ASYMPTOT. Horisontal (lodrät) Vertikal (vågrät) Sned och Hål

Relevanta dokument
III. Analys av rationella funktioner

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

Checklista för funktionsundersökning

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Gränsvärden. Uppgift nr 10 Förenkla bråket h (5 + h) h. Uppgift nr 11 Förenkla bråket 8h + h² h

Kontrollskrivning 25 nov 2013

Tips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Repetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

Lektion 1, Envariabelanalys den 8 september ε < 1 < ε för alla x > N. ( ) I vårt exempel är f(x) = 1/x, så vi ska alltså ta fram ett N så att

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2016 Skrivtid 9:00-13:00

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 4 juni 2008 Tid:

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

SF1625 Envariabelanalys

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

Algebra och rationella uttryck

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

Här studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:.

Hantera andragradskurvor del 2

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Avsnitt 2, introduktion.

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

4 Fler deriveringsregler

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Avsnitt 3, introduktion.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

x 1 1/ maximum

Repetition ekvationer - Matematik 1

Övningar - Andragradsekvationer

En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.

10! = =

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

8 + h. lim 8 + h = 8

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?

1.1 Polynomfunktion s.7-15

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 26 okt 2016 Skrivtid 13:00-17:00

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

Bedömningsanvisningar

SF1625 Envariabelanalys

Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Avsnitt 1, introduktion.

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.

vilket är intervallet (0, ).

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Sidor i boken , , 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Hjälpmedel: Endast bifogade formelblad (miniräknare är inte tillåten) Inga toabesök eller andra raster under den här kontrollskrivningen.

Håkan L. (Skriv som en produkt. Gör uppdelningen i faktorer så långt det går.) 1. Faktorisera 25x Faktorisera 1. 3.

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

3.1 Derivator och deriveringsregler

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

ANDREAS REJBRAND NV1A Matematik Linjära ekvationssystem

Transkript:

ASYMPTOT Horisontal (lodrät) Vertikal (vågrät) Sned och Hål

Definition av en asymptot En asymptot är en rak linje som agera som en gräns i grafen av en funktion När en funktion har en asymptot (alla funktioner har inte dem) funktionen kommer närmare och närmare asyptoten när värdet som går in mot ett visst värde antingen ifrån positiv eller negativt oändlighet Funktionera som kommer troligen att ha asymptot är rationella funktioner

Vertikal Asymptot Vertikal asymptot händer när följade ske: Nämnaren av den förenklade rationella funktionen är lika med noll. Kom ihåg att en förenklade rationella funktion har alla gemensamma faktorer bortagna. Vertikala asymptot är heliga! Till skillnaden ifrån de horisontella asymptot kommer grafen att aldrig nå linjen.

Att hitta Vertikal Asymptot Exempel 1 Given funktionen: f ( x )= 2 5x 2+2x Första steget är att förkorta bort gemensamma faktorer I både täljaren och nämnaren. Andra steget är att kolla var den förenklade nämnare är like med noll. 2+2x=0 2 (1+x )=0 1+x= 0 x= 1 Då är asymptoten x = - 1 Dvs grafen kommer att gå mot denna värde men aldrig nå ditt

Graf av Exempel 1 Den strekade linje x = 1 är den vertikala asymptoten. Den här funktionen har även en horisontell asymptot vid y = -6/5.

Att hitta Vertikal Asymptot Exempel 2 Om f ( x )= 2x2 +10 x+12 x 2 9 Först förenkla funktionen. Fatorisera både täljaren och nämnare och förkorta bort gemensamma faktorer. 2x 2 +10 x+12 x 3 9 2x+4 x 3 x 3=0 x=3 = ( x+3)(2x+4) ( x+3)( x 3) Sedan sätta den förkortade nämnare like med noll.

Graf av Exempel 2 Den vertikala strekade linje x = 3 är den vertikala asymptot. Lägg märke till att det finns ett s.k. hål vid x = -3. Funktionen kan inte ha det som värde eftersom den fortfarande gör funktionen odefinerbart. Vi återkommer till hål lite senare...

Horisontella Asymptot Horisontella asymptot händer när en av följande händer: * Graden av täljaren är mindre än graden av nämnaren. I sådana fall är asymptoten den horisontella linjen y = 0. * Om graden av täljaren är lika med graden av nämnaren. I detta fall är asymptoten lika med y = a/b där a är koefficienten i täljaren och b är koefficenten i nämnaren på termen som har den gemensamma graden. När graden av täljaren är högre än nämnaren så finns det inga horisontella asymptot.

Att hitta Horisontella Asymptot Exempel 1 Om f ( x )= x2 +3x 5 x 3 27 är den horisontella asymptot vid linjen y = 0 eftersom graden av täljaren (2) är mindre än graden av nämnare (3).

Graf of Exempel 1 Den horisontella linjen y = 0 är asymptoten. Lägg märke till att den vänstra delen verkar inte bryr sig om asymptoten. Horisontella asymptot kan korsas av grafen men har en tendens att går mot dem ändå.

Att hitta Horisontella Asymptot Exempel 2 Om g ( x)= 6x2 3x+5 5x 2 +7x 9 kommer funktionen att ha en horisontal asymptot vid linje y= 6 / 5 eftersom täljarens grad (2) är lika med nämnarens grad (2). Kan du hitta några vertikala asymptot?

Graf av Exempel 2 Den horisontella linjen y = 6 / 5 är den horisontella asymptoten.

Att hitta Horisontella Asymptot Exempel 2 Om f ( x )= 2x3 +5x 9 x 2 +1 Finns det inga horisontal asymptot eftersom graden av täljaren är större än nämnaren.

Graf of Exempel 2

Sned Asymptot Sned asymptot händer när täljarens grad är exakt en större än nämnaren. I sådana fall lutar funktionens asymptot.

Att hitta Sned Asymptot Exempel 1 Om f ( x )= x3 +2x 2 +5x 9 x 2 x+1 Kommer det att finnas en asymptot eftersom graden av täljaren (3) är exakt en större än nämnaren (2).

Att hitta Sned Asymptot Exempel 1 Oftast kommer funktionen att presenteras i ett annat form än ovan där täljaren har redan delats med nämnaren som t.ex. y=x+3+ 7x 12 x 2 x+1 I de flesta fall kommer den rationella delen att gå mot noll vilket gör att den sneda asymptoten är resten av ekvationen.

Graf av Exempel 1 Den lutande linjen y = x + 3 är en s.k. sned asymptot.

Hål Hål händer det grafen av en rationell funktion där man har en eller flera gemensamma faktorer i både nämnare och täljaren som kan förkortas bort. När man ritar grafen på din miniräknare kommer du förmodligen inte att se hålet men funktionen men funktionen är inte kontinuerligt i denna punkt.

Hitta hål Kom ihåg funktionen f ( x )= 6x2 +10 x+12 x 2 9 = ( x+3)(2x+4) ( x+3)( x 3) Här kunde vi forkorta bort (x + 3) i täljaren och nämnaren innan vi hittade en vertikal asymptot. Eftersom (x + 3) är en gemensam faktor kommer det att finnas ett hål vid denna punkt där: x+3=0 x= 3

Graf av Exampel Lägg märke till att det finns ett hål I grafen vid x = -3. Du kommer förmodligen inte att se detta med din grafräknaren men den finns där ändå.

Hitta hål Om f ( x )= x3 8 x 2 4 Faktorisera både täljaren och nämnaren för att se om det finns gemensamma faktorer. (täljaren skulle förmoligen presenteras redan faktoriserat för denna kurs) f ( x )= x3 8 x 2 4 =( x 2)( x2 +2x+4) ( x 2)( x+2) Eftersom det finns en gemensam faktor av x - 2 kommer det att finnas ett hål vid x = 2.

Graf Det finns ett hål I kurvan där x = 2. Kurvan har också en vertikal asymptot vid x = -2 och en sned sådan vid y = x.

Uppgifter Hitta de vertikal, horisontell och sned asymptot samt hål till följande funktionen. f x ( ) = x x 2 2 + 2x 15 + 7x + 10 Vertikal: x = -2 Horisontell : y = 1 Sned: inga Hål: vid x = - 5

Sammanfattning Vertikal (lodrät) : inträffar där den förkortade nämnare är like med noll Horisontal (vågrät): inträffar där täljarens grad är mindre än nämnarens där y = 0 inträffare där täljarens och nämnarens grad är lika vid y = a/b Sned: inträffar när täljarens grad är exakt en större än nämnaren Hål: inträffar där bortförkortade faktorer är like med 0