Formelsamling till Elektromagnetisk fältteori Lars-Göran Westerberg Avdelningen för strömningslära Luleå tekniska universitet 13 januari 2009 ammanfattning Den här formelsamlingen utgör tillsammans med Physics Handbook och Beta tillåtna hjälpmedel i kursen. Komplementerande anteckningar får göras i denna formelsamling. Kapitel i respektive bok som är av speciellt intresse för denna kurs är (notera att beroende på utgåva, kanske inte här angivet kapitelnummer motsvarar just det du har i din version) Physics Handbook #3 Electromagnetic Theory: Innehåller en hel del matnyttigt som storheter, symboler och enheter. Detta kapitel är även bra komplement till formlerna i detta dokument. #M-9 Vector Analysis: Diverse nyttig vektoralgebra. #M-10 pecial Coordinate ystems: Transformation mellan de olika koordinatsystemen och med grad, div och curl för respektive koordinatsystem. Innehållet i M-9 och M-10 finns även i BETA, se nedan. BETA - Mathematics Handbook #7.2 Tables of Indefinite Integrals: Lösningar till integraler som dyker upp i kursen hittar du här. #11.2 Vector Fields: Innehåller allt som behövs i form av vektoralgebra för olika koordinatsystem, yt- och volymselement, enhetsvektorer, grad, div, curl mm. 1
1 Elektrostatik Här behandlas elektrostatiska fält i vakum, ledande material och dielektrika. Elektrostatik innebär att tidsberoende inte tas i beaktande. 1.1 Elektrostatiska fält i vakum I vakum är elektriska laddningar fria, till skillnad från i dielektriska material där förekommande laddningar antingen är fria eller bundna i materialet. 1.1.1 Definition av R, R, ˆR R = r r R = r r ˆR = R R (1a) (1b) (1c) Här är r ortsvektorn till observationspunkten, medan r är motsvarande vektor till källan. 1.1.2 E-fält Det elektriska fältet till följd av följande laddningsfördelningar är N stycken punktladdningar E(r) = N q i ˆRi 4πɛ 0 Ri 2 i=1 (2) Linjeladdning Ytladdning E(r) = 1 4πɛ 0 L E(r) = 1 4πɛ 0 ρ L (r ) ˆR R 2 dl (3) ρ s (r ) ˆR R 2 da (4) 2
Volymsladdning E(r) = 1 ρ v (r ) ˆR 4πɛ 0 R 2 dv. (5) V Här är dl, da och dv respektive linje-, yt- och volymselemnt. ρ L, ρ s och ρ v är laddningsdensiteten per längdenhet, areaenhet och volymsenhet. Respektive laddningsfördelning kan då skrivas som Linjeladdning Ytladdning Volymsladdning dq = ρ L dl (6) dq = ρ s da (7) dq = ρ v dv. (8) 1.1.3 Gauss sats Gauss sats säger att det totala elektriska flödet genom en sluten yta, är lika med den totala laddningen som innesluts av den ytan E da = Q in. (9) ɛ 0 Här är Q in den av ytan totala inneslutna laddningen, och ɛ 0 permitiviteten i vakum. Genom att integrera (9) och applicera Gauss divergenssats fås vilket är en av Maxwell s ekvationer. 1.1.4 Kraft på laddning i E-fält E = ρ v ɛ 0, (10) Kraften F på en laddning q med positionen r i ett elektriskt fält E är F = qe(r) (11) 3
1.1.5 Elektriska potentialen V V är definierad så att E = V. (12) Potentialen i en godtycklig punkt är potentialskillnaden mellan den punkten och en vald punkt där potentialen är noll. Klassiska randvillkor som används är att V = 0 i jord och oändligt långt bort från en laddningsfördelning. 1.1.6 Elektrisk dipol En elektrisk dipol formeras när två punktladdningar av samma styrka, men med olika tecken, separeras av ett litet avstånd. Potentialen för en dipol vars centrum är lokaliserad i r, är där V (r) = p (r r ) 4πɛ 0 r r 3, (13) p = Qd (14) är dipol momentet. d innehåller riktningen och beloppet på avståndet mellan laddningarna. Q är laddningen som vanligt. 1.2 Elektrostatiska fält och ledande material Beroende på om materialet är en ideal ledare eller ett dielektriskt material, förekommer olika fält på ytorna och inuti materialet. Inuti en ideal ledare kan det inte finnas något elektrostatiskt fält då alla laddningar transporteras till ytan. Detta ger E(r) = 0 V (r) = konstant (15a) (15b) inuti ledaren. På dess yta gäller då 4
ˆt E(r) = 0 ˆn E(r) = ρ s ɛ 0 V (r) = konstant. (16a) (16b) (16c) Här är ˆt enhetsvektorn i tangentialriktningen och ˆn den från ledaren utåtpekande normalvektorn. 1.3 Elektrostatiska fält och dielektriska material När ett elektriskt fält E appliceras på dielektriska material som t.ex. plaster av olika slag, förskjuts de positiva laddningarna i materialet längs E och de negativa laddningarna i motsatt riktning. Det bildas alltså en dipol till följd av förskjutningen hos laddningarna, och materialet är då polariserat. 1.3.1 Polariseringsfältet P Polariseringsfältet P(r) definieras m.h.a. dipolmomentet p som dp = P(r)dv, (17) där dp är det totala dipolmomentet i en liten volym dv med positionen r. Polarisationsfältet ger upphov till bundna polarisationsladdningsdensiteter ρ ps och ρ pv enligt ρ ps = ˆn P ρ pv = P. (18a) (18b) ˆn är den från det polariserande materialet utåtpekande enhetsnormalvektorn. 5
1.3.2 Förskjutningsfältet D Förskjutningsfältet uppkommer av fria laddningar. ambanden mellan D, E och P är D = ɛ 0 E + P P = ɛ 0 χ e E ɛ r = 1 + χ e ɛ = ɛ 0 ɛ r D = ɛe. (19a) (19b) (19c) (19d) (19e) χ e är den elektriska susceptibiliteten för materialet, vilket är ett mått på hur känsligt materialet är för ett elektriskt fält. ɛ r är den dielektriska konstanten (eller relativa permittiviteten), alltså kvoten mellan permittiviteten hos dielektrikat och ɛ 0 (permittiviteten i vakum). 1.3.3 Gauss lag i dielektriska material Principen är den samma som för Gauss lag i vakum (c.f. 1.1.3). Här fås dock D-fältet fram, vilket orsakas av de fria laddningarna. D = ρ vf D da = Q f, (20) där Q f är den i ytan inneslutna fria laddningen och ρ vf den fria volymsladdningen. 1.3.4 Randvillkor För E- och D-fälten gäller E 1t = E 2t ˆn 2 (D 1 D 2 ) = ˆn 2 (ɛ 1 E 1 ɛ 2 E 2 ) = ρ s, (21a) (21b) 6
där ρ s är den fria laddningsdensiteten på randen och ˆn 2 den enhetsnormalvektor som pekar bort från material 2. 1.3.5 trömmar trömmen (i ampere) genom an given yta är den elektriska laddningen som passerar genom ytan per tidsenhet, i.e. I = dq dt. (22) trömdensiteten J vid en given punkt är strömmen genom normlariktningen av ytan för aktuell punkt. ρ v t + J = 0 Kontinuitetsekvationen J 1n = J 2n R.V. i normalriktningen J 1t σ 1 = J 2t σ 2 R.V. i tangentialriktningen J = σe. (23a) (23b) (23c) (23d) σ är konduktiviteten hos ledaren. (23d) benämns som ledningsström, även Ohm s lag. 1.3.6 Resistans R = ρ cl (24) ρ c är resistiviteten (1/σ) hos ledaren, l längden och tvärsnittsarean. 1.4 Magnetfält i vakuum Liksom för elektrostatiska fält, uppstår olika typer av magnetiska fält beroende på omgivningen i fråga; om det är vakum eller inte. 7
1.4.1 Biot-avarts lag Magnetfältet (B-fältet) genereras av olika strömtätheter enligt B(r) = µ 0 I dl ˆR 4π R 2 C B(r) = µ 0 4π (25a) K (r ) ˆR R 2 da (25b) B(r) = µ 0 J (r ) ˆR 4π R 2 dv. (25c) V Dessa motsvarar bidrag från linjeström, ytström och volymsström respektive. 1.4.2 Kraft på strömförande ledare i B-fält F = C F = F = V I ds B(r) K(r) B(r)da J(r) B(r)dv (26a) (26b) (26c) 1.4.3 Amperes lag Amperes lag säger att linjeintegralen av tangentiella komponenten av B runt en sluten kurva, är densamma som den av kurvan inneslutna strömmen I enc B = µ 0 J B dl = µ 0 I enc. (27) C 8
1.4.4 Magnetisk dipol För en magnetisk dipol i origo gäller att m = Iˆn B(r) = µ 0 4πr3[3(m ˆr) m] (28b) (28a) A(r) = µ 0 m ˆr 4π r 2. (28c) Här är m det magnetiska dipolmomentet, I strömmen, arean som strömslingan täcker och A den magnetiska vektorpotentialen. 1.5 Magnetfält i olika material Analogt med det elektriska fältet, kan ett polariseringsfält M(r) definieras m.h.a. magnetiska dipolmomentet m som dm = M(r)dv, (29) där dm är det totala dipolmomentet i en liten volym dv med positionen r. Magnetiseringsfältet ger upphov till magnetiseringsströmmar J b och K b enligt J b = M K b = M ˆn, (30a) (30b) där J b och K b är de bundna volyms- och ytströmdensiteterna. ˆn är den från det magnetiserande materialet utåtpekande enhetsvektorn. 1.5.1 Magnetiserande fältet H Analogt med elektriska fält i dielektriska material, uppkommer det magnetiserande fältet H i magnetiserade material, där 9
H = B µ 0 M M = χ m H B = µ 0 µ r H = µh (31a) (31b) (31c) µ r = 1 + χ m. (31d) χ m är den magnetiska susceptibiliteten, µ permeabiliteten hos materialet, och µ r den relativa permeabiliteten i förhållande till µ 0 (permeabiliteten i vakum). 1.5.2 Amperes lag i magnetiska material M = J f H dl = I f (32) C där I f är den fria ström som flödar genom den yta som begränsas av den slutna kurvan C. 1.5.3 Randvillkor B 1n = B 2n ˆn 2 (H 1 H 2 ) = K (33a) (33b) där n 2 är den från material 2 utåtpekande enhetsnormalen. 2 Elektrodynamik 10
2.1 Maxwells ekvationer D = ρ vf D da = Q f E = B t E dl = t C B = 0 B da = 0 B da (34a) (34b) (34c) (34d) (34e) (34f) H = J + D t H dl = I f + t C D da (34g) (34h) 2.2 Potentialer E = V A t B = A (35a) (35b) Här är V skalärpotentialen och A vektorpotentialen. 2.3 Induktion 11
2.3.1 Magnetiskt flöde Ψ Det magnetiska flödet Ψ genom ytan definieras som Ψ = B da (36) 2.3.2 Faradays induktionslag Den inducerade spänningen (även kallad inducerad emk) i en krets, är detsamma som ändringen per tidsenhet av det magnetiska flödet, i.e. V ind = Ψ t = d B da, (37) dt där ytan är den yta som kretsen formar. (37) kan även delas upp i två komponenter så att B V ind = t da + u B dl, (38) där u är hastigheten hos kretsen. C 12