F6 E460 Analog elektronik Måndag 005--05 kl 3.5 7.00 i Omega Allmänna tidsförlopp. Kapitel 4 Elkretsanalys. Spolen addningar i rörelse ger pphov till magnetfält. Detta gäller alltid. Omvändningen är ej sann. Däremot kan förändringar i ett magnetfält skapa en indcerad spänning. Med en lämplig trstning skapas en ström. trstningen kallas en generator. En rak strömförande ledare omges alltså av ett fält. Då man lindar denna ledare till en spole finns natrligtvis fältet kvar. Allt fält kommer att passera innti spolen. Fältet finns också tanför spolen. Om man n varierar strömmen genom ledaren, så kommer fältet att variera. Denna förändring i fältet kommer att ge pphov till en spänning. iktningen är sådan att den motverkar sin ppkomst. En konstant ström ger inte pphov till några förändringar. För att få spänning över en resistans måste en ström flyta genom resistansen. För att få spänning över en indktans måste strömmen som flyter genom indktansen variera. iktningar för ström och spänning är densamma. Se figr nedan. I i _- För resistansen gäller : I För spolen gäller _- di dt 005--05 H:\E460\F\F6.doc /
Seriekoppling av resistanser. - - - 3-3 Samma ström genom alla resistanser. 3 3 I I I I ger 3 För en spole gäller på motsvarande sätt. - - - 3-3 Samma ström ger samma strömförändring. 3 di di di di ger 3 dt dt dt dt 3 Parallellkoppling av resistanser I I I 3 I 3 _ Samma spänning över alla resistanser I I I I3 ger 3 3 005--05 H:\E460\F\F6.doc /
Motsvarande för en spole: i i i 3 i 3 _ i i i i3 di di di di3 di di di di 3 3 Koppla ihop en resistans och en spole med en likspänningskälla. Vi får ekvationen di i dt Detta är en första ordningens diff.ekvation. ösningen är: t i( t) ( e ) där / 005--05 H:\E460\F\F6.doc 3/
I grafen nedan har jag valt att sätta / 0.8 /. x e (.8t ) > plot(-exp(-0.8*t), t0..8); Ekvationen visar två saker. A När spänningen slås till, så flyter ingen ström i kretsen. i(0) 0. Inget spänningsfall över resistansen. All spänning hamnar över spolen. B Efter en lång tid så är e-delen lika med noll. Strömmen genom kretsen är /. Inverkan av spolen har pphört. En resistans har enheten ohm. Minnesregel *I har enheten V och I har enheten A. Då har enheten V/A En indktans har enheten Henry. Minnseregel di/dt. Enheterna blir V * A/s har enheten Vs/A Exponenten måste var enhetslös. e t V t med enheter insatta A s Vs A 005--05 H:\E460\F\F6.doc 4/
/ har alltså enheten seknd. / kallas tidskonstant och har fått beteckningen Det är tidskonstanten som avgör hr fort grafen når sitt sltvärde. Kondensatorn Kondensatorn består i sitt enklaset tförande av två plattor med något isolerande material mellan. När man laddar pp en kondensator får man positiva laddningar på ena plattan, och exakt lika många negativa på andra plattan. Symbolen avspeglar konstrktionen Den mängd laddning som kan lagras är proportionell mot spänningen över kondensatorn. Q k. Proportionalitetskonstanten betecknas med och kallas kapacitans. Alltså Q Kapacitansen är i sin tr proportionell mot plattans area, och omvänt proportionell mot avståndet mellan plattorna. A ε ε A betecknar area och d betecknar avståndet mellan plattorna. d 0 ( Från någon fysikkrs kanske D minns att ε0 kallas dielektricitetskonstanten för vaccm. µ0 är permeabiltitetskonstanten för vaccm. Sambandet mellan dessa är ε 0 µ 0 där c betecknar ljshastigheten. c 7 Vs As De nmmeriska värdena är µ 0 4 π 0 ochε 0 8,854 0 Am Vm ) Parallellkoppling av kondensatorer. 3 Samma spänning över kondensatorerna. Q Q Q Q 3 och Q * leder till 3 005--05 H:\E460\F\F6.doc 5/
Seriekoppling av kondensatorer. - - 3 3 - addningarna i kondensatorerna lika. Det kan inte vara olika mängd laddningar på två sammankopplade plattor. Totalspänningen är lika med smman av delspänningarna. 3 Q Q Q Q och för alla tre tillsammans. 3 3 Spänningsdelning med kondensatorer - - - Sök spänningen i pnkten i förhållande till jord, ttryckt i och. För att förtydliga vad som händer vid seriekoppling av kondensatorer ritar vi följande bild. q -q q -q Inom det streckade området är totala laddningen noll. Hela seriekopplingen fngerar som en kondensator med laddningen q. Vi har n följande samband. Q tot Q Q tot 005--05 H:\E460\F\F6.doc 6/
Q vilket ger: Q Inkopplingsförlopp Koppla ihop en resistans och en kondensator med en likspänningskälla. i - - Vi får ekvationen i får man r relationen Q * i dq dt d dt Spänningen över kondensatorn kan n tecknas d dt För spolen hade vi lösningen : i( t) ( e ) För kondensatorn får vi lösningen ( t) ( e ) Här kommer att ha ett annat värde För en - krets är tidskonstanten alltså och för en -krets är tidskonstanten / t t dφ I en spole är spänningen proportionellt mot, spännigen är ändlig, betyder att dt derivatan är ändlig. Men Φ *i. Strömmen måste också vara ändlig. Strömmen är kontinerlig. I en kondensator är laddningen alltid kontinerlig. Det innebär att spänningen över en kondensator också är kontinerlig. 005--05 H:\E460\F\F6.doc 7/
Exempel De här exemplen har en viss stil: Står inget annat så är kondensatorer oladdade från början. ( En motsvarighet till mekanikens masslösa hjl och rep ). Brytaren ovan slts vid tiden noll. står för µ 0 6 Vilka komponenter är inblandade i ppladdningen? esistans och kondensator. Begynnelsevärdet är noll. Vad är sltvärdet? Borde bli 36 V. Hr kommer man från 0 V till 36 V? Det borde vara något i stil med den streckade krvan. Här har vi första ordningens diff-ekvationer. Vi har tidigare fått faktorn ( ) Där är tidskonstanten. 6 Tidskonstanten för de inblandade komponenterna är * 36*µ 36 0 enhet blir seknder. c ( sltvärde startvärde ) ( ) startvärde. Sltvärde 36 V Startvärde 0 V e t e t 36 ( e t 6 360 ) 005--05 H:\E460\F\F6.doc 8/
Exempel En omöjlig ppkoppling. Beräkna spänningen över kondensatorn som fnktion av tiden. Strömmen är 0 ma och kondensatorn har kapacitansen 5 µf. Samband Q Q i t Här har vi en konstant ström som tillför laddningar till kondensatorn. Strömkällan tför egentligen en omflyttning av laddningar mellan de två delarna av kondensatorn. i i t t Med insatta värden. 000 t Spänningen över kondensatorn når snabbt ett orealistiskt värde. För att få hög kapacitans på en kondensator så är avståndet mellan plattorna litet. Man får ganska snart ett överslag i kondensatorn. Genomslagshållfastheten mäts i V/mm. ft c:a 3000 V/mm Papper paraffinerat c:a 5 kv/mm Avståndet mellan plattorna i en kondensator är mycket litet. Maximal arbetsspänning är angiven för olika kondensatorer. 00V / 63 V ~ Denna märkning betyder: Maximalt 00 V likspänning eller maximalt 63 V växelspänning- En del kondensatorer får enbart användas för likspänning. Då är beteckningen 00V En speciell typ av kondensatorer är elektrolytkondensatorer. Dessa har spänningstålighet på exempelvis: 6,3 V 0 V 6 V 5 V osv. Komponentpriset stiger med spänningståligheten. Kondensatortypen får enbart användas för likspänning. Ansltningarna är betecknade med och -. Man måste koppla rätt pol till jord. 005--05 H:\E460\F\F6.doc 9/
Exempel Brytaren slts vid tiden t0. Beräkna hr späningen ändras över kondensatorn. Innan tiden t0 har brytaren varit öppen en lång tid. Innan t 0 så har kondensatorn ppladdats till V. Ingen ström flyter i kretsen. För kondensatorn gäller att startvärdet är V. När brytaren slts så kommer kondensatorn att vara kopplad till en ekvivalent tvåpol. Vid t 0 är spänningen över kondensatorn V. Denna spänning kommer n att ändras så att den blir 4V. Sltvärdet är 4V. Vilka komponenter är inblandade i förändeingen? Jo, 0.5 mf och kω Tidskonstanten blir enheten är seknd. c ( sltvärde startvärde ) ( ) startvärde. c ( 4 ) ( e ) c 4 8 e t t e t 005--05 H:\E460\F\F6.doc 0/
t t c 4 8 e c 0 4 8* 0,5 4 8* 0,6 8,9 4 8*0,4 5, 4 4 8*0,0 4, > plot((48*exp(-t)),t0..0); > > N gör vi tvärtom. Brytaren har varit slten en lång tid, och öppnas vid tiden t0. Startvärdet är n 4V. Sltvärdet bör bli V. Vilka komponenter deltar i omladdnigen av kondensatorn? 0,5 mf samt resistansen 6 kω Tidskonstanten blir 3 enheten är seknd. c ( sltvärde startvärde ) ( ) startvärde. t 3 c ( 4) ( e ) 4 c 8 e t / 3 e t 005--05 H:\E460\F\F6.doc /
> plot((-8*exp(-t/3)),t0..0); > ägg märke till skillnaden mellan dessa två grafer. En stor tidskonstant gör att det tar längre tid att ppnå sltvärdet. 005--05 H:\E460\F\F6.doc /