja veta hur mycket de ska satsa på reklam om de vill upp i en årsinkomst på 150 Mkr följande år. De tycker att det ser ut som att inkomsten beror på satsade reklampengar ungefär som en rät linje. Slutligen, ledningen ville ha en prognos för hur mycket pengar de skall satsa på reklam om de vill ha en inkomst på 150 Mkr. Sätter vi in y = 150 och löser ut x så får vi x = 2936/73 40.2. De bör alltså satsa drygt fyrtio miljoner kronor på reklam enligt denna modell.
Determinanter och kryssprodukt E 29 En permutationsmatris är en matris som består av endast ettor och nollor, och där varje rad och kolumn innehåller exakt en etta. Till exempel är matrisen 0 1 0 1 0 0 0 0 1 en permutationsmatris. Vilka värden kan determinanten för en permutationsmatris ha? E 30 Matriserna A och B sägs vara likformiga (ibland ser man beteckningen similära) om det finns en inverterbar matris C sådan att A = CBC 1. Visa att om A och B är kvadratiska likformiga matriser så är det A = det B. **E 31 Du befinner dig i Lund och ska flyga ditt lilla propellerplan till Tokyo. I vilken riktning skall du flyga för att ta den kortaste vägen? Två alternativ: Längs med Dalbyvägen i ostlig riktning eller längs E22:an i nordostlig riktning? Linjära avbildningar Lund Tokyo Latitud 55.7 35.7 Longitud 13.2 139.7 E 32 Antag att v 1, v 2,, v k är k linjärt oberoende vektorer i R n. Antag vidare att A är en inverterbar n n-matris. Visa att vektorerna w j = Av j, j = 1, 2,, k är linjärt oberoende. **E 33 Låt D : P 2 P 2 beteckna deriveringsavbildningen, det vill säga Till exempel gäller alltså att (Dp)(x) = p (x). D(x 2 + 3x 1) = 2x + 3. a. Visa att D är linjär. b. Visa att avbildningsmatrisen A för D i basen {1, x, x 2 } ges av A = 0 1 0 0 0 2 0 0 0 c. Bestäm nollrummet till A. d. Vilka polynom p uppfyller Dp = 0? Verkar det stämma med föregående deluppgift? e. Vilken rang har matrisen A? Kan du förklara det i termer av derivering av polynom? f. En matris B sägs vara nilpotent om det finns ett positivt heltal k så att B k = 0. Visa att A ovan är nilpotent. Hur rimmar det med att A representerar derivering av polynom? E 34 Visa att om x 0 och x 1 båda löser ekvationen Ax = y och om α och β är tal sådana att α + β = 1 så kommer αx 0 + βx 1 också att lösa ekvationen Ax = y. Varför tror du denna uppgift är i avsnittet om linjära avbildningar? Egenvärden och diagonalisering E 35 Är avbildningsmatrisen A från extraövning 33 diagonaliserbar? *E 36 Antag att varken ω 1 eller ω 2 är ett egenvärde till n n-matrisen A. Visa att (A ω 1 I) 1 (A ω 2 I) 1 = (ω 1 ω 2 )(A ω 1 I) 1 (A ω 2 I) 1. Anmärkning: Matriser på formen (A ω 1 I) 1 kallas för resolventer. Du som skall läsa kursen System och transformer kommer att stöta på dem där. Likheten ovan brukar gå under namnet resolventidentiteten, och den används bland annat vid egenvärdesproblem i kvantmekaniken (så kallad spektralteori), där det ibland är fördelaktigt att skriva en differens av inverser som en produkt av desamma. *E 37 Låt A vara en 2 2-matris med egenvärden λ 1 och λ 2. a. Visa att b. Visa att det A = λ 1 λ 2.
tr A = λ 1 + λ 2. Här står tr A för spåret av A (se extraövning 19). c. Kan du använda resultaten ovan för att få fram egenvärdena till ( 2 1 3 4 )? Återlämnas på Uthyres på A B C A 0.8 0.3 0.2 B 0.1 0.2 0.6 C 0.1 0.5 0.2 d. Kan du med hjälp av informationen ovan skapa en 2 2-matris (utan nollor!) som har egenvärden 1 och 3? e. (Svårare) Kan du generalisera resultatet i de två första deluppgifterna ovan till n n-matriser? *E 38 Detta exempel beskriver Leontiefs slutna ekonomimodell. Se även extraövning 21. Tre hantverkare skall hjälpa till att renovera varandras hus. Alla tre arbetar sammanlagt 10 dagar enligt följande schema Snickare: Elektriker: Rörmokare: 3 dagar i sitt hus, 4 hos elektrikern och 3 hos rörmokaren. 5 dagar i sitt hus, 2 hos snickaren och 3 hos rörmokaren. 2 dagar i sitt hus, 4 hos elektrikern och 4 hos snickaren. Vid prissättningen bestämmer hantverkarna att ta en dagslön som gör att var och en tjänar exakt lika mycket på sitt arbete som den måste betala för utfört arbete (notera att alla måste betala till sig själva också). Sätt upp ett ekvationssystem som uttrycker Utgifter är lika med inkomster med hjälp av en tredimensionell kolonnvektor x = (s e r) T, vars element representerar dagslönen för respektive hantverkare. Notera att man kan sätta upp en matris (prestationsmatris kan vi kalla den) sådan att x är en egenvektor med egenvärde 10 (som motsvarar antalet arbetsdagar) till matrisen. Till varje egenvärde finns det oändligt många egenvektorer (det blir ju parameterlösning). Välj en egenvektor som ger rimliga dagslöner enligt Lunds arbetsmarknad. *E 39 Följande är ett exempel på en så kallad Markovprocess. En biluthyrningsfirma har tre uthyrningsställen som vi kallar A, B och C. En kund får hyra sin bil på valfritt uthyrningsställe och återlämna bilen på valfritt uthyrningsställe. Chefen har funnit att återlämnande sker på de olika ställena med en sannolikhet som beskrivs i tabellen nedan. Detta skall vi till exempel utläsa som att för en bil som hyrs på ställe C så är det 60 procents chans att den skall återlämnas på ställe B. En sak som chefen vill ha svar på är om det kan vara rimligt att ha denna modell eller om till exempel alla bilar kommer hamna på ett av ställena till slut. För att studera detta bildar vi matrisen A = 0.8 0.3 0.2 0.1 0.2 0.6 0.1 0.5 0.2 Denna matris kallas för överföringsmatrisen. Antag att en bil ursprungligen hyrs ut från ställe B. Det kan vi se som att vi startar med vektorn x (0) = 0 1 0 Låter vi sedan x (1) = Ax (0), så erhåller vi en vektor som innehåller sannolikheterna att bilen återlämnas på de tre återlämningsställena (Vilken vektor blir det?). Denna process kan förstås fortsätta x (2) = Ax (1) ger sannolikheten för bilens återlämningsplats nästa gång den hyrs. Eftersom x (1) = Ax (0) så blir x (2) = A 2 x (0). Så här kan vi fortsätta. Efter n steg erhåller vi x (n) = A n x (0), vars komponenter innehåller sannolikheten för att bilen skall återlämnats vid respektive ställe den n:te gången. För att beräkna A n så diagonaliserar vi A. I detta fallet visar det sig att A har egenvärdena λ 1 = 1, λ 2 = 1 10 (1 + 2 5) 0.55 och λ 3 = 1 10 (1 2 5) 0.35.
Eftersom matrisen A har tre olika egenvärden är den diagonaliserbar. Det finns således en matris S (bestående av egenvektorerna) sådan att A = SDS 1, där D är diagonalmatrisen med egenvärdena på diagonalen. En räkning ger att A n = SD n S 1. Eftersom D är en diagonalmatris så gäller det att D n ges av att elementen på diagonalen i D upphöjs till n. När n är stort kommer det λ n 2 och λn att bli väldigt små till beloppet. 3 Vid gränsövergång kan dessa termer negligeras, det vill säga lim n + Dn = lim n + λ n 0 0 1 0 λ n 0 2 0 0 λ n 3 = 1 0 0 0 0 0, 0 0 0 vilket ger (gör räkningen själv! Här kan det vara värt att notera att en egenvektor hörande till egenvärdet 1 ges av (34, 14, 13)) lim n + x(n) = 1 34 14 61 13 Ur detta kan vi uttyda att bilen efter lång tid kommer att återlämnas till ställe A i 34/61 56% av fallen, till B i 14/61 0.23% av fallen och till C i 13/61 21% av fallen. Spelade det någon roll var bilen startade tror du? *E 40 Demografer intresserar sig bland annat för hur populationer eller grupper av populationer förflyttar sig mellan regioner. Antag att det varje år uppskattas att 90 procent av personerna i centrala Göteborg stannar kvar i centrala Göteborg, medan 10 procent flyttar till förorten. Antag vidare att 92 procent av personerna i förorten stannar kvar där, medan 8 procent flyttar in till centrala Göteborg. a. Skriv ner en 2 2-överföringsmatris (se extraövning 39) som beskriver hur stor del som flyttar från centrum till centrum (dvs stannar kvar i centrum), centrum till förort, förort till centrum och förort till förort. b. Antag att det år 2013 bodde 500 000 personer i centrala Göteborg och 200 000 i förorterna. Skriv ner en matrisprodukt som ger en 2 1-vektor innehållandes populationerna i centrum och förorterna år 2014. Utför matrisprodukten. Hur stora blir populationerna år 2014? c. Låt n vara ett positivt heltal. Med samma data som ovan, hur många bor i centrum respektive förort vid år 2013 + n? d. Hur ser det ut efter mycket lång tid, det vill säga då n +? e. (Lite svårare) Kan du ställa upp en ny modell som tar hänsyn till inflyttade, utflyttade, nyfödda och avlidna varje år? Gör egna antaganden. *E 41 I en undersökning bland 50 000 personer visade det sig att 40 000 var icke-rökare, 5 000 rökte mindre än ett paket per dag och 5 000 rökte mer än ett paket per dag. Under en månad antas det att 10 procent av icke-rökarna börjar röka ett paket om dagen, och att resten förblir icke-rökare. Vidare antas det att 20 procent av de som röker ett paket per dag slutar att röka och att 30 procent av dem börjar röka mer än ett paket per dag. Slutligen antas att 30 procent av de som röker mer än ett paket per dag drar ner på sin rökning till ett paket per dag, och att 10 procent av dem slutar röka helt. Hur många är i varje kategori efter en månad? Två månader? Ställ upp ett uttryck som beskriver hur det ser ut efter ett år. *E 42 En entreprenör har just gett sig in i en bransch för att konkurrera med en väletablerad vara. Det visar sig att varje månad så omvänder entreprenörens företag 2 procent av de som använder den etablerade varan. Men det visar sig också att varje månad går 5 procent av entreprenörens kunder tillbaka till den etablerade varan. Hur lång tid kommer det att ta innan entreprenören har minst 20 procent av marknaden? Vad händer efter lång tid? **E 43 Den här uppgiften handlar om linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter. De ingår inte i den här kursen. Meningen är att du skall läsa uppgiften och notera hur man kan använda metoder från linjär algebra för att lösa denna typ av ekvationer. Istället för att skriva ner någon allmän teori så tittar vi på ett exempel. Antag att vi vill lösa begynnelsevärdesproblemet Vi inför vektorn och noterar att y (t) + y (t) 2y(t) = 0, y(0) = 0, y (0) = 1. u(t) = ( y(t) y (t) ) u (t) = ( y (t) y (t) ) = ( y (t) 2y(t) y (t) ) = ( 0 1 y(t) )( 2 1 y (t) )
= ( 0 1 2 1 )u(t). Vi inför härnäst koefficientmatrisen A = ( 0 1 2 1 ). Vi har alltså erhållit ett system av första ordningens differentialekvationer u (t) = Au(t). Det löser vi genom att diagonalisera A. En räkning (gör den!) ger att A har karaktäristisk ekvation λ 2 + λ 2 = 0. Jämför detta med den karaktäristiska ekvationen man talar om i lösandet av linjära differentialekvationer i kursen i envariabelanalys! En ny räkning (gör den med!) ger att egenvärdena ges av λ 1 = 2 och λ 2 = 1, med tillhörande egenvektorer (1, 2) och (1, 1) respektive. Vi låter u(t) = Sw(t) = ( 1 1 2 1 )( C 1e 2t C 2 e ) = ( C 1 e 2t + C 2 e t ). t 2C 1 e 2t t + C 2 e Begynnelsevillkoren säger att Detta ger ekvationssystemet u(0) = ( 0 1 ). C { 1 + C 2 = 0 2C 1 + C 2 = 1 som har lösning (kolla!) C 1 = 1/3, C 2 = 1/3. Eftersom y(t) var den första komponenten i u(t) har vi alltså fått lösningen y(t) = C 1 e 2t + C 2 e t = 1 3 e 2t + 1 3 et. Notera att det är y (t) som står i andra komponenten av u(t) samt att vi inte behövde räkna ut S 1. S = ( 1 1 2 0 ), D = ( 2 1 0 1 ) Då gäller det att D = S 1 AS. Inför nu en ny funktion w(t) = (w 1 (t), w 2 (t)) genom u(t) = Sw(t). Derivering ger w (t) = S 1 u (t) = S 1 Au(t) = S 1 ASw(t) = Dw(t). Eftersom D är en diagonalmatris så är ekvationerna frikopplade, d dt w 1(t) = 2w 1 (t), d dt w 2(t) = w 2 (t). Dessa löses enkelt (till exempel med integrerande faktor), w 1 (t) = C 1 e 2t, w 2 (t) = C 2 e t. Här är C 1 och C 2 godtyckliga konstanter som vi snart bestämmer med hjälp av begynnelsevillkoren. För att finna u(t) återgår vi med hjälp av S,
Tips och/eller svar E 1 7 syskon. E 2 0 kronor. E 3 Tips: ställ upp ekvationer för varje nod/korsning. E 4 Systemet är underbestämt, så svaret på sista frågan är nej, även om det måste undersökas. Vid undersökning finner vi att vi har parameterlösning, så lösningen är inte unik. E 5 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 1 (195, 205, 175, 185) 8 med lämplig benämning på noderna. E 6 20 enkronor, 8 femkronor och 4 tiokronor. Man kan debattera huruvida lösningen 15 enkronor och 17 femkronor och noll tiokronor bör vara med eller ej. E 7 E 8 a. Nollpolynomet b. E 9 E 10 E 11 E 12 E 13 Tips: Vad blir A 2? E 14 (a, b, c) = ±(1, 0, 1) eller (a, b, c) = ±(1, t, 1) där t är godtyckligt. E 15 Nej. E 16 Endast nollmatrisen duger. E 17 Tips: Använd definitionen. E 18 Tips: Använd antingen formlen för invers av invers eller definitionen av invers. E 19 Tips: a. Ansätt och räkna b. Ansätt och räkna c. Använd de tidigare deluppgifterna. E 20 E 21 E 22 E 23 E 24 Tips: Utveckla med hjälp av skalärprodukt. För den geometriska tolkningen bör du rita en parallellogram. E 25 E 26 E 27 E 28 E 29 ±1. E 30 Tips: Produktregeln för determinanter. E 31 Tips: Använd kryssprodukt och tangerande/skärande plan. E 32 Tips: Använd lineariteten hos matrismultiplikation. E 33 E 34 E 35 Nej. E 36 E 37 c. Egenvärdena är 1 och 5. E 38 E 39 E 40 E 41 E 42 E 43