Detta tänker jag att man redan vet: sin α= b c och cosα=a c och alltså också att för vinkeln. b=c sin α och a=c cos α Hypotenusan gånger antingen sinus eller cosinus Del 1 Tänk nu att c är en flaggstång som man lutar och som dessutom råkar befinna sig i ett koordinatsystem. Man undrar så klart hur långt från flaggstångsfästet knoppen skulle landa om den skulle lossna, eller hur? (Hur lång är a i triangeln.) Svar: c cosα Sen undrar man så klart hur högt upp knoppen är. (Hur hög är triangeln, hur lång är b?) Svar: c sin α Vi läser av triangelns höjd på y-axeln.
När man anger en punkts läge i ett koordinatsystem anger man dess x- och y-koordinat. ( x, y) Den blåa punkten (den på flaggstången), dess x- och y-koordinater kan vi läsa av på axlarna, eller uttrycka mer generellt: (c cos α, c sin α) I bilden nedan kallar vi c för r istället, som cirkelns radie. Beroende på α hamnar punkten på olika ställen, men så länge r är konstant kommer den att hålla sig på cirkeln. Alltså, en punkt på en cirkel beskrivs som (r cosα,r sinα) Nu vill vi få punkten att röra sig. Vi bestämmer oss för en vinkelhastighet (ω) och låter tiden (t) gå. Om vinkelhastigheten t ex är 90 /s tar det 4 sekunder för punkten att ta sig ett varv runt. Den rör sig moturs. ω är den grekiska bokstaven (lilla) omega. Stora omega ser ut så här Ω Vi kan alltså beskriva punktens läge så här (r cos(ω t), r sin(ωt)) x-koordinaten är alltså r cos(ω t) och y-koordinaten r sin(ωt) Detta var del 1 av förklaringen.
Del 2 Nu följer del 2, som handlar om hastighet och acceleration. Allt i denna del vet du säkert redan, men jag skriver det ändå. Du sitter i din bil som för tillfället står still. Snart ska du accelera till 90km/h. 90km/h är detsamma som 25m/s. Din bil är väldigt snabb för det kommer inte att ta mer än 5 sekunder för dig att komma upp i hastigheten. Vid slutet av varje sekund kommer du alltså att ha ökat din hastighet med 5m/s. Första sekunden ökar hastigheten från 0 till 5m/s. Andra sekunden ökar den från 5m/s till 10m/s och så vidare. Här följer nu tre grafer. Den första visar sträckan som funktion av tiden, alltså hur lång sträcka bilen förflyttas, när tiden, 5 sekunder, går. Den första sekunden hinner bilen drygt två meter, under den femte sekunden drygt 20 meter.
Nästa graf visar hastigheten som funktion av tiden. För varje sekund som går ökar hastigheten med 5m/s. Den tredje visar accelerationen som funktion av tiden. Det blir bara ett rakt streck. Det betyder att ökningen av hastigheten är lika stor hela tiden. Det känns som att man trycks lika hårt mot ryggstödet genom hela accelerationen. Egentligen är det ryggstödet som trycker framåt. (Jag lägger märke till att du inte växlar, utan drar bilen på ettan, (tvåan?) upp till 90km/h...) De här graferna hänger ihop.
Vi blandar nu in matematik i det hela och börjar med funktionen för sträckan y= 5 2 x2 Vi deriverar den, och får y '=5 x vilket är funktionen för hastigheten. Deriverar vi också den funktionen y '=5 x får vi y ' '=5 som är funktionen för accelerationen. Alltså, om man känner sträckan (läget) som funktion av tiden och deriverar den två gånger får man funktionen för accelerationen. Derivatan anger förändringen av förändringen. Vi har ett läge som förändras då tiden går. Hastigheten beskriver hur fort lägesförändringen sker. Accelerationen beskriver hur fort förändringen av hastigheten sker. Del 1+2 Nu återvänder vi till den blå punkten på cirkeln. Vi hade kommit fram till att läget i x-led var r cos(ω t) Detta kan vi skriva som en funktion x=r cos(ωt) När vi nu vill ha reda på accelerationen deriverar vi funktionen två gånger. x=r cos(ω t) x ' =v x = r ωsin(ωt) x ' '=a x = r ω 2 cos(ωt) v x är hastigheten i x-led. (Lite om derivering av trigonometriska funktionerna i nästa del.) Då har vi alltså fått fram accelerationen i x-led, andraderivatan av lägesfunktionen. Motsvarande för y-led: y=r sin(ω t) y ' =v y =r ω cos(ω t) y ' '=a y = r ω 2 sin(ω t) Vi har nu även accelerationen i y-led. Accelerationerna förändras alltså hela tiden till skillnad från i bilexemplet ovan. Vi kollar lite på hur det ser ut i x-led. Här accelereras punkten åt vänster. Efterhand avtar accelerationen, men hastigheten är nu hög.
Lite senare har vi kommit hit. Punkten rör sig fortfarande åt vänster. Accelerationen är riktad åt höger, dvs punkten bromsas. Hastigheten åt vänster blir mindre och mindre. Nu är punkten på väg åt höger, med ganska stor acceleration. Det blir motsvarande i y-led. Det finurliga med det hela sker när man adderar accelerationerna. Vi får en sammanlagd acceleration, som är lika stor hela tiden och riktad in mot mitten. Samma som när man åker en snurrig karusell som när man accelererar bilen, känslan av att man trycks mot ryggstödet är lika stor hela tiden, om man nu har näsan riktad mot karusellens mitt. Del 4 Derivatan av y=sin x är y ' =cos x Derivatan av y=cos x är y ' = sin x Hoppas att detta kan vara till någon hjälp eller lite intressant för någon.